Gründe für die Behandlung von stochastischen Problemen (nach KÜTTING)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Gründe für die Behandlung von stochastischen Problemen (nach KÜTTING)"

Transkript

1 Vorlesung Stochastik Gründe für die Behandlung von stochastischen Problemen (nach KÜTTING) Der Mathematikunterricht der Schule hat die Aufgabe, eine Grundbildung zu vermitteln, die auf ein mathematisches Erfassen unserer Wirklichkeit gerichtet ist. Unsere Wirklichkeit umfasst neben deterministischen auch nicht deterministische, dh. zufällige Phänomene. Die Schule sollte auch Grundkenntnisse zum Verständnis zufälliger Erscheinungen vermitteln. Wenn eine der Grundaufgaben allgemeinbildender Schulen darin besteht, menschliches Verhalten bewusst zu machen, dann kann man an dem Aspekt des Zufalls im Leben nicht vorbeigehen. (WINTER, H. Gedanken zur Modernisierung des Sachrechnens,1972) Ziel der Stochastik: Den Zufall mathematisch erfassbar machen (KÜTTING) Stochastik Wahrscheinlichkeitsrechnung Untersucht Gesetzmäßigkeiten zufälliger Erscheinungen Statistik Deskriptive (beschreibende) Entwickelt Methoden zum Erfassen, Ordnen und Zusammenstellen von Daten Induktive (beurteilende) Liefert Methoden zur Analyse von Daten Teilweise wird die Kombinatorik als extra Bereich der Stochastik eingestuft, sie untersucht Möglichkeiten der Anordnung von Objekten.

2 Im täglichen Leben treten oft mehr oder weniger zufällige Erscheinungen auf. Z.B. bei Würfelspielen, Verkehrsbeobachtungen, Wetter, Krankenstand in einer Schulklasse, etc. 10mal würfeln, notieren wie oft die 6 fällt, (z.b. 2mal) Verkehrsbeobachtung, von 40 Fahrzeugen waren 15 Lkw Geburten: von 10 Neugeborenen waren 6 Jungen Def 1: Ein Vorgang heißt zufällig, wenn er mehrere Ergebnisse haben kann und nicht vorausgesagt werden kann, welches dieser Ergebnisse eintritt. Man spricht von einem Zufallsexperiment, wenn folgende Eigenschaften gelten: es läuft unter bestimmten Bedingungen ab es kann beliebig oft wiederholt werden jede Realisierung führt zu einem zufälligen Ergebnis. Die Vorgänge in Bsp1 bis 3 sind Zufallsexperimente (bei Bsp3 könnte man evtl. diskutieren) Def 2: Die absolute Häufigkeit H n (E) eines Ergebnisses E gibt an, wie oft E bei n Realisierungen auftritt. H 10 (6) = 2 H 40 (LKW) = 15 H 10 (J) = 6 Oft sind die absoluten Werte nicht so aussagekräftig (z.b. ist es schon ein Unterschied, ob bei einem Krankenstand von 5 Schülern die Klasse aus 15 oder aus 30 Schülern besteht). Günstiger ist hier die Verwendung relativer Werte (5 von 15 bzw. 1 von 3 = 1/3 gegenüber 5 von 30 bzw. 1 von 6 = 1/6) Def 3: Die relative Häufigkeit h n (E) eines Ergebnisses E ist der Quotient aus absoluter Häufigkeit und Anzahl der Realisierungen. H E h n (E) = n ( ) n h 10 (6) = 2/10 = 0,2 h 40 (Lkw) = 15/40 =0,375 h 10 (J) = 6/10 = 0,6 Für sehr hohe Realisierungszahlen n kann man beobachten, dass sich die relative Häufigkeit h n (E) bei einem festen Wert stabilisiert. (Sie strebt gegen diesen Wert.) Dies wurde auch in der Entwicklung der Stochastik schon früh festgestellt und man hat versucht, die Wahrscheinlichkeit P(E) als Grenzwert der relativen Häufigkeit für unendlich wachsendes n zu definieren ( P(E) = ( E ) ). Allerdings kam es lim hierbei zu Schwierigkeiten mit dem Grenzwertbegriff, so dass andere Wege zur Definition von P(E) nötig waren. Allerdings bietet sich damit ein möglicher Zugang zur Wahrscheinlichkeitsrechnung, der auch im Unterricht nutzbar ist. n h n

3 Satz1: Bem: (Empirisches Gesetz der großen Zahl) Ist A ein Ergebnis bei einem Zufallsexperiment, dann stabilisiert sich die relative Häufigkeit h n (A) bei wachsender Anzahl n von Realisierungen gegen einen festen Wert. (Dieser Wert kann als Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit P(A) gelten.) Dies ist kein mathematischer Satz im herkömmlichen Sinn, sondern ein empirisches Gesetz (also aus der Erfahrung gewonnen und nicht von Axiomen abgeleitet), er kann deshalb mathematisch nicht bewiesen werden. Def4: h n (6) sollte sich bei einem idealen Würfel bei 1/6 einpegeln hier kann kein fester Wert angegeben werden h n (J) liegt nach Geburtsstatistik bei 0,512 (ist aber unter anderem von der Region abhängig) Die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments heißt Ergebnismenge Ω. Ω 1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} oder Ω 2 = {Primzahl PZ, keine PZ} oder Ω 3 = {6; keine 6} oder Ω 1 = {Pkw, Lkw, Motorrad, Fahrrad} oder Ω 2 = {Lkw, kein Lkw} oder Ω = {Junge J, Mädchen M} Es gibt also oft verschiedene Möglichkeiten Ω festzulegen! Eine geschickte Wahl von Ω ist oft wichtig für die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten. Def5: Jede Teilmenge A der Ergebnismenge Ω heißt Ereignis A. Satz2: Bew: Hat Ω n Elemente (d.h. Ω = n), dann gibt es 2 n unterschiedliche Ereignisse. Die Menge aller Teilmengen von Ω ist die Potenzmenge (Ω). Hat Ω n Elemente, so besitzt (Ω) 2 n Elemente, vgl. Vorlesung zur Mengenlehre, d.h. es gibt 2 n verschiedene Teilmengen von Ω, also 2 n verschiedene Ereignisse. Def6: 2 6 = 64 verschiedene Ereignisse hängt davon ab welche Fahrzeuge man zählt ist Ω = {Pkw, Lkw, sonstiges Fahrzeug}, so gibt es 2 3 = 8 verschiedene Ereignisse 2² = 4 verschiedene Ereignisse Die Menge aller Teilmengen von Ω heißt Ereignisraum (Ω) oder 2 Ω Übung für zu Hause Sei z. B. Ω = {Pkw, Lkw, sonstiges Fahrzeug},

4 Def7: Def8: (Ω) = {, {Pkw}, {Lkw}, {Sonst.}, {Pkw, Lkw}, {Pkw, Sonst.}, {Lkw, Sonst.}, {Pkw, Lkw, Sonst}} Ω = {J, M}; (Ω) = {, {J}, {M}, {J, M}} Das Ereignis A ist eingetreten, wenn bei einem Zufallsexperiment als Ergebnis a erscheint, mit a A. Z.B. das Ereignis {3, 4, 5} ist eingetreten, wenn eine 3 oder eine 4 oder eine 5 gewürfelt wird. Sei z. B. Ω = {Pkw, Lkw, sonstiges Fahrzeug}, wenn ein Lkw vorbeikommt, wäre das Ereignis {Lkw} oder {Pkw, Lkw} oder {Lkw, Sonst.} oder {Pkw, Lkw, Sonst.} eingetreten. Ω = {J, M}, das Ereignis {J} ist eingetreten, wenn ein Junge geboren wird Die einelementigen Teilmengen der Ergebnismenge heißen Elementarereignisse (atomare Ereignisse). Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Elementarereignisse sind {1}, {2}, {3}, {4}, {5} und {6} Ω = {Pkw, Lkw, sonstiges Fahrzeug}, Elementarereignisse sind {Pkw}, {Lkw} und {Sonst.} Ω = {J, M}, Elementarereignisse sind {J} und {M} Def9: A = nennt man unmögliches Ereignis und A = Ω nennt man sicheres Ereignis. unmöglich ist es z.b. eine 7 zu würfeln und sicher ist, dass eine Zahl von 1 bis 6 gewürfelt wird unmöglich ist, dass ein Raumschiff Enterprise vorbeigefahren kommt, sicher ist, dass irgendein Fahrzeug vorbeikommt (wenn man an einer nichtgesperrten, öffentlichen Straße lange genug wartet) unmöglich ist, dass ein Saurier geboren wird, sicher ist es ein Junge oder Mädchen Nach einigen Schwierigkeiten in der Entwicklung der Wahrscheinlichkeitsrechnung forderte David Hilbert ( ) ( Wir müssen wissen, und wir werden wissen! ) im Jahr 1900 eine Axiomatisierung der Physik, wobei es ihm ursprünglich allerdings um die Wahrscheinlichkeitstheorie ging (das 6. von Hilberts 23 offenen Problemen der Mathematik). Diese Axiomatisierung der Wahrscheinlichkeitstheorie leistete 1933 Andrei Kolmogorow ( ).

5 Def10: (Kolmogorows Axiome eingeschränkt auf endliche Mengen) Eine Funktion P, die jeder Teilmenge A einer Menge Ω eine reelle Zahl P(A) zuordnet heißt Wahrscheinlichkeitsverteilung, wenn sie folgende Bedingungen erfüllt: P(A) 0 (Nichtnegativität) P(Ω) = 1 (Normiertheit) P(A B) = P(A) + P(B), wenn A B = (Additivität) D.h. es wird jedem Ereignis ein Wert (eine Wahrscheinlichkeit) von 0 bis 1 zugewiesen und die Wahrscheinlichkeit, dass A oder B eintritt (P(A B)) ergibt sich als Summe der Wahrscheinlichkeiten für A und B (wenn A und B disjunkt sind (A B = )). Das sichere Ereignis erhält die Wahrscheinlichkeit 1, das unmögliche Ereignis die Wahrscheinlichkeit 0. P(7) = 0, P(1 oder 2 oder oder 6) = P(es fällt eine Zahl von 1 bis 6) = 1 P(1 oder 2) = 1/6+1/6 = 1/3, wenn P(1) = 1/6 und P(2) = 1/6 P(Enterprise) = 0, P(irgendein Fahrzeug) = 1 P(Saurier) = 0, P(J oder M) = 1, P(J) = 0,512, P(M) = 0,488 Es werden also etwas mehr Jungen als Mädchen geboren! In seinem Buch Théorie Analytique des Probabilités, gab Pierre-Simon (Marquis de) Laplace ( ) eine Definition von Wahrscheinlichkeit und untersuchte abhängige und unabhängige Ereignisse. Interessant ist, das er andererseits Anhänger des Determinismus war und den Laplacschen Dämon entwarf: Wir müssen also den gegenwärtigen Zustand des Universums als Folge eines früheren Zustandes ansehen und als Ursache des Zustandes, der danach kommt. Eine Intelligenz, die in einem gegebenen Augenblick alle Kräfte kennte, mit denen die Welt begabt ist, und die gegenwärtige Lage der Gebilde, die sie zusammensetzen, und die überdies umfassend genug wäre, diese Kenntnisse der Analyse zu unterwerfen, würde in der gleichen Formel die Bewegungen der größten Himmelskörper und die des leichtesten Atoms einbegreifen. Nichts wäre für sie ungewiss, Zukunft und Vergangenheit lägen klar vor ihren Augen. Diese Intelligenz ist als Laplacscher Dämon bekannt. Def11: (Laplace-Verteilung) Sind bei einem Zufallsexperiment alle Elementarereignisse gleichwahrscheinlich, so nennt man diese Laplace-verteilt oder gleichverteilt. Solche Zufallsexperimente heißen auch Laplace- Experimente. (D.h. die Elementarereignisse sind unabhängig voneinander) Beim idealen Würfel sind die Ereignisse gleichverteilt, P(1) = P(2) = P(3) = =P(6) = 1/6 In der Regel sind die verschiedenen Fahrzeuge nicht gleichverteilt. Die Geburtenraten von Jungen und Mädchen unterscheiden sich auch, sind also nicht gleichverteilt.

6 Satz3: Für Laplace-Experimente gilt: Hat Ω = {e 1, e 2, e 3,, e n } Elementarereignisse, so ergibt sich für jedes Ereignis e k (k = 1, 2,, n) 1 1 die Wahrscheinlichkeit P(e k ) = = n Ω. Bew: Für die Elementarereignisse gilt: {e 1 } {e 2 } {e 3 } {e n } = Ω, sie sind paarweise disjunkt, also gilt nach Def10: P({e 1 } {e 2 } {e n }) = P({e 1 }) + P({e 2 }) + + P({e n }) = P(Ω) = 1 Da nach Def11 jedes Elementarereignis die gleiche Wahrscheinlichkeit hat, muss gelten: P({e 1 }) = P({e 2 }) = = P({e n }) = 1/n P(1) = P(2) = P(3) = =P(6) = 1/6 kein Laplace-Experiment kein Laplace-Experiment Satz4: Für jedes Ereignis A (Ω) gilt: A Anzahl der für A günstigen Ergebnisse P(A) = = Ω Anzahl aller möglichen Ergebnise Auf den Beweis wird an dieser stelle verzichtet. A = {1, 6} es soll also eine 1 oder eine 6 gewürfelt werden. 2 Ergebnisse günstig (1 oder 6) 2 1 P(A) = = = 6 mögliche Ergebnisse gibt es 6 3 B es soll eine Primzahl gewürfelt werden 3 Ergebnisse günstig (2 oder 3 oder 5) P(B) = 6 mögliche Ergebnisse gibt es = 6 3 = 2 1 Schlussbemerkung: In der Praxis werden Wahrscheinlichkeiten unterschiedlich angegeben, als Wert von 0 bis 1, als Prozentzahl oder als Verhältnis ½ = 0,5 oder 50% oder 5 von 10 (1 von 2) oder 5 zu 5 (5:5 auch 1:1) (50:50 fifty-fifty ) 1/5 = 0,2 oder 20% oder 2 von 10 (1 von 5) oder 2 zu 8 (2:8 auch 1:4) 1/3 = 0,3 oder 33,33% oder 1 von 3 oder 1 zu 2 (1:2)

1 Vorbemerkungen 1. 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2. 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4. 4 Laplace-Experimente 6

1 Vorbemerkungen 1. 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2. 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4. 4 Laplace-Experimente 6 Inhaltsverzeichnis 1 Vorbemerkungen 1 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4 4 Laplace-Experimente 6 5 Hilfsmittel aus der Kombinatorik 7 1 Vorbemerkungen

Mehr

Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung

Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Marco Cattaneo Institut für Statistik Ludwig-Maximilians-Universität München Sommersemester 2011 1. Wahrscheinlichkeitsrechnung 2. Diskrete Zufallsvariable 3. Stetige Zufallsvariable 4. Grenzwertsätze

Mehr

Dr. H. Grunert Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Vorlesungscharts. Vorlesung 1. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Dr. H. Grunert Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Vorlesungscharts. Vorlesung 1. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Vorlesungscharts Vorlesung 1 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Zufallsvorgänge und Zufallsereignisse Definitionen der Wahrscheinlichkeit Seite 1 von 11 Chart 1: Vorgänge deterministisch zufällig

Mehr

Kapitel ML:IV. IV. Statistische Lernverfahren. Wahrscheinlichkeitsrechnung Bayes-Klassifikation Maximum-a-Posteriori-Hypothesen

Kapitel ML:IV. IV. Statistische Lernverfahren. Wahrscheinlichkeitsrechnung Bayes-Klassifikation Maximum-a-Posteriori-Hypothesen Kapitel ML:IV IV. Statistische Lernverfahren Wahrscheinlichkeitsrechnung Bayes-Klassifikation Maximum-a-Posteriori-Hypothesen ML:IV-1 Statistical Learning c STEIN 2005-2011 Definition 1 (Zufallsexperiment,

Mehr

Teil II. Wahrscheinlichkeitsrechnung

Teil II. Wahrscheinlichkeitsrechnung Teil II Wahrscheinlichkeitsrechnung Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung (SS 2014) Folie 129 5 Zufallsexperimente Inhaltsverzeichnis (Ausschnitt) 5 Zufallsexperimente Ergebnisse Ereignisse

Mehr

Teil II. Wahrscheinlichkeitsrechnung. Inhaltsverzeichnis (Ausschnitt) Zufallsexperimente (Zufallsvorgänge) Ergebnisse

Teil II. Wahrscheinlichkeitsrechnung. Inhaltsverzeichnis (Ausschnitt) Zufallsexperimente (Zufallsvorgänge) Ergebnisse 5 Zufallsexperimente Inhaltsverzeichnis (Ausschnitt) Teil II Wahrscheinlichkeitsrechnung 5 Zufallsexperimente Ergebnisse Ereignisse Wahrscheinlichkeiten Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

Mehr

4. Die Laplacesche Gleichverteilung

4. Die Laplacesche Gleichverteilung Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Grundlagen der Stochastik Dr. Thomas Zehrt Inhalt: 1. Die Ereignismenge 2. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung 3. Eigenschaften einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

Mehr

K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 7. Übung SS 16: Woche vom

K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 7. Übung SS 16: Woche vom Übungsaufgaben 7. Übung SS 16: Woche vom 23. 5. 27. 5.. 2016 Stochastik I: Klassische Wkt.-Berechnung Aufgaben: s. pdf auf der homepage von Dr. Vanselow http://www.math.tu-dresden.de/ vanselow/... (SS16).html

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 1. und 2. Vorlesung - 2017 Im Alltag... Laut den meteorologischen Vorhersagen wird es morgen regnen. Ob ich riskiere und die Wette verlieren werde? Ich werde mit Sicherheit gewinnen! Ist das wirklich unmöglich?

Mehr

Interaktives Skriptum: Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung

Interaktives Skriptum: Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung Interaktives Skriptum: Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung 1. Grundbegriffe Würfeln, Werfen einer Münze, Messen der Lebensdauer einer Glühbirne Ausfall/Ausgang: Würfeln: Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6

Mehr

2.2 Ereignisse und deren Wahrscheinlichkeit

2.2 Ereignisse und deren Wahrscheinlichkeit 2.2 Ereignisse und deren Wahrscheinlichkeit Literatur: [Papula Bd., Kap. II.2 und II.], [Benning, Kap. ], [Bronstein et al., Kap. 1.2.1] Def 1 [Benning] Ein Zufallsexperiment ist ein beliebig oft wiederholbarer,

Mehr

Zusammenfassung Stochastik

Zusammenfassung Stochastik Zusammenfassung Stochastik Die relative Häufigkeit Ein Experiment, dessen Ausgang nicht vorhersagbar ist, heißt Zufallsexperiment (ZE). Ein Würfel wird 40-mal geworfen, mit folgendem Ergebnis Augenzahl

Mehr

Zufallsprozesse, Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten die Grundlagen

Zufallsprozesse, Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten die Grundlagen Zufallsprozesse, Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten die Grundlagen Wichtige Tatsachen und Formeln zur Vorlesung Mathematische Grundlagen für das Physikstudium 3 Franz Embacher http://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/

Mehr

Sachrechnen/Größen WS 14/15-

Sachrechnen/Größen WS 14/15- Kapitel Daten & Wahrscheinlichkeit 3.1 Kombinatorische Grundlagen 3.2 Kombinatorik & Wahrscheinlichkeit in der Grundschule 3.3 Daten Darstellen 3.1 Kombinatorische Grundlagen Verschiedene Bereiche der

Mehr

WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG

WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG Mathematischer Teil In der Wahrscheinlichkeitsrechnung haben wir es mit Zufallsexperimenten zu tun, d.h. Ausgang nicht vorhersagbar. Grundbegriffe Zufallsexperiment und Ergebnisse

Mehr

15 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

15 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 5 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Alles, was lediglich wahrscheinlich ist, ist wahrscheinlich falsch. ( Descartes ) Trau keiner Statistik, die du nicht selbst gefälscht hast. ( Churchill zugeschrieben

Mehr

Informatik II Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Informatik II Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung lausthal Begriffe Informatik II rundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Zachmann lausthal University, ermany zach@in.tu-clausthal.de Definition: Unter einem Zufallsexperiment versteht man einen,

Mehr

K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 8. Übung SS 16: Woche vom

K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 8. Übung SS 16: Woche vom Übungsaufgaben 8. Übung SS 16: Woche vom 30. 5. 3.6. 2016 Stochastik II: Klassische Wkt.-Berechnung; Unabhängigkeit Aufgaben: s. pdf auf der homepage von Dr. Vanselow http://www.math.tu-dresden.de/ vanselow/...

Mehr

Informatik II Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Informatik II Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung lausthal Informatik II rundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Zachmann lausthal University, ermany zach@in.tu-clausthal.de Begriffe Definition: Unter einem Zufallsexperiment versteht man einen,

Mehr

1. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

1. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung 1. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten Zufälliger Versuch: Vorgang, der (zumindest gedanklich) beliebig oft wiederholbar ist und dessen Ausgang innerhalb einer

Mehr

Lehrstuhl für Empirische Wirtschaftsforschung und Ökonometrie Dr. Roland Füss Statistik II: Schließende Statistik SS 2007

Lehrstuhl für Empirische Wirtschaftsforschung und Ökonometrie Dr. Roland Füss Statistik II: Schließende Statistik SS 2007 . Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie. Zufallsereignisse, Ereignisraum und Ereignismenge Zufallsexperiment: nach einer bestimmten Vorschrift ausgeführter, unter gleichen edingungen beliebig oft wiederholbarer

Mehr

Kapitel 5 Stochastische Unabhängigkeit

Kapitel 5 Stochastische Unabhängigkeit Kapitel 5 Stochastische Unabhängigkeit Vorlesung Wahrscheinlichkeitsrechnung I vom SoSe 2009 Lehrstuhl für Angewandte Mathematik 1 FAU 5.1 Das Konzept der stochastischen Unabhängigkeit. 1 Herleitung anhand

Mehr

Zusammenfassung Mathe II. Themenschwerpunkt 2: Stochastik (ean) 1. Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente; Ergebnismengen

Zusammenfassung Mathe II. Themenschwerpunkt 2: Stochastik (ean) 1. Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente; Ergebnismengen Zusammenfassung Mathe II Themenschwerpunkt 2: Stochastik (ean) 1. Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente; Ergebnismengen Zufallsexperiment: Ein Vorgang, bei dem mindestens zwei Ereignisse möglich sind

Mehr

Rumpfskript. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung. Prof. Dr. Ralf Runde Statistik und Ökonometrie, Universität Siegen

Rumpfskript. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung. Prof. Dr. Ralf Runde Statistik und Ökonometrie, Universität Siegen Rumpfskript Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung Prof. Dr. Ralf Runde Statistik und Ökonometrie, Universität Siegen Vorbemerkung Vorbemerkung Das vorliegende Skript heißt nicht nur Rumpf skript, sondern

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wahrscheinlichkeitsrechnung Wahrscheinlichkeitsrechnung. Semester Begleitendes Skriptum zur Vorlesung im FH-Masterstudiengang Technisches Management von Günther Karigl FH Campus Wien 206/7 Inhaltsverzeichnis. Semester: Wahrscheinlichkeitsrechnung

Mehr

1. Grundlagen. R. Albers, M. Yannik Skript zur Vorlesung Stochastik (Elementarmathematik)

1. Grundlagen. R. Albers, M. Yannik Skript zur Vorlesung Stochastik (Elementarmathematik) 1. Grundlagen 1.1 Zufallsexperimente, Ergebnisse Grundlage für alle Betrachtungen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung sind Zufallsexperimente. Ein Zufallsexperiment ist ein Vorgang, der - mehrere mögliche

Mehr

STATISTIK Teil 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik. Mögliche Ergebnisse, auch Elementarereignisse bezeichnet

STATISTIK Teil 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik. Mögliche Ergebnisse, auch Elementarereignisse bezeichnet Kapitel 10 Zufall und Wahrscheinlichkeit 10.1. Grundbegriffe Wahrscheinlichkeitsrechnung Zufallsvorgang Klein-Omega ω Groß-Omega Ω Stellt Modelle bereit, die es erlauben zufallsabhängige Prozesse abzuschätzen

Mehr

Mathe-Camp 2017 Stochastik: Geometrische Wahrscheinlichkeiten

Mathe-Camp 2017 Stochastik: Geometrische Wahrscheinlichkeiten Mathe-Camp 2017 Stochastik: Geometrische Wahrscheinlichkeiten Jo rn Saß, sass@mathematik.uni-kl.de Fachbereich Mathematik, TU Kaiserslautern Arbeitsgruppe Stochastische Steuerung und Finanzmathematik Kaiserslautern

Mehr

9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung

9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung 9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung I. Zufällige Ereignisse Beispiel (Einmaliges Würfeln): Alle möglichen Ausgänge 1, 2,, 6 des Experiments werden zur Ergebnismenge Ω ( Ergebnisraum ) zusammengefasst.

Mehr

Grundbegrie der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Grundbegrie der Wahrscheinlichkeitsrechnung Die Benutzung dieser Materialien ist auf Herbst 2017 beschränkt. Diese Hilfsmaterialien sind nur für unseren Studenten gemeint, dürfen also nicht weiterverteilt werden. Grundbegrie der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Mehr

Bei 10 dieser Würfe wurde gleichzeitig eine 1 gewürfelt. Bei 25 dieser Würfe wurde gleichzeitig eine Augenzahl größer als 2 gewürfelt.

Bei 10 dieser Würfe wurde gleichzeitig eine 1 gewürfelt. Bei 25 dieser Würfe wurde gleichzeitig eine Augenzahl größer als 2 gewürfelt. 3 Wahrscheinlichkeiten 1 Kapitel 3: Wahrscheinlichkeiten A: Beispiele Beispiel 1: Ein Experiment besteht aus dem gleichzeitigen Werfen einer Münze und eines Würfels. Nach 100 Wiederholungen dieses Experiments

Mehr

a) (A B) tritt ein = A tritt ein oder B tritt ein. = Mindestens eines der Ereignisse A, B tritt ein.

a) (A B) tritt ein = A tritt ein oder B tritt ein. = Mindestens eines der Ereignisse A, B tritt ein. Lösungsvorschläge zu den Aufgaben von Blatt 6: 43) 7 Telefonzellen ( 7 Kugeln in der Urne); 3 davon sind von je einem Benutzer besetzt ( 3 Kugeln in die Stichprobe). Die Telefonzellen werden nicht mehrfach

Mehr

3 Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit von Ereignissen

3 Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit von Ereignissen 3 Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit von Ereignissen 3.1 Einführung Bsp. 19 (3-maliges Werfen einer Münze) Menge der Elementarereignisse: Ω {zzz,zzw,zwz,wzz,zww,wzw,wwz,www}. Ω 2 3 8 N Wir definieren

Mehr

Kapitel 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung

Kapitel 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung Motivation bisher: Beschreibung von Datensätzen = beobachteten Merkmalsausprägungen Frage: Sind Schlußfolgerungen aus diesen Beobachtungen möglich? Antwort: Ja, aber diese gelten nur mit einer bestimmten

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 1. Vorlesung - 7.10.2016 Im Alltag... Laut den meteorologischen Vorhersagen wird es morgen regnen. Ob ich riskiere und die Wette verlieren werde? Ich werde mit Sicherheit gewinnen! Ist das wirklich unmöglich?

Mehr

Kapitel II - Wahrscheinlichkeitsraum

Kapitel II - Wahrscheinlichkeitsraum Institut für Volkswirtschaftslehre (ECON) Lehrstuhl für Ökonometrie und Statistik Kapitel II - Wahrscheinlichkeitsraum Wahrscheinlichkeitstheorie Prof. Dr. W.-D. Heller Hartwig Senska Carlo Siebenschuh

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung [probability]

Wahrscheinlichkeitsrechnung [probability] Wahrscheinlichkeitsrechnung [probability] Hinweis: Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist nicht Gegenstand dieser Vorlesung. Es werden lediglich einige Begriffsbildungen bereitgestellt und an Beispielen erläutert,

Mehr

Dr. Jürgen Senger INDUKTIVE STATISTIK. Wahrscheinlichkeitstheorie, Schätz- und Testverfahren

Dr. Jürgen Senger INDUKTIVE STATISTIK. Wahrscheinlichkeitstheorie, Schätz- und Testverfahren Dr. Jürgen Senger INDUKTIVE STATISTIK Wahrscheinlichkeitstheorie, Schätz- und Testverfahren ÜBUNG - LÖSUNGEN. Zweimaliges Werfen eines Würfels mit Berücksichtigung der Reihenfolge a. Ergebnismenge (Ereignisraum)

Mehr

Einführung. Wahrscheinlichkeit. 1 Wahrscheinlichkeit: Definition und Interpretation. 2 Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung, bedingte

Einführung. Wahrscheinlichkeit. 1 Wahrscheinlichkeit: Definition und Interpretation. 2 Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung, bedingte Einführung 1 Wahrscheinlichkeit: Definition und Interpretation 2 Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung, bedingte Wahrscheinlichkeit Axiome nach Kolmogorov Gegeben sei ein Zufallsexperiment mit Ergebnisraum

Mehr

Wahrscheinlichkeiten

Wahrscheinlichkeiten Wahrscheinlichkeiten Bestimmung der Wahrscheinlichkeit Bei einem Zufallsexperiment kann man nicht voraussagen, welches Ereignis eintritt, aber manche Ereignisse treten naturgemäß mit einer größeren Wahrscheinlichkeit

Mehr

1.5 Folgerungen aus dem Kolmogoroff- Axiomensystem P( ) = 0.

1.5 Folgerungen aus dem Kolmogoroff- Axiomensystem P( ) = 0. 1.5 Folgerungen aus dem Kolmogoroff- Axiomensystem Folg. 2 Sei (Ω, E, P) W.-raum. Seien A, B,A 1,...,A n Ereignisse. Es gelten die folgenden Aussagen: 1. P(A) = 1 P(A). 2. Für das unmögliche Ereignis gilt:

Mehr

6: Diskrete Wahrscheinlichkeit

6: Diskrete Wahrscheinlichkeit Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 219 6: Diskrete Wahrscheinlichkeit 6: Diskrete Wahrscheinlichkeit Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 220 Wahrscheinlichkeitsrechnung Eines der wichtigsten

Mehr

Unabhängigkeit KAPITEL 4

Unabhängigkeit KAPITEL 4 KAPITEL 4 Unabhängigkeit 4.1. Unabhängigkeit von Ereignissen Wir stellen uns vor, dass zwei Personen jeweils eine Münze werfen. In vielen Fällen kann man annehmen, dass die eine Münze die andere nicht

Mehr

Welche Axiome sind Grundlage der axiomatischen Wahrscheinlichkeitsdefinition von Kolmogoroff?

Welche Axiome sind Grundlage der axiomatischen Wahrscheinlichkeitsdefinition von Kolmogoroff? 2. Übung: Wahrscheinlichkeitsrechnung Aufgabe 1 Welche Axiome sind Grundlage der axiomatischen Wahrscheinlichkeitsdefinition von Kolmogoroff? a) P ist nichtnegativ. b) P ist additiv. c) P ist multiplikativ.

Mehr

Mathematik für Biologen

Mathematik für Biologen Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 27. Oktober 2010 Teil III Wahrscheinlichkeitstheorie 1 Zufallsereignisse Vorüberlegungen Der Ereignisraum Konstruktionen

Mehr

Satz 18 (Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit)

Satz 18 (Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit) Ausgehend von der Darstellung der bedingten Wahrscheinlichkeit in Gleichung 1 zeigen wir: Satz 18 (Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit) Die Ereignisse A 1,..., A n seien paarweise disjunkt und es gelte

Mehr

Wirtschaftsstatistik I [E1]

Wirtschaftsstatistik I [E1] 040571-1 WMS: Wirtschaftsstatistik 1 :: WiSe07/08 Wirtschaftsstatistik I [E1] Schwab, Harald 1 harald.schwab@univie.ac.at http://homepage.univie.ac.at/harald.schwab October 7, 2007 1 Sprechstunde: MO 17-18h

Mehr

Dieser Begriff wurde von Jacob Bernoulli Ars conjectandi geprägt (1773), in dem das erste Gesetz der großen Zahlen bewiesen wurde.

Dieser Begriff wurde von Jacob Bernoulli Ars conjectandi geprägt (1773), in dem das erste Gesetz der großen Zahlen bewiesen wurde. 10.1 Über den Begriff Stochastik Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist eine Teildisziplin von Stochastik. Dabei kommt das Wort Stochastik aus dem Griechischen : die Kunst des Vermutens (von Vermutung, Ahnung,

Mehr

Kapitel 6. Kapitel 6 Mehrstufige Zufallsexperimente

Kapitel 6. Kapitel 6 Mehrstufige Zufallsexperimente Mehrstufige Zufallsexperimente Inhalt 6.1 6.1 Mehrstufige Experimente 6.2 6.2 Bedingte Wahrscheinlichkeiten Seite 2 6.1 Mehrstufige Experimente Grundvorstellung: Viele Viele Experimente werden der der

Mehr

1 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

1 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung 4 1 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung 1.1 Grundlegende Begriffe Der Begriff wahrscheinlich wird im Alltag in verschiedenen Situationen verwendet, hat dabei auch unterschiedliche Bedeutung.

Mehr

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie. Karin Haenelt

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie. Karin Haenelt Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie Karin Haenelt 1 Inhalt Wahrscheinlichkeitsraum Bedingte Wahrscheinlichkeit Abhängige und unabhängige Ereignisse Stochastischer Prozess Markow-Kette 2 Wahrscheinlichkeitsraum

Mehr

Mathematische und statistische Methoden II

Mathematische und statistische Methoden II Methodenlehre e e Prof. Dr. G. Meinhardt 6. Stock, Wallstr. 3 (Raum 06-206) Sprechstunde jederzeit nach Vereinbarung und nach der Vorlesung. Mathematische und statistische Methoden II Dr. Malte Persike

Mehr

Es werden 120 Schüler befragt, ob sie ein Handy besitzen. Das Ergebnis der Umfrage lautet: Von 120 Schülern besitzen 99 ein Handy.

Es werden 120 Schüler befragt, ob sie ein Handy besitzen. Das Ergebnis der Umfrage lautet: Von 120 Schülern besitzen 99 ein Handy. R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 08..2009 Von der relativen Häufigkeit zur Wahrscheinlichkeit Es werden 20 Schüler befragt, ob sie ein Handy besitzen. Das Ergebnis der Umfrage lautet: Von 20 Schülern

Mehr

Allgemeine diskrete Wahrscheinlichkeitsräume II. Beispiel II. Beispiel I. Definition 6.3 (Diskreter Wahrscheinlichkeitsraum)

Allgemeine diskrete Wahrscheinlichkeitsräume II. Beispiel II. Beispiel I. Definition 6.3 (Diskreter Wahrscheinlichkeitsraum) Allgemeine diskrete Wahrscheinlichkeitsräume I Allgemeine diskrete Wahrscheinlichkeitsräume II Verallgemeinerung von Laplaceschen Wahrscheinlichkeitsräumen: Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume Ω endlich

Mehr

Wahrscheinlichkeit und Zufall

Wahrscheinlichkeit und Zufall Wahrscheinlichkeit und Zufall Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten 16. Juni 2009 Dr. Katja Krüger Universität Paderborn 1 Inhalt Ereignisse i und deren Wahrscheinlichkeit h hk i Laplace-Regel Baumdiagramm

Mehr

Mathematische und statistische Methoden II

Mathematische und statistische Methoden II Methodenlehre e e Prof. Dr. G. Meinhardt 6. Stock, Wallstr. 3 (Raum 06-206) Sprechstunde jederzeit nach Vereinbarung und nach der Vorlesung. Mathematische und statistische Methoden II Dr. Malte Persike

Mehr

Wichtige Definitionen und Aussagen

Wichtige Definitionen und Aussagen Wichtige Definitionen und Aussagen Zufallsexperiment, Ergebnis, Ereignis: Unter einem Zufallsexperiment verstehen wir einen Vorgang, dessen Ausgänge sich nicht vorhersagen lassen Die möglichen Ausgänge

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wahrscheinlichkeitsrechnung Teil V Wahrscheinlichkeitsrechnung Inhaltsangabe 6 Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung 125 6.1 Kombinatorik......................... 125 6.2 Grundbegri e......................... 129 6.3 Wahrscheinlichkeiten.....................

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Quantentheorie

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Quantentheorie Physikalische Chemie II: Atombau und chemische Bindung Winter 2013/14 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Quantentheorie Messergebnisse können in der Quantenmechanik ganz prinzipiell nur noch mit einer bestimmten

Mehr

Ein Ereignis ist eine Menge von Elementarereignissen. Berechnung von Wahrscheinlichkeiten zufälliger Ereignisse erfordert ein Modell.

Ein Ereignis ist eine Menge von Elementarereignissen. Berechnung von Wahrscheinlichkeiten zufälliger Ereignisse erfordert ein Modell. SS 2013 Prof. Dr. J. Schütze/ J.Puhl FB GW Wkt.1 1 Grundbegriffe Zufallsexperiment unter gleichen Bedingungen wiederholbarer Vorgang (geplant, gesteuert, beobachtet oder auch nur gedanklich) Menge der

Mehr

9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung

9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung 9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung Beispiel (Einmaliges Würfeln): verbal mengentheoretisch I. Zufällige Ereignisse Beispiel (Einmaliges Würfeln): Alle möglichen Ausgänge 1,,, 6 des Experiments werden

Mehr

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Algorithmen und Datenstrukturen 349 A Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Für Entwurf und Analyse randomisierter Algorithmen sind Hilfsmittel aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung erforderlich.

Mehr

Ereignis E: ist ein oder sind mehrere Ergebnisse zusammen genommen. Bsp. E = {2; 4; 6}

Ereignis E: ist ein oder sind mehrere Ergebnisse zusammen genommen. Bsp. E = {2; 4; 6} Laplace-Experimente Begriffsklärung am Beispiel eines Laplace-Würfel mit Augenzahlen (AZ) 1-6: Ergebnis: ist jeder Ausgang eines Zufallsexperimentes heißt ein Ergebnis ω dieses Zufallsexperimentes. Die

Mehr

Basiswissen Daten und Zufall Seite 1 von 8 1 Zufallsexperiment Ein Zufallsexperiment ist ein Versuchsaufbau mit zufälligem Ausgang, d. h. das Ergebnis kann nicht vorhergesagt werden. 2 Ergebnis (auch Ausgang)

Mehr

Wahrscheinlichkeitstheorie und Maßtheorie

Wahrscheinlichkeitstheorie und Maßtheorie KAPITEL 7 Wahrscheinlichkeitstheorie und Maßtheorie 7.1. Vorüberlegungen Die folgenden drei Beispiele sind Spezialfälle des Oberbegriffs Maß. Beispiel 7.1.1 (Verteilung der Ladung oder der Masse). Man

Mehr

Ziegenproblem, Monty-Hall-Problem, Wahrscheinlichkeitsrechnung. Ziegenproblem, Monty-Hall-Problem, Drei-Türen-Problem

Ziegenproblem, Monty-Hall-Problem, Wahrscheinlichkeitsrechnung. Ziegenproblem, Monty-Hall-Problem, Drei-Türen-Problem Ziegenproblem, Monty-Hall-Problem, Drei-Türen-Problem Wahrscheinlichkeitsrechnung Theorie Ziegenproblem, Monty-Hall-Problem, Drei-Türen-Problem Ziegenproblem, Monty-Hall-Problem, Drei-Türen-Problem Ziegenproblem,

Mehr

Statistik für Ingenieure Vorlesung 2

Statistik für Ingenieure Vorlesung 2 Statistik für Ingenieure Vorlesung 2 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 24. Oktober 2016 2.4 Bedingte Wahrscheinlichkeiten Häufig ist es nützlich, Bedingungen

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung Teil 1

Wahrscheinlichkeitsrechnung Teil 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung Teil Einführung in die Grundbegriffe Sekundarstufe Datei Nr 30 Stand September 2009 Friedrich W Buckel INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK wwwmathe-cdde Inhalt Zufallsexperimente,

Mehr

Satz von Borel-Cantelli. Limes inferior von Mengen. Limes superior von Mengen. Stetigkeit. Konvergenz von Zufallsvariablen. Kolmogorow-Ungleichung

Satz von Borel-Cantelli. Limes inferior von Mengen. Limes superior von Mengen. Stetigkeit. Konvergenz von Zufallsvariablen. Kolmogorow-Ungleichung Satz von Borel-Cantelli Limes inferior von Mengen Limes superior von Mengen Stetigkeit Konvergenz von Zufallsvariablen Kolmogorow-Ungleichung Tschebyschow-Ungleichung Konvergenzkriterien Starkes Gesetz

Mehr

Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Wahrscheinlichkeit

Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Wahrscheinlichkeit Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Wahrscheinlichkeit Dozentin: Wiebke Petersen 8. Foliensatz Wiebke Petersen math. Grundlagen 1 Motivation Bsp.: In vielen Bereichen der CL kommt Wahrscheinlichkeitstheorie

Mehr

Diskrete Strukturen WiSe 2012/13 in Trier

Diskrete Strukturen WiSe 2012/13 in Trier Diskrete Strukturen WiSe 2012/13 in Trier Henning Fernau Universität Trier fernau@uni-trier.de 11. Januar 2013 1 Diskrete Strukturen Gesamtübersicht Organisatorisches und Einführung Mengenlehre Relationen

Mehr

Stochastische Unabhängigkeit. 01. Dezember 2014

Stochastische Unabhängigkeit. 01. Dezember 2014 Stochastische Unabhängigkeit 0. Dezember 204 Der Begriff der Unabhängigkeit Großbritannien, im November 999. Die Anwältin Sally Clark wird wegen Mordes an ihren Kindern angeklagt. Clark geriet unter Verdacht

Mehr

STOCHASTISCHE UNABHÄNGIGKEIT. Annika Pohlmann Philipp Oel Wilhelm Dück

STOCHASTISCHE UNABHÄNGIGKEIT. Annika Pohlmann Philipp Oel Wilhelm Dück STOCHASTISCHE UNABHÄNGIGKEIT Annika Pohlmann Philipp Oel Wilhelm Dück 1 GLIEDERUNG 1) Bedingte Wahrscheinlichkeiten 2) Unabhängigkeit für mehr als zwei Ereignisse 3) Unabhängigkeit für Zufallsvariable

Mehr

= 7! = 6! = 0, 00612,

= 7! = 6! = 0, 00612, Die Wahrscheinlichkeit, dass Prof. L. die Wette verliert, lässt sich wie folgt berechnen: Ω = {(i 1,..., i 7 ) : i j {1... 7}, j = 1... 7}, wobei i, j für den Wochentag steht, an dem die Person j geboren

Mehr

Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung

Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Sven Garbade Fakultät für Angewandte Psychologie SRH Hochschule Heidelberg sven.garbade@hochschule-heidelberg.de Statistik 1 S. Garbade (SRH Heidelberg) Wahrscheinlichkeitsrechnung

Mehr

Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie Lösungsvorschläge zu Übungsblatt 2

Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie Lösungsvorschläge zu Übungsblatt 2 TUM, Zentrum Mathematik Lehrstuhl für Mathematische Physik WS 2013/14 Prof. Dr. Silke Rolles Thomas Höfelsauer Felizitas Weidner Tutoraufgaben: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie svorschläge

Mehr

Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie Lösungsvorschläge zu Übungsblatt 1

Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie Lösungsvorschläge zu Übungsblatt 1 TUM, Zentrum Mathematik Lehrstuhl für Mathematische Physik WS 2013/ Prof. Dr. Silke Rolles Thomas Höfelsauer Felizitas Weidner Tutoraufgaben: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie svorschläge zu

Mehr

htw saar 1 KAPITEL 4 BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEIT UND STOCHASTISCHE UNABHÄNGIGKEIT Hans-Peter Hafner WS 2016/2017

htw saar 1 KAPITEL 4 BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEIT UND STOCHASTISCHE UNABHÄNGIGKEIT Hans-Peter Hafner WS 2016/2017 htw saar 1 KAPITEL 4 BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEIT UND STOCHASTISCHE UNABHÄNGIGKEIT htw saar 2 Gliederung 25.01. Bedingte Wahrscheinlichkeit: Motivation und Definition Multiplikationssatz Stochastische Unabhängigkeit:

Mehr

Satz 16 (Multiplikationssatz)

Satz 16 (Multiplikationssatz) Häufig verwendet man die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit in der Form Damit: Pr[A B] = Pr[B A] Pr[A] = Pr[A B] Pr[B]. (1) Satz 16 (Multiplikationssatz) Seien die Ereignisse A 1,..., A n gegeben.

Mehr

Abiturvorbereitung Stochastik. neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB Holger Wuschke B.Sc.

Abiturvorbereitung Stochastik. neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB Holger Wuschke B.Sc. Abiturvorbereitung Stochastik neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB 21.02.2014 Holger Wuschke B.Sc. Glücksspiel auf der Buchmesse Leipzig, 2013 Organisatorisches 1. Begriffe in der Stochastik (1)

Mehr

Leseprobe. Robert Galata, Sandro Scheid. Deskriptive und Induktive Statistik für Studierende der BWL. Methoden - Beispiele - Anwendungen

Leseprobe. Robert Galata, Sandro Scheid. Deskriptive und Induktive Statistik für Studierende der BWL. Methoden - Beispiele - Anwendungen Leseprobe Robert Galata, Sandro Scheid Deskriptive und Induktive Statistik für Studierende der BWL Methoden - Beispiele - nwendungen Herausgegeben von Robert Galata, Markus Wessler ISBN (Buch): 978-3-446-43255-0

Mehr

Wahrscheinlichkeitsräume (Teschl/Teschl 2, Kap. 26)

Wahrscheinlichkeitsräume (Teschl/Teschl 2, Kap. 26) Wahrscheinlichkeitsräume (Teschl/Teschl 2, Kap. 26 Ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P ist eine Menge Ω (Menge aller möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments: Ergebnismenge versehen mit einer Abbildung

Mehr

Statistik. Sommersemester Prof. Dr. Stefan Etschberger HSA. für Betriebswirtschaft und International Management

Statistik. Sommersemester Prof. Dr. Stefan Etschberger HSA. für Betriebswirtschaft und International Management Statistik für Betriebswirtschaft und International Management Sommersemester 2014 Prof. Dr. Stefan Etschberger HSA : Table of Contents 1 Statistik: Einführung 2 Deskriptive Statistik 3 Wahrscheinlichkeitstheorie

Mehr

Kapitel I Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume

Kapitel I Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume Kapitel I Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume 1. Grundlagen Definition 1 1 Ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum ist durch eine Ergebnismenge Ω = {ω 1, ω 2,...} von Elementarereignissen gegeben. 2 Jedem

Mehr

Forschungsstatistik I

Forschungsstatistik I Prof. Dr. G. Meinhardt 2. Stock, Nordflügel R. 02-429 (Persike) R. 02-431 (Meinhardt) Sprechstunde jederzeit nach Vereinbarung Forschungsstatistik I Dr. Malte Persike persike@uni-mainz.de WS 2008/2009

Mehr

1.3 Stochastische Unabhängigkeit und bedingte

1.3 Stochastische Unabhängigkeit und bedingte 1.3 Stochastische Unabhängigkeit und bedingte Wahrscheinlichkeiten Ziel: komplexere Modelle aus Verkettung ( Koppelung ) von Zufallsexperimenten bauen, insbesondere Ziehung von n-personen aus n-maliger

Mehr

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie KAPITEL 1 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie 1. Zufallsexperimente, Ausgänge, Grundmenge In der Stochastik betrachten wir Zufallsexperimente. Die Ausgänge eines Zufallsexperiments fassen wir

Mehr

Population und Stichprobe: Wahrscheinlichkeitstheorie

Population und Stichprobe: Wahrscheinlichkeitstheorie Population und Stichprobe: Wahrscheinlichkeitstheorie SS 2001 4. Sitzung vom 15.05.2001 Wahrscheinlichkeitstheorie in den Sozialwissenschaften: Stichprobenziehung: Aussagen über Stichprobenzusammensetzung

Mehr

Die Wahrscheinlichkeitstheorie nach Laplace

Die Wahrscheinlichkeitstheorie nach Laplace THM Campus Friedberg 02.12.2012 Fachbereich: M, Maschinenbau Fach: Mathematik 3 Dozent: Dipl. Log. me. Stefan Kästner (FH) WS 2012/2013 Die Wahrscheinlichkeitstheorie nach Laplace Vorgelegt von: Gruppe

Mehr

Wie hoch ist das Risiko, dass ein System, das aus mehreren Komponenten besteht, ausfällt?

Wie hoch ist das Risiko, dass ein System, das aus mehreren Komponenten besteht, ausfällt? In diesem Kapitel werden wir den egriff Wahrscheinlichkeit und die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung kennenlernen, um z.. folgende Fragestellungen zu beantworten. Wie hoch ist das Risiko, dass

Mehr

Vorlesung Statistik WING ASW Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 1

Vorlesung Statistik WING ASW Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 1 Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 1 Aus diesen Eigenschaften lassen sich alle weiteren Eigenschaften ableiten: Beweis zu 1) Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 2 Aufgabe Die Wahrscheinlichkeit

Mehr

Wahrscheinlichkeitstheorie

Wahrscheinlichkeitstheorie Kapitel 2 Wahrscheinlichkeitstheorie Josef Leydold c 2006 Mathematische Methoden II Wahrscheinlichkeitstheorie 1 / 24 Lernziele Experimente, Ereignisse und Ereignisraum Wahrscheinlichkeit Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten

Mehr

Ergebnis Ergebnisraum Ω. Ereignis. Elementarereignis

Ergebnis Ergebnisraum Ω. Ereignis. Elementarereignis Stochastik Die Stochastik besteht aus zwei Teilgebieten, der Statistik und der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Die Statistik beschreibt die Vergangenheit und verwendet Informationen, die (in realen Versuchen)

Mehr

Kapitel 8 Absolutstetige Verteilungen

Kapitel 8 Absolutstetige Verteilungen Kapitel 8 Absolutstetige Verteilungen Vorlesung Wahrscheinlichkeitsrechnung I vom 27. Mai 2009 Lehrstuhl für Angewandte Mathematik FAU 8. Absolutstetige Verteilungen Charakterisierung von Verteilungen

Mehr

DIE SPRACHE DER WAHRSCHEINLICHKEITEN

DIE SPRACHE DER WAHRSCHEINLICHKEITEN KAPITEL 1 DIE SPRACHE DER WAHRSCHEINLICHKEITEN Es ist die Aufgabe der ersten drei Kapitel, eine vollständige Beschreibung des grundlegenden Tripels (Ω, A, P) und seiner Eigenschaften zu geben, das heutzutage

Mehr

Kapitel 5. Kapitel 5 Wahrscheinlichkeit

Kapitel 5. Kapitel 5 Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit Inhalt 5.1 5.1 Grundbegriffe Ω, Ω, X, X,...... 5.2 5.2 Wahrscheinlichkeitsräume (Ω, (Ω, P) P) 5.3 5.3 Das Das Laplace-Modell P(A) P(A) = A / Ω 5.4 5.4 Erwartungswert E(X) E(X) Literatur:

Mehr

Das Ziegenproblem. Nils Schwinning und Christian Schöler Juni 2010

Das Ziegenproblem. Nils Schwinning und Christian Schöler  Juni 2010 Das Ziegenproblem Nils Schwinning und Christian Schöler http://www.esaga.uni-due.de/ Juni 2010 Die Formulierung Obwohl das sogenannte Ziegenproblem in der Mathematik allgegenwärtig erscheint, wurde es

Mehr

3 Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit

3 Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit 3 Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit Bisher : (Ω, A, P) zur Beschreibung eines Zufallsexperiments Jetzt : Zusatzinformation über den Ausgang des Experiments, etwa (das Ereignis) B ist eingetreten.

Mehr

Wahrscheinlichkeit. Elke Warmuth. Sommersemester Humboldt-Universität Berlin

Wahrscheinlichkeit. Elke Warmuth. Sommersemester Humboldt-Universität Berlin Wahrscheinlichkeit Elke Warmuth Humboldt-Universität Berlin Sommersemester 2010 1 / 21 1 Modellebene und Sachebene 2 3 Bildungsstandards Mathematik Primarbereich, 2004 Bildungsstandards Mathematik Mittlerer

Mehr