Für die Vorlesung von Prof. Schmitz

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1 Agewadte Mathematik Skript Für die Vorlesug vo Prof. Schmitz Vo Michael Barth Dak a Patrick Bader 1

2 Table of Cotets 6. Graphe ud Bäume Graphe Grudlegede e Zusammehägede Graphe Bäume Spabäume Graphetheoretische Probleme Toureprobleme Optimierugsprobleme Topologische Sortierug Wahrscheilichkeitstheorie Kombiatorik Grudlage Ereigismege ud Wahrscheilichkeite Bedigte Wahrscheilichkeit

3 6. Graphe ud Bäume 6.1 Graphe Grudlegede e Ei Graph G ist ei Paar G=V, E. V ist die Kotemege (egl. Vertex Set). E ist die Katemege (egl. Edges). Formal ist V ={x 1,, x } ud E {{x i, x j } x i, x j V } oder E {x i, x j x i, x j V }.=V V. Im erste Fall heißt G ugerichtet, im zweite gerichtet. i. G=V, E mit V ={x 1, x 3, x 4 }, E={x 1,x 2, x 3, x 1, x 3,x 1, x 4, x 4, x 4, x 3 } d + x 1 =3, d x 1 =0 d + x 2 =1, d x 2 =2 d + x 3 =1, d x 3 =2 d + x 4 =1, d x 4 =2 d + x i = d x i = 6 = Azahl der Kate ii. V ={x 1, x 3, x 4 }, E={{x 1 }, {x 2, x 3 }, {x 3, x 4 }, {x 4, x 1 }, {x 1, x 3 }, {x 2, x 4 }} d x 1 = 3 = d x 2 = d x 3 = d x 4 d x i = 12 = 2 Azahl Kate vollstädig, schligefrei Zwei Kote eier Kate heiße beachbart. G=V, E gerichtet, da heißt: die Azahl Pfeile, die vo eiem x i V ausgehe, Ausgagsgrad d + x i. die Azahl Pfeile, die i eie x i V eigehe, Eigagsgrad d x i. 6. Graphe ud Bäume 3

4 Ist G ugerichtet, da heißt die Azahl der Kate, die eie Kote Grad des Kotes d x i. x i V ethalte, der Satz G=V, E sei Graph mit V ={x 1,, x }. E ethalte k Kate. k 1) Ist G ugerichtet, so gilt d x i =2k i=1 k 2) Ist G gerichtet, so gilt i=1 k d + x i = d x i =k i =1 Beweis 1) Jede Kate verbidet 2 Kote miteiader ud wird deshalb zweimal gezählt. Deshalb d x i =2k. 2) Jede Kate geht vo geau eiem Kote aus, wird deshalb geau eimal gezählt. d + x i =k. Aalog d x i =k. Ei Graph heißt schligefrei, we jede Kate verschiedee Kote verbidet. Ei ugerichteter Graph heißt vollstädig, we je zwei Kote durch eie Kate verbude sid. vollstädig, icht schligefrei icht vollstädig, icht schligefrei Zusammehägede Graphe G=V, E sei ugerichteter Graph Eie Folge x 1,, x k vo Kote V heißt Weg i G, falls {x 1 }, {x 2, x 3 }, {x k 1, x k } Kate E sid. Ei Weg x 1,, x k verbidet x 1 mit x k. Die Läge des Weges ist die Azahl k 1 seier Kate. Ei Weg x 1,, x k heißt Kreis i G, falls x 1 = x k. Graphe, die keie Kreise ethalte, heiße kreisfrei. 6. Graphe ud Bäume 4

