Gründe für die Behandlung von stochastischen Problemen (nach KÜTTING)

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1 Vorlesung Stochastik Gründe für die Behandlung von stochastischen Problemen (nach KÜTTING) Der Mathematikunterricht der Schule hat die Aufgabe, eine Grundbildung zu vermitteln, die auf ein mathematisches Erfassen unserer Wirklichkeit gerichtet ist. Unsere Wirklichkeit umfasst neben deterministischen auch nicht deterministische, dh. zufällige Phänomene. Die Schule sollte auch Grundkenntnisse zum Verständnis zufälliger Erscheinungen vermitteln. Wenn eine der Grundaufgaben allgemeinbildender Schulen darin besteht, menschliches Verhalten bewusst zu machen, dann kann man an dem Aspekt des Zufalls im Leben nicht vorbeigehen. (WINTER, H. Gedanken zur Modernisierung des Sachrechnens,1972) Ziel der Stochastik: Den Zufall mathematisch erfassbar machen (KÜTTING) Stochastik Wahrscheinlichkeitsrechnung Untersucht Gesetzmäßigkeiten zufälliger Erscheinungen Statistik Deskriptive (beschreibende) Entwickelt Methoden zum Erfassen, Ordnen und Zusammenstellen von Daten Induktive (beurteilende) Liefert Methoden zur Analyse von Daten Teilweise wird die Kombinatorik als extra Bereich der Stochastik eingestuft, sie untersucht Möglichkeiten der Anordnung von Objekten.

2 Im täglichen Leben treten oft mehr oder weniger zufällige Erscheinungen auf. Z.B. bei Würfelspielen, Verkehrsbeobachtungen, Wetter, Krankenstand in einer Schulklasse, etc. 10mal würfeln, notieren wie oft die 6 fällt, (z.b. 2mal) Verkehrsbeobachtung, von 40 Fahrzeugen waren 15 Lkw Geburten: von 10 Neugeborenen waren 6 Jungen Def 1: Ein Vorgang heißt zufällig, wenn er mehrere Ergebnisse haben kann und nicht vorausgesagt werden kann, welches dieser Ergebnisse eintritt. Man spricht von einem Zufallsexperiment, wenn folgende Eigenschaften gelten: es läuft unter bestimmten Bedingungen ab es kann beliebig oft wiederholt werden jede Realisierung führt zu einem zufälligen Ergebnis. Die Vorgänge in Bsp1 bis 3 sind Zufallsexperimente (bei Bsp3 könnte man evtl. diskutieren) Def 2: Die absolute Häufigkeit H n (E) eines Ergebnisses E gibt an, wie oft E bei n Realisierungen auftritt. H 10 (6) = 2 H 40 (LKW) = 15 H 10 (J) = 6 Oft sind die absoluten Werte nicht so aussagekräftig (z.b. ist es schon ein Unterschied, ob bei einem Krankenstand von 5 Schülern die Klasse aus 15 oder aus 30 Schülern besteht). Günstiger ist hier die Verwendung relativer Werte (5 von 15 bzw. 1 von 3 = 1/3 gegenüber 5 von 30 bzw. 1 von 6 = 1/6) Def 3: Die relative Häufigkeit h n (E) eines Ergebnisses E ist der Quotient aus absoluter Häufigkeit und Anzahl der Realisierungen. H E h n (E) = n ( ) n h 10 (6) = 2/10 = 0,2 h 40 (Lkw) = 15/40 =0,375 h 10 (J) = 6/10 = 0,6 Für sehr hohe Realisierungszahlen n kann man beobachten, dass sich die relative Häufigkeit h n (E) bei einem festen Wert stabilisiert. (Sie strebt gegen diesen Wert.) Dies wurde auch in der Entwicklung der Stochastik schon früh festgestellt und man hat versucht, die Wahrscheinlichkeit P(E) als Grenzwert der relativen Häufigkeit für unendlich wachsendes n zu definieren ( P(E) = ( E ) ). Allerdings kam es lim hierbei zu Schwierigkeiten mit dem Grenzwertbegriff, so dass andere Wege zur Definition von P(E) nötig waren. Allerdings bietet sich damit ein möglicher Zugang zur Wahrscheinlichkeitsrechnung, der auch im Unterricht nutzbar ist. n h n

