1 Verhalten in der Umgebung der Definitionslücken

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1 Schülerbuchseite 8 Lösungen vorläuig S. 8 I Graphen gebrochen rationaler Funktionen Verhalten in der Umgebung der Deinitionslücken : 0 + 0,6 g: 0 + 0,6 (Gesamtpreis in ) (Durchschnittspreis pro Liter in ) Gesamtpreis in () 0 0 in Liter 7 6 Durchschnittspreis in in Liter c) Der durchschnittliche Literpreis steigt ür kleiner werdendes an, nahe bei 0 sogar sehr stark, weshalb der Kau eines Viertelliters nicht sinnvoll ist; sachlicher Hintergrund ist der Festpreisanteil (Fikostenanteil). () > 00 ür < <,0; () < 00 ür,99 < < Der Graph ällt bei Annäherung an von links immer stärker und verschwindet im negativen Unendlichen. Für = gibt es keinen Graphenpunkt. Für > kommt der Graph aus dem Unendlichen und ällt immer schwächer während er sich der -Achse wieder annähert. S. m gebrochen rationale Funktion; Deinitionslücke bei = gebrochen rationale Funktion; Deinitionslücken bei = ; = c) kann man im Sinne der Deinition (Schülerbuch S. 8) als gebrochen rational bezeichnen (das Polnom im Nenner hat den Grad 0), wenn auch ohne Deinitionslücke und den tpischen Eigenschaten d) gebrochen rationale Funktion; Deinitionslücke bei = ; = e) keine gebrochen rationale Funktion; Deinitionslücke bei = ) gebrochen rationale Funktion; keine Deinitionslücke Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN

2 Schülerbuchseite Lösungen vorläuig c) d) 6 e) ) 6 Polstellen mit Vorzeichenwechsel +/ bei = 9 _ und /+ bei = 9 _ Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei = mit Verhalten / c) Polstellen mit Vorzeichenwechsel +/ bei = 0 und /+ bei = d) Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei = 0, mit Verhalten / e) keine Polstelle ) Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei = mit Verhalten +/+ mit Vorzeichenwechsel +/ bei = 0 D = R \{}; lim () = + ; lim () = ; keine Nullstelle < > D = R \{ }; lim < () = ; lim () = ; Nullstelle bei = 0, > c) D = R \{ ; + }; lim < (t) = ; lim > (t) = ; lim (t)= ; lim (t) = + ; < > keine Nullstelle d) D = R; Nullstellen: = 9 _ 0,6; = + 9 _,6 e) D = R \ { 9 _ ; 9 _ }; lim keine Nullstelle z < 9 _ (z) = + ; lim > 9 _ (z) = ; lim z < 9 _ (z) = ; lim z > 9 _ (z) = + ; ) D = R \{ ; }; lim t < (t) = ; lim (t) = + ; lim t t (t) = ; lim (t) = + ; t > < > Nullstelle bei = 0, g) D = R \{}; lim () = ; lim () = + ; Nullstelle bei = _ 8 < > h) D = R \{ ; }; lim z < (z) = + ; lim (z) = ; lim z (z) = _ ; lim z (z) = _ ; > < > Nullstelle bei Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN

3 Schülerbuchseite Lösungen vorläuig 6 von links: Polstelle mit Vorzeichenwechsel; = ; : _ Polstelle ohne Vorzeichenwechsel; = ; : ( ) Polstelle mit Vorzeichenwechsel; = 0,; : 0, Polstelle ohne Vorzeichenwechsel; = 0; : _, Polstelle mit Vorzeichenwechsel; = ; : ( + ) 7 : Deinitionslücke bei = 0 g: Deinitionslücke bei = h: Deinitionslücke bei = 6 h h g g Der Graph von g entsteht aus demjenigen von durch Verschiebung um eine Einheit in positive -Richtung. Der Graph von h entsteht aus demjenigen von durch Verschiebung um Einheiten in negative -Richtung. Der Graph von h entsteht aus demjenigen von g durch Verschiebung um Einheiten in negative -Richtung c) d) Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN

4 Schülerbuchseite Lösungen vorläuig 9 Z. B. : _ ; ; _ + Z. B. : _ ( + ) ( ) = _ ; _ 8 ; _ c) Z. B. : _ ( + ) ( ) = 6 ; ; 6 d) Z. B. : _ + ; _ + ; _ () = _ ( ) ( ) ; D = R \{; } lim () = + ; lim () = ; < lim () = ; lim () = + ; < Nullstelle: = _ > > ( ) () = ( ) ; D = R \{} lim () = ; lim () = + ; < Nullstelle: = 0 > c) () = + + ( + ) ; D = R \{ }; lim () = ; lim > < Nullstellen: () = ; = 9 _ 7,6; = + 9 _ 7 0, 6 Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN

5 Schülerbuchseite Lösungen vorläuig d) () = ( + ) ( ) ; D = R \{ ; } lim () = + ; lim () = ; < lim () = + ; lim () = + ; < Nullstelle: = 0 > > S. A () = _ (U ) = + U_ U () = + A_ = ( + A) D = ] 0 ; U_ [ D = R+ Für U = ergibt sich: Für A = 6 ergibt sich: A () = + 6 U () = + D = ] 0 ; 6 [ p m : _ + : _ ( + ) c) : _ d) : _ ( ) e) : = ( ) ) : ( + ) ( + ) ( ) Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN

6 Schülerbuchseite Lösungen vorläuig t < 0: Deinitionslücken bei = ± 9 _ t D t = R \ { 9 _ t ; + 9 _ t } t = 0: Deinitionslücke bei = 0 D t = R \ {0} t > 0: keine Deinitionslücke D t = R () = _ 0 () = _ () = _ + h (r) = V_ r π V speziell ür V = : h (r) = _ r π h(r) ( r) π = V_ r π = _ V_ r π Die Höhe wird geviertelt. r c) d) + 8 e) Die Ziern geben die Reihenolge der Berechnung an. 0, 0,7 A _ A 0,6 0, 0,:0,7 = 0, 0,8 B P (A B) = 0,8 P _ A (B) = 0, c) P (A ± B) = P ( _ A _ B ) = 0, d) P B (A) = _ B 0, 0,6 = 0,8 0, 0,8 = 0, 0,6 B _ B P (A B) _ = 0,8 P (B) 0,= 0,6 7 Das durch die Zerlegung entstandene Parallelogramm hat die gleiche Höhe wie das entstandene Dreieck. Damit beide Figuren den gleichen Flächeninhalt haben, muss die Grundseite des Dreiecks doppelt so groß wie die Grundseite des Parallelogramms sein. Dies wird von Trapezen erüllt, bei denen eine der zueinander parallelen Seiten dreimal so lang wie die andere ist. h A P = g P h A D = _ g D h g P g D Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN

7 Schülerbuchseite 6 Lösungen vorläuig Verhalten im Unendlichen S. lim h + A K = lim h + _ π r h r + h = lim h + π r h h r_ = lim h + _ π r h + r_ h + = π r Randspalte Aus sehr großer Enternung muss man etwa die halbe Erdoberläche sehen können, da die den Blickwinkel begrenzenden Halbgeraden nahezu parallel werden. Die Besatzung der ISS sieht etwa,6 % Erdoberläche. S. 6 waagrechte Asmptote senkrechte Asmptote schräge Asmptote = 0 = 0, = = c) = 0 = 0,; = 0, d) = 0, e) = = 0; = ) = 0, =, 0, g) = = h) = 0 = m c) Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN

8 Schülerbuchseite 6 7 Lösungen vorläuig Graph steigt Graph ällt + Deinitionslücken * ] ; [ ± [ 0, ; 0 [ ± ] 0 ;, ] * ] ; 0, ] ± [, ; + [ () 0 () 0 = ; = 0 * [ 0, ; + [ \ { 9 _ } * ] ; 0, ] \ { 9 _ } () () = 9 _ ; = + 9 _ ; c) * [, ;, ] \ { ; } * ] ;, ] \ { } ± [, ; + [ () 0 () 0 = ; = ; = (Loch) S. 7,, und 6 kommen nicht in Frage, da sie wegen Zählergrad = Nennergrad waagrechte Asmptoten besitzen und keine schrägen. kommt ebenso nicht in Frage, da deren senkrechte Asmptote = und nicht = wäre. Daher muss es sein. _ Formt man so um, so sieht man: () = 0, + +. U; D; A; K; A; 6 K Lösungswort (von 6 nach gelesen): KAKADU 6. Aussage: Bei einer waagrechten Asmptote stimmt das, da = 0 nicht in den Funktionsterm eingesetzt werden dar.. Aussage: lim _ ± ( ) = lim ± = lim ± _ _ = = ist waagrechte Asmptote Aber () = Auch diese Aussage stimmt. 7 Waagrechte Asmptote = 0:, 7, 9 Waagrechte Asmptote = :, Schräge Asmptote = :,, 0 _ () = + 8 Funktion Graph Begründung rot Asmptoten: = ; =, g blau Asmptoten: = ; = 0, h Asmptoten: = ; = 0 k Asmptoten: = ; = 0 m schwarz Asmptote: = n grün nach unten geönete Parabel p violett Sinusunktion; Streckung um in -Richtung r nach oben geönete Parabel m 9 () = _ () = _ c) () = + _ + = + d) () = ( ) ( + ) = _ e) () = _ = _ + _ ) () = 9 _ g) Entweder sind Zählergrad und Nennergrad gleich, dann gibt es eine waagrechte Asmptote aber keine schräge oder der Zählergrad ist um größer als der Nennergrad, dann gibt es eine schräge Asmptote aber keine waagrechte. Beides kann nicht gleichzeitig eintreten. Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN

9 Schülerbuchseite Lösungen vorläuig S. 8 0 c = ; a + b + =, 0 (t) und 6 a + b + = 6,0 m ergibt: a = ; b = c) Ansatz: (t) = 0,9 (0); t t + = 0,8 (t + ), t t +, =0 t, (Tage),9 () = 8 0, + = 8 () = _ 7_ + = _ c) g () = _ _ 8 + 7_ 8 _ + = _ _ 8 t _ d) g () = _ + = _ Der Graph kommt ür von der -Achse und ällt bis zur Asmptote =,9, einer Asmptote 80 mit Vorzeichenwechsel. Rechts von =,9 ällt der 60 0 Graph bis zur Asmptote =,, wieder mit Vorzeichenwechsel. Dabei schneidet er die -Achse an der Nullstelle =. Rechts von =, ällt der 0 Graph und nähert sich ür große der -Achse. 0, 0,,,, m g () = _ _ + 9_ 8 7_ 8 (0) g (0) = 7_ ,0 (00) g (00) = ,0 g () = _ (0) g (0) = 0 + 0,0 (00) g (00) = ,000 c) g () = 6 7, _ (0) g (0) = 0, (00) g (00) = 00 0, d) g () = _ _ _ 8 (0) g (0) =! _ 8 0 +! 0,0 (00) g (00) =! ! 0,00 Zu beachten: Die Dierenz der beiden Funktionswerte entspricht dem Wert des Restterms bei der Polnomdivision. Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN

10 Schülerbuchseite 8 Lösungen vorläuig g g c) d) g g a () = a ( + ) ( ); a * R a () = a ( + ) ( ) = c) Scheitelpunktorm: a = 0, a () = a ( ) a Die Scheitelpunkte haben die Koordinaten S c (. Somit liegen die Scheitelpunkte aller Parabeln au der Geraden =. Da ( c) und ( 0) bereits Nullstellen der Parabeln sind, kann es keine weitere Nullstelle mehr geben. Der Punkt 0 kann also auch kein Scheitelpunkt sein. 6 Lösung: r = 6; s = 0,6 keine Lösung c) L = {(α; β) α * R; β = _ α +, } d) Lösung: γ = _ ; ε = 0 e) Lösung: = ; = ) Lösung: = 7 _ 9 ; = 8 _ 9 Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN

11 Schülerbuchseite 9 Lösungen vorläuig Zusammenhang von Graphen und Termen S. 9 Links: Achsensmmetrisch zur -Achse; zwei Schnittpunkte mit der -Achse bei etwa =, und =,, zwei senkrechte Asmptoten: =, = ; vermutlich waagrechte Asmptote Mitte links: vermutlich ein Schnittpunkt mit der -Achse bei = ; vermutlich waagrechte Asmptote = 0; keine senkrechte Asmptote Mitte rechts: punktsmmetrisch zum Koordinatenursprung; ein Schnittpunkt mit der -Achse; senkrechte Asmptote: = 0; waagrechte Asmptote = 0 Rechts: ein Schnittpunkt mit der -Achse bei = 0,; senkrechte Asmptote: = ; waagrechte Asmptote = Ganzrationale Funktionen können smmetrisch sein; gehen gegen Unendlich; keine Unterbrechungen maimaler Deinitionsmenge; können die -Achse bis zu n-mal schneiden Gebrochen rationale Funktionen können smmetrisch sein; können senkrechte, waagrechte oder schräge Asmptoten besitzen; maimale Deinitionsmenge ist meist nicht R S. Deinitionsmenge Smmetrie Asmptoten Nullstellen D = R \ { } = ; = = _ D = R \ { ; } punktsmmetrisch zum Koordinatenursprung = ; = ; = 0 = 0 c) D = R \ { _ } = _ ; = _,0;, d) D = R achsensmmetrisch zur -Achse = 0, = ; = e) D g = R \ { ; } = ; = ; = 0 = ) D g = R \ { } = ; = + = _ 9 _ ; = _ 9 _ c) Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN

12 Schülerbuchseite Lösungen vorläuig e) d) ) : _ : _ + c) : _ d) : + _ + = + _ + e) : _ Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN

13 Schülerbuchseite Lösungen vorläuig c) 6 Achsensmmetrisch bzgl. der -Achse nur gerade Eponenten im Funktionsterm; punktsmmetrisch bzgl. des Koordinatenursprungs nur ungerade Eponenten im Funktionsterm _ Für gebrochen rationale Funktionen der Form p () q () gilt: Haben die Funktionsterme von p und q nur gerade Eponenten, so ist der Graph achsensmmetrisch zur -Achse. Gleiches gilt, wenn die beiden Funktionsterme nur ungerade Eponenten besitzen. Hat der Funktionsterm von p nur gerade Eponenten und der von q nur ungerade oder umgekehrt, so ist der Graph punktsmmetrisch zum Koordinatenursprung. 7 Asmptoten Smmetrie Nullstellen Funktionsterm = 0,; = 0, 0,7 _ 0, 0,7 = () g 0,7; 0,7; = 0 punktsmmetrisch zum Koordinatenursprung = 0 _ 0, g () = ( 0,7) ( + 0,7) h,;,; = 0, = ; = _ 0, ( ) ( ) h (), _ 0, ( ) ( ) 8 V = dm π 07,88 dm = 68 dm π 7,79 dm V = 79, dm π 87,6 dm 6,0 dm a 9 Mit t Kai = t Stean + min, s = v t und s Stean = s Kai olgt: 00 m_ min t Stean = 00 m_ min (t Stean + min) t Stean = min s = v Stean t Stean =,8 km Der Schulweg der beiden ist,8 km lang. _ v Stean vkai = 00 m_ min 00 m_ min = _, Stean ährt etwa, % schneller als Kai. c) t Kai t Stean tkai = _ min 6 min = 0, Stean spart gegenüber Kai % an Zeit ein. Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN

14 Schülerbuchseite Lösungen vorläuig Thema: Das Schluckvermögen einer Straße S. Mit den Abstandsregeln () und () hat die Verkehrsdichte bereits zwischen km_ h ihren Höchstwert erreicht. Danach ällt sie ür höhere Geschwindigkeiten wieder ab. Die Verkehrsdichte ür () liegt dabei immer etwas höher als ür (). Mit den Abstandsregeln () und () ist im Diagramm kein Maimum ür die Verkehrsdichte erkennbar. Allerdings steigt sie ab etwa 0 km_ weniger stark an. Die Verkehrsdichte ür () liegt durchweg h etwas höher als ür (). Mit Abstandsregel () erhält man die größte Verkehrsdichte, die nach Erreichen ihres Höchstwertes bei 70 km_ wieder etwas abällt, allerdings nicht so stark wie mit Abstandsregel () und (). h m D(v) () () () D(v) () () () () () () () v v m D(v) Je länger die Reaktionszeit t R bei gleicher 00 t R =, Bremsverzögerung b ist, desto geringer 000 t R =, ist die Verkehrsdichte D. t R =, v 0 ändert sich nicht bei ändernden Reaktionszeiten, t R =,6 d. h., v 0 ist unabhängig von t R v D(v) b = b = 6 b = 8 b = 0 Je geringer die Bremsverzögerung b bei gleichbleibender Reaktionszeit t R ist, desto geringer sind v 0 und Verkehrsdichte D v Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN

15 Schülerbuchseite Lösungen vorläuig c) Je größer die Länge L und/oder die Bremsverzögerung b ist, desto größer ist v 0. b = : v 0 =,6 9 _,77 km_ h 000 v 0 D = _ + v 0,6 + _ 8 _ v 0 9,7 ( _,6 h ) oder Fahrzeuge Stunde b = 8: v 0 =,6 9 _ 8,0 km_ h 000 v 0 D = _ + v 0,6 + _ 6 _ v 0 699,69 ( _,6 h ) oder Fahrzeuge Stunde d) v 0 =, L _ b b hängt sowohl von der Länge L als auch von der eigenen Bremsverzögerung b und der Bremsverzögerung b des vorausahrenden Fahrzeugs ab. Der Term _ b b b b b b nimmt dabei umso größere Werte an, je größer die einzelnen Werte der Bremsverzögerungen sind (Zähler) und je geringer ihre Dierenz ist (Nenner). [Große Unterschiede in der Bremsverzögerung zum vorausahrenden Fahrzeug zwingen im Allgemeinen zu einem größeren Sicherheitsabstand.] Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN