Tag der Mathematik 2011

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1 Zentrum für Mthemtik Tg der Mthemtik 0 Gruppenwettbewerb Einzelwettbewerb Mthemtische Hürden Lösungen Allgemeine Hinweise: Als Hilfsmittel dürfen nur Schreibzeug, Geodreieck und Zirkel benutzt werden. Tschenrechner sind nicht zugelssen. Aufgben bitte nur uf den Aufgbenblättern berbeiten und bgeben! Zentrum für Mthemtik Werrstr Bensheim 065/58006

2 Aufgbe G (8 Punkte) Es sei F (x) := 9x 9 x +. ) Zeigen Sie F (x) + F ( x) =. b) Berechnen Sie ( ) F + F 0 ( ) F 0 ( ) F 0 ( ) ) F (x) + F ( x) = 9x 9 x x 9 x + = 9x 9 x x = 9x 9 x =. x b) Für n =,,..., 00 gilt ( n ) ( ) 0 n F + F = F 0 0 Prweise Zusmmenfssung ergibt ( ) ( ) 005 F F 0 0 = } + + {{... + } = Einsen + F ( n ) ( + F n ) =. 0 0 ( ) F 0 ( ) 00 0 Zentrum für Mthemtik Werrstr Bensheim 065/58006

3 Aufgbe G (8 Punkte) Eine Lösung der Gleichung x + y = ist x = 8 und y =. Mn knn diese Lösung uf zwei prllelen Achsen eintrgen und durch eine sogennnte Lösungsstrecke miteinnder verbinden: x y Bestimmen Sie weitere Lösungen der Gleichung x + y =, trgen diese uf den prllelen x- und y- Achsen ein und verbinden diese Lösungspunkte mit einer Strecke. Welche Eigenschft hben diese Lösungsstrecken? Begründen Sie diese Eigenschft x S y Die eingezeichneten Lösungsstrecken gehen lle durch einen Punkt S. Jede weitere Strecke durch S scheint eine Lösungsstrecke zu sein. (i) Zur Begründung, dss S jede der eingezeichneten Lösungsstrecken im Verhältnis : teilt, wähle mn zwei beliebige Lösungsstrecken (x, y ) und (x, y ) durch S. Dnn gilt x + y = und x + y =. Zentrum für Mthemtik Werrstr Bensheim 065/58006

4 x x x Hierus folgt (Strhlenstz) x x y y = = b. b S y y y (ii) Zum Nchweis, dss jede Strecke durch S eine Lösungsstrecke ist, wähle mn eine beliebige Strecke (x 0, y 0 ) durch S. Dnn gilt x x 0 Hierus folgt x 0 + y 0 = x + x =. = y 0 y. (iii) Zur Begründung, dss jede Lösungsstrecke durch S gehen muss, werde ngenommen, dss (x, y ) eine Lösungsstrecke sei, die nicht durch S geht. Zeichne von x us eine Strecke durch S; diese treffe die y-achse in y. Nch (ii) ist x + y =, lso knn x + y nicht sein; dies widerlegt die Annhme, dss (x, y ) eine Lösungsstrecke sei. Zentrum für Mthemtik Werrstr Bensheim 065/58006

5 Aufgbe G (8 Punkte) Einer Kugel mit Rdius ist der Kegel mit dem größten Volumen V einzubeschreiben. h Berechnen Sie die Höhe h und den Grundkreisrdius r des Kegels in Abhängigkeit von. r Mit r = (h ) (Pythgors) oder r + h = h (Kthetenstz) oder r = h ( h) (Höhenstz) folgt für ds Volumen V = πr h = π ( h h ). h r. Möglichkeit V = π ( h h ) = π ( ( ) ( h ) ( h + ) ). V ist mximl für h =.. Möglichkeit Aus V (h) = π ( ) h h = 0 folgt h =. Wegen V (h) = π ( 6h) < 0 für h = ist V mximl. Für den Rdius gilt r =. Zentrum für Mthemtik Werrstr Bensheim 065/58006

6 Aufgbe G (8 Punkte) In ein gleichseitiges Dreieck (Seitenlänge = 8 cm) wird ein Rechteck so einbeschrieben, dss eine Seite des Rechtecks uf einer Dreiecksseite liegt und die weiteren Eckpunkte des Rechtecks die Seitenmitten der nderen Dreiecksseiten sind (vgl. Abbildung). Eine der Restflächen im Dreieck ist wieder ein gleichseitiges Dreieck, in ds in gleicher Weise ein Rechteck einbeschrieben wird. Dieser Vorgng wird mehrmls wiederholt. ) Bestimmen Sie die Fläche des ersten Rechtecks. b) Welche Fläche ht ds dritte Rechteck? Welche Fläche ht ds n-te Rechteck? c) Ds wie vielte Rechteck ht erstmls eine Fläche, die kleiner ls 0 mm ist? ). Rechteck b). Rechteck n-tes Rechteck Grundseite Höhe Fläche [cm ] = 8 8 = = n n+ n+ n 5 c) Mit = 8 cm = 80 