Minimal spannende Bäume

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1 Minimal spannende Bäume Ronny Harbich 4. Mai 006 (geändert 19. August 006)

2 Vorwort Ich danke Patrick Bahr und meinem Bruder Steffen Harbich für die Unterstützung bei dieser Arbeit. Sie haben sowohl zu inhaltlichen, als auch zu rechtschreiblichen und grammatikalischen Verbesserungen beigetragen. Ebenfalls bedanke ich mich hiermit bei Anke Szofer für das schnelle Korrekturlesen. Für etwaige Kritik an wäre ich dem Leser sehr dankbar.

3 Inhaltsverzeichnis 1 Ungerichtete Graphen Definition Wege Untergraphen Kantengewichtete Graphen Bäume 6.1 Definition und Eigenschaften Minimal spannende Bäume Algorithmen zur Bestimmung minimal spannender Bäume

4 1 UNGERICHTETE GRAPHEN 3 1 Ungerichtete Graphen 1.1 Definition Zu Beginn führen wir den wichtigen Begriff des ungerichteten Graphen ein. Definition 1.1. Ein ungerichteter Graph G ist eine algebraische Struktur G = (V, E), wobei V eine endliche nicht leere Menge und E mit E V V eine symmetrische Relation auf V ist ( x, y V : xey yex). Wir bezeichnen V als Menge von Knoten (vertices) und E als Menge von Kanten (edges). Wir meinen im Folgenden stets einen ungerichteten Graphen, wenn wir von einem Graphen sprechen. Außerdem werden wir die Elemente aus V als Knoten und die Mengen der Form {(x, y), (y, x)} beziehungsweise {(z, z)} mit (x, y), (y, x), (z, z) E als Kanten bezeichnen. Weiterhin nennen wir Kanten der Form (x, x) E Schlingen. Sollte ein Graph keine Schlingen haben, also die Menge der Kanten E irreflexiv ( x V : xex) sein, so heißt dieser schlicht. Beispiel 1.1. Die Abbildung 1.1 veranschaulicht den Graphen G 1 = (V 1, E 1 ) = ({v 1, v,,, v 5 }, {(v 1, v ), (v, v 1 ), (v 1, ), (, v 1 ), (v, ), (, v ), (, ), (, ), (, )}). Abbildung 1.1: Der Graph G 1. Wir bemerken, dass es sich bei der Kante e 5 um eine Schlinge handelt. Natürlich ist G 1 somit kein schlichter Graph. Außerdem erkennen wir mit dem Knoten v 5, dass Knoten existieren können, die nicht in einer Kante präsent sind. Als Nächstes fragen wir uns, wie viele Kanten es in einem Graphen geben kann und halten die Antwort im folgendem Lemma fest. Lemma 1.1. Die Menge der Kanten E eines Graphen G = (V, E) ist nur endlich. Beweis: Sei G = (V, E) ein Graph. Dann ist die Menge V nach Definition 1.1 endlich. Somit ist auch V V mit V V = V endlich. Da nach Definition E V V ist, folgt E V V, was uns die Endlichkeit von E zeigt.

5 1 UNGERICHTETE GRAPHEN 4 1. Wege Eine der wichtigsten Fragen in einem Graphen ist eine nach einem Weg zwischen zwei Knoten. Was genau wir unter einem Weg zu verstehen haben und wie wir entscheiden, ob es einen Weg zwischen zwei Knoten gibt, zeigen wir im Nachstehenden. Definition 1.. Ein Weg w V n in einem Graphen G = (V, E) zwischen zwei Knoten x, y V ist ein n-tupel w = (x 1, x,..., x n ) mit x 1 = x, x n = y und n, n N genau dann, wenn (x i, x i+1 ) E mit 1 i n 1, i N gilt 1. Wir nennen x Anfangs- und y Endknoten des Weges w. Um nun zu entscheiden, ob w tatsächlich ein Weg in einem Graphen G ist, definieren wir induktiv die Menge W (G) aller Wege von G wie folgt. Definition 1.3. Sei G = (V, E) ein Graph. 1. Jede Kante aus E ist ein Weg: (x, y) E : (x, y) W (G). Seien (x,..., y) und (u,..., v) bereits Wege, also (x,..., y), (u,..., v) W (G), dann.1 ist (x,..., y,... v), wenn y = u gilt, auch ein Weg ((x,..., y,... v) W (G)).. ist (x,..., y, u,... v), falls (y, u) E, ein Weg ((x,..., y, u,... v) W (G)). 3. Mehr Wege gibt es nicht. Wir bezeichnen einen Weg (x 1, x,..., x n ) W (G) als Kreis, wenn Anfangs- und Endknoten mit x 1 = x n gleich sind und x i x j mit i j und i, j {k 1 k n 1, k N} gilt. Einen Graphen G, der keine Kreise enthält, nennen wir kreisfrei ( x V : (x 1, x,..., x n ) W (G) : x 1 = x n = x x i x j i j i, j {k 1 k n 1, k N}). Lemma 1.. Wenn ein Graph kreisfrei ist, dann ist er auch schlicht. Beweis: Graphen. Lemma 1. folgt direkt aus der Definition von Kreisfreiheit und Schlichtheit eines Darüber hinaus heißt ein Graph G = (V, E) zusammenhängend, wenn zwischen je zwei unterschiedlichen Knoten x und y aus V ein Weg (x,..., y) aus W (G) existiert, also gilt. x, y V : x y (x,..., y) W (G) Beispiel 1.. Die Abbildung 1. zeigt den Graphen G 1 aus Beispiel 1.1. In dieser Abbildung ist der Weg (v 1, v, ) W (G 1 ) zwischen den Knoten v 1 und rot markiert worden. Überdies erkennen wir einen in grün dargestellten Kreis (, ) W (G 1 ). 1 Mit N meinen wir stets die natürlichen Zahlen ohne 0.

6 1 UNGERICHTETE GRAPHEN 5 G v v 1 v 5 Abbildung 1.: Graph aus Beispiel 1.1 mit rotem Weg und grünem Kreis. An diesem Beispiel stellen wir auch fest, dass es nicht nur einen Weg zwischen zwei Knoten geben muss. So existiert etwa zwischen v 1 und neben dem bereits genannten Weg noch ein weiterer Weg (v 1, ) W (G 1 ). Zudem erkennen wir noch einen Kreis (v 1, v,, v 1 ) W (G 1 ) im Graphen G 1. Schließlich bemerken wir, dass G 1 = (V 1, E 1 ) im Gegensatz zu (V 1 \ {v 5 }, E 1 ) kein zusammenhängender Graph ist. 1.3 Untergraphen Wie man aus Beispiel 1. vielleicht schon bemerkt haben könnte, gibt es zu einem beliebigen Graphen Graphen, die gewissermaßen nur durch einige Teile dieser Graphen aufgebaut sind. Was genau wir unter solchen Untergraphen zu verstehen haben, zeigt die nachfolgende Definition. Definition 1.4. Wir bezeichnen einen Graphen G G = (V, E), wenn V V und E E gelten. = ( V, E ) als Untergraphen des Graphen Sollte für einen Untergraphen G = ( ) V, E des Graphen G = (V, E) die Aussage V = V gelten, so heißt G spannend. In diesem Sinne ist G 1 = (V 1 \ {v 5 }, E 1 ) aus Beispiel 1. ein Untergraph von G 1 = (V 1, E 1 ) aber kein spannender. Satz 1.1. Es gibt nur endlich viele Untergraphen in einem Graphen. Beweis: Sei G = (V, E) ein Graph und G = ( ) V, E ein Untergraph von G. Dann gilt nach Definition 1.4 V V und E E und somit auch V V und E E. Offensichtlich sind V mit V = V und E mit E = E endliche Mengen, da auch V und E nach Definition 1.1 und Lemma 1.1 endliche Mengen sind. Hieraus schlussfolgern wir sofort, dass es nur endliche viele verschiedene Untergraphen G = ( ) V, E geben kann. 1.4 Kantengewichtete Graphen Von entscheidender Bedeutung wird für uns die nächste Definition sein, die es uns erlauben wird, die Kanten eines Graphen zu bewerten. Die Menge M ist die Potenzmenge (Menge aller Teilmengen) der Menge M.

