Seiten 5 / 6. Lösungen Geometrie-Dossier Würfel und Quader

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1 1 a) c) d) Seiten 5 / 6 Lösungen eometrie-ossier Würfel und Quader Aufgaben Würfel (Lösungen sind verkleinert gezeichnet) Bei allen drei entsteht das gleiche Bild. ie Lösungsidee: 1. Zuerst anhand der sichtbaren und nicht sichtbaren Kanten feststellen, welche Kanten gegeben sind und die Punkte anschreiben. 2. Bei a) 45 -erade zeichnen (durch A) 3. Bei Senkrechte auf AB durch A 4. Bei c) Senkrechte durch C auf C 5. anach parallel verschieben der verschiedenen Kanten (auch bei d). 2 Netz markierte eck- und rundfläche sind Beispiele möglicher Lösungen a) Würfelnetz kein Würfelnetz c) d) e) f) g) 3 a) c) d) LösungenossierWürfelundQuader.doc A. Räz / Seite 1

2 Lösungen eometrie-ossier Würfel und Quader Seite 6 Aufgaben Würfel (Lösungen sind verkleinert gezeichnet) 4 a) ie Lösungsidee: 1. as Raumbild fertig beschriften. 2. Im Raumbild die Fläche suchen, wo und vorkommen und dann die Fläche im Netz anschreiben. 3. as Netz fertig beschriften. 4. ie im Raumbild schraffierte Fläche identifizieren (Fläche BCF) und im Netz suchen. 5. Fläche BCF im Netz schraffieren. ie Lösungsidee: 1. ie gegebenen Punkte in Netz und Raumbild anschauen und Flächen identifizieren. 2. ann Netz und Raumbild fertig beschriften. 3. er Punkt P liegt auf der Kante H. Ich nehme also die Entfernung P in den Zirkel und trage das auf jeder Kante H im Netz ab. 4. ann kann ich den Punkt P entsprechend zweimal eintragen (urch das Auffalten wird er dann zu einem Punkt P) 5 ies ist der Würfel, aus welchem 64 Teilwürfelchen geschnitten werden können. Man muss den Würfel in Breite, Länge und Höhe jeweils Vierteln (weil = 64). Somit können wir die einzelnen Teilwürfel-Typen bezeichnen: Typ 1: 3 bemalte Flächen (Würfelecken) Typ 2: 2 bemalte Flächen (Würfelkanten ohne Ecken) Typ 3: 1 bemalte Fläche (Würfelflächen ohne Kanten) Typ 4: 3 bemalte Flächen (Würfelinneres) 3 bemalte Flächen: Können nur in den Ecken des Würfels entstehen: Also 8 Würfel mit 3 bemalten Flächen (weil der Würfel 8 Kanten hat). 2 bemalte Flächen: Sind an Würfelkanten zwischen den Ecken. a wir jede imension in 4 geteilt haben, sind das pro Kante noch 2 Würfel (4 Würfel 2 Eckwürfel): Also 24 Würfel mit 2 bemalten Flächen (weil der Würfel 12 Kanten mit je 2 solchen Würfeln hat, 12 2 = 24 Würfel mit 2 bemalten Flächen). 1 bemalte Flächen: Sind auf den Seitenflächen zwischen den Kantenwürfeln. Hier sind das 4 Würfelchen pro Seitenfläche, die mit einer Fläche bemalt sind. Also 24 Würfel mit 1 bemalten Flächen (weil der Würfel 6 Flächen mit je 4 solchen Würfeln hat, 6 4 = 24 Würfel mit 1 bemalten Fläche). 0 bemalte Flächen: iese Würfelchen sind im Innern des ursprünglichen Würfels. Also alle, die wir nicht schon gezählt haben. Total hat es 64 Würfelchen 8 (3-Flächen) 24 (2- Flächen) 24 (1 Fläche) = = 8 Würfel mit keiner bemalten Fläche LösungenossierWürfelundQuader.doc A. Räz / Seite 2