3 Satz1: Bem: (Empirisches Gesetz der großen Zahl) Ist A ein Ergebnis bei einem Zufallsexperiment, dann stabilisiert sich die relative Häufigkeit h n (A) bei wachsender Anzahl n von Realisierungen gegen einen festen Wert. (Dieser Wert kann als Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit P(A) gelten.) Dies ist kein mathematischer Satz im herkömmlichen Sinn, sondern ein empirisches Gesetz (also aus der Erfahrung gewonnen und nicht von Axiomen abgeleitet), er kann deshalb mathematisch nicht bewiesen werden. Def4: h n (6) sollte sich bei einem idealen Würfel bei 1/6 einpegeln hier kann kein fester Wert angegeben werden h n (J) liegt nach Geburtsstatistik bei 0,512 (ist aber unter anderem von der Region abhängig) Die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments heißt Ergebnismenge Ω. Ω 1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} oder Ω 2 = {Primzahl PZ, keine PZ} oder Ω 3 = {6; keine 6} oder Ω 1 = {Pkw, Lkw, Motorrad, Fahrrad} oder Ω 2 = {Lkw, kein Lkw} oder Ω = {Junge J, Mädchen M} Es gibt also oft verschiedene Möglichkeiten Ω festzulegen! Eine geschickte Wahl von Ω ist oft wichtig für die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten. Def5: Jede Teilmenge A der Ergebnismenge Ω heißt Ereignis A. Satz2: Bew: Hat Ω n Elemente (d.h. Ω = n), dann gibt es 2 n unterschiedliche Ereignisse. Die Menge aller Teilmengen von Ω ist die Potenzmenge (Ω). Hat Ω n Elemente, so besitzt (Ω) 2 n Elemente, vgl. Vorlesung zur Mengenlehre, d.h. es gibt 2 n verschiedene Teilmengen von Ω, also 2 n verschiedene Ereignisse. Def6: 2 6 = 64 verschiedene Ereignisse hängt davon ab welche Fahrzeuge man zählt ist Ω = {Pkw, Lkw, sonstiges Fahrzeug}, so gibt es 2 3 = 8 verschiedene Ereignisse 2² = 4 verschiedene Ereignisse Die Menge aller Teilmengen von Ω heißt Ereignisraum (Ω) oder 2 Ω Übung für zu Hause Sei z. B. Ω = {Pkw, Lkw, sonstiges Fahrzeug},

4 Def7: Def8: (Ω) = {, {Pkw}, {Lkw}, {Sonst.}, {Pkw, Lkw}, {Pkw, Sonst.}, {Lkw, Sonst.}, {Pkw, Lkw, Sonst}} Ω = {J, M}; (Ω) = {, {J}, {M}, {J, M}} Das Ereignis A ist eingetreten, wenn bei einem Zufallsexperiment als Ergebnis a erscheint, mit a A. Z.B. das Ereignis {3, 4, 5} ist eingetreten, wenn eine 3 oder eine 4 oder eine 5 gewürfelt wird. Sei z. B. Ω = {Pkw, Lkw, sonstiges Fahrzeug}, wenn ein Lkw vorbeikommt, wäre das Ereignis {Lkw} oder {Pkw, Lkw} oder {Lkw, Sonst.} oder {Pkw, Lkw, Sonst.} eingetreten. Ω = {J, M}, das Ereignis {J} ist eingetreten, wenn ein Junge geboren wird Die einelementigen Teilmengen der Ergebnismenge heißen Elementarereignisse (atomare Ereignisse). Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Elementarereignisse sind {1}, {2}, {3}, {4}, {5} und {6} Ω = {Pkw, Lkw, sonstiges Fahrzeug}, Elementarereignisse sind {Pkw}, {Lkw} und {Sonst.} Ω = {J, M}, Elementarereignisse sind {J} und {M} Def9: A = nennt man unmögliches Ereignis und A = Ω nennt man sicheres Ereignis. unmöglich ist es z.b. eine 7 zu würfeln und sicher ist, dass eine Zahl von 1 bis 6 gewürfelt wird unmöglich ist, dass ein Raumschiff Enterprise vorbeigefahren kommt, sicher ist, dass irgendein Fahrzeug vorbeikommt (wenn man an einer nichtgesperrten, öffentlichen Straße lange genug wartet) unmöglich ist, dass ein Saurier geboren wird, sicher ist es ein Junge oder Mädchen Nach einigen Schwierigkeiten in der Entwicklung der Wahrscheinlichkeitsrechnung forderte David Hilbert ( ) ( Wir müssen wissen, und wir werden wissen! ) im Jahr 1900 eine Axiomatisierung der Physik, wobei es ihm ursprünglich allerdings um die Wahrscheinlichkeitstheorie ging (das 6. von Hilberts 23 offenen Problemen der Mathematik). Diese Axiomatisierung der Wahrscheinlichkeitstheorie leistete 1933 Andrei Kolmogorow ( ).

5 Def10: (Kolmogorows Axiome eingeschränkt auf endliche Mengen) Eine Funktion P, die jeder Teilmenge A einer Menge Ω eine reelle Zahl P(A) zuordnet heißt Wahrscheinlichkeitsverteilung, wenn sie folgende Bedingungen erfüllt: P(A) 0 (Nichtnegativität) P(Ω) = 1 (Normiertheit) P(A B) = P(A) + P(B), wenn A B = (Additivität) D.h. es wird jedem Ereignis ein Wert (eine Wahrscheinlichkeit) von 0 bis 1 zugewiesen und die Wahrscheinlichkeit, dass A oder B eintritt (P(A B)) ergibt sich als Summe der Wahrscheinlichkeiten für A und B (wenn A und B disjunkt sind (A B = )). Das sichere Ereignis erhält die Wahrscheinlichkeit 1, das unmögliche Ereignis die Wahrscheinlichkeit 0. P(7) = 0, P(1 oder 2 oder oder 6) = P(es fällt eine Zahl von 1 bis 6) = 1 P(1 oder 2) = 1/6+1/6 = 1/3, wenn P(1) = 1/6 und P(2) = 1/6 P(Enterprise) = 0, P(irgendein Fahrzeug) = 1 P(Saurier) = 0, P(J oder M) = 1, P(J) = 0,512, P(M) = 0,488 Es werden also etwas mehr Jungen als Mädchen geboren! In seinem Buch Théorie Analytique des Probabilités, gab Pierre-Simon (Marquis de) Laplace ( ) eine Definition von Wahrscheinlichkeit und untersuchte abhängige und unabhängige Ereignisse. Interessant ist, das er andererseits Anhänger des Determinismus war und den Laplacschen Dämon entwarf: Wir müssen also den gegenwärtigen Zustand des Universums als Folge eines früheren Zustandes ansehen und als Ursache des Zustandes, der danach kommt. Eine Intelligenz, die in einem gegebenen Augenblick alle Kräfte kennte, mit denen die Welt begabt ist, und die gegenwärtige Lage der Gebilde, die sie zusammensetzen, und die überdies umfassend genug wäre, diese Kenntnisse der Analyse zu unterwerfen, würde in der gleichen Formel die Bewegungen der größten Himmelskörper und die des leichtesten Atoms einbegreifen. Nichts wäre für sie ungewiss, Zukunft und Vergangenheit lägen klar vor ihren Augen. Diese Intelligenz ist als Laplacscher Dämon bekannt. Def11: (Laplace-Verteilung) Sind bei einem Zufallsexperiment alle Elementarereignisse gleichwahrscheinlich, so nennt man diese Laplace-verteilt oder gleichverteilt. Solche Zufallsexperimente heißen auch Laplace- Experimente. (D.h. die Elementarereignisse sind unabhängig voneinander) Beim idealen Würfel sind die Ereignisse gleichverteilt, P(1) = P(2) = P(3) = =P(6) = 1/6 In der Regel sind die verschiedenen Fahrzeuge nicht gleichverteilt. Die Geburtenraten von Jungen und Mädchen unterscheiden sich auch, sind also nicht gleichverteilt.

6 Satz3: Für Laplace-Experimente gilt: Hat Ω = {e 1, e 2, e 3,, e n } Elementarereignisse, so ergibt sich für jedes Ereignis e k (k = 1, 2,, n) 1 1 die Wahrscheinlichkeit P(e k ) = = n Ω. Bew: Für die Elementarereignisse gilt: {e 1 } {e 2 } {e 3 } {e n } = Ω, sie sind paarweise disjunkt, also gilt nach Def10: P({e 1 } {e 2 } {e n }) = P({e 1 }) + P({e 2 }) + + P({e n }) = P(Ω) = 1 Da nach Def11 jedes Elementarereignis die gleiche Wahrscheinlichkeit hat, muss gelten: P({e 1 }) = P({e 2 }) = = P({e n }) = 1/n P(1) = P(2) = P(3) = =P(6) = 1/6 kein Laplace-Experiment kein Laplace-Experiment Satz4: Für jedes Ereignis A (Ω) gilt: A Anzahl der für A günstigen Ergebnisse P(A) = = Ω Anzahl aller möglichen Ergebnise Auf den Beweis wird an dieser stelle verzichtet. A = {1, 6} es soll also eine 1 oder eine 6 gewürfelt werden. 2 Ergebnisse günstig (1 oder 6) 2 1 P(A) = = = 6 mögliche Ergebnisse gibt es 6 3 B es soll eine Primzahl gewürfelt werden 3 Ergebnisse günstig (2 oder 3 oder 5) P(B) = 6 mögliche Ergebnisse gibt es = 6 3 = 2 1 Schlussbemerkung: In der Praxis werden Wahrscheinlichkeiten unterschiedlich angegeben, als Wert von 0 bis 1, als Prozentzahl oder als Verhältnis ½ = 0,5 oder 50% oder 5 von 10 (1 von 2) oder 5 zu 5 (5:5 auch 1:1) (50:50 fifty-fifty ) 1/5 = 0,2 oder 20% oder 2 von 10 (1 von 5) oder 2 zu 8 (2:8 auch 1:4) 1/3 = 0,3 oder 33,33% oder 1 von 3 oder 1 zu 2 (1:2)