7 BÄUME 6 Definition 1.5. Ein kantengewichteter Graph G = (V, E, w) ist ein Graph (V, E) mit einer Abbildung w : E R +, wobei w ((x, y)) = w ((y, x)). Wir nennen die Funktion w Gewicht (weight). 3 Natürlich gelten für einen kantengewichteten Graphen die schon für Graphen bekannten Eigenschaften. Wir bezeichnen mit w Σ (G) = (x,y) E,x y w ((x, y)) + (x,x) E w ((x, x)) das Gewicht eines kantengewichteten Graphen G. Auch lässt sich für einen kantengewichteten Graphen ein Untergraph definieren, wobei die Gewichtung der Kanten nicht verloren gehen soll. Definition 1.6. Wir nennen einen kantengewichteten Graphen G = ( ) V, E, w kantengewichteten Untergraphen des kantengewichteten Graphen G = (V, E, w), wenn ( ) V, E ein Untergraph von (V, E) ist und e E : w (e) = w (e) gilt. Analog zum Untergraphen bezeichnen wir einen kantengewichteten Untergraphen als spannend, falls die beiden Mengen der Knoten gleich sind. Beispiel 1.3. In Abbildung 1.3 ist ein kantengewichteter Graph G 3 = ({v 1, v,, }, {(v 1, ), (, v 1 ), (v 1, ), (, v 1 ), (v, ), (, v )}, w), w (v 1, ) = w (, v 1 ) =, w (v 1, ) = w (, v 1 ) = 5, 1, w (v, ) = w (, v ) = 3 und ein Untergraph G 4 von G 3 dargestellt. G 3 G 4 v 1 v 5,1 3 v 1 Abbildung 1.3: Ein kantengewichteter Graph G 3 und ein Untergraph G 4 von G 3. Das Gewicht des kantengewichteten Graphen G 3 beträgt w Σ (G 3 ) = 10, 1. Offensichtlich ist G 4 kein spannender Untergraph von G 3. Bäume.1 Definition und Eigenschaften An dieser Stelle wollen wir besondere Graphen betrachten, die eine baumartige Struktur aufweisen. 3 Mit R + meinen wir die positiven reellen Zahlen.

8 BÄUME 7 Definition.1. Ein Baum (tree) T ist ein zusammenhängender und kreisfreier Graph (V, E). Wir bemerken, dass ein Baum aufgrund von Lemma 1. auch immer schlicht sein muss. Definition.. Ein spannender Baum S ist ein Baum, der ein spannender Untergraph eines Graphen ist. Beispiel.1. Abbildung.1 visualisiert einen Graphen T 1. T 1 Abbildung.1: Ein Baum T 1. Offenbar ist T 1 ein Baum, da er zusammenhängend und kreisfrei ist. Der nächste Satz wird für uns von zentraler Bedeutung sein, wenn wir später aus einem Graphen besondere Bäume heraussuchen werden. Satz.1. Es existiert dann und nur dann ein spannender Baum in einem Graphen G, wenn G zusammenhängend ist. Beweis: Wenn S = ( ) V, E ein spannender Baum zu einem Graphen G = (V, E) ist, dann ist S nach Definition. ein spannender Untergraph von G. Somit enthält S alle Knoten von G, also V = V und es gilt E E. Dies bedeutet, alle Kanten von S sind auch Kanten von G. Aus diesen Tatsachen und dass S zusammenhängend ist, folgern wir direkt, dass auch G zusammenhängend ist. Sei nun G = (V, E) ein zusammenhängender Graph. Wenn G ein Baum ist, dann ist G auch ein spannender Baum von G. Wenn G kein Baum sein sollte, dann gibt es mindestens einen Kreis k = (x 1,..., x n ) W (G). Entfernen wir nun genau eine Kante {(x, y), (y, x)} mit (x 1,..., x, y,... x n ) = k aus G, so erhalten wir einen Untergraphen G = (V, E \ {(x, y), (y, x)}) von G, der immer noch zusammenhängend ist aber den Kreis k nicht mehr enthält. Entweder ist G ein Baum und damit ein spannender Baum von G, oder es existiert mindestens ein Kreis k W ( ) G. Nun entfernen wir analog zu G genau eine Kante aus G und erhalten einen neuen zusammenhängenden Graphen ohne den Kreis k. Wir verfahren weiter so, wie oben dargestellt, bis wir einen zusammenhängenden kreisfreien Untergraphen S = ( ) V, E von G erlangen. S ist dann ein gesuchter spannender Baum von G. Dass die Konstruktion von S in endlich vielen Schritten gelingt, sehen wir durch Satz 1.1 ein.. Minimal spannende Bäume Im Folgenden befassen wir uns mit minimal spannenden Bäumen in kantengewichteten Graphen. Was genau wir unter solchen Bäumen zu verstehen haben, zeigt die nachstehenden Definition.