5 Bemerkug Auch für gerichtete Graphe möglich, dort heiße Kreise Zykle. x 2, x 3, x 1, x 4 ist Weg der Läge 4 ud sogar Kreis. x 1, x 3, x 4 ist Weg der Läge 3. x 1, x 3, x 4 ist kei Weg! d x 3, x 4 =2, asoste d x i, x j =1 Ei ugerichteter Graph G=V, E heißt zusammehäged (coected), falls für jedes Kotepaar x i, x j ei Weg existiert, der x i mit x j verbidet. Die Läge des kürzestmögliche Weges, der x i mit x j verbidet, heißt Abstad d x i, x j. Die Mege N x={y V d x, y=1} heißt Nachbarschaft vo x. Satz G ugerichteter Graph, x, y V. Die Abstadsfuktio d hat folgede Eigeschafte: 1) d x, y=0 x= y 2) d x, y=d y, x 3) Dreiecks-Ugleichug: d x, y d x, zd z, y Bemerkug G=V, E sei ugerichteter Graph. Wir defiiere Relatio R auf V : x, y R Es gibt eie Weg vo x ach y. Da ist R Äquivalezrelatio auf V! Die Äquivalezklasse dieser Relatio heiße Zusammehagskompoete. 6. Graphe ud Bäume 5

6 1. Eie Zusammehagskompoete! 2. Zwei Zusammehagskompoete. Satz G zusammehäged Er besteht aus eier Zusammehagskompoete. GW = Gateway, FW = Firewall Ei Kote eies Graphe heißt treed: Nach Herausahme dieses Kotes hat der Graph mehr Zusammehagskompoete als vorher. 6. Graphe ud Bäume 6

7 6.2 Bäume Ei Baum ist ei zusammehägeder, kreisfreier (zyklefreier), ugerichteter (gerichteter) Graph. Bemerkug Geordete (Wurzel-)Darstellug eies Baumes Wähle eie Kote als Wurzelkote aus. Zeiche alle beachbarte Kote eie Ebee tiefer. usw. Satz 1) Zwei beachbarte Kote eies Baumes sid durch geau eie Kate verbude. 2) Zwei Kote sid durch geau eie Weg verbude. 3) Ei Baum mit Kote hat geau 1 Kate. 6. Graphe ud Bäume 7

8 Beweis 1) 2) Zusammehäged Es existiert midestes ei Weg. Aahme: Es existiere zwei Wege W 1, W 2. Laufe erst W 1 vo x 1 ach x 2 ud da W 2 vo x 2 ach x 1 Kreis 3) Vollstädige Iduktio Aahme: =2 Voraussetzug: Baum mit Kote hat 1 Kate. Schluss: Zeige: Baum mit 1 Kote hat Kate Spabäume G=V, E sei Graph G= V, E heißt Teilgraph vo G : V V ud E E. G heißt spaeder Teilgraph vo G. V =V ud E=E. Ist ei spaeder Teilgraph G vo G ei Baum T, so heißt T Spabaum vo G. Teilgraph (icht spaed) spaeder Teilgraph (kei Spabaum) Spabaum 6. Graphe ud Bäume 8

9 6.3 Graphetheoretische Probleme Toureprobleme Köigsberger Brückeproblem Ist ei Rudgag möglich, bei dem ma jede Brücke geau eimal, beutzt? (1736 vo Leoard Euler gelöst) Setze um i Graphe: 6. Graphe ud Bäume 9

10 Gibt es eie Kreis i G, der jede Kate geau eimal ethält? Bemerkug Ei solcher Kreis heißt Eulerkreis. Graphe mit Eulerkreis heiße eulersch. Satz EULER G=V, E eulerscher Graph d x gerade für jedes x V. Beweis " " Es gibt Eulerkreis i G Zu jeder Kate, die zu eiem Kote hiführt, existiert auch eie Kate, die herausführt. Kate trete paarweise auf d x gerade für jede Kote. " " Jeder Kote vo G habe gerade Grad. Zeige: Es gibt Eulerkreis i G mit vollstädiger Iduktio. über Azahl m der Kate. 6. Graphe ud Bäume 10

11 Iduktios Afag: m=2 : G eulersch Iduktios Aahme: Iduktios Schluss: Jeder Graph mit. m Kate mit d x gerade für alle x V ethält Eulerkreis. G Sei Graph mit m1 Kate. G ethält Eulerkreis. Starte bei beliebigem Kote x 0 V. Gehe zufällige Weg K. Beutze dabei solage immer eue Kate, bis keie eue Kate mehr da sid. We K am Ede, befide wir us wieder i x 0 K ist Kreis! Falls K alle Kate ethält K Eulerkreis. Falls K icht alle Kate ethält, bilde "Restgraphe" G K. z.b. 6. Graphe ud Bäume 11