3 Lösungen eometrie-ossier Würfel und Quader Seite 8 Aufgaben Quader (Lösungen sind verkleinert gezeichnet) 1 a) ie Lösungsidee: 1. ie erade durch EF zeichnen, auf welcher die nächsten Quaderkanten liegen 2. Mit dem Zirkel die Streckenlänge von EF von aus abtragen H (weil H gleich lang ist wie EF). Von H aus dann die Streckenlänge von F abtragen E (weil EH = F) 3. ie Senkrechten durch, H zeichnen und mit der erade durch ABC schneiden, A 4. Nun die eck- und rundfläche ansetzen. abei überträgt man mit dem Zirkel die entsprechende Streckenlänge, hier EF von F aus übertragen. Achtung, dies ist nur eine von vielen möglichen Lösungen. u hast vielleicht eine andere. dann überprüfe, ob die Streckenlängen übereinstimmen: EF = H = AB = C BC = F = A = EH AE = BF = C = H und ob sich das Netz wirklich zu einem Quader auffalten lässt. 2 ie Lösungsidee: 1. ie Strecke EF parallel durch A verschieben, F verlängern B 2. EF verlängern, B übertragen von F aus 3. leiches gilt für die Punkte A und C Übertragen 4. ie rundfläche noch irgendwo ansetzen. abei übertragen wir die Streckenlänge von H z.b. von C aus. 5. ann Netz fertig beschriften a) iese Raumbilder sind verkleinert gezeichnet: Achtung, dies ist nur eine von vielen möglichen Lösungen. u hast vielleicht eine andere. dann überprüfe, ob die Streckenlängen übereinstimmen: EF = H = AB = C BC = F = A = EH AE = BF = C = H und ob sich das Netz wirklich zu einem Quader auffalten lässt. as Quader sieht von der Form her so aus, wie das Musterbild links. Sichtbarkeit beachten! Beachte: ie nach hinten verlaufenden Strecken sind im Raumbild halb so lange zu zeichnen, wie sie in Wirklichkeit sind: Zudem ist zwischen AB und AE ein Winkel von 45 zu zeichnen (anstelle der Original 90 ) a) BC wird also 2cm lang (4cm : 2 = 2cm) BC wird also 3cm lang (6cm :2 = 3cm) Alle anderen Strecken haben Originallänge. LösungenossierWürfelundQuader.doc A. Räz / Seite 3

4 7 cm 5cm 1 a) 2 a) Volumen: Länge a Breite b Höhe h Oberfläche Seite 11 Aufgaben Berechnungen in Quader und Würfel Volumen a) 2 cm 4 cm 9 cm 124cm 2 72 cm cm cm 3 c) 3 cm 4 cm 108cm 2 72 cm 3 d) 2. 4 cm 98cm 2 60 cm 3 e) f) 4 cm cm 2 (Würfel) 125cm (Würfel) 216cm 3 3cm von oben / unten: von vorne / hinten: von links /rechts 4 cm 4 cm 3cm 3cm ( = 2+6) Lösungen eometrie-ossier Würfel und Quader Berechnungen: a) V = a b c = = 8 9 = 72 cm 3 S= 2(ab + ac + bc) = 2( )= 2( )= 262 = 124cm 2 h = V : (a = V : = 100 : (58) = 100 : 40 = 2. S= 2(ab + ac + bc) = 2( )= 2( )= = 145cm 2 c) b = V : ( h a) = 72 : (34) = 72 : 12 = S= 2(ab + ac + bc) = 2( )= 2( )= 254 = 108cm 2 d) a = V : ( h = 72 : (64) = 60 : 24 = 2. S= 2(ab + ac + bc) = 2( )= 2( )= 249 = 98cm 2 e) Im Würfel sind alle drei Kantenlängen gleich. Also ist die Oberfläche = 6 Seitenfläche. ie Seitenfläche ist dabei Kante Kante = aa = a 2. Somit Seitenfläche = S : 6 = 150 : 6 = 2 2 Nun fragen wir: Welche Zahl mal sich selber gibt 25? 5 5 = 25. Somit ist die Kantenlänge a = 5cm V = a a a = = 25 5 = 12 3 f) leiche Überlegung wie oben: Seitenfläche = S : 6 = 216 : 6 = 3 2 Nun fragen wir: Welche Zahl mal sich selber gibt 36? 6 6 = 36. Somit ist die Kantenlänge a = 6cm V = a a a = 6 6 6= 36 5 = 21 3 Volumen: er Quader wird in zwei Teilquader zerlegt. iese können einfach berechnet werden. rüner Teilquader (rechts) : V grün = = 120 cm 3 roter Teilquader (links): V rot = = 192 cm 3 Volumen Körper = V grün + V rot = = 312 cm 3 Fläche von oben / unten: 2 ( ) = 239 = 7 2 Fläche von vorne / hinten: 2 ( ) = 256 = 112 cm 2 Fläche von links / rechts: 2 (88) = 264 = 12 2 Totale Oberfläche = = cm 4 cm 4 cm von oben / unten: von vorne / hinten: von links /rechts Innenseiten: (unten nur grün) (hinten nur grün) 7 cm li/re vo/hi 4cm 4cm - Volumen: Vom ganzen Quader wird der kleine Quader weggenommen. rosser Quader (links) : V gross = = 420 cm 3 Kleiner Teilquader (rechts): V klein = = 80 cm 3 Volumen Körper = V gross V klein = = 340 cm 3 Fläche von oben / unten: 2 (67) = 242 = 84 cm 2 Fläche von vorne / hinten: 2 (106) = 260 = 120 cm 2 Fläche von links / rechts: 2 (107) = 270 = 140 cm 2 Fläche innen links / rechts: 2 (45) = 220 = 40 cm 2 Fläche innen vorne / hinten: 2 (45) = 220 = 40 cm 2 Totale Oberfläche = = 424 cm 2 LösungenossierWürfelundQuader.doc A. Räz / Seite 4

