Kapitel 4. Interpolation. 4.1 Allgemeines Normen von Funktionen
|
|
- Hilko Maurer
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Kapitel 4 Interpolation 4 Allgemeines Nähere Funktion/Daten durch einfache Funktionen (eg Polynome) an Brauchbar für: - Integration - Differentiation [zb f(x) sei durch Polynom p(x) approximiert, F(x) = f(x)dx p(x)dx oder f (x) p (x)] Anwendungen: - f(x) durch Stützstellen definiert (Messdaten) - f(x) sehr kompliziert 4 Normen von Funktionen Zur Abschätzung der Güte einer Näherung werden Funktionsnormen eingeführt Die Funktion f(x) werde im Intervall [a, b] betrachtet f p = f p 2 = b f p = max a x b a f p w dx (4) ( b /2 f p 2 w dx) (42) a f p (43) Hier ist w(x) eine Wichtungsfunktion mit w(x) 0, b a w(x)dx 0 (44) 27
2 28 KAPITEL 4 INTERPOLATION f(x) k Es folgt Bem: /k 2/k 3/k x = /k 0 2 = 2/3 2/3 = k Ein Bspl für die unterschiedlichen Normen Sei k > 0, definiere Funktion f(x) mit f k (x) = k(k 2 x ) für /k 2 < x < 2/k 2 k(k 2 x 3) für 2/k 2 < x < 3/k 2 0 sonst (45) Das Aussehen der Funkion f k (x) ist links skizziert Die Höhe ist jeweils k Für größere k wird die Funktion immer schmaler, und immer höher für k (46) f p max f p b w(x)dx = a W f p 2 W /2 (47) Dh ist die strikteste Norm, sichert gleichförmige Konvergenz 42 Polynom-Interpolation Geg (n + ) diskrete, paarweise verschiedene Stützstellen x 0, x,, x n mit Stützwerten y 0, y,, y n Ges Polynom P n (x) = a 0 + a x + a 2 x a n x n (48) mit P n (x i ) = y i für i = 0,,, n (49) Satz 4 Zu beliebigen (n + ) Stützwerten mit obiger Charakteristik (x i x j für i j), gibt es genau ein Interpolationspolynom P n (x) mit der ges Eigenschaft, dessen Grad höchstens n ist Bew: a) Def: Lagrange-Polynom vom Grad n L i (x) = n j=0 j i x x j x i x j = (x x 0)(x x )(x x i )(x x i+ )(x x ) (x i x 0 )(x i x )(x i x i )(x i x i+ )(x i x n ) P n (x) L i (x k ) = δ ik = { i = k 0 sonst n y i L i (x) und p(x k ) = y k (40)
3 43 LAGRANGE-INTERPOLATION 29 Der Grad P n n (Linearkombination von L i ) Eindeutigkeit durch den Fundamentalsatz der Algebra Sei Q n weiteres Polynom mit gleichen Eigenschaften, das hieße P n Q n hat n + Nullstellen, ist also identisch Null b) Sei (Gl 48) P n (x) = a 0 + a x + a 2 x 2 + a n x n Betrachte P n (x j ) = a 0 + a x j + a 2 x 2 j + + a nx n j = y j, j = 0,,, n Dies entpricht dem linearen Gleichungssystem x 0 x 2 0 x n 0 x x 2 x n x n x 2 n x n n a 0 a a n = y 0 y y n (4) oder in Kurzform Va = y Bem: Die Matrix V heißt auch Vandermonde Matrix - Falls x i x j V nicht-singulär - Falls Va = 0 P(x) hat n + Stützstellen = 0 a = 0 (V ist nicht singulär) i) Beide Beweise [a) und b)] geben Konstrukionsverfahren für P(x) a) Lagrange-Methode b) Methode der unbestimmten Koeffizienten ii) b) eignet sich gut für Approx mit Funktionen f n (x) (zb Trigonometrischen) P n (x) = b 0 + b f (x) + a 2 f 2 (x) + + a n f n (x) wobei zb f n (x) = cos(nx) oder wie oben f n (x) = x n Das Gleichungssystem lautet dann f (x 0 ) f 2 (x 0 ) f n (x 0 ) b 0 y 0 f (x ) f 2 (x ) f n (x ) b = y (42) f (x n ) f 2 (x n ) f n (x n ) b n y n 43 Lagrange-Interpolation Wir beschreiben die Rechentechnik bei der Lagrange-Interpolation Aus der Definition (40) folgt: P n (x) = n n y i j=0 j i x x j x i x j = n y i x x i { n n } (x x k ) x i x j j=0 j i k=0
4 30 KAPITEL 4 INTERPOLATION dh Abtrennen von /(x x i ) Definiere: Stützkoeffizienten (hängen nur von x k ab) n λ i x i x j = n j=0 j i j=0 j i (x i x j ) (i = 0,,, n) (43) und µ i (x) = λ i x x i (i = 0,,, n) (44) die µ i sind von x abhängig Damit wird { n } n P n (x) = µ i y i (x x k ) Diese Relation gilt für beliebige y i, speziell für y i =, also P n (x) = Damit folgt für alle x n (x x k ) = n k=0 k=0 Eingesetzt ergibt sich die Baryzentrische Formel µ i P n (x) = n µ i y i (45) n µ i als gewogenes Mittel der Stützwerte y i mit den Gewichten µ i Die Vorzeichen der µ i variieren 43 Berechnung der λ i Die Berechnung der Stützkoeffizienten λ i gemäß Gl (43) benötigt n(n + ) Divisionen, n für jedes λ i und n + verschiedene λ i Dies kann halbiert werden ) Aus Definition folgt, dass eine zusätzliche Stützstelle (n+) (n+2) folgendes liefert λ (n+) i = λ (n) i x i x n+ (i = 0,, n) wobei λ (n) die n+ Stützkoeffizienten zu den Stützstellen (x 0, x,, x n ) bezeichnen Man erhält die ersten n + Stützkoeffizienten von λ (n+) i durch je Division aus den λ (n) i 2) Für den letzten Wert kann folgender Satz ausgenutzt werden Satz 42 n λ (n) i = 0 für n
5 43 LAGRANGE-INTERPOLATION 3 [Beweis: Aus Definition der Koeffizient von x n ist: P n (x) = n a n = y i λ (n) i n n (x x j ) j=0 j i y i λ (n) i betrachte wiederum das spezielle Polynom y i =, also P n a n = 0 für n Bhpt] Aus ) und 2) ergibt sich das folgendene Schema zur Berechnung der λ (n) i (in Metasprache) Start: λ (0) 0 = Rekursion: für k =, 2,, n für i = 0,,, k λ (k) i = λ (k ) i /(x i x k ); k = λ (k) i ; λ (k) k Im letzten Schritt wird die Eigenschaft der verschwindenden Summe ausgenutzt Insgesamt erhält man n(n + )/2 Divisionen 432 Ein Beispiel Gegeben seien die 4 Stützstellen und Stützwerte x 0 x x 2 x 3 x i y i Damit errechnen sich die Koeffizienten zu: k = \ i = λ (0) λ () 0 = λ (0) 0 /(x 0 x ) λ () = λ () λ (2) 0 = λ () 0 /(x 0 x 2 ) λ (2) = λ () /(x x 2 ) λ (2) 2 = λ (2) 0 λ (2) Gesucht sei jetzt der Wert des Polynoms an der Stelle x = 2 Aus den λ (3) i Zeile folgen die Gewichte µ i (siehe Gl 44) zu µ µ µ µ Und somit P 3 (2) = 697 / = in der letzten
