Kapitel Komplexität. Beispiel II. Beispiel I. Methodische Grundlagen und Graphen

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1 . Komplexität Kapitel Methodische Grundlagen und Graphen Lösung von Modellen der Produktion und Logistik mittels: xakten Lösungsverfahren Heuristiken: teilweise verwendet wenn exakte Verfahren vorhanden (diese jedoch zu teuer oder zu aufwendig sind) verwendet bei Probleme, die NP-schwer sind uswahl der Verfahren abhängig von: verfügbare Software Kosten-Nutzen-Überlegungen Komplexität des Problems perations Management Kapitel / eispiel I eispiel II Lösung von: LP-Probleme (average case) mit polynomialem ufwand da die nzahl der Iterationsschritte der Simplexmethode linear mit der nzahl der Nebenbedingungen steigt jeder Iterationsschritt etwa quadratischen ufwand verursacht LP-Probleme mit Ganzzahligkeitsforderungen (integer variables) mittels ranch and ound (&) Verfahren da in jedem Iterationsschritt ist ein normales LP zu lösen ie nzahl dieser Iterationsschritte wächst exponentiell mit der nzahl der ganzzahligen Variablen aher sind diese Probleme nicht mit polynomialem ufwand zu lösen ei manchen Problemen (z.. ransport, Zuordnung) sind die Ganzzahligkeitsforderungen automatisch erfüllt, sodass das Problem einfach bleibt. uch kann es sein, dass ein Problem als LP-Problem mit Ganzzahligkeitsforderung formuliert werden kann, dass es allerdings andere exakte Verfahren gibt, die das Problem mit polynomialem ufwand lösen. perations Management Kapitel / perations Management Kapitel /

2 Heuristiken. Kosten und istanzen Unterscheidung zwischen: röffnungsverfahren (zur rasche Generierung einer möglichst guten Startlösung) Verbesserungsverfahren (um ausgehend von einer zulässigen Lösung eine bessere zu konstruieren) Kombination beider Verfahren ntscheidung bei vielen Problemen aufgrund von gewissen Kosten bzw. istanzen c ij : rmittlung der Kosten aufgrund technischer Gegebenheiten (Umrüsten einer Maschine von Werkstück i zu Werkstück i) Kosten als Maß für die istanz der bjekte i und j dar gebräuchlichste istanzen: uklidische istanz Manhattan istanz Maximum istanz perations Management Kapitel / perations Management Kapitel / uklidische istanz Manhattan istanz Luftlinien ntfernung der Punkte x und y im Raum ntfernung bei einem rechtwinkeligen Straßensystem d(x, y) = n ( xi - yi) i= n d(x,y) = i= xi - yi y x x y x x x x perations Management Kapitel / perations Management Kapitel /

3 Maximum istanz. Grundbegriffe über Graphen ohren von Platinen, ewegung von Kränen oder Plotterstiften d(x, y) = x y max x - y i=,...,n i i y y x x eispiel: Straßennetz mit Kosten (Kantenlängen): Naturpark mit ingang und wichtigstem ussichtspunkt : perations Management Kapitel / perations Management Kapitel / ufgabe ufgabe Verlegung von elefonleitungen, so dass zwischen allen Stationen elefonverbindungen möglich sind. s werden gerade so viele Leitungen verlegt, dass eine Verbindung zwischen je zwei Stationen möglich ist. Wo sollen die elefonkabel verlegt werden um am wenigsten Leitungen (in Meilen) zu verbrauchen? rmittlung des kürzesten Weges vom ingang des Parks zur Station Lösung: kürzeste Wege Lösung: minimaler spannender aum, Minimalgerüst perations Management Kapitel / perations Management Kapitel /

4 ufgabe Problem: s wollen mehr esucher an der usfahrt von zur Station teilnehmen, als auf dem kürzesten Weg befördert werden können. (egrenzung der Zahl der täglichen usfahrten auf jeder Strecke) Verwendung verschiedener Routen ohne erücksichtigung der ntfernung, um die Zahl der usfahrten pro ag zu erhöhen Wie werden die verschiedenen Routen angelegt um die Zahl der usfahrten zu maximieren? ufgabe n jedem der Straßenknoten ist am nde des ages ein Mülleimer zu entleeren. In welcher Reihenfolge sollen die Knoten angefahren werden um die gesamte Reisezeit zuminimieren? Lösung: Rundreiseproblem, SP (L) Lösung: maximaler Fluss (L) perations Management Kapitel / perations Management Kapitel / efinition Graph I efinition Kette Graph (graph): mehrere Punkte (Knoten, nodes, vertices) sind paarweise durch Linien (Kanten, edges, arcs) verbunden Graph Kette (chain) zwischen den Knoten i und j: Folge von Kanten, die diese zwei Knoten miteinander verbindet Weg (path): eindeutige Richtung der Kette (gerichtet) Kette (Weg) von nach perations Management Kapitel / perations Management Kapitel /

5 efinition Zyklus efinition aum I Zyklus (cycle): Kette, die einen Knoten mit sich selbst verbindet, ohne dass eine Kante zweimal verwendet wird Zyklus aum (tree): verbundener Graph, der keine Zyklen besitzt in Graph heißt verbunden (connected), wenn es zwischen je Knoten eine Kette gibt, die diese Knoten miteinander verbindet. aum perations Management Kapitel / perations Management Kapitel / efinition aum II efinition Graph II ines der heoreme der Graphentheorie besagt, dass ein Graph bestehend aus n Knoten verbunden ist, wenn er (n- ) Kanten und keine Zyklen besitzt. UM kein aum wegen Zyklus kein aum, da nicht verbunden ie Kante eines Graphen heißt gerichtet (directed) oder Pfeil, wenn eine bestimmte Richtung gegeben ist. Innerhalb eines gerichteten Graphen ist jede einzelne Kante gerichtet. Innerhalb eines ungerichteten Graphen ist jede einzelne Kante ungerichtet. in gemischter (mixed) Graph enthält sowohl gerichtete als auch ungerichtete Kanten. perations Management Kapitel / perations Management Kapitel /

6 . Minimaler Spannbaum (minimal spanning tree, MS) a im eispiel n = Knoten vorgegeben sind, muss das resultierende Netzwerk genau (n-) = Kanten und keine Zyklen besitzen, um einem aufgespannten aum zu entsprechen. Praxis: zahlreiche nwendungsbeispiele insb. bei der Planung von schwach frequentierten ransportnetzen z.: elefonleitungen lgorithmus von Kruskal. Suche die kürzeste Kante im Graphen und verbinde die beiden angrenzenden Knoten.. Suche den noch nicht verbundenen Knoten, der einem der bereits verbundenen am nächsten liegt. Wiederhole dies bis alle Knoten verbunden sind. reten dabei Mehrdeutigkeiten auf, so kann die Wahl beliebig getroffen werden, und der lgorithmus führt dennoch zu einer optimalen Lösung. Implementierung am omputer: Man sortiert zunächst die Kanten in aufsteigender Reihenfolge, und dann fügt man jeweils die nächste Kante in den aum ein, die nicht zu einem Zyklus führen würde. perations Management Kapitel / perations Management Kapitel / lgorithmus von Kruskal - eispiel. Problem des kürzesten Weges (shortest route) rmittlung des kürzesten Weg innerhalb eines Netzwerkes von der Quelle (source) zur Senke (sink) asis vieler anderer wichtiger Logistikprobleme große Zahl von Verfahren Unterscheidung von: aumalgorithmen: bestimmen den kürzesten Weg von einem Knoten (Quelle) zu allen anderen (und konstruieren so eine rt aum) klassischen aumalgorithmen (nächster Unterabschnitt) basieren auf der Idee der dynamischen Programmierung. Sie markieren in jedem Iterationsschritt einen weiteren Knoten. Verfahren, die den kürzesten Weg zwischen allen Knoten suchen. perations Management Kapitel / perations Management Kapitel /

7 .. aumalgorithmus für das kürzeste Wege Problem (ijkstra) s sei d ij = Länge der direkten Kante von i nach j [wenn solche existiert, bzw. d ij = sonst] Initialisierung: n = : s werden alle Knoten i vorläufig markiert, und ihre vorläufig kürzeste ntfernung zum Ursprung [i] mit der direkten istanz d i festgelegt. [Nur ist endgültig markiert] Wenn es keine direkte Kante von nach i gibt, setzt man [i] =. er vorläufige direkte Vorgänger ist die Quelle: V[i] = Iterationsschritt n. markiere jenen vorläufig markierten Knoten endgültig, der die minimale istanz [i] hat. s ist der n-te nächste Knoten zur Quelle. Seine kürzeste istanz zu ist [i] und der unmittelbare Vorgänger ist V[i].. Suche alle vorläufig markierten Knoten j, die von i aus über eine direkte Kante erreichbar sind. Wenn [i] + d ij < [j] ist der Weg über i zu j besser als der bisher beste Weg zu j. Setzte dann [j] = [i] + d ij und V[j] = i.. Wenn endgültig markiert ist, (bzw. wenn alle Knoten endgültig markiert sind) ist das Verfahren beendet. perations Management Kapitel / perations Management Kapitel / Verfahren von ijkstra - eispiel Lösung Iteration n [], V[], [], V[],, [], V[] Lösung: [], V[] [], V[] [], V[] [], V[],,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Initialisierung,,,,,, Zwei kürzeste Wege mit jeweils Gesamtlänge : perations Management Kapitel / perations Management Kapitel /

8 Verfahren von ellmann I Verfahren von ellmann II. Von allen vergebenen Knoten, die noch nicht vergebene Nachbarn haben, ausgehend jeweils den Knoten mit der kürzesten ntfernung suchen. enjenigen Knoten im nächsten Iterationsschritt vergeben, der die geringste Gesamtentfernung vom Ursprung hat. perations Management Kapitel / Iteration n Vergebene Knoten, die unmittelbar mit einem noch nicht Vergebenen zu verbinden sind Kürzeste Verbindung zu einem noch nicht vergebenen Knoten Gesamte ntfernung zum Ursprung n-ter nächster Knoten i Kürzeste ntfernung [i] Unmittelbarer Vorgänger V[i] perations Management Kapitel / Verfahren von ellmann III.. Kürzeste Wege zwischen allen Knoten (riplealgorithmus). Lösung: -. Lösung: - ft such man die kürzesten Wege zwischen jeweils zwei Knoten eines Netzwerkes, bei dem nicht alle Knoten durch direkte Kanten miteinander verbunden sind; z.. Lösung von ransport- oder Standortproblem Lösung: Mehrmalige nwendung des aumalgorithmus (für jeden Knoten als Startknoten) besseres Verfahren (riplealgorithmus): ie bisher bekannte kürzeste istanz von i nach j wird mit k ij bezeichnet und der dabei unmittelbare Vorgänger von j mit v ij. perations Management Kapitel / perations Management Kapitel /

9 perations Management Kapitel / Initialisierung, Iterationsschritt n Initialisierung: Setze k ij = d ij bzw. k ij =, wenn keine direkte Kante i j besteht. Setze v ij = i. Iterationsschritt n: [n durchläuft alle Knoten] Für alle i und j prüfe, ob k in + k nj < k ij ist. Wenn ja, ist der Weg von i nach j über n [mit den bisher besten bekannten Wegen i n und n j] kürzer als der bisher beste bekannte Weg i j. In diesem Falle setze k ij = k in + k nj und v ij = v nj. perations Management Kapitel / biges eispiel - Initialisierung perations Management Kapitel / Wege über n = Initialisierung: Wege über n = vergleiche den bisher besten Weg (Länge ) mit Umweg über, also plus : + = da kürzer, wird durch ersetzt perations Management Kapitel / Wege über n = Wege über n = Wege über n = Zeilen und Spalten, wo in der gelben Zeile steht, können sich nicht ändern bei symmetrischden Problemen (ungerichterer Graph) kann alles unter der Hauptdiagonale kopiert werden

10 perations Management Kapitel / Wege über n = Wege über n = Wege über n = perations Management Kapitel / Wege über n = Wege über n = Wege über n = perations Management Kapitel / Wege über n = Wege über n = Wege über n = perations Management Kapitel / ndlösung - Wege über n = Prüfung der Wege über n = bzw. n = Keine Änderungen mehr ndlösung: weist kürzesten istanzen auf Übereinstimmung der. Zeile mit dem rgebnis des aumalgorithmus

11 .. emerkungen und weitere eispiele eispiel I naloge nwendung in gemischten und gerichteten Graphen Probleme können bei negative Kantenbewertungen auftreten wenn negative Zyklen im Graphen enthalten sind ansonsten sind solche Probleme wie üblich zu bearbeiten vgl. dazu Kapitel von omschke, W.: Logistik: ransport (d. ),. ufl., ldenbourg, München, Man bestimme die kürzesten Wege von () zu allen anderen Knoten: perations Management Kapitel / perations Management Kapitel / eispiel II Man bestimme die kürzesten Wege zwischen allen Knoten: - perations Management Kapitel /