5 7 cm (5+2) 2 cm 7 cm 7 cm 50 cm 7 2 cm 2 cm 1 cm 1 cm 2 c) Seite 12 Lösungen eometrie-ossier Würfel und Quader Aufgaben Berechnungen in Quader und Würfel Volumen: Vom ganzen Quader wird der kleine Quader weggenommen. rosser Quader (links) : V gross = = 420 cm 3 Kleiner Teilquader (rechts): V klein = = 32 cm 3 Volumen Körper = V gross V klein = = 38 3 von oben / unten: von vorne / hinten: von links /rechts Innenseiten: (unten nur grün) (hinten nur grün) 7 cm li/re - 4 cm 8cm (10 2) Fläche von oben / unten: 2 (610) = 260 = 120 cm 2 Fläche von vorne / hinten: 2 (76) = 242 = 84 cm 2 Fläche von links / rechts: 2 (107) = 270 = 140 cm 2 Fläche innen links / rechts: 2 (18) = 28 = 1 2 Totale Oberfläche = = 360 cm 2 c) 9 cm (6+3) - 4 cm ( cm - 3 cm 4 cm Volumen: Vom grünen Quader nimmt man unten zwei kleine Quader weg (gelb, grün). ann setzt man den roten Quader noch oben drauf.. rosser Quader (links) : V grün = = 31 3 Kleiner Teilquader (unten li): V blau = = 3 Kleiner Teilquader (unten re): V gelb = = 3 3 Zusatz Teilquader (oben): V rot = = 40 cm 3 Volumen Körper = V grün V blau V gelb + V rot = = 311 cm 3 Fläche von oben / unten: 2 (95) = 245 = 90 cm 2 Fläche von vorne / hinten: 2 (75) = 235 = 70 cm 2 Fläche von links / rechts: 2 (79) = 263 = 126cm 2 Fläche von rot links / rechts: 2 (24) = 28 = 1 2 Fläche von rot vorne / hinten: 2 (25) = 210 = 20 cm 2 von oben / unten ist die jeweils gleich grosse Fläche zu sehen von links / rechts ist jeweils eine gleich grosse Fläche zu sehen von oben / unten ist ebenfalls jeweils eine gleichgrosse Fläche zu sehen. Totale Oberfläche = =322 cm 2 ie Abgeschnittenen Quader machen für die Oberfläche keine Veränderung aus, denn die entsprechenden Oberflächenanteile entsprechen dem herausgeschnittenen Teil. 3 a) Lediglich die vordere / hintere und linke / rechte Seite des roten Quaders muss addiert werden. 20 cm er kleine Quader hat ein Volumen von = cm 3. er Teil, welcher im Wasser steht, hat ein Volumen von = 30000cm cm 30 cm 50 cm Somit fehlen cm 3, wenn man den Quader aus der Wanne entfernt. ie Bodenfläche der Wanne ist = 5000 cm 2 ies entspricht einer Höhe von : 5000 = (Weil V = h h = V : ) er Wasserspiegel sinkt um 6cm. Legt man den Quader ins Wasser, so müssen zusätzliche cm 3 in die Wanne. ies entspricht bei der gegebenen rundfläche von 5000cm 2 einer Höhe von: h = V : = : 5000 = 3 cm. (weil V = h h = V : ) ie Wanne ist um 3cm zu tief. LösungenossierWürfelundQuader.doc A. Räz / Seite 5