6 32 KAPITEL 4 INTERPOLATION 44 Newton-Interpolation Bisher wurde der Wert nur an einer bestimmten Stelle berechnet, jetzt allgemeiner Die Newton-Interpolation erlaubt die leichte Hinzunahme weiterer Stützstelle Der Ansatz lautet: P n (x) = c 0 + c (x x 0 ) + c 2 (x x 0 )(x x ) + c n (x x 0 )(x x ) (x x n ) (46) Die Bedingungen an den Stütztstellen liefern: P n (x 0 ) = c 0 = y 0 P n (x ) = c 0 + c (x x 0 ) = y P n (x 2 ) = c 0 + c (x 2 x 0 ) + c 2 (x 2 x 0 )(x 2 x ) = y 2 Diese Gleichungssystem hat eine Dreiecksstruktur, dh man könnte die c k sukzessive berechnen Betrachte das Bildungsgesetz: jedes c k ist Höchstkoeffizient des Polynoms, durch (k + ) Stützpunkte (x i, y i, i = 0,, k) Def: c k := f[x 0 x x k ] (k = 0,,, n) c k ist abhängig von (k + ) Stützstellen Wir betrachten jetzt eine Untermenge von (k+) Stützstellen der insgesamt (n+) Werte Sei P i 0,i,,i k (x) ein Polynom zu (k +) paarweise disjunkten Stützstellen x i0, x i,, x ik, wobei i 0, i,, i k Indizes aus {0,,, n} sind Da P ein Interpolationspolynom ist, gilt P i 0,i,,i k (x ij ) = y ij (j = 0,,, k) und speziell Damit gilt der P k (x) = y k (k = 0,,, n) Satz 43 Pi 0,i,,i k (x) = (x x i 0 )Pi,,i k (x x ik )Pi 0,i,,i k (x ik x i0 ) k n (47) [Bew: Auf der rechten Seite sind die P Polynome vom Grad k, also ist die linke Seite vom Grad k Weiter gilt: P i 0,i,,i k (x i0 ) = y i0 P i 0,i,,i k (x ik ) = y ik und P i 0,i,,i k (x ij ) = (x i j x i0 )y ij (x ij x ik )y ij (x ik x i0 )
7 44 NEWTON-INTERPOLATION 33 Daraus folgt der Satz, P ist eindeutiges Polynom] Wir vergleichen die Höchstkoeffizienten von Gl (47) auf der rechten und linken Seite, und es folgt f[x i0, x i,, x ik ] = f[x i, x i2,, x ik ] f[x i0, x i,, x ik ] k n (48) (x ik x i0 ) Hier heißt f[x i0, x i,, x ik ] die k-te dividierte Differenz zu den Stützstellen x i0, x i,, x ik Die Rekursionsformel wird durch das Schema der dividierten Differenzen angewendet Mit f[x i ] = y i (i = 0,,, n) als Startwerten wird x 0 f[x 0 ] f[x 0, x ] x f[x ] f[x 0, x, x 2 ] f[x, x 2 ] f[x 0, x, x 2, x 3 ] x 2 f[x 2 ] f[x, x 2, x 3 ] f[x 0, x, x 2, x 3, x 4 ] f[x 2, x 3 ] f[x, x 2, x 3, x 4 ] x 3 f[x 3 ] f[x 2, x 3, x 4 ] f[x 3, x 4 ] x 4 f[x 4 ] Die oberen Werte des Dreiecks bezeichnen dabei fortlaufend die Werte c k : c 0 = f[x 0 ], c = f[x 0, x ], c 2 = f[x 0, x, x 2 ] usw Die anderen Werte zb berechnen sich aus f[x 2, x 3 ] = f[x 3] f[x 2 ] x 3 x 2 f[x, x 2, x 3 ] = f[x 2, x 3 ] f[x, x 2 ] x 3 x usw Ein Rechenschema in Metasprache für die Newton-Interpolation lautet für i = 0,,, n c i = y i ; für k =, 2,, n für i = n, n,, k c i = (c i c i )/(x i x i k ); Die Anzahl der nötigen Divisionen ist identisch zum obigen Verfahren = n(n + )/2 Berechnung von P n (x) an neuen Stellen x: Beginne mit dem innersten Klammerausdruck von P n (x) = c 0 + c (x x 0 ) + c 2 (x x 0 )(x x ) + = c 0 + (x x 0 ) (c + (x x )[c 2 + (x x 2 ){x (c n + (x x n )c n )}]) Das Schema lautet also: Dann gilt schließlich P n (x) = p Bem: p = c n für k = n, n 2,, 0 p = c k + (x x k )p;
8 34 KAPITEL 4 INTERPOLATION - Brauche für jede neue Stelle x nur n Multiplikationen (weniger als die Hälfte als bei Lagrange) - Newton eignet sich gut, wenn P n (x) an vielen Stellen ausgewertet werden soll 45 Fehlerabschätzung Satz 44 Wenn P n (x) die Funktion f(x) C n+ [a, b] an (n + ) Stützstellen {x j } n j=0 mit x i x j interpoliert, dann gilt für den Fehler: mit e(x) f(x) P n (x) = fn+ (ζ) W(x) (49) (n + )! W(x) = n (x x i ) (420) W(x) heißt hier das Fehlerpolynom Dabei ist der Wert von ζ in Bereich {x 0, x,, x n } Falls min i (x i ) = a und max i (x i ) = b, gilt ζ [a, b] [Bew: ] ζ hängt vom Aufpunkt x ab besser ist ein Errorbound e(x) = f(x) P n (x) M n ist hier das Maximum von f n+ (ζ) mit ζ [a, b] Beispiel: Sei n = 2, dann gilt für das Fehlerpolynom mit x 0 = h, x = 0 und x 2 = h Es folgt M n (n + )! W(x) W(x) = (x x 0 )(x x )(x x 2 ) Bei äquidistanten Stützstellen ist und e(x) h n+ e(x) 3 27 M 2h 3 h = b a n 45 Abschätzung des Fehlerpolynoms Hatten n e(x) = fn+ (ζ) (n + )! W(x) mit W(x) = (x x i ) Sei x i [a, b], i = 0,,, n, dann gilt ( b a 2 ) n+ 2 n max W(x) (b a)n+ x [a,b]
9 46 TSCHEBYSCHEFF-POLYNOME 35 die untere Schranke wird angenommen (unter Minimierung der Absolut-Norm W(x) ), wenn x i x i = b a ( ) 2i + π cos + b + a 2 n für i = 0,,, n Dies sind die Extremalstellen der der Tschebyscheff-Polynome 46 Tschebyscheff-Polynome Es gilt cos[(n + )ϕ] + cos[(n )ϕ] = 2 cos(ϕ) cos(nϕ) n N (42) [Bew mit exp-funktion cosx = /2(e ix + e ix )] Daraus folgt Satz 45 Für jeden n N ist cos(nϕ) als Polynom n Grades in cos(ϕ) darstellbar [Bew: Durch vollständige Induktion] Def: Tschebyscheff-Polynome vom Grad k mit k N, x = cosϕ, x [, ], und ϕ [0, 2π] Andere Darstellung T k (x) = T k (cos(ϕ)) = cos(kϕ) (422) T k = cos ( k cos (x) ) = ( )k 2 k (k!) [ ( x 2 /2 dk ( ) ) ] x 2 k /2 (423) (2k)! dx k Die Wichtungsfunktion (vgl Gl 44) lautet hier w(x) = ( x 2 ) /2 damit erhält man T k (x)t j (x) dx = ( x 2 ) /2 die Polynome sind also Orthogonal Aus Gl (42) folgt die Rekursionsformel 0 k j 2 π k = j > 0 π k = j = 0 (424) mit T 0 (x) = und T (x) = x Die ersten Polynome lauten T k+ (x) = 2xT k (x) T k (x) k (425) T 2 = 2x 2 T 3 = 4x 3 3x T 4 = 8x 4 8x 2 + Für die Nullstellen der cos-funktion gilt cos(kϕ) = 0 = kϕ = (2j ) π 2 j N 0
10 36 KAPITEL 4 INTERPOLATION Die Nullstellen von T k liegen also bei ( ) 2j + π x j = cos k 2 - diese liegen innerhalb [, ] - sind symmetrisch zum Ursprung - liegen dichter zu den Rändern des Intervalls - heißen Tschebyscheff-Abszissen Es gilt: Satz 46 Sei Für jede Wahl von x j [, ] gilt: ist minimal für W(x) = Dj die x j sind die Nullstellen von T n+ (x) 46 Intervallverschiebung j = 0,,, k k (426) n (x x j ) j= W = max x W(x) W(x) = 2 nt n+(x) Die Tschebyscheff-Polynome sind nur in [, ] definiert, brauche also Intervall-Transformation Gehe von [c, d] [a, b] durch lineare Streckung x = mt + β mit t [c, d], x [a, b] Die Werte von m, β folgen aus x = a für t = c x = b für t = d damit ( ) b a x = t + d c Für Tschebyscheff gilt c =, d = und es folgt ( ) b a x = 2 ad bc d c t + a + b 2 Die Extremalstellen von T n (x) (liegen zwischen den Nullstellen) sind hier ( ) n k t k = cos n π Die Interpolation mit Tschebyscheff-Abszissen heißt nicht, dass - e T (x) kleiner als e Eq (x) ist, gibt nur eine bekannte obere Schranke an - W 2 minimiert nicht unbedingt Tschebyscheff (427) (428)
11 47 SPLINE-INTERPOLATION Spline-Interpolation Hatten: Äquidistante Stützstellen Überschwinger am Rand Tschebyscheff Stützstellen ungleiche Abstände Brauche bei großen Punktzahlen (zb n > 00) andere Methode Oft benutzt Spline-Interpolation Zur Interpolation von Messdaten, Tabellen (eg Opazitäten in der Astrophysik) Abbildung 4: Beispiel eine Polynom-Interpolation durch einige Stützpunkte (glatte Linie) Ein einfache lineare Interpolation durch Verbinden der Punkte (gestrichelte Linie) erzeugt offensichtlich bessere Ergebnisse Methode: Interpoliere stückweise durch Polynom min kleinem Grad, vergleiche Abb 4 Die lineare Interpolation gibt offensichtlich eine bessere Näherung, ist aber nicht glatt, Sprung in Ableitungen Splines [Schoenberg (946)]: Dünnerelastischer Stab (spline) durch Punkte x j, y j gelegt 47 Konstruktion Gegeben Punkte x j, f(x j ), j = 0,, n Suche Funktion S(x) mit Eigenschaft S(x) C 2 [a, b], dh S, S, S sind stetig S(x j ) = f(x j ) = f j, S(x) interpoliert f(x) S(x) ist kubisches Polynom in jedem [x j, x j+ ] Diese Eigenschaften definieren einen stückweisen kubischen Spline (siehe Abb 42) Bezeichne Spline zwischen [x j, x j+ ] mit S j, diese S 0, S,, S n sind kubisch, habe also 4n Koeffzienten und brauche 4n Bedingungen Für die Funktionswerte gilt (vgl Abb 42): S 0 (x 0 ) = f 0 S 0 (x ) = f = S (x ) S (x 2 ) = f 2 = S 2 (x 2 ) 2n Bedingungen (429) = S n 2 (x n ) = f n = S n (x n ) S n (x n ) = f n
12 38 KAPITEL 4 INTERPOLATION S(x) x,f 0 0 S 0 x,f S x,f 2 2 x x x 0 2 x Abbildung 42: Graphik zur Illustration der Spline-Interpolation durch die drei ersten Stützpunkte Zwischen zwei Punkten wird jeweils ein kubischer Spline gelegt und glatt mit den Nachbar-Splines verbunden Ableitungen: S 0 (x ) = S (x ) S (x 2 ) = S 2(x 2 ) S n 2 (x n ) = S n (x n ) n Bedingungen (430) Zweite Ableitungen: S 0 (x ) = S (x ) S (x 2) = S 2 (x 2) S n 2(x n ) = S n (x n ) n Bedingungen (43) Brauche also noch 2 extra Bedingungen Oft benutzt: S S 0 (x 0) = 0 n (x n) = 0 } 2 Bedingungen (432) Es wird also an Geraden für x < x 0 bzw x > x n gefittet Dies definiert die sog Natural Splines Habe also System mit 4n Unbekannten (groß) Es ist mögliche, dies auf n zu reduzieren Sei h i = x i+ x i (433) S i = a i (x x i ) 3 + b i (x x i ) 2 + c i (x x i ) + d i (434)
13 47 SPLINE-INTERPOLATION 39 dann folgt aus den Stetigkeitsbedinungen für Funktion S(x), erste und zweite Ableitung S i (x i ) = d i = y i S i (x i+ ) = a i h 3 i +b i h 2 i +c i h i +d i = y i+ S i (x i) = c i S i(x i+ ) = 3a i h 2 i +2b i h i +c i = S i (x i) = 2b i = y i S i (x i+ ) = 6a i h i +2b i = i+ (435) Aus den ersten beiden und letzten beiden Gleichungen folgt ( ) a i = 6h i y i+ y i b i = 2 y i c i = h i (y i+ y i ) h ( 6 i y i+ + ) (436) 2y i d i = y i Dh: Sind die Stützwerte y i und die zweiten Ableitungen an x i bekannt, dann sind die Koeffizienten der kubischen Interpolations-Polynome eindeutig bestimmt Es ist also zweckmäßig, die 2 Ableitungen als Unbekannte zu betrachten Aus den mittleren Gleichungen (in 435) für die Stetigkeit der ersten Ableitung folgt: s i(x i+ ) = h i (y i+ y i ) + 6 h i ( ) 2y i+ + y i (437) ziehe Index runter: s i (x i) = mit folgt (y i y i ) + h i 6 h ( i 2y i + ) y i S i (x i) = S i (x i) = c i (438) h i i + 2(h i + h i ) + h i i+ = 6 h i (y i+ y i ) 6 h i (y i y i ) (439) Dies gilt für alle inneren Stützstellen x i (i =, 2,, n ) Mit y 0 = y n = 0 Sytsem von n linearen Gleichungen für (n ) Unbekannte y i Schreibe A i y i + B i y i + C i y i+ = R i (440) Dies entpricht dem linearen Gleichungssystem B C A 2 B 2 C 2 A 3 B 3 C 3 A n 2 B n 2 C n 2 A n B n 2 3 n = R R 2 R 3 R n (44)
14 40 KAPITEL 4 INTERPOLATION in Kurzform mit A = R A i = h i = x i x i i = 2,, n B i = 2(h i + h i ) = 2(x i+ x i ) i =,, n C i = h i = x i+ x i i =,, n 2 R i = 6 h i (y i+ y i ) 6 h i (y i y i ) i =,, n Korrektur für die erste und letzte Gleichung (es gibt kein A 0, C n ) (442) R = R h 0 y 0 (443) R n = R n h n y n (444) Die Matrix A ist tridiagonal und symmetrisch mit A i+ = C i Es ist B i 4A i bzw 4C i Für h i = const = h gilt A = (445) 4 4 Lösung durch: a) Gauß-Elimination (gut bis mind 00 Pkt) b) Iterativ (später) Rechenschema: Eliminiere A i (forward elimination) Für i = 2, n B i = B i C i /B i A i R i = R i R i /B i A i Ausrechnen (backward substitution) Höchster Wert dann sukzessiv n = R n /B n Für i = n 2, i = (R i C i i+)/b i Daraus folgen dann die Koeffizienten a i, b i, c i, d i nach Gl (436) 472 Erweiterte Randbedingungen Manchmal ist nicht so günstig Weitere Möglichkeiten 0, n = 0
15 47 SPLINE-INTERPOLATION 4 a) (Extrapolation) y 0 = αy (446) y n = βy n (447) b) Dritte Ableitung (dh Polynome) stimmen an den Rändern überein nicht-tridiagonal System c) Ableitung an Rändern vorgeben S 0 (x ) = S (x ) (448) S n 2 n ) = S n n ) (449) S (x 0 ) = y 0 (450) S (x n ) = y n (45) 2 Gleichungen für y 0, y n Matrix bleibt tridiagonal, symmetrisch, diagonaldominant d) Periodische Randbedingungen y 0 = y n (452) y 0 = y n (453) 0 = n (454) Symmetrische Matrix, aber nicht mehr tridiagonal Das lineare Gleichungssystem sieht dann so aus B C D A 2 B 2 C 2 A 3 B 3 C 3 A n 2 B n 2 C n 2 E n A n B n 2 3 n = R R 2 R 3 R n (455)
5 Interpolation und Approximation
5 Interpolation und Approximation Problemstellung: Es soll eine Funktion f(x) approximiert werden, von der die Funktionswerte nur an diskreten Stellen bekannt sind. 5. Das Interpolationspolynom y y = P(x)
Mehr6. Polynom-Interpolation
6. Polynom-Interpolation 1 6.1. Klassische Polynom-Interpolation 2 6.2. Lösung mit Hilfe Lagrange scher Basisfunktionen 3 6.3. Lösung mit Hilfe Newton scher Basisfunktionen 4 6.4. Fehlerabschätzung für
MehrInhalt Kapitel IV: Interpolation
Inhalt Kapitel IV: Interpolation IV Interpolation IV. Polynom-Interpolation IV. Spline-Interpolation Kapitel IV (InhaltIV) Die Interpolationsformel von Lagrange Zentrale Aussage: Zu beliebigen n + Stützpunkten
MehrKlassische Polynom Interpolation.
Klassische Polynom Interpolation. Bestimme ein Polynom (höchstens) n ten Grades p n (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n x n, das die gegebenen Daten interpoliert, d.h. p n (x i ) = f i, 0 i n. Erster
Mehr(x x j ) R m [x] (3) x x j x k x j. R m [x]. (4)
33 Interpolation 147 33 Interpolation In vielen praktischen Anwendungen der Mathematik treten Funktionen f auf, deren Werte nur näherungsweise berechnet werden können oder sogar nur auf gewissen endlichen
MehrH.J. Oberle Analysis II SoSe Interpolation
HJ Oberle Analysis II SoSe 2012 7 Interpolation 71 Allgemeine Problemstellung Interpolation ist die Kunst, zwischen den Zeilen einer Tabelle zu lesen (Rutishauser) Von f : R R seien Funktionswerte (x j,
Mehr3.1.3 Newtonsche Interpolationsformel / Dividierte Differenzen
KAPITEL 3 INTERPOLATION UND APPROXIMATION 4 33 Newtonsche Interpolationsformel / Dividierte Differenzen Das Verfahren von Neville ist unpraktisch, wenn man das Polynom selbst sucht oder das Polynom an
MehrDie Interpolationsformel von Lagrange
Die Interpolationsformel von Lagrange Zentrale Aussage: Zu beliebigen n + Stützpunkten (x i,f i ), i =,...,n mit paarweise verschiedenen Stützstellen x i x j, für i j, gibt es genau ein Polynom π n P n
Mehr1 2 x x x x x x2 + 83
Polynominterpolation Aufgabe 1 Gegeben sei die Wertetabelle i 0 1 2 3 x i 0 1 2 4 f i 3 1 2 7 a) Bestimmen Sie das Interpolationspolynom von Lagrange durch die obigen Wertepaare. b) Interpolieren Sie die
MehrKAPITEL 8. Interpolation
KAPITEL 8. Interpolation 8.2 Lagrange-Interpolationsaufgabe für Polynome Wir beschränken uns auf die Lagrange-Interpolation mit Polynomen. Der Raum der Polynome vom Grad n: Stützstellen: Π n = { n j=0
Mehr8 Interpolation. 8.1 Problemstellung. Gegeben: Diskrete Werte einer Funktion f : R R an n + 1 Stützstellen. x 0 < x 1 <... < x n.
8 Interpolation 81 Problemstellung Gegeben: Diskrete Werte einer Funktion f : R R an n + 1 Stützstellen x 0 < x 1 < < x n Eingabedaten: (x 0, f 0 ),(x 1, f 1 ),,(x n, f n ) Gegebene Daten (x j, f j ) Analysis
Mehr6 Polynominterpolation
Vorlesungsskript HM-Numerik (SS 2014): Kapitel 6 Version: 1 Juli 2014 6 Polynominterpolation Gegeben: Wertepaare { (x i,f i ) R 2 i = 0,,n } Gesucht: Einfache Funktion g : R R mit g(x i ) = f i i {0,1,,n}
MehrÜbungsblatt 1 Musterlösung
Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen MA234 - SS6 Übungsblatt Musterlösung Aufgabe (Interpolationspolynom) a) Bestimmen Sie die Hilfspolynome L i, i =,,2, für x =, x = 2 und x 2 = 3 nach der Formel
MehrT n (1) = 1 T n (cos π n )= 1. deg T n q n 1.
KAPITEL 3. INTERPOLATION UND APPROXIMATION 47 Beweis: Wir nehmen an qx) für alle x [, ] und führen diese Annahme zu einem Widerspruch. Es gilt nach Folgerung ii) T n ) T n cos π n ). Wir betrachten die
MehrKapitel 4: Interpolation Sei U eine Klasse von einfach strukturierten Funktionen, z.b.
Kapitel 4: Interpolation Sei U eine Klasse von einfach strukturierten Funktionen, z.b. - Polynome, - rationale Funktionen, - trigonometrische Polynome, - Splines. Interpolationsproblem 4: Sei f : [a,b]
MehrNumerik für Ingenieure I Wintersemester 2008
1 / 32 Numerik für Ingenieure I Wintersemester 2008 J. Michael Fried Lehrstuhl Angewandte Mathematik III 23.1.2009 2 / 32 Wiederholung Stückweise Polynominterpolation Stückweise lineare Interpolierende
Mehr19. Januar Universität Erlangen-Nürnberg Department Mathematik PD Dr. Markus Bause. . Danach liefert die Gauss-Elinination. .