9 BÄUME 8 Definition.3. Ein minimal spannender Baum (Minimum Spanning Tree MST) M eines zusammenhängenden kantengewichteten Graphen G = (V, E, w) ist ein spannender Baum ( ) V, E vom Graphen (V, E), falls kein anderer spannender Baum ( V, E ) von (V, E) derart existiert, (( )) (( )) dass w Σ V, E, w < wσ V, E, w mit e E : w (e) = w (e) und e E : w (e) = w (e) gilt. Beispiel.. Abbildung. zeigt einen Graphen G 5 und mit M 1 einen minimal spannenden Baum in G 5. G 5, M 1 v 1 1 v Abbildung.: Ein Graph G 5 mit einem zugehörigen minimal spannenden Baum M 1. Das Gewicht des Graphen G 5 beträgt w Σ (G 5 ) = 7 und jenes von M 1 nur w Σ (M 1 ) = 7. Wie wir an diesem Beispiel sehen, kann man mit den Kanten in M 1 von jedem beliebigen Knoten aus jeden anderen erreichen und dabei ist das Gewicht von M 1 auch noch minimal. Der nachfolgende Satz zeigt uns, wann genau wir einen minimal spannenden Baum in einem Graphen finden können. Satz.. Es existiert dann und nur dann ein minimal spannender Baum in einem kantengewichteten Graphen G, wenn G zusammenhängend ist. Beweis: Sei M ein minimal spannender Baum zu einem kantengewichteten Graphen G = (V, E, w). Dann ist M nach Definition.3 ein spannender Baum von (V, E) und somit ist laut Satz.1 (V, E) ein zusammenhängender Graph. Schließlich folgt aus der letzten Tatsache, dass G zusammenhängend ist. Sei G = (V, E, w) andersherum ein kantengewichteter zusammenhängender Graph. Dann gibt es nach Satz.1 einen spannenden Baum S = ( ) V, E in dem zusammenhängenden Graphen (V, ( E). ) Entweder ist S bereits (( minimal )) oder es(( gibt einen weiteren spannenden Baum S = )) V, E von (V, E), sodass wσ V, E, w < wσ V, E, w mit e E : w (e) = w (e) und e E : w (e) = w (e) gilt. Nun gibt es nach Satz 1.1 nur endliche viele Untergraphen, mithin auch nur endlich viele spannende Bäume in (V, E). Folglich muss mindestens einer dieser nur endlich vielen spannenden Bäume ein minimaler sein...1 Algorithmen zur Bestimmung minimal spannender Bäume Wir fragen uns nun, wie man einen minimal spannenden Baum M in einem zusammenhängenden kantengewichteten Graphen G = (V, E, w) finden kann. Um diese Bäume zu finden, geben wir im Folgenden zwei Algorithmen an.

