Das Linear Ordering Problem Exakte Lösungsverfahren. für NP-schwierige. VO Algorithm Engineering

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1 Das Linear Ordering Problem Exakte Lösungsverfahren VO Algorithm Engineering für NP-schwierige Professor Dr. Petra Mutzel kombinatorische Lehrstuhl für Algorithm Engineering, LS11 Optimierungsprobleme 3. VO

2 Literatur für diese VO M. Grötschel and M. Jünger and G. Reinelt: A cutting plane algorithm for the linear ordering problem. Operations Research 32, , 1984 Nachschlagewerk bei Interesse: M. Jünger und D. Naddef (Eds.): Computational Combinatorial Optimization, Optimal or Provably Near-Optimal Solutions, LNCS 2241, Springer, 2001, i.e

3 Überblick Kombinatorische Optimierung mittels GLP Kombinatorische Optimierungsprobleme Lineare Programmierung (Kurzeinführung) Polyedertheorie (Kurzeinführung) Kombinatorische Optimierungsprobleme vs. GLPs Bsp: Linear Ordering Problem Exakte Lösungsmethoden für GLPs Schnittebenenverfahren

4 Kombinatorische Optimierungsprobleme Definition Kombinatorisches Optimierungsproblem Gegeben sind: endliche Menge E (Grundmenge) Teilmenge I der Potenzmenge 2 E von E (zul. Mengen) Kostenfunktion c: E K

5 Beispiele Kombinatorische Optimierungsprobleme Handlungsreisendenproblem (TSP) Minimaler Spannender Baum (MST) Minimum der Funktion: f(x)=3x 2 +2, x R

6 Lineare Optimierungsprobleme Definition Lineares Optimierungsproblem Das Problem, einen Vektor zu finden, der unter allen Vektoren, die die Bedingungen Ax<=b erfüllen, derjenige ist, mit größtem (kleinstem) Zielfunktionswert.

7 Beispiel Ölraffinerie 2 Crackverfahren für Rohöl mit folgender Ausbeute und Kosten: Crackprozeß 1: 2S, 2M, 1L, Kosten 3 EUR Crackprozeß 2: 1S, 2M, 4L, Kosten 5 EUR Ziele: mindestens 3S, 5M, 4L herstellen (Lieferbedingungen) möglichst billig herstellen

8 Beispiel Ölraffinerie Zielfunktion subject to Restriktionen definieren den Lösungsraum Matrixschreibweise: (Tafel)

9 y (0,6) Geometrische Interpretation Zielfunktion = 0.9* *0.706 =13.1 Mio NB1 Zielfunktion = 0.9 x y = 40 Mio Zielfunktion = 30 Mio Maximiere 0.90 x y subject To NB1: 0.42 x y <= NB2: 0.13 x y <= NB3: 0.35 x y <= NB4: x >= 0 NB5: y >= 0 NB3 (0,1.5) (0,1) (0.882,0.706) (0,0) Zulässige Lösungen (1,0) NB2 (2,0) (3,0) x

10 Simplex-Algorithmus Lineares Programm Max 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 Subject to x 1 + x 3 8 x 1 + x 2 7 x 1 + 2x 2 12 x 1, x 2, x 3 0

11 Simplex-Algorithmus Max z = 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 x 3 (0,0,8) (0,6,8) Optimal! (2,5,6) z = 28 z = 0 (0,6,0) x 2 (7,0,1) z = 23 (2,5,0) x 1 (7,0,0) z = 21

12 Lineare Optimierungsprobleme Lineare Optimierungsprobleme tauchen in verschiedenen Formulierungen auf und können alle ineinander übergeführt werden: max oder min c T x: Ax b min c T x: Ax b und x 0 min c T x: Ax=b und x 0

13 Lineare Optimierungsprobleme LP in seiner allgemeinsten Form:

14 Ganzzahlige Lineare Optimierungsprobleme Lineare Optimierungsprobleme mit Ganzzahligkeitsforderungen: GLP (ILP, IP) Lineare Optimierungsprobleme mit teilweise Ganzzahligkeitsforderungen: GGLP (MIP) Lineare Optimierungsprobleme mit 0/1- Bedingungen: 0/1-IP, Binäres LP, BLP

15 Polyedertheorie (Kurzeinführung)

16 Polyedertheorie (Kurzeinführung)

17 Polyedertheorie (Kurzeinführung)

18 y (0,6) Geometrische Interpretation NB1 Maximiere 0.90 x y subject To NB1: 0.42 x y <= NB2: 0.13 x y <= NB3: 0.35 x y <= NB4: x >= 0 NB5: y >= 0 NB3 (0,1.5) (0,1) (0.882,0.706) (0,0) Zulässige Lösungen (1,0) NB2 (2,0) (3,0) x

19 Polyedertheorie (Kurzeinführung)

20 Polyedertheorie (Kurzeinführung)

21 Polyedertheorie (Kurzeinführung)

22 Zusammenhang zu Kombinatorischer Optimierung Jedes kom. OP kann als BLP formuliert werden und umgekehrt: Ist E eine endliche Menge und F E, dann ist der charakteristische Vektor χ F R E für F definiert als Beispiel: MST Wir assoziieren zu jedem Element e E eine Komponente des Vektors χ F. Umgekehrt, ist jeder 0/1-Vektor x {0,1} E charakteristischer Vektor einer Teilmenge F x von E, und zwar gilt: F x ={e E x e =1}.