12 G K hat weiger als m Kate ud jeder Kote hat gerade Grad. Iduktios Aahme G K eulersch! Laufe K vo x 0 bis x 1, laufe Eulerkreis i G K vo x 1 ach x 1, laufe vo x 1 ach x 0 Eulerkreis i G. Ei Weg i eiem ugerichtete zusammehägede Graphe, der jede Kate geau eimal beutzt, aber icht zum Startpukt zurückkehrt, heißt Eulerweg. 6. Graphe ud Bäume 12

13 Satz I G existiert ei Eulerweg Es gibt i G geau 2 Kote mit ugeradem Grad. Beweis " " Es existiert Eulerweg Weg startet i Kote mit ugeradem Grad ud Weg edet i Kote mit ugeradem Grad. Dazwische laufe Eulerkreis Es gibt icht mehr als 2 Kote mit ugeradem Grad. " " Es gibt geau zwei Kote mit ugeradem Grad Es gibt Kate, die diese verbidet. Streiche diese Kate Graph eulersch. Laufe Eulerkreis der i Kote mit ugeradem Grad startet, da ehme gestrichee Kate Eulerweg. Köigsberg Reloaded Eulerweg: Bemerkug Travellig Salesma Problem (TSP) Ist eie Rudtour möglich, die jede Kote geau eimal besucht? Graphe, i dee dies möglich ist, heiße Hamilto-Graphe. Vermutug: NP P Optimierugsprobleme G=V, E sei ugerichteter Graph. Gibt es eie Fuktio f : E N o, die jeder Kate vo G eie atürliche Zahl (sog. Gewicht) zuordet, so heißt G gewichteter Graph. 6. Graphe ud Bäume 13

14 Kürzeste Wege Problem Fide Weg vo S ach Z, desse Kategewichte die kleiste Summe bilde. Algorithmus: "Lokales Optimiere" Gehe immer zu dem Kote, der mit dem gerigste Aufwad zu erreiche ist. Färbe Kote, für die kürstester Weg vo S bereits bekat ist. Betrachte Nachbarkote der gefärbte Kote eue gefärbte Kote. Algorithmusede, falls Z gefärbt. DIJKSTRA-Algorithmus, O 2 ( Azahl der Kote) Miimale Spabäume KRUSKAL-Algorithmus Starte mit "Kotegerüst". Füge die Kate mit miimalstem Gewicht hizu, die möglich ist, ohe dass Kreise etstehe. Färbe Kote uterschiedlicher Zusammehagskompoete uterschiedlich, verbide ur uterschiedlich gefärbte Kote. 6. Graphe ud Bäume 14

15 TSP für gewichtete Graphe: Fide kürzeste Rudtour, die jede Kote midestes eimal ethält. Chiese Postma Problem (CPP): Fide kürzeste Rudtour die jede Kate midestes eimal ethält (Es gibt Alg O 3 ) Topologische Sortierug Kote.=. Teilprojekte Pfeil vo x i zu x j.=. x i voraussetzug für x j. 1: Mauer 2: Teppich lege 3: Elektrik 4: Dach decke 5: Eizug Pfeil vo x i ach x j x j vo x i abhägig sogeate "Deadlock" sortiere so, dass i j G=V, E sei gerichteter Graph. Eie Permutatio ord :V V der Kote heißt topologische Sortierug, falls gilt: v, w E ord vord w. icht topologisch sortiert! topologisch sortiert! ord 1=1 ord 2=4 ord 3=3 ord 4=2 ord 5=5 6. Graphe ud Bäume 15

16 Satz G=V, E sei gerichteter Graph. G besitzt topologische Sortierug G ist zyklefrei. Beweis " ": G besitzt topologische Sortierug: Aahme: G ethält Zyklus x 0 x 1 x x 0 ord x 0 ord x 1 ord x ord x 0 G ist zyklefrei. " ": G ist zyklefrei. Kostruiere topologische Sortierug via vollstädiger Iduktio ach = Azahl der Kote. =1 : G : G ist topologisch sortiert. Vorauss.: Jeder zyklefreie Graph mit Kote besitzt topologische Sortierug. Schluss: Zeige: Jeder zyklefreie Graph mit 1 Kote besitzt topologische Sortierug. Sei also G zyklefreier Graph mit 1 Kote. G Ethält Kote q mit d q=0. de: v 1 sei irgedei Kote. Ist d v 1 =0 Existiert Kote v 2 ud Kate v 2, v 1 E i Falls d v 2 =0 Existiert Kote v 3 ud Kate v 3, v 2 Existiert Kate v 1 V ud d 1=0 (sost ist G icht zyklefrei). Nehme Kote q mit d q=0 aus G heraus G '=G q G ' ethält Kote ud ist zyklefrei G ' besitzt top. Sortierug ord '. Defiiere topologische Sortierug ord für G : Für v V setze ord v= { 1 falls v=q ord ' v1 sost Sei v=q. Da gilt ord v =1ord ' w1 für alle Kote w mit q,e E. Für v q gilt ord v=1ord ' v1ord ' w für alle Kote w mit v, w E (da ord ' topologische Sortierug). ord Ist topologische Sortierug für G Algorithmus: i = 0 WHILE (Kote i Kotemege) { } i++; Suche Kote x mit d x=0 Setze ord x = i + 1 Nehme x aus Kotemege heraus 6. Graphe ud Bäume 16

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18 7. Wahrscheilichkeitstheorie 7.1 Kombiatorik Grudlage Für {0, 1, 2,3,} setze wir!= { 1 falls = falls 1 (gesproche Fakultät). Satz Gegebe seie verschiedee Objekte. Da gibt es ' verschiedee Möglichkeite diese Objekte azuorde. Beweis Für de erste Platz gibt es Möglichkeite, für de zweite Möglichkeite., usw. Gesamt Alle Aorduge der Buchstabe H, d, M : 1) HdM 2) HMd 3) MHd 4) MdH 5) dhm 6) dmh Sei 0 ud 0 k. Der Biomialkoeffiziet k :=! k! k!. k (" über k") ist defiitiert als 4 6! = 6 4!2! = 6 5 2! =15 8 8! = 3 3! 5! = =8 7=56 Satz Gegebe seie verschiedee Objekte. Da gibt es geau k Objekte k auszuwähle, we es icht auf die Wahlreihefolge akommt. Möglichkeite aus de 7. Wahrscheilichkeitstheorie 18

19 Beweis Möglichkeite, das erste Objekt auszuwähle 1 Möglichkeite, das zweite Objekt auszuwähle k 1 Möglichkeite, das k -te Objekt auszuwähle Da Reihefolge keie Rolle spielt Lotto 6 aus 49 k 1 k 1 = k! Azahl Möglichkeite.= 49 6 = = Gesamt: 1 k 1 Möglichkeite Beweis 1) 0 =! 0!! =1, =!! 0! =1 2) k =! k! k! =! k! k! = k 3) k k 1 =! k! k! k 1! k 1 =! 1 k.= 1! k! 1 k = 1 k k! 1 k! k k! 1 k Folgerug = PASCAL'sches Dreieck =0 =1 =2 =3 7. Wahrscheilichkeitstheorie 19

20 Satz ab = Beweis Verallgemeierte biomische Formel k=0 k ak b k 0 Vollstädige Iduktio Id. Afag: =0 : ab 0 =1, Id. Voraussetzug: ab = k=0 0 k =0 k ak b k Id. Schluss: Zeige: ab 1 = k=0 ab 1 =ab ab=ab.= 1 k=1.= k=1 1.= 1 k.= k=1 k 1 ak b 1 k k 1 k 1 k ak k=0 k=0 k ak k ak b k 1 a k b 1 k b 1 k 0.= a0 1 1 k 0 k ak b 0 k = 0 0 a0 b 0 =1 ak b 1 k b k = k=0 b 1 a 1 b 0 a 0 b 1.= 1 a 1 b 0 = k=0 k ak1 1 1 k b k ak b 1 k k=0 k ak 1 k b 5 ax 5 = k=0 5 k 2k x 5 k =1 2 0 x x x x x1 2 5.=x 5 70x 4 40x 3 80x 2 80x32 Folgerug k =0 k =2, de: Setze a=b=1 i biomischer Formel. 7. Wahrscheilichkeitstheorie 20