10 BÄUME 9 Definition.4. Algorithmus von Kruskal Eingabe: zusammenhängender kantengewichteter Graph G = (V, E, w) Ausgabe: minimal spannender Baum M = ( V, E ) von G B1: E := ; E := E; B: solange E { B3: K := {(x, y), (y, x)} mit (x, y) { e E e B4: E := E \ K; B5: wenn ( V, E K ) kreisfrei, dann { B6: E := E K; } } E : w ( e ) < w (e) } ; Insbesondere bemerken wir, dass B3 stets ausführbar ist, da { ( e E e E : w e ) } < w (e) offensichtlich wegen B niemals leer sein kann. Wir geben nun eine bildliche Interpretation des Algorithmus. Zu Beginn sortieren wir alle Kanten des Graphen G aufsteigend entsprechend ihres Gewichtes und schreiben sie in eine Liste. Dann entfernen wir die kleinste Kante aus der Liste und nehmen sie in den noch kantenlosen Graphen M auf. Wir entfernen nun solange die jeweils kleinste Kante aus der Liste und fügen diese in M ein, wenn M dadurch noch immer kreisfrei bleibt, bis keine Kante mehr in der Liste ist. M ist dann ein minimal spannender Baum von G. Beispiel.3. Seien G 5 = (V, E, w) und M 1 = ( V, E ) der Graph beziehungsweise der minimal spannende Baum in Abbildung. aus Beispiel.. Der Algorithmus von Kruskal berechnet dann, durch Abbildung.3 veranschaulicht, M 1 wie folgt. 1. v 1 1 v. v 1 1 v 1 3. v 1 1 v 4. v 1 1 v 4 Abbildung.3: Schrittweiser Aufbau des minimal spannenden Baums M 1 von G 5.

11 BÄUME 10 Zu Beginn ist wegen B1 E Schleife B: = und E = E. Anschließend durchlaufen wir schrittweise die 1. K = {(v 1, v ), (v, v 1 )}, E = E \ {(v 1, v ), (v, v 1 )}, E = {(v 1, v ), (v, v 1 )}. K = {(, )}, E = (E \ {(v 1, v ), (v, v 1 )}) \ {(, )}, E = {(v 1, v ), (v, v 1 )} (die in Abbildung.3 rot dargestellte Kante {(, )} wird nicht in E aufgenommen, da sonst ein Kreisentstehen würde) 3. K = {(v 1, ), (, v 1 )}, E = ((E \ {(v 1, v ), (v, v 1 )}) \ {(, )}) \ {(v 1, ), (, v 1 )}, E = {(v 1, v ), (v, v 1 ), (v 1, ), (, v 1 )} 4. K = {(v 1, ), (, v 1 )}, E = (((E \ {(v 1, v ), (v, v 1 )}) \ {(, )}) \ {(v 1, ), (, v 1 )}) \ {(v 1, ), (, v 1 )}, E = {(v 1, v ), (v, v 1 ), (v 1, ), (, v 1 ), (v 1, ), (, v 1 )} 5. Bei diesem und den folgenden Schritten bleibt E unverändert, da sonst jede neu eingefügte Kante einen Kreis in M 1 erzeugen würde. Schließlich ist E = im 7. Durchlauf der Schleife und der Algorithmus wird beendet. Nachdem der Algorithmus terminiert ist, erhalten wir den bereits in Beispiel. dargestellten minimal spannenden Baum M 1. Satz.3. Der Algorithmus von Kruskal ist korrekt. Beweis: Sei G = (V, E, w) ein zusammenhängender kantengewichteter Graph und M = ( ) V, E die Ausgabe des Algorithmus von Kruskal. Wir beweisen die Korrektheit des Algorithmus, indem wir zeigen, dass er terminiert und dass M ein minimal spannender Baum von G ist. Wir müssen also für M zeigen, dass M Untergraph von (V, E), spannend, kreisfrei, zusammenhängend und minimal ist. Weshalb der Algorithmus terminieren muss, sehen wir durch B, B3 und B4 folgendermaßen ein: Durch B3 suchen wir in jedem Schleifendurchlauf aus E mindestens ein Element heraus und entfernen jenes anschließend durch B4 aus E. Weiterhin wird E durch keine andere Operation verändert. Somit enthält E nach jedem Schleifendurchlauf immer weniger Elemente. Aufgrund von B terminiert der Algorithmus, wenn E =. Da E := E am Anfang des Algorithmus durch B1 festgelegt wurde und E nach Definition 1.1 nur endlich ist, wird die Schleife B nur endlich oft durchlaufen. Folglich terminiert der Algorithmus. Dass M = ( ) V, E ein Untergraph von (V, E) ist, sieht man durch den aus B6 folgenden Zusammenhang E E ein. Offensichtlich ist M = ( ) V, E spannend, da M nach Definition dieselbe Menge von Knoten wie (V, E) enthält. Außerdem ist die Kreisfreiheit von M trivialerweise durch B5 gegeben. Als nächstes zeigen wir indirekt, dass M zusammenhängend ist. Sei also M nicht zusammenhängend. Dann existieren in M zwei Knoten x, y V, die nicht durch einen Weg (x 1, x,..., x n ) W (M) mit x 1 = x und x n = y verbunden sind. Dagegen aber sind x und y im zusammenhängenden Graphen (V, E) durch einen Weg (y 1, y,..., y n ) W ((V, E)) mit y 1 = x und y n = y verbunden. Folglich gibt es eine Kante (y i, y i+1 ) E mit 1 i n 1, i

