Übungen zur Vorlesung PN1 Lösung zu Blatt 5

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1 Aufgabe 1: Geostationärer Satellit Übungen zur Vorlesung PN1 Lösung zu Blatt 5 Ein geostationärer Satellit zeichnet sich dadurch aus, dass er eine Umlaufdauer von einem Tag besitzt und sich folglich seine relative Position über dem Boden nicht ändert. a) Berechnen Sie die Höhe über der Erdoberäche, in der sich diese Satelliten benden. Welche Bahngeschwindigkeit haben sie? Zentripetalkraft: F Z = m S ω 2 r Gravitationskraft:F G = Gm Em S r 2 r E = 6, m 11 Nm2 G = 6, kg 2 ω = 2π T = 72, s ( GmE F Z = F G m S ω 2 r = Gm Em S r 2 r = Höhe: h = r r E = 35, m Geschwindigkeit: v = rω = 3, m s ω 2 ) 1 3 = 42, m b) Wie groÿ ist die minimal mögliche Zeit, mit der ein Satellit (nicht geostationär) die Erde umrunden kann? Welche Geschwindigkeit hat er dann? Vernachlässigen Sie hierbei Reibungseekte zwischen Satellit und Atmosphäre. r = r E Gm E ω E = = 1, re 3 s v = r E ω E = 7, m s T = 2π ω E = 1, 4h

2 c) Die gleichförmige Rotation lässt sich beschreiben durch den Ortsvektor r = ( cos(ωt) sin(ωt)). Zeigen sie allgemein mit Hilfe des Skalarprodukts, dass der Geschwindigkeitsvektor v = d r immer senkrecht zum Radius steht. dt Aufgabe 2: Senkrechter Wurf v(t) = d ( ) ( ) r sin(ωt)ω sin(ωt) dt r(t) = = rω r cos(ωt)ω cos(ωt) r(t) v(t) = r 2 ω[cos(ωt) sin(ωt) sin(ωt) cos(ωt)] = 0 Ein Ball wird senkrecht nach oben geworfen. a) Leiten sie aus den Bewegungsgleichungen einen allgemeinen Ausdruck für die maximale Steighöhe des Balls h in Abhängigkeit der Abwurfgeschwindigkeit v 0 und der Erdbeschleunigung g her. (Tipp: Welche Geschwindigkeit hat der Ball am höchsten Punkt?) Am höchsten Punkt gilt: v = 0 v = at + v 0 0 = gt + v 0 gt = v 0 t = v 0 g h = 1 2 gt2 + v 0 t + h 0 = 1 2 g v2 0 g + v v g = v2 0 2g + v2 0 g = 2v2 0 v0 2 2g = 1 v0 2 2 g b) Der Ball iegt 8 m hoch. Mit welcher Geschwindigkeit wurde er abgeworfen? Wie lang braucht er bis zum obersten Punkt? h = v2 0 g v 0 = 2hg = 2 8m 9, 81 m s 12, 53m 2 s t = v 0 g = 12, 53 m s 9, 81 m s 2 = 1, 28s c) Wie lange braucht der Ball zum Herunterfallen auf den Boden und mit welcher Geschwindigkeit schlägt er auf, wenn der Werfer 1,5 m groÿ ist? h = 1 2 gt2 + v 0 t + h 0 0 = 1 2 gt2 + h 0 t = 2h 0 g = 2 9, 5m 9, 81 m s 2 = 1, 39s

3 Aufgabe 3: Corioliskraft v = gt = 13, 64 m s Der allgemeine Ausdruck für die Corioliskraft in einem mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω rotierenden System ist F C = 2m( v ω) F C = 2m v ω sin α = 2mvω sin α Dabei ist v die Geschwindigkeit im rotierenden System, ω = 2π T Umdrehung und α der Winkel zwischen v und ω, T die Dauer einer Ein Zug (Masse t) fährt mit 180 km/h in Mainz (50 nördliche Breite) von Norden nach Süden a) Fertigen sie eine Skizze ( Erde, ω, Breitengrad, v und α. b) Wie groÿ ist der Betrag der Corioliskraft?

4 F = 2mvω sin α = kg 180 m 3, 6 s 2π 24h sin 50 5, N c) In welche Himmelsrichtung wirkt die Corioliskraft, d.h. in welche Richtung würde der Zug ohne Gegenkraft der Schienen ausgelenkt? (Tipp: Rechte-Hand-Regel) Rechte-Hand-Regel (Kreuzprodukt): Daumen in Richtung v bzw v, Zeigenger in Richtung ω F C Richtung Westen. d) In welche Richtung wird ein Ball abgelenkt, den man am Äquator fallen lässt? Was passiert am Nordpol? Äquator: Ablenkung nach Osten Nordpol: Keine Ablenkung ( v parallel zu ω Kreuzprodukt verschwindet) Aufgabe 4: Haft-und Gleitreibung Ein Block der Masse m 1 = 4 kg liegt auf einer Rampe, welche einen Winkel von 30 gegen die Horizontale aufweist. Der Block ist mit einem Seil (Masse soll vernachlässigt werden) über eine Umlenkrolle mit einem weiteren Block der Masse m 2 verbunden. a) Zunächst werde die Reibung vernachlässigt. Berechnen Sie die Kraft, mit der der auf der Rampe liegende Block tangential zur schiefen Ebene hinunter beschleunigt wird, wenn m 2 = 0 ist. Nach welcher Zeit hat der Block einen Weg von 1m zurückgelegt? Wir groÿ müsste m 2 sein, damit sich der Block nicht mehr bewegt?

5 Hangabtriebskraft:F G1 x = m 1 a x = F G1 sin(α) = m 1 g sin(α) = 19, 6N a x = F G 1 x m 1 = m 1g sin(α) m 1 = g sin(α) 4, 9 m s x = 1 2x 2 at2 t = 0, 63s a F G1 x = F G2 m 1 g sin α = m 2 g m 2 = m 1 sin α = 2kg b) Wie groÿ muss der Haftreibungskoezient µ H sein, damit ein auf die Rampe gelegter Block unter der Bedingung m 2 = 0 nicht von selbst hinabgleitet? Haftreibungskraft:F RH = µ RH F N = µ RH F Gy = µ RN F G cos α = µ RH mg cos α F Gx = F RN mg sin α = µ RH mg cos α µ RH = sin α cos α = tan α 0, 58 c) Der Gleitreibungskoezient µ G betrage nun 0, 1. Wie groÿ darf m 2 höchstens sein, damit der Block nach kurzem Anstoÿen die Rampe noch hinuntergleitet? Hangabtriebskraft=Reibungskraft+Gewichtskraft von m 2 F G1 x = µ G F N + F G2 m 1 g sin α = µ G m 1 g cos α + m 2 g m 2 = m 1 sin α µ G m 1 cos α = m 1 (sin α µ G cos α) 1, 65kg