21 7.2 Ereigismege ud Wahrscheilichkeite Ei Experimet mit uvorhersehbarem Ausgag, das ma beliebig oft wiederhole ka, heißt Zufallsexperimet. Die Mege S aller mögliche Ausgäge eies Zufallsexperimets heißt Ereigismege. Jede Teilmege T S heißt ei Ergeigis. Die Elemete vo S heiße Elemetarereigisse. Würfel mit 2 Würfel: s={1,1,1,2,,6,4,6,5,6,6} Betrachte Ereigis E : "Augesumme = 7": E={1,6,2,5,3,4,4,3, 5,2,6,1} p E 1 = Fläche E 1 Fläche S p E 1 E 2 = Fläche E 1Fläche E 2 = pe Fläche S 1 p E 2 falls E 1 E 2 = ps =1 S sei Ereigismege, P S die Mege aller Ereigisse i S. Eie Fuktio p : P S [0,1] heißt Wahrscheilichkeitsverteilug, we gilt: 1) p S =1 2) Für Ereigisse E 1, E 2 mit E 1 E 2 = gilt pe 1 E 2 = pe 1 p E 2 Satz Eie Wahrscheilichkeitsverteilug p : P SS [0, 1] hat folgede Ergebisse 1) p =0 2) E 1, E 2 Ereigisse p E 1 E 2 = pe 1 p E 2, falls E 2 E 1 3) E Ereigis p E=1 p E 4) E 1, E 2 Ereigisse p E 1 E 2 = p E 1 p E 2 p E 1 E 2 Beweis 1) p = p = p p p =0 2) E 1 =E 2 {E 1 E 2 } p E 1 pe 1 E 2 p E 1 E 2 = pe 1 p E 2 3) S=E E p S = p E p E=1 p E=1 p E 7. Wahrscheilichkeitstheorie 21

22 4) E 1 E 2 =E 1 X =E 1 {E 2 {E 1 E 2 }} p E 1 E 2 = p E 1 pe 2 {E 1 E 2 }.= p E 1 p E 2 p E 1 E 2 Würfel mit 2 Würfel: S besteht aus 36 Elemetarereigisse E 1 ={1,6,2,5,3,4,4,3,5,2, 6,1} Erfahrug: Jedes Elemetarereigis E ist gleichwahrscheilich p E = 1 36 E 1 besteht aus 6 Elemetarereigisse p E 1 = 6 36 =1 6 E 2 ={1,6,1,5,1,4,1,3, 1,2,1,1} "Erster Würfel zeigt 1" E 1 E 2 ={1,1,1,2,,1,6,2,5,3,4,,6,1} 11 Elemetarerigisse p E 1 E 2 = p E p E = Bemerkug Ei Experimet, bei dem alle Ausgäge gleich wahrscheilich sid heißt Laplace-Experimet. Satz Bei eiem Laplace-Experimet mit Ereigismege S gilt für jedes Elemet E : p E = E S Skat 32 Karte, 3 Spieler, jeder bekommt 10 Karte (Laplace-Experimet). s={alle Mögliche Blätter eies Spielers}, S ethält Elemetarereigisse. p mid. ei Ass=? p mid. ei Ass= p geau ei Ass pgeau 2 Asse p geau 3 Asse pgeau 4 Asse = p kei Ass= =0, =0, Wahrscheilichkeitstheorie 22

23 7.3 Bedigte Wahrscheilichkeit Betrachte Wahrscheilichkeit für Ereigis A, uter der Bedigug, dass aderes Ereigis B eigetrete ist. Skat Bereche Wahrscheilichkeit, dass Spieler A zwei Asse hat, uter der Bedigug, dass B zwei Asse hat. A B= 2 p ! 8 8! 12! = = ! = !12! Betrachte allgemeies Laplace-Experimet mit Ereigismege S. Ifo: B ist eigetrete! [ A B ] p A B= A B B = S = p A B (bei B p B S Laplace-Experimete) 7. Wahrscheilichkeitstheorie 23