12 BÄUME 11 N im Weg (y 1,..., y i, y i+1,..., y n ), sodass (y i, y i+1 ) / E und damit auch (y i+1, y i ) / E gilt. Außerdem beachten wir, dass der Algorithmus durch B, B3 und B4 alle Kanten in E, ( und somit ebenfalls (y i, y i+1 ) beziehungsweise (y i+1, y i ), betrachtet. Wir zeigen nun, dass V, E {(y i, y i+1, (y i+1, y i )} ) bei B5 kreisfrei sein muss. Wenn dies nicht der Fall wäre, dann hätte es in ( ) V, E schon einen Weg von x nach y geben müssen, was ja nach obiger Annahme nicht der Fall ist. Schließlich folgt aus dieser Kreisfreiheit, dass (y i, y i+1 ) E und (y i+1, y i ) E durch B6 gelten müssten. Dies kann aber nach den Voraussetzungen (y i, y i+1 ) / E und (y i+1, y i ) / E unmöglich sein. Hieraus folgern wir, dass unsere Annahme falsch und M somit zusammenhängend ist. Schlussendlich müssen wir noch belegen, dass M = ( ) V, E minimal ist. Dies wollen wir indirekt tun. Nehmen wir also an M sei nicht minimal. Dann existiert ein minimal spannender Baum M * = ( V, E *) ( von G, sodass w ) Σ M * < w Σ (M). Ferner seien (e 1,..., e n ) mit n N und n E die durch den Algorithmus in B6 der Reihe nach in E eingefügten Kanten der Form {(x, y), (y, x)}. Aufgrund von M * M gibt es eine erste Kante e i aus (e 1,..., e n ) mit i N und 1 i n, für die e i E * gilt. Wir erzeugen nun einen Untergraphen ( ) V, E * e i von (V, E) aus M *, der dann sicher einen Kreis k W (( )) V, E * e i beinhaltet. k enthält offensichtlich e i und eine weitere Kante e mit e E * und e E. Außerdem gilt nach dem Algorithmus w (e i ) w (e), da sonst e in B3 zuerst gewählt worden wäre. Der Untergraph ( V, ( ) ) E * e i \ e von (V, E) ist dann aufgrund obiger Tatsachenselbstverständlich (( ( zusammenhängend ) )) und ( ein spannender Baum von (V, E). Und somit erhalten wir w Σ V, E * e ) i \ e wσ M *. Darüber hinaus hat ( V, ( ) ) E * e i \ e genau eine Kante mehr gemeinsam mit M als M * mit M. So wie wir ( V, ( ) ) E * e i \ e = U1 aus M * konstruiert haben, konstruieren wir analog einen weiteren Untergraphen U aus ( V, ( ) ) E * e i \ e und Untergraphen Ui+1 aus U i mit i m 1 und i, m ( N, wobei U m = M ist. Für alle U j mit 1 j m und j N gilt dann w Σ (U j ) w ) ( Σ M *. Mithin muss auch w Σ (U m = M) w ) Σ M * ( sein. Dies ist aber ein Widerspruch zur obigen Annahme w ) Σ M * < w Σ (M). Hieraus folgern wir, dass M doch minimal ist. Der Algorithmus von Kruskal lässt sich so implementieren, dass sein Aufwand O ( E log V ) ist. Dies sieht man folgendermaßen ein: Der Algorithmus wird mit einem Heap realisiert, der in O ( E ) erzeugt werden kann und in welchem die Kante mit dem geringsten Gewicht in O (log E ) entfernt wird. Weiterhin lässt sich die Überprüfung auf Kreisfreiheit in O (log V ) implementieren. Da wir in der Schleife alle Kanten aus E durchlaufen, ergibt sich dann O ( E (log E + log V )). Mit dem Aufbauen des Heaps in O ( E ), der Schleife und E V wegen E V V erhalten wir für den Gesamtaufwand O ( E + E (log E + log V )) = O ( E (log V + log V )) = O ( E ( log V + log V )) = O ( E log V ). Als Nächstes betrachten wir einen zweiten Algorithmus zur Bestimmung eines minimal spannenden Baums. Definition.5. Algorithmus von Prim: Eingabe: zusammenhängender kantengewichteter Graph G = (V, E, w) Ausgabe: minimal spannender Baum M = ( V, E ) von G

13 BÄUME 1 B1: V := {v} mit v V ; E := ; B: solange V V { { (x, y) B3: E := E {(x, y), (y, x)}; B4: V := V {y}; } p V q V \ V (p, q) E ( p, q ) E : p V q V \ V w (( p, q )) } < w ((p, q)) Auch zum Algorithmus von Prim geben wir eine Interpretation an. Sei G = (V, E, w) und V = {v} eine Menge von Knoten, die zu Beginn einen beliebigen Knoten v V beinhaltet. Darüber hinaus sei E = die anfangs leere Menge von Kanten des zu findenden minimal spannenden Baums M von G. Wir wählen nun von Kanten der Form {(x, y), (y, x)} von G, wobei x V und y V \ V, eine solche mit minimalem Gewicht aus. Diese Kante fügen wir dann in E ein und y in V. Anschließend wiederholen wir diese Schritte solange, bis V V. Beispiel.4. Wiederum seien G 5 = (V, E) und M 1 = ( V, E ) der Graph beziehungsweise der minimal spannende Baum in Abbildung. aus Beispiel.. Dieses mal berechnen wir M 1 nicht mit dem Algorithmus von Kruskal wie in Beispiel.3, sondern mit dem Algorithmus von Prim. Abbildung.4 veranschaulicht die einzelnen Schritte dieses Algorithmus für M v 1 v 1. v 1 v 4 1. v 1 1 v 3. v 1 1 v 4 4 Abbildung.4: Schrittweiser Aufbau des minimal spannenden Baums M 1 von G 5. Anfänglich sei wegen B1 V := { } und E =. Anschließend durchlaufen wir schrittweise die Schleife B: 1. E = {(, v 1 ), (v 1, )}, V = {, v 1 } (wie wir in Abbildung.4 sehen, müssen wir die Kante {(, )} verwerfen, da V aber / V \ V ). E = {(, v 1 ), (v 1, ), (v 1, v ), (v, v 1 )}, V = {, v 1, v }

