TM I. Aufgabe 1.1. Aufgabe 1.2. Gegeben sind die Spaltenvektoren. a = 1. , b = 6 7. , d = , c = c z. Man berechne. a) die Summe a + b,

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1 TM I Aufgabe 1.1 Gegeben sind die Spaltenvektoren 3 2 a = 1, b = 6 7 Man berechne a) die Summe a + b, 2 b) das Skalarprodukt a b,, c = 3 5 c) die Koordinate c z für den Fall, dass a c ist, d) das Kreuzprodukt a b, c z, d = e) das Spatprodukt ( a b c ), wenn c z = 4 gesetzt wird, f) die Beträge von a und d Aufgabe 1.2 Für ein beliebiges Dreieck, gegeben durch die Seiten a und b sowie den von diesen eingeschlossenen Winkel γ, läßt sich die dritte Seite bekanntlich nach dem Cosinus- Satz c 2 = a 2 + b 2 2 ab cosγ berechnen. Man leite diesen entsprechend c 2 = c 2 = c c =... auf vektoriellem Wege her.

2 2 Aufgaben zur Technischen Mechanik I (V 1.2) Prof. Dr.-Ing. F. Mestemacher Aufgabe 1.3 Welchen Bedingungen müssen die Vektoren u und v genügen, damit sie die Relationen a) u + v > u v, b) u + v = u v, c) u + v < u v, erfüllen (Herleitung)? Aufgabe 1.4 Betrachtet wird eine (schiefe) Ebene im 3. Diese sei durch den Normaleneinheitsvektor n sowie den Punkt P mit Ortsvektor r P festgelegt. Gesucht wird eine Gleichung vom Typ z = f(x, y), welche die Ebene mithilfe von kartesischen Koordinaten beschreibt. Es sei n = , r 3 P = Aufgabe 1.5 Im 2 seien die Eckpunkte A, B, C eines Dreiecks durch die Ortsvektoren ( ) 0 ( ) 6 ( ) 4 a = 1, b = 0, c = 5 gegeben. Gesucht ist die Fläche des Dreiecks.

3 Aufgaben zur Technischen Mechanik I (V 1.2) Prof. Dr.-Ing. F. Mestemacher 3 Aufgabe 2.1 Auf einen Leitungsmast wirken vier Kräfte F 1, F 2, F 3 und F 4 in der horizontalen Ebene: Gesucht ist die auf den Mast wirkende resultierende Kraft nach Betrag und Richtung. Aufgabe 2.2 Ein Schiff wird von drei Schleppern gezogen. Schlepper 1 und 2 ziehen mit der Kraft F 1 = 8,78kN bzw. F 2 = 7,93kN. Mit welcher Kraft F 3 und welchem Winkel α muss Schlepper 3 ziehen, damit am Schiff eine resultierende Kraft R = 15 kn in x-richtung wirkt? Aufgabe 2.3 Am Lasthaken eines Krans ziehen zwei Seile mit den Kräften F 1 = 7,8kN und F 2 = 10,2kN. Die zugehörigen Winkel betragen α = 30 und β = 50.

4 4 Aufgaben zur Technischen Mechanik I (V 1.2) Prof. Dr.-Ing. F. Mestemacher a) Welchen Betrag hat die auf den Haken ausgeübte Zugkraft? b) Wirkt diese in lotrechter Richtung? Aufgabe 2.4 Eine Last Q = 12 kn soll durch ein Seil gehalten werden, dessen Tragfähigkeit mit 25kN angegeben wird. Wie groß darf der Winkel α sein, damit das Seil nicht reißt? Aufgabe 2.5 Eine Lampe der Eigengewichtskraft G = 120 N soll an zwei Seilen 1 und 2 so aufgehängt werden, dass die Maße a = h = 2,20m eingehalten werden, und die Kraft im Seil 1 den Wert S 1 = 100 N annimmt. Wie groß ist l?

5 Aufgaben zur Technischen Mechanik I (V 1.2) Prof. Dr.-Ing. F. Mestemacher 5 Aufgabe 3.1 Zwei Kräfte F 1 = 15 N und F 2 = 30 N liegen in der x, y-ebene und greifen an den Punkten ( ) ( ) ( ) ( ) x1 1,7 x2 3,9 = m und = m y 1 3,2 y 2 2,5 an. Man berechne das resultierende Moment, wenn beide Kräfte im Ursprung 0 zusammengefaßt werden sollen. Aufgabe 3.2 Die an einem Rahmen angreifenden Kräfte F 1 = F 2 = F und F 3 = 2F sind im Punkt P zusammenzufassen. Wie groß ist das resultierende Moment? Aufgabe 3.3 Die an einem Rahmen unter dem Winkel α angreifende Kraft ist in den Punkt A zu verschieben. Welches Moment entsteht dabei?

6 6 Aufgaben zur Technischen Mechanik I (V 1.2) Prof. Dr.-Ing. F. Mestemacher Aufgabe 3.4 Welches Moment erzeugen die Kräfte F 1, F 2, F 3 bezüglich Punkt P Aufgabe 3.5 An einem Quader greifen die Kräfte F 1 = F 3 = F, F 2 = F 4 = 3F und F 5 = F in der gezeigten Weise an. Die angreifenden Kräfte sind im Ursprung 0 sowie im Punkt P zusammmenzufassen. Man berechne (jeweils) den resultierenden Kraftvektor und den zugehörigen Momentenvektor. Aufgabe 3.6 Ein Radfahrer übt auf die Tretkurbel seines Fahrrades die Kraft F aus. Dabei wird eine gleichförmige (d. h. unbeschleunigte) Bewegung vorausgesetzt, so daß das Problem als (quasi-)statisch angesehen werden kann. Gesucht ist a) das Moment M Tret an der Tretkurbelwelle, b) die Zugkraft Z in der Kette, c) das auf das Hinterrad wirkende Moment M HR,

7 Aufgaben zur Technischen Mechanik I (V 1.2) Prof. Dr.-Ing. F. Mestemacher 7 d) die Vortriebskraft F Vor. gegeben: F, d 1, d 2, l 1, l 2 Aufgabe 3.7 Ein Kragbalken wird durch die Kräfte F 1 = 2F und F 2 = 3F wie folgt belastet: Gesucht sind alle Lagerreaktionen in Lager A. gegeben: F, l Aufgabe 3.8 Mit einem Hakenschlüssel soll auf eine Wellenmutter das Moment F l aufgebracht werden. Welche Reaktionskräfte treten an den Stellen A und B auf? Die Berührung in B sei als reibungsfrei betrachtet. gegeben: F, d, l Aufgabe 3.9 Ein Güterwagen steht auf einer Rampe an einem (gut gefetteten) Prellbock. Welche

8 8 Aufgaben zur Technischen Mechanik I (V 1.2) Prof. Dr.-Ing. F. Mestemacher Kräfte wirken auf Räder und Puffer? gegeben: G, h, l, α Aufgabe 3.10 Für das folgende System berechne man die Lagerreaktionen an den Lagern A und B sowie die Zwischenreaktionen am Gelenk G: gegeben: F, a Aufgabe 3.11 Für das folgende System berechne man die Lagerreaktionen an den Lagern A und B sowie die Zwischenreaktionen am Gelenk G: gegeben: F, a

9 Aufgaben zur Technischen Mechanik I (V 1.2) Prof. Dr.-Ing. F. Mestemacher 9 Aufgabe 3.12 Eine in A drehbare Falltür mit Eigengewichtskraft G und Länge l wird durch ein Seil gehalten. Man ermittle die Seilkraft S in Abhängigkeit des Winkels α, d.h. S = S(α). Aufgabe 3.13 Für das folgende System berechne man die Lagerreaktionen in A, B und C sowie die Stabkraft S. gegeben: F, l, α Aufgabe 3.14 Die gezeigte Robervalsche Waage ist gewissermaßen die Basiskonstruktion aller Kaufmannswaagen, die nach dem Abgleichprinzip funktionieren.

10 10 Aufgaben zur Technischen Mechanik I (V 1.2) Prof. Dr.-Ing. F. Mestemacher Es seien die Masse m G des aufgelegten Gewichtes sowie die Längen a, b, s W, s G gegeben. Zu berechnen sind sämtliche Lager- und Zwischenreaktionen sowie die Masse des Wägegutes m W. In der Praxis sind aber die Längen s W und s G für gewöhnlich nicht bekannt, und es muß allgemein von s W s G ausgegangen werden. Warum läßt sich diese Konstruktion aber dennoch als Waage verwenden? Aufgabe 3.15 Auf den dargestellten Grubenausbau wirken vier Einzelkräfte F 1 = F 4 = 15 kn, F 2 = 40 kn, F 3 = 50 kn. Es ist a = 1,2 m. Man berechne die Lager- und Gelenkreaktionen. Aufgabe 3.16 Gegeben ist die folgende Brückenkonstruktion: Man berechne Lager- und Stabkräfte für gegebenes F, a.

11 Aufgaben zur Technischen Mechanik I (V 1.2) Prof. Dr.-Ing. F. Mestemacher 11 Aufgabe 3.17 Man ermittle Lager- und Stabkräfte für das nachfolgend gezeigte Fachwerk. Alle Stäbe haben die Länge a. Hinweis: sin[60 ] = 3 2, cos[60 ] = 1 2

12 12 Aufgaben zur Technischen Mechanik I (V 1.2) Prof. Dr.-Ing. F. Mestemacher Aufgabe 4.1 Ein umklappbares Stauwehr (Höhe h, Breite b, Masse m) wird von einem Stab (Eigengewicht vernachlässigbar) gestützt. Man berechne die Lagerreaktionen an A sowie die Stabkraft S. Aufgabe 4.2 Ein Balken auf zwei Stützen mit Festlager bei x = 0 und Loslager bei x = l wird durch die Streckenlast [ ( x ) 4 ( x ) 3 ( x ) 2 ( x ) ] q(x) = q 0 a 4 + a3 + a2 + a1 + a 0, x [0, l ] l l l l belastet. Man berechne die Lagerreaktionen sowie den Schwerpunkt der Streckenlast. gegeben: q 0 = 20 N/m, l = 12 m a 0 = 30, a 1 = 53, a 2 = 200, a 3 = 177, a 4 = 26 q N m x m Aufgabe 4.3 Auf einem Speicherboden sei die Flächenlast durch p(x, y) = p 1 cos [a x ] l + b sin [c y ] L + d + p 0 für x [0, l], y [0, L] auf der Rechteckfläche A = l L gegeben. Man berechne die Gesamtlast sowie die Lage des Schwerpunktes.

13 Aufgaben zur Technischen Mechanik I (V 1.2) Prof. Dr.-Ing. F. Mestemacher 13 gegeben: p 0 = 10 kn/m 2, p 1 = 3 kn/m 2, l = 20 m, L = 30 m a = 3, b = 1, c = 3,6, d = 1 p kn m^ y m 10 x m Aufgabe 4.4 Für den gegebenen Querschnitt berechne man die Koordinate y S des Flächenschwerpunktes. gegeben: a, b, c, d Aufgabe 4.5 Für den gegebenen Querschnitt berechne man die Koordinate x S des Flächenschwerpunktes.

14 14 Aufgaben zur Technischen Mechanik I (V 1.2) Prof. Dr.-Ing. F. Mestemacher (Die Längenangaben sind wie in techn. Zeichnungen üblich in mm gegeben.) Aufgabe 4.6 Man berechne die Lage des Schwerpunktes für den gezeigten Körper, welcher bereichsweise aus Stahl(St) bzw. Aluminium(Al) zusammengesetzt ist. gegeben: St = 7, kg/m 3, Al = 2, kg/m 3 Aufgabe 4.7 Man berechne die Schwerpunktskoordinate z S für gezeigte Halbkugel:

15 Aufgaben zur Technischen Mechanik I (V 1.2) Prof. Dr.-Ing. F. Mestemacher 15 Aufgabe 5.1 Der am Seil hängende Körper K 3 hat die Gewichtskraft G. Demgegenüber seien die Gewichtskräfte von K 1 und K 2 vernachlässigbar. Welchen Wert muß der Haftungskoeffizient µ 0 für gebenes α mindestens aufweisen, damit Gleichgewicht herrscht? Aufgabe 5.2 Ein PKW steht mit angezogener Handbremse auf einer schiefen Ebene mit 30% Gefälle. Wie groß muß der Haftungskoeffizient µ 0 sein, damit der Wagen nicht ins Rutschen kommt? Die Handbremse wirkt dabei wie allgemein üblich auf die Hinterräder. Ab welchen Winkel α erfolgt (theoretisch) die Rolle rückwärts? Wie groß müßte µ 0 dazu sein? Ist das ein realistischer Wert? gegeben: G = 7,5 kn, a = 2,2 m, b = 1,6 m, h = 0,7 m

16 16 Aufgaben zur Technischen Mechanik I (V 1.2) Prof. Dr.-Ing. F. Mestemacher Aufgabe 5.3 Wie weit (l =?) kann ein Mann der Gewichtskraft G die demgegenüber praktisch gewichtslose Leiter hinaufsteigen? Welchen Einfluß hat die Gewichtskraft G auf das Ergebnis? gegeben: G, L, α, µ 0,1, µ 0,2 Aufgabe 5.4 Zwei Klötze mit jeweils der Gewichtskraft G sind in der gezeigten Weise über ein (näherungsweise) gewichtsloses Seil miteinander verbunden: Bis zu welchem Winkel α bleiben die beiden Klötze in Ruhe? gegeben: G, µ 0

17 Aufgaben zur Technischen Mechanik I (V 1.2) Prof. Dr.-Ing. F. Mestemacher 17 Aufgabe 5.5 Gegeben sei folgende Bremskonstruktion: a) Man ermittle das Bremsmoment bei Rechts- und Linkslauf. b) Wie ist das Maß b zu wählen, damit das Bremsmoment für beide Drehrichtungen gleich groß ist (Begründung)? c) Für welches Maß b frißt sich die Bremse fest? Bei welcher Drehrichtung tritt das auf? gegeben: F, l, a, b, d, µ Aufgabe 5.6 Ein Zugmittelgetriebe mit Flachriemen überträgt im Arbeitstrum die Kraft A = 890 N. Der Umschlingungswinkel ist mit α = 160 angegeben; der Haftungskoeffizient beträgt µ 0 = 0,3. a) Für den Grenzfall der Haftung berechne man die Kraft L im Leertrum. b) Die Kraft im Arbeitstrum wird auf A = 1100 N erhöht. Die Kraft L im Leertrum soll hingegen gleich bleiben. Auf welchen Wert α muß der Umschlingungswinkel nun mithilfe der Spannrolle gebracht werden?

18 18 Aufgaben zur Technischen Mechanik I (V 1.2) Prof. Dr.-Ing. F. Mestemacher Aufgabe 5.7 Bei einer Feuerwehrübung wird eine Person (Masse m) abgeseilt. Das Seil läuft dabei in der gezeigten Weise um ein Geländer: Mit welcher Kraft F muß am anderen Seilende gegengehalten werden, wenn der Vorgang mit konstanter Geschwindigkeit erfolgen soll? gegeben: m, µ Aufgabe 5.8 Man ermittle das maximale Moment (M R ) max bzw. (M L ) max, das mit der gezeigten Bandbremse gehalten werden kann. In welchem Verhältnis stehen (M R ) max und (M L ) max? gegeben: F, l, r, µ 0 = 0,4

19 Aufgaben zur Technischen Mechanik I (V 1.2) Prof. Dr.-Ing. F. Mestemacher 19 Aufgabe 5.9 Betrachtet sei die nachfolgend dargestellte Bandbremse: a) Man ermittle das Bremsmoment bei Rechts- und Linkslauf. b) Welche Bedingung muß gelten, damit das Bremsmoment für beide Drehrichtungen gleich groß ist? c) Kann sich diese Bremse festfressen? gegeben: F, l, a, b, d, µ

20 20 Aufgaben zur Technischen Mechanik I (V 1.2) Prof. Dr.-Ing. F. Mestemacher Aufgabe 6.1 Für das folgende System die Normalkraft in den drei Stäben zu berechnen. gegeben: m 1, m 2, l 1, l 2, l 3, α Aufgabe 6.2 Für die folgenden Rahmentragwerke sind die Schnittgrößen zu ermitteln und graphisch darzustellen. a) b) gegeben: F, l

21 Aufgaben zur Technischen Mechanik I (V 1.2) Prof. Dr.-Ing. F. Mestemacher 21 Aufgabe 6.3 Man bestimme die Schnittgrößen für die folgenden Systeme: a) gegeben: F, l, α b) gegeben: q 0, l c) gegeben: q 0, l d) gegeben: q 0, l