Universität Erlangen-Nürnberg Department Mathematik PD Dr Markus Bause Numerik I 9 Januar A Gegeben sei die Matrix A = a Führen Sie eine Zeilenskalierung der Matrix durch Klausur b Bestimmen Sie mit Hilfe
MehrDie Interpolationsaufgabe besteht darin, eine (einfache) Funktion u n U n zu finden,
Kapitel 3 Interpolation 31 Einführung Bemerkung 31 Motivation, Aufgabenstellung Gegeben seien eine Funktion f C([a,b]) und x i [a,b], i = 0,n, mit a x 0 < x 1 < < x n b (31) Die Interpolationsaufgabe besteht
MehrInterpolation und Approximation von Funktionen
Kapitel 6 Interpolation und Approximation von Funktionen Bei ökonomischen Anwendungen tritt oft das Problem auf, dass eine analytisch nicht verwendbare (oder auch unbekannte) Funktion f durch eine numerisch
MehrVF-2: 2. Es seien x = 1 3 und y = π Bei der Berechnung von sin(x) sin(y) in M(10, 12, 99, 99) tritt. Auslöschung auf.
IGPM RWTH Aachen Verständnisfragen-Teil NumaMB H11 (24 Punkte) Es gibt zu jeder der 12 Aufgaben vier Teilaufgaben. Diese sind mit wahr bzw. falsch zu kennzeichnen (hinschreiben). Es müssen mindestens zwei
MehrPolynominterpolation
Polynominterpolation In der numerischen Mathematik versteht man unter Polynominterpolation die Suche nach einem Polynom, welches exakt durch vorgegebene Punkte (z. B. aus einer Messreihe) verläuft. Dieses
MehrApproximation durch Polynome
durch n Anwendungen: zur Vereinfachung einer gegebenen Funktion durch einen Polynomausdruck. Dann sind übliche Rechenoperation +,,, / möglich. zur Interpolation von Daten einer Tabelle n Beispiel Trotz
MehrKlausur,,Algorithmische Mathematik II
Institut für angewandte Mathematik Sommersemester 017 Andreas Eberle, Matthias Erbar / Behrend Heeren Klausur,,Algorithmische Mathematik II Musterlösung 1 (Unabhängige Zufallsvariablen) a) Wir bezeichnen
MehrKlausur Numerische Mathematik (für Elektrotechniker), 24. Februar 2016
Verständnisfragen-Teil ( Punkte) Jeder der Verständnisfragenblöcke besteht aus Verständnisfragen. Werden alle Fragen in einem Verständnisfragenblock richtig beantwortet, so gibt es für diesen Block Punkte.
MehrÜbungen zu Splines Lösungen zu Übung 20
Übungen zu Splines Lösungen zu Übung 20 20.1 Gegeben seien in der (x, y)-ebene die 1 Punkte: x i 6 5 4 2 1 0 1 2 4 5 6 y i 1 1 1 1 1 + 5 1 + 8 4 1 + 8 1 + 5 1 1 1 1 (a) Skizzieren Sie diese Punkte. (b)
MehrPolynominterpolation. Allgemeines Problem: Beispiel 1 (Teil 1):
. Großübung Polynominterpolation Allgemeines Problem: Aufgrund gegebener Messwerte (Paare aus Werten i und Funktionswerten f( i )) soll ein Funktionsverlauf rekonstruiert bzw. zumeist angenähert werden.
Mehr[5], [0] v 4 = + λ 3
Aufgabe 9. Basen von Untervektorräumen. Bestimmen Sie Basen von den folgenden Untervektorräumen U K des K :. K = R und U R = span,,,,,.. K = C und U C = span + i, 6, i. i i + 0. K = Z/7Z und U Z/7Z = span
MehrInterpolation. Heinrich Voss. TUHH Heinrich Voss Kapitel / 49.
Heinrich Voss voss@tu-harburg.de Hamburg University of Technology Institute for Numerical Simulation TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 1 / 49 Interpolationsproblem Gegeben seien eine Funktion Φ (x; a 1,...,
MehrInstitut für Geometrie und Praktische Mathematik
RWTH Aachen Institut für Geometrie und Praktische Mathematik Diplom VP Numerik 13. September 004 Aufgabe 1 10 0 40 Gegeben sei die Matrix A = 80 10 10. 10 5 5 (6 Punkte) a) Skalieren (Zeilenäquilibrierung)
MehrKardinalfunktionen. Florian Badt. 2. Juni Universität des Saarlandes, Saarbrücken
Florian Badt 2. Juni 2015 Gliederung Grundlegende Problemstellung Ausgangspunkt: Lu = f Approximation der unbekannten Funktion: u(x) u N (x) = N n=0 a nφ n Minimierung des Residuums R(x; a 0, a 1,...,
MehrKAPITEL 9 Splinefunktionen
KAPITEL 9 Splinefunktionen 9.1 Splineräume und Approximationsgüte Bei der Behandlung von Splines ist es bequemer, statt mit dem Grad von Polynomen, mit der Ordnung k := Grad + 1 zu arbeiten. Für eine Knotenmenge
MehrNumerische Verfahren
Numerische Verfahren Jens-Peter M. Zemke zemke@tu-harburg.de Institut für Numerische Simulation Technische Universität Hamburg-Harburg 08.04.2008 TUHH Jens-Peter M. Zemke Numerische Verfahren 1 / 68 Übersicht
MehrInterpolation. Kapitel 3
Kapitel 3 Interpolation Die Interpolation von Funktionen oder Daten ist ein häufig auftretendes Problem sowohl in der Mathematik als auch in vielen Anwendungen Das allgemeine Problem, die sogenannte Dateninterpolation,
Mehr1. Anhang: Spline-Funktionen
C:\D\DOKU\NUM KURS\SPLINE.TEX C:\UG\.AI 20. Juli 1998 Vorbemerkung: Wenn der Satz stimmt, daß jede Formel eines Textes die Leserzahl halbiert, dann brauche ich bei grob geschätzt 40 Formeln etwa 2 40 =
MehrInstitut für Geometrie und Praktische Mathematik
RWTH Aachen IGPM RWTH Aachen Institut für Geometrie und Praktische Mathematik Verständnisfragen-Teil (24 Punkte) Es gibt zu jeder der 12 Aufgaben vier Teilaufgaben. Diese sind mit wahr bzw. falsch zu kennzeichnen
MehrLösung der Diplom-Vorprüfung Höhere Mathematik III/IV Aufgabe N1 (LR-Zerlegung mit Pivotisierung) Gegeben seien R 3.
Lösung der Diplom-Vorprüfung Höhere Mathematik III/IV 7.7.6 Aufgabe N (LR-Zerlegung mit Pivotisierung) Gegeben seien 6 8 A = 8 6 R und b = 6 R. a) Berechnen Sie die LR-Zerlegung von A mit Spaltenpivotisierung.
