Was bisher geschah: klassische Aussagenlogik

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1 Was bisher geschah: klassische Aussagenlogik klassische Aussagenlogik: Syntax, Semantik Äquivalenz zwischen Formeln ϕ ψ gdw. Mod(ϕ) = Mod(ψ) wichtige Äquivalenzen, z.b. Doppelnegation-Eliminierung, DeMorgan-Gesetze, Distributivgesetze Junktorbasen, z.b. {,, }, {, }, {, }, {, } Normalformen: NNF, CNF, DNF 45

2 Weitere Junktoren zweistelliger Junktor NAND (Sheffer-Funktion, ) mit p NAND q (p q): W(p) W(q) W(p NAND q) W(p NAND q) = 1 min(w(p), W(q)) {NAND} ist eine Junktorbasis. zweistelliger Junktor NOR (Peirce-Funktion, ) mit p NOR q (p q): W(p) W(q) W(p NOR q) W(p NOR q) = 1 max(w(p), W(q)) {NOR} ist eine Junktorbasis. 46

3 Boolesche Funktionen und Schaltungen Ziel: technische Realisierung Boolescher Funktionen gegeben: Boolesche Funktion f : {0, 1} n {0, 1} Jede Boolesche Funktion kann durch unendlich viele aussagenlogische Formeln dargestellt werden. Entwurf einer aussagenlogischen Formel ϕ mit Semantik f. Spezifikation, Entwurf, Verifikation und Optimierung von Schaltungen finden auf logischer Ebene statt. 47

4 Logische Gatter Operation Junktor Gatter Negation Konjunktion Disjunktion NAND NOR Antivalenz XOR 1 & 1 & 1 = 1 48

5 Logik Junktoren Atome aussagenlogische Formeln Schaltungstechnik logische Gatter Eingänge Schaltungen Beispiel: ( p q) ( r q) Übersetzung Formelbaum Schaltung (Tafel) 49

6 Realisierung Boolescher Funktionen gegeben: Boolesche Funktion f : {0, 1} n {0, 1} gesucht: Realisierung von f als Schaltung Schritte zum Schaltungsentwuf: 1. Suche nach aussagenlogischer Formel ϕ mit Semantik f 2. Übersetzung von ϕ in eine Schaltung Beispiel: x 1 x 2 x 3 f (x 1, x 2, x 3 ) Formel ϕ = (x 2 x 3 ) (x 1 x 2 ) 50

7 Optimierungsmöglichkeiten Schaltungen mit möglichst wenigen Gattern (kleine Formeln) möglichst wenigen verschiedenen Gattertypen (Junktorbasen mit wenigen Elementen, z.b. NAND-Gatter) fester Struktur, z.b. Tiefe (Normalformen) technische Realisierung und Anwendungen in der Vorlesung Computerarchitektur und -peripherie 51

8 Schaltungsentwurf gegeben: Boolesche Funktion f : {0, 1} n {0, 1} Zu jeder Booleschen Funktion f : {0, 1} n {0, 1} exisitieren unendlich viele Formeln ϕ AL({x 1,..., x n }) mit Semantik f. Normalformen DNF, CNF entsprechen zweistufigen Schaltnetzen. Umwandlung DNF in NAND-Form: 1. doppelte Negation der DNF, 2. Anwendung der demorgan-regel (CNF in NOR-Form analog) Vorteile der Normalformen: DNF und CNF: geringe Tiefe der Schaltung, daher kurze Signalwege NAND-Form: nur Gatter eines Typs 52

9 Kanonische Normalformen CNF n i=1 ϕ i heißt kanonisch gdw. in jeder Disjunktion ϕ i jede Aussagenvariable genau einmal vorkommt. DNF n i=1 ϕ i heißt kanonisch gdw. in jeder Konjunktion ϕ i jede Aussagenvariable vorkommt. Minterme : Konjunktionen in einer kanonischen DNF Maxterme : Disjunktionen in einer kanonischen CNF Satz Zu jeder Formel ϕ AL(P) existieren (bis auf Umordnung) eindeutige Formeln ϕ 1, ϕ 2 AL(P) mit ϕ ϕ 1 ϕ 2, wobei ϕ 1 in kanonischer CNF und ϕ 2 in kanonischer DNF. Die kanonischen CNF und DNF einer Formel ϕ lassen sich aus der Wahrheitswerttabelle der Formel ϕ ablesen. 53

10 Minimale CNF und DNF Wiederholung: varcount(ϕ) = Anzahl aller Variablenvorkommen in der Formel ϕ Eine DNF (oder CNF) ϕ heißt genau dann minimal, wenn für jede zu ϕ äquivalente DNF (oder CNF) ψ gilt: varcount(ϕ) varcount(ψ) Zu einer Formel können verschiedene äquivalente minimale DNF existieren. Beispiel: (a b) ( a (b c)) = (a b) ( a b) ( a c) = (a b) ( a b) ( b c) 54

11 NF-Minimierungsprobleme DNF-Minimierungsproblem: gegeben: Boolesche Funktion f : {0, 1} n {0, 1} (als Wertetabelle oder kanonische DNF ϕ) gesucht: minimale DNF ψ mit Semantik f (ϕ ψ) CNF-Minimierungsproblem: gegeben: Boolesche Funktion f : {0, 1} n {0, 1} (als Wertetabelle oder kanonische CNF ϕ) gesucht: minimale CNF ψ mit Semantik f (ϕ ψ) naiver Lösungsansatz: alle DNF / CNF mit weniger Variablenvorkommen testen theoretisch möglich, aber nicht sinnvoll (Zeitaufwand) 55

12 Minimierungsverfahren Idee Fakt Für alle p P und ψ AL(P) gilt 1. (p ψ) ( p ψ) ψ, 2. (p ψ) ( p ψ) ψ. Idee zur Minimierung: Umformung der DNF / CNF durch (evtl. mehrfache) Anwendung dieses Faktes. Beispiele: minimale äquivalente DNF zu (a b c) (a b c) ( a b c) ( a b c) minimale äquivalente CNF zu 56

13 Karnaugh-Veitch Diagramme KV-Diagramm einer Booleschen Funktion f : {0, 1} n {0, 1} (kanonische DNF ϕ): Wertetabelle in einer geeigneten Anordnung (benachbarte Zellen unterscheiden sich in der Belegung genau einer Aussagenvariable) zweidimensionale Darstellung der Menge {0, 1} n (Ecken eines n-dimensionalen Würfels) für n > 5 unübersichtlich Beispiele: ϕ 1 = ( a b) (a b) ( a b) ϕ 2 = ( a b c) (a c) (a b c) Idee: Zusammenfassen von benachbarten Zellen (Teilwürfel der Größe 2 k ) mit 1-Einträgen im KV-Diagramm zu einem Block, der sich durch eine Konjunktion von Literalen beschreiben lässt 57

14 Karnaugh-Veitch-Verfahren (KV) Ziel: Überdeckung der Zellen im KV-Diagramm durch (rechteckige) Blöcke mit Seitenlängen 2 n, wobei jede Zelle mit Inhalt 1 überdeckt, keine Zelle mit Inhalt 0 überdeckt, möglichst wenige möglichst große Blöcke, Mehrfachüberdeckungen möglich Jeder Block wird durch eine Konjunktion von Literalen dargestellt minimierte DNF: Disjunktion von Blöcken (geeignete Auswahl) Ergebnis abhängig von der Wahl der Blöcke keine eindeutige minimierte DNF 58

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