23 Kombinatorische Optimierung vs. 0/1-IP Gegeben ist 0/1-IP: Assoziiertes Kombinatorisches OP: Wir setzen:

24 Kombinatorische Optimierung vs. 0/1-IP Gegeben ist kombinatorisches OP: (E,I,c) Assoziiertes 0/1-IP: Jedes Polyeder hat Beschreibung durch Ungleichungen Wir können also jedes komb. OP als LP formulieren Probleme: Berechnung der LP-Darstellung nicht in pol.- Zeit möglich i.a. exponentiell viele Ungleichungen Ungleichungen besitzen Koeffizienten exponentieller Größe

25 Lineares Ordnungsproblem (LOP) Gegeben: ein vollständiger gerichteter Graph G=(V,A) mit Kantengewichten c uv für alle Bögen (u,v) in A Gesucht: eine lineare Ordnung der Knoten, so dass die Summe der Gewichte aller Bögen, die dieser Ordnung entsprechen, maximiert wird. Anwendungen: Triangulation von Input-Output Matrizen, Rangbestimmung in Turniersportarten, Graph Layout

26 Graphen-Theoretische Formulierung Gegeben: ein vollständiger gerichteter Graph G=(V,A) mit Bogengewichten c uv für alle Bögen (u,v) in A Gesucht: ein spannendes, azyklisches Turnier in G mit größtem Gewicht Turnier: T A: entweder (i,j) T oder (j,i) T aber nicht beide

27 Spannendes Azyklisches Turnier Verbotene Strukturen in T: u v v v u w u w

28 ILP für LOP Gleichungen Triviale Ungleichungen 3-Kreis Ungleichungen Ausschluss der 3-er Kreise genügt

29 Spannendes Azyklisches Turnier Verbotene Strukturen in T: u v v v u w u w

30 ILP für LOP Projektion: x vu =1-x uv Triviale Ungl. 3-Kreis Ungl.

31 Geometrische Interpretation LOP Beispiel n=3: x 12 x 13 x 23 Permutation <1,2,3> <2,1,3> <2,3,1> <1,3,2> <3,1,2> <3,2,1> charakt. Vektor (1,1,1) (0,1,1) (0,0,1) (1,1,0) (1,0,0) (0,0,0) x 12 +x 23 -x 13 = x 13 <2,3,1> <2,1,3> x 23 <1,3,2> <3,2,1> <3,1,2> <1,2,3> x 12 +x 23 -x 13 =1 x 12

32 LP-Relaxierung des IPs n<6: Entfernung der Ganzzahligkeitsbedingungen macht keinen Unterschied D.h. die Ecken des relaxierten LOP-Polytops sind alle ganzzahlig n>=6: zusätzliche Ungleichungen notwendig

33 Beispiel: Moebius-Leiter Ungleichungen: Allgemein: k Kreise, k ungerade k Es ist notwendig, mindestens (k+1)/2 Bögen zu entfernen, um G azyklisch zu machen 1 2k-1 Möbius-Ungleichungen beschreiben Facetten des LOP-Polytops Foschungsgebiet: Polyedrische Kombinatorik

34 Polyedrische Kombinatorik: LOP Konvexe Hülle aller charakteristischer Vektoren, die Permutationen von l Elementen beschreiben. l n ,472 >488,602,996 Anzahl der Facetten, d.h. die Anzahl der theoretisch notwendigen Linearen Ungleichungen For l=60 ist LOP exakt lösbar innerhalb 1 Sekunde mittels Schnittebenenverfahren.

35 Schnittebenenverfahren y Addiere Ungleichungen nur bei Bedarf Zulässige Lösungen x Zielfunktion

36 Separationsproblem Zulässige Lösungen y Gegeben ist ein Punkt x und OP. Gesucht ist eine Ungleichung, die diesen Punkt --- aber keine zulässige Lösung --- abschneidet......oder Beweis, dass keine solche Ungleichung existiert. x Zielfunktion

37 Idee von Schnittebenenverfahren (1) Starte mit einer Teilmenge der Restriktionen (2) Löse LP, sei x* die gefundene Optimallösung (3) Entscheide, ob es weggelassene Restriktionen a T x<=b 0 gibt, so dass a T x>b 0? (3.1) Falls NEIN: STOP (Relaxierung gelöst) (3.2) Falls JA: Bestimme solche, füge sie zu lp hinzu und gehe zu (1) Separationsproblem

38 Satz von Grötschel, Lovasz, Schrijver Das Optimierungsproblem ist in polynomieller Zeit lösbar genau dann wenn das zugehörige Separationsproblem in polynomieller Zeit lösbar ist. Definition Separationsproblem: Frage: Können wir Separationsproblem für LOP lösen? durch Aufzählen und Ausprobieren aller Ungleichungen

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