MehrD-MAVT NUMERISCHE MATHEMATIK FS 14 K. Nipp, A. Hiltebrand Lösung vom Test 2
D-MAVT NUMERISCHE MATHEMATIK FS 4 K Nipp, A Hiltebrand Lösung vom Test Sei A ( 3 3 ) a) Bestimmen Sie κ(a), die Kondition von A (in der -Norm): κ(a) b) Berechnen Sie den Spektralradius von A: ρ(a) 4 c)
MehrNumerisches Programmieren, Übungen
Technische Universität München WiSe 07 / 08 Institut für Informatik Univ-Prof Dr Hans-Joachim Bungartz Michael Obersteiner Philipp Samfass Numerisches Programmieren, Übungen Musterlösung 3 Übungsblatt:
Mehr( ) Dann gilt f(x) g(x) in der Nähe von x 0, das heisst. Für den Fehler r(h) dieser Näherung erhält man unter Verwendung von ( )
64 Die Tangente in x 0 eignet sich also als lokale (lineare) Näherung der Funktion in der Nähe des Punktes P. Oder gibt es eine noch besser approximierende Gerade? Satz 4.9 Unter allen Geraden durch den
Mehreps für alle x D. 4. Die Zahl 256 ist in M(2, 4, 6, 6) exakt darstellbar.
IGPM RWTH Aachen Verständnisfragen-Teil NumaMB H13 (24 Punkte) Es gibt zu jeder der 12 Aufgaben vier Teilaufgaben. Diese sind mit wahr bzw. falsch zu kennzeichnen (hinschreiben). Es müssen mindestens zwei
MehrKLAUSUR zur Numerik I mit Lösungen. Aufgabe 1: (10 Punkte) [ wahr falsch ] 1. Die maximale Ordnung einer s-stufigen Quadraturformel ist s 2.
MATHEMATISCHES INSTITUT PROF. DR. ACHIM SCHÄDLE 9.8.7 KLAUSUR zur Numerik I mit Lösungen Aufgabe : ( Punkte) [ wahr falsch ]. Die maximale Ordnung einer s-stufigen Quadraturformel ist s. [ ]. Der Clenshaw
MehrOrthogonalpolynome Einführung, Eigenschaften und Anwendungen
Anna Weller Orthogonalpolynome Einführung, Eigenschaften und Anwendungen 1 Orthogonalpolynome Einführung, Eigenschaften und Anwendungen Anna Weller Seminar zur Numerik im SS 2018, Universität zu Köln 10.
Mehr8 Polynominterpolation
8 Polynominterpolation Interpolations-Aufgabe: Von einer glatten Kurve seien nur lich viele Punktewerte gegeben. Wähle einen lichdimensionalen Funktionenraum. Konstruiere nun eine Kurve in diesem Funktionenraum
MehrEinführung in die numerische Mathematik
Prof. Dr. M. Günther K. Gausling, M.Sc. C. Hendricks, M.Sc. Sommersemester 214 Bergische Universität Wuppertal Fachbereich C Mathematik und Naturwissenschaften Angewandte Mathematik / Numerische Analysis
MehrBeispiel für eine periodische Spline-Interpolationsfunktion: Wir betrachten f(x) = sin(πx) und geben die folgenden Stützstellen und Stützwerte vor:
5 Splineinterpolation Beispiel für eine periodische Spline-Interpolationsfunktion: Wir betrachten f(x) sin(πx) und geben die folgenden Stützstellen und Stützwerte vor: x i 3 f i Damit ist n 5, h Forderung
MehrNumerische Verfahren
Numerische Verfahren Interpolation Prof Dr-Ing K Warendorf, Prof Dr-Ing P Wolfsteiner Hochschule für Angewandte Wissenschaften München Fakultät 03 WS 13/14 Prof Dr-Ing K Warendorf (Fakultät 03) Numerische
MehrNumerisches Programmieren, Übungen
Technische Universität München SoSe 20 Institut für Informatik Prof Dr Thomas Huckle Dipl-Inf Christoph Riesinger Dipl-Math Jürgen Bräckle Numerisches Programmieren, Übungen Musterlösung 6 Übungsblatt:
Mehr5 Numerische Mathematik
6 5 Numerische Mathematik Die Numerische Mathematik setzt sich aus mehreren Einzelmodulen zusammen Für alle Studierenden ist das Modul Numerische Mathematik I: Grundlagen verpflichtend In diesem Modul
MehrGitterfreie Methoden. Florian Hewener. 29. Oktober 2013
Gitterfreie Methoden 1D 2D Florian Hewener 29. Oktober 2013 Gliederung 1 Interpolationsprobleme Problemstellung Haar-Räume 2 Mehrdimensionale Polynominterpolation 3 Splines Kubische Splines und natürliche
Mehr7 Integralrechnung für Funktionen einer Variablen
7 Integralrechnung für Funktionen einer Variablen In diesem Kapitel sei stets D R, und I R ein Intervall. 7. Das unbestimmte Integral (Stammfunktion) Es sei f : I R eine Funktion. Eine differenzierbare
MehrInstitut für Geometrie und Praktische Mathematik
RWTH Aachen Verständnisfragen-Teil Institut für Geometrie und Praktische Mathematik (24 Punkte) Es gibt zu jeder der 12 Aufgaben vier Teilaufgaben. Diese sind mit wahr bzw. falsch zu kennzeichnen (hinschreiben).
MehrKapitel 7. Interpolation und Approximation II. Inhalt: 7.1 Spline-Interpolation 7.2 Trigonometrische Interpolation 7.3 Tschebyscheff-Approximation
Kapitel 7. Interpolation und Approximation II Inhalt: 7.1 Spline-Interpolation 7.2 Trigonometrische Interpolation 7.3 Tschebyscheff-Approximation Numerische Mathematik I 275 Interpolation als lineares
MehrInterpolation, numerische Integration
Interpolation, numerische Integration 8. Vorlesung 170 004 Numerische Methoden I Clemens Brand und Erika Hausenblas Montanuniversität Leoben 8. Mai 2014 Gliederung 1 Interpolation polynomial Spline 2 Numerische
MehrTschebyschow-Polynome
Tschebyschow-Polynome Harald Leisenberger, Robert Trummer 24. April 203 Vorwort: In dieser Arbeit geht es um eine spezielle Art von Polynomen, die nach dem bekannten russischen Mathematiker P. L. Tschebyschow
MehrAlgorithmik III Algorithmen und Modelle für kontinuierliche Datenstrukturen
Algorithmik III Algorithmen und Modelle für kontinuierliche Datenstrukturen Rekonstruktion kontinuierlicher Daten Interpolation multivariater Daten Ulrich Rüde Lehrstuhl für Systemsimulation Sommersemester
Mehr3 Vektorräume abstrakt
Mathematik I für inf/swt Wintersemester / Seite 7 Vektorräume abstrakt Lineare Unabhängigkeit Definition: Sei V Vektorraum W V Dann heißt W := LH(W := Menge aller Linearkombinationen aus W die lineare
MehrEinführung in die numerische Mathematik
Prof. Dr. M. Günther K. Gausling, M.Sc. C. Hendricks, M.Sc. Sommersemester 014 Bergische Universität Wuppertal Fachbereich C Mathematik und Naturwissenschaften Angewandte Mathematik / Numerische Analysis
MehrPolynominterpolation mit Matlab.
Polynominterpolation mit Matlab. Die Matlab-Funktion polyfit a = polyfit(x,f,n-1); berechnet die Koeffizienten a = (a(1),a(2),...,a(n)); des Interpolationspolynoms p(x) = a(1)*x^(n-1) + a(2)*x^(n-2) +...
MehrVF-3: Es seien A R n n beliebig aber regulär, b R n und gesucht sei die Lösung x R n von A x = b.
NumaMB F14 Verständnisfragen-Teil (24 Punkte) Es gibt zu jeder der 12 Aufgaben vier Teilaufgaben. Diese sind mit wahr bzw. falsch zu kennzeichnen (hinschreiben). Bewertung: Vier Fragen richtig beantwortet
MehrNumerische Verfahren und Grundlagen der Analysis
Numerische Verfahren und Grundlagen der Analysis Rasa Steuding Hochschule RheinMain Wiesbaden Wintersemester 2011/12 R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 2011/12 1 / 20 Wiederholung: Fehlerbetrachtung.
MehrMathematik II für Studierende der Informatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2018
(Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2018 2. Juli 2018 1/1 Wir geben einige wesentliche Sätze über bestimmte Integrale an, deren Beweise man in den Standardlehrbüchern der Analysis findet.
MehrÜbungsblatt 3 Musterlösung
Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen MA4 - SS6 Übungsblatt Musterlösung Sei M,N N und f C M+N+ (B) eine komplexe Funktion, B eine kompakte Menge. Die Padé Approximation PN M (f)(x) ist die rationale
Mehr12.2 Gauß-Quadratur. Erinnerung: Mit der Newton-Cotes Quadratur. I n [f] = g i f(x i ) I[f] = f(x) dx
12.2 Gauß-Quadratur Erinnerung: Mit der Newton-Cotes Quadratur I n [f] = n g i f(x i ) I[f] = i=0 b a f(x) dx werden Polynome vom Grad n exakt integriert. Dabei sind die Knoten x i, 0 i n, äquidistant
MehrKurztest zur Numerik I WiR AG, Dep. Mathematik, NT-Fakultät, Universität Siegen
Kurztest zur Numerik I WiR AG, Dep. Mathematik, NT-Fakultät, Universität Siegen Wintersemester 2012/201 Zwischentest Teil 1: 1. Was bedeuten die Bezeichnungen O(h) und o(h)? (Definition) (siehe Skript!)
MehrLösungen zu Blatt 13 der Übungen zur Vorlesung Numerik, LMU München, Wintersemester 2016/2017
Lösungen zu Blatt 13 der Übungen zur Vorlesung Numerik, LMU München, Wintersemester 01/017 Peter Philip, Sabine Bögli. Januar 017 1. 10 Punkte) a) Betrachten Sie R mit der Maximumsnorm. Berechnen Sie die
MehrMusterlösungen zur Leistungsnachweisklausur vom Studiengang Informatik, Ingenieurinformatik, Lehramt
TU ILMENAU Institut für Mathematik Numerische Mathematik PD Dr. W. Neundorf Musterlösungen zur Leistungsnachweisklausur vom.0.006 Studiengang Informatik, Ingenieurinformatik, Lehramt 1. Lineare Algebra
MehrDiplom VP Numerik 27. August 2007
Diplom VP Numerik 27. August 2007 Multiple-Choice-Test 30 Punkte Bei jeder MC-Aufgabe ist mindestens eine Aussage korrekt. Wird dennoch bei einer MC-Aufgabe keine einzige Aussage angekreuzt, gilt diese
MehrModulprüfung Numerische Mathematik 1
Prof. Dr. Klaus Höllig 18. März 2011 Modulprüfung Numerische Mathematik 1 Lösungen Aufgabe 1 Geben Sie (ohne Beweis an, welche der folgenden Aussagen richtig und welche falsch sind. 1. Die Trapezregel
Mehr5 Interpolation und numerische Approximation
Numerik I 194 5 Interpolation und numerische Approximation 5.1 Polynominterpolation 5.2 Spline-Interpolation 5.3 Diskrete Fourier-Transformation 5.4 Schnelle Fourier-Transformation (FFT) 5.5 Eine Anwendung
MehrMusterlösung zum Übungsblatt Interpolation nach Newton, Nevill, Lagrange.
Angewandte Mathematik Ing.-Wiss., HTWdS Dipl.-Math. Dm. Ovrutskiy Musterlösung zum Übungsblatt Interpolation nach Newton, Nevill, Lagrange. Aufgabe 1 Approximieren Sie cos(x) auf [ /, /] an drei Stützstellen
Mehr3.6 Approximationstheorie
3.6 Approximationstheorie Bisher haben wir uns im Wesentlichen mit der Interpolation beschäftigt. Die Approximation ist weiter gefasst: wir suchen eine einfache Funktion p P (dabei ist der Funktionenraum
MehrMODULPRÜFUNG MODUL MA 1302 Einführung in die Numerik
................ Note Name Vorname 1 I II Matrikelnummer Studiengang (Hauptfach) Fachrichtung (Nebenfach) 2 Obige Angaben sind richtig: Unterschrift der Kandidatin/des Kandidaten 3 TECHNISCHE UNIVERSITÄT
MehrSpline-Räume - B-Spline-Basen
Spline-Räume - B-Spline-Basen René Janssens 4. November 2009 René Janssens () Spline-Räume - B-Spline-Basen 4. November 2009 1 / 56 Übersicht 1 Erster Abschnitt: Räume von Splinefunktionen Grundlegende
MehrNumerische Integration und Differentiation
Einführung Grundlagen Bemerkung (Numerische Mathematik) a) Im engeren Sinn: zahlenmäßige Auswertung mathematischer Zusammenhänge z B Lösung von linearen und nichtlinearen Gleichungssystemen Numerische
MehrAusgleichsproblem. Definition (1.0.3)
Ausgleichsproblem Definition (1.0.3) Gegeben sind n Wertepaare (x i, y i ), i = 1,..., n mit x i x j für i j. Gesucht ist eine stetige Funktion f, die die Wertepaare bestmöglich annähert, d.h. dass möglichst
Mehr2. Geben Sie für das Jacobi-Verfahren eine scharfe a-priori Abschätzung für den Fehler. x (10) x p
Wiederholungsaufgaben Algorithmische Mathematik Sommersemester Prof. Dr. Beuchler Markus Burkow Übungsaufgaben Aufgabe. (Jacobi-Verfahren) Gegeben sei das lineare Gleichungssystem Ax b = für A =, b = 3.
MehrLösung der Diplom-Vorprüfung Höhere Mathematik III/IV 6.8.005 1 Aufgabe N1 Gegeben seien A = 5-10 -5-10 8-10 -5-10 13 R 3 3 und b = a) Überprüfen Sie, ob die Matrix A positiv definit ist. b) Bestimmen
Mehrx, y 2 f(x)g(x) dµ(x). Es ist leicht nachzuprüfen, dass die x 2 setzen. Dann liefert (5.1) n=1 x ny n bzw. f, g = Ω
5. Hilberträume Definition 5.1. Sei H ein komplexer Vektorraum. Eine Abbildung, : H H C heißt Skalarprodukt (oder inneres Produkt) auf H, wenn für alle x, y, z H, α C 1) x, x 0 und x, x = 0 x = 0; ) x,
MehrBegleitmaterial zur Vorlesung Numerik II
Begleitmaterial zur Vorlesung Numerik II Andreas Meister Universität Kassel, AG Analysis und Angewandte Mathematik Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik II 1 / 35 Inhalte der Numerik
Mehr(c) Gegeben sei der zweidimensionale Raum L mit den Basisfunktionen. [ φ i, φ j ] 3 i,j=1 =
1. (a) i. Wann besitzt A R n n eine eindeutige LR-Zerlegung mit R invertierbar? ii. Definieren Sie die Konditionszahl κ(a) einer Matrix A bzgl. einer Norm.! iii. Welche Eigenschaften benötigt eine Matrix
MehrD-MAVT Lineare Algebra I HS 2018 Prof. Dr. N. Hungerbühler. Lösungen = A 4 3 6
D-MAVT Lineare Algebra I HS 28 Prof. Dr. N. Hungerbühler Lösungen. Gegeben seien die Matrizen A := ( 2 3 3 ), B := Welche der folgenden Aussagen sind richtig? (a) (AB) T = A T B T. 5 3 2 6 Die Formel (AB)
MehrWichtige Kenntnisse der Linearen Algebra
Wichtige Kenntnisse der Linearen Algebra In Kapitel 3 der Vorlesung werden wir sehen (und in Kapitel 6 vertiefen, dass zur Beschreibung von Quantensystemen mathematische Begriffe aus dem Gebiet der Linearen
MehrInterpolationsproblem. Interpolation. Interpolationsproblem. Interpolationsproblem. Gegeben seien eine Funktion. Φ (x; a 1,...
sproblem Heinrich Voss voss@tu-harburg.de Hamburg University of Technology Institute for Numerical Simulation Gegeben seien eine Funktion Φ (x; a 1,..., a n ) : R I R, die auf einem Intervall I erklärt
MehrInstitut für Geometrie und Praktische Mathematik
RWTH Aachen Institut für Geometrie und Praktische Mathematik Multiple-Choice-Test NumaMB F08 (30 Punkte) Bei jeder MC-Aufgabe ist mindestens eine Aussage korrekt. Wird dennoch bei einer MC-Aufgabe keine
MehrKAPITEL 10. Numerische Integration
KAPITEL 10. Numerische Integration 10.1 Einleitung Sei Es gilt I Ĩ = b I = b a a f(x) f(x) dx f(x) dx, Ĩ = b b a f(x) dx. a f(x) f(x) dx (b a) f f. I Ĩ I (b a) f f b a f(x) dx = ba f dx b a f(x) dx f f
MehrNumerische Mathematik für die Fachrichtung Informatik und für Ingenieurwesen SS 2005
UNIVERSITÄT KARLSRUHE TH Institut für Praktische Mathematik Prof. Dr. Rudolf Scherer Dil.-Math. Heike Stoll Numerische Mathematik für die Fachrichtung Informatik und für Ingenieurwesen SS 5 Lösung zum
MehrÜbungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2011/12 Blatt Aufgabe 25: Berechnen Sie den kritischen Punkt der Funktion
Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 11/1 Blatt 8 3.11.11 Aufgabe 5: Berechnen Sie den kritischen Punkt der Funktion fx, y 3x 5xy y + 3 und entscheiden Sie, ob ein Maximum, Minimum oder Sattelpunkt
MehrHTL Kapfenberg SPLINE Interpolation Seite 1 von 7.
HTL Kapfenberg SPLINE Interpolation Seite von 7 Roland Pichler roland.pichler@htl-kapfenberg.ac.at SPLINE Interpolation Mathematische / Fachliche Inhalte in Stichworten: Polynome, Gleichungssysteme, Differenzialrechnung
MehrK. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 11. Übung: Woche vom
Übungsaufgaben 11. Übung: Woche vom 9. 1.-13. 1. 2017 (Numerik): Heft Ü 1: 12.28.a,b; 12.29.b,c (jeweils mit Fehlerabschätzung); 6.26; 6.27.a (auch mit Lagrange-Interpolationspolynom); 6.25; 6.28 (auch
MehrName Vorname Fachrichtg. Matrikelnr. Punkte Klausur Aufgabe max. Punkte Punkte. Bitte beachten!
Fakultät für Mathematik Institut für Algebra und Geometrie Prof. Dr. Martin Henk, Dr. Michael Höding Modulprüfung Mathematik III Fachrichtung: Computer Science in Engineering, Computervisualistik, Informatik,
MehrInterpolation und Integration mit Polynomen
Interpolation und Integration mit Polynomen Philipp Andrea Zardo Universität Kassel 23. Februar 2006 / Kassel Outline 1 Einleitung Was ist numerische Mathematik? Die eulersche e-funktion Ein Wurzelalgorithmus
Mehr9. Parametrische Kurven und Flächen
9. Parametrische Kurven und Flächen Polylinien bzw. Polygone sind stückweise lineare Approximationen für Kurven bzw. Flächen Nachteile: hohe Zahl von Eckpunkten für genaue Repräsentation erforderlich interaktive
Mehr2. Klausur zu,,algorithmische Mathematik II
IAM/INS Sommersemester 2017 Andreas Eberle, André Uschmajew 2. Klausur zu,,algorithmische Mathematik II Bitte diese Felder in Druckschrift ausfüllen Name: Matrikelnr.: Vorname: Studiengang: Wichtige Hinweise:
Mehr3 Interpolation und Approximation
In dem ersten großen Kapitel beschäftigen wir uns mit der Frage, wie eine Reihe von Daten (z.b. aus physikalischen Messungen, experimentelle Beobachtungen, Börse, etc.) durch eine möglichst einfache Funktion
MehrInstitut für Geometrie und Praktische Mathematik
RWTH Aachen Verständnisfragen-Teil Institut für Geometrie und Praktische Mathematik 4 Punkte Es gibt zu jeder der Aufgaben vier Teilaufgaben. Diese sind mit bzw. zu kennzeichnen hinschreiben. Es müssen
MehrApl. Prof. Dr. N. Knarr Musterlösung , 120min
Apl. Prof. Dr. N. Knarr Musterlösung 4.3.25, 2min Aufgabe ( Punkte) Es sei S := {(x, y, z) R 3 z = x 2 + y 2, z 2}. (a) (6 Punkte) Berechnen Sie den Flächeninhalt von S. (b) (4 Punkte) Berechnen Sie die
MehrSpline-Interpolation
Spline-Interpolation Tim Schmölzer 20 November 2009 Tim Schmölzer Spline-Interpolation 20 November 2009 1 / 38 Übersicht 1 Vorbemerkungen 2 Lösbarkeit des Interpolationsproblems 3 Stabilität der Interpolation
MehrVF-3: Gegeben seien die Daten f(x 0 ), f(x 1 ),..., f(x n ) mit x 0,..., x n paarweise verschiedenen und
IGPM RWTH Aachen Verständnisfragen-Teil NumaMB F10 (24 Punkte) Es gibt zu jeder der 12 Aufgaben vier Aussagen Diese sind mit wahr bzw falsch zu kennzeichnen (hinschreiben) Es müssen alle Fragen mit wahr
MehrNachklausur am Donnerstag, den 7. August 2008
Nachklausur zur Vorlesung Numerische Mathematik (V2E2) Sommersemester 2008 Prof. Dr. Martin Rumpf Dr. Martin Lenz Dipl.-Math. Nadine Olischläger Nachklausur am Donnerstag, den 7. August 2008 Bearbeitungszeit:
Mehr