6 Lösungen eometrie-ossier Würfel und Quader Seite 16 Konstruktion von Flächen und Strecken in wahrer Form und rösse (Lösungen sind verkleinert gezeichnet) 1 a) P sind in der gleichen Fläche (Hinterfläche) PQ sind in der gleichen Fläche (eckfläche) PQ parallel durch verschieben ( liegt in rundfläche, also ist die Schnittkante parallel zu derjenigen in der eckfläche) ann vervollständigen PQ sind in der gleichen Fläche (eckfläche) P sind in der gleichen Fläche (rechte Seitenfläche) PQ parallel durch verschieben ( liegt in rundfläche, also ist die Schnittkante parallel zu derjenigen in der eckfläche) Es entsteht der Punkt R. Nun P parallel durch R (linke / rechte Seitenfläche haben parallele Schnittkanten) Es entsteht der Punkt S ann vervollständigen c) QB sind in der gleichen Fläche (Vorderfläche) PQ sind in der gleichen Fläche (eckfläche) PQ parallel durch B verschieben (B liegt in rundfläche, also ist die Schnittkante parallel zu derjenigen in der eckfläche) ann vervollständigen d) QB sind in der gleichen Fläche (Vorderfläche) PQ sind in der gleichen Fläche (eckfläche) PQ parallel durch B verschieben (B liegt in rundfläche, also ist die Schnittkante parallel zu derjenigen in der eckfläche) ann vervollständigen e) PQ verbinden (gleiche Seitenfläche) und parallel durch R verschieben (parallele Seiten haben parallele Schnittkanten) Es entsteht der Punkt S QR parallel durch S verschieben (parallele Seiten haben parallele Schnittkanten) Es entsteht der Punkt T PQ parallel durch T verschieben (parallele Seiten haben parallele Schnittkanten) Es entsteht der Punkt U vervollständigen f) PQ verbinden (gleiche Seitenfläche) und parallel durch R verschieben (parallele Seiten haben parallele Schnittkanten) Es entsteht der Punkt S PS parallel durch Q verschieben (parallele Seiten haben parallele Schnittkanten) Es entstehen die Punkte T, V PQ parallel durch T und V verschieben (parallele Seiten haben parallele Schnittkanten) Es entstehen die Punkte W, U vervollständigen LösungenossierWürfelundQuader.doc A. Räz / Seite 6

7 Lösungen eometrie-ossier Würfel und Quader Seiten 17 / 18 Konstruktion von Flächen und Strecken in wahrer Form und rösse (Lösungen sind verkleinert gezeichnet) 2 a) Zuerst das Quadrat (eckfläche oder rundfläche) zeichnen, damit man die Länge der Strecke E konstruieren kann. anach senkrecht zu E die Würfelkante abtragen und vervollständigen. ie Seitenlängen des Würfels für die Konstruktion können mit dem Zirkel vom Raumbild übernommen werden (von der Vorderfläche!) M1 Zuerst konstruieren wir die Vorderfläche (Quadrat) anach bestimmen wir die Seitenmitten M2 (Mitte von EF) und M3 (Mitte von BF). M2 M4 Anschliessend Senkrechte zu M2M3 mit Würfelkantenlänge abtragen und vervollständigen. M3 ie Seitenlängen des Würfels für die Konstruktion sind gegeben. c) Zuerst konstruieren wir die Vorderfläche (Quadrat) anach bestimmen wir die Seitenmitte M1 (Mitte von BF) M2 Anschliessend Senkrechte zu M1E mit Würfelkantenlänge abtragen und vervollständigen. M1 ie Seitenlängen des Würfels für die Konstruktion sind gegeben. d) Zuerst konstruieren wir die Seitenfläche BCF in wahrer rösse. anach verbinden wir B und legen eine Senkrechte dazu. Abtragen der Quaderlänge AB von B aus auf der Senkrechten und vervollständigen. ie Seitenlängen des Quaders für die Konstruktion sind gegeben. e) Zuerst konstruieren wir die eckfläche (Quadrat) (oder rundfläche) anach tragen wir den gegebenen 1cm von H und von F aus ab so finden wir R und Q. Anschliessend Senkrechte zu RQ mit Würfelkantenlänge abtragen und vervollständigen. ie Seitenlängen des Würfels für die Konstruktion sind gegeben. LösungenossierWürfelundQuader.doc A. Räz / Seite 7

8 3 a) Seiten 17 / 18 Lösungen eometrie-ossier Würfel und Quader Konstruktion von Flächen und Strecken in wahrer Form und rösse (Lösungen sind verkleinert gezeichnet) Zuerst betten wir die gesuchte Strecke in eine passende Ebene ein (Hier BPC). iese Ebene konstruieren und dann die gesuchte Strecke einzeichnen. Zuerst betten wir die gesuchte Strecke in eine passende Ebene ein (Hier ABH). iese Ebene konstruieren, die Strecke AH halbieren (=M) und dann die gesuchte Strecke einzeichnen. c) Zuerst betten wir die gesuchte Strecke in eine passende Ebene ein (Hier z.b. EAPQ). iese Ebene konstruieren, die Strecke PQ halbieren (=M) und dann die gesuchte Strecke einzeichnen. d) Zuerst betten wir die gesuchte Strecke in eine passende Ebene ein (Hier z.b. M1M2M3M4). iese Ebene konstruieren und dann die gesuchte Strecke einzeichnen. LösungenossierWürfelundQuader.doc A. Räz / Seite 8

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