14 BÄUME E = {(, v 1 ), (v 1, ), (v 1, v ), (v, v 1 ), (v 1, ), (, v 1 )}, V = {, v 1, v, } = V 4. Wegen V = V wird die Schleife jetzt verlassen und der Algorithmus beendet. Nach der Terminierung des Algorithmus erhalten wir den schon in Beispiel. und Beispiel.3 gezeigten minimal spannenden Baum M 1. Satz.4. Der Algorithmus von Prim ist korrekt. Beweis: Wir verweisen an dieser Stelle auf den in [CH94] durchgeführten Beweis. Wir erwähnen hier nur, dass der Algorithmus von Prim mit Hilfe eines Fibonacci-Heaps in O ( E + V log V ) realisiert werden kann. Die zwei Algorithmen finden nicht nur minimal spannende Bäume, sondern durch eine geschickte Umgewichtung der Kanten auch maximal spannende Bäume. Wollen wir etwa einen maximal spannenden Baum von G = (V, E, w) erzeugen, so geben wir G = ( ) V, E, w mit w (e) = s w (e), s R + und e E : s > w (e) in Kruskals beziehungsweise Prims Algorithmus ein. Wir erhalten dann als Ausgabe einen minimal spannenden Baum von G und somit einen maximal spannenden von G. Die beiden vorgestellten Algorithmen sind, aufgrund der sofortigen und lokalen Auswahl einer Kante mit möglichst kleinem Gewicht, den Greedy- Algorithmen zu zuordnen. Der Algorithmus von Kruskal und der von Prim werden heute im Allgemeinen verwendet, um minimal oder maximal spannende Bäume zu finden. Dennoch existiert ein von Bernard Chazelle entwickelter Algorithmus, der minimal spannende Bäume in einem Graphen G = (V, E) mit einem Aufwand von annähernd O ( E ) findet. Zum Schluss erwähnen wir noch eine praktische Anwendung der genannten Algorithmen. Ein Ingenieur hat die Aufgabe erhalten zwischen verschiedenen Ortschaften eines Landes die Verlegung von Netzwerkkabeln zum Ausbau des Internets zu planen. Dabei muss jeder Ort von jedem anderen Ort aus erreichbar sein. Nun erstellt der Ingenieur zunächst einen Graphen in dem er die Ortschaften als Knoten einträgt. Kanten fügt er zwischen jeweils zwei Knoten ein, wenn zwischen jeweils zwei Orten die Möglichkeit besteht ein Netzwerkkabel zu verlegen. Anschließend überprüft er die realen Kosten eines jeden Netzwerkkabels und trägt diese als Gewicht der entsprechenden Kante im Graphen ein. Hat der Ingenieur den Graphen nun vollständig erstellt, so kann er mit Hilfe von Kruskals beziehungsweise Prims Algorithmus einen minimal spannenden Baum bestimmen. Dieser zeigt dann die Netzwerkkabel an, die Verlegt werden müssen damit jeder Ort von jedem anderen aus erreichbar ist und die die Gesamtkosten des Netzes minimal halten.

15 Literatur [Aig93] Aigner, Martin: Diskrete Mathematik. Braunschweig [u.a.] : Vieweg, ISBN [Bra94] Brandstädt, Andreas: Graphen und Algorithmen. Stuttgart : B. G. Teubner, ISBN [CH94] Clark, John ; Holton, Derek A.: Graphentheorie Grundlagen und Anwendungen. Heidelberg [u.a.] : Spektrum Akademischer Verlag, ISBN X [Das05] Dassow, Jürgen: Logik für Informatiker. Wiesbaden : B. G. Teubner, 005. ISBN [Hol03] Hollatz, Horst: Mathematik Vorlesung für Informatiker. Aachen : Shaker, 003. ISBN [Tur96] Turau, Volker: Algorithmische Graphentheorie. Bonn [u.a.] : Addison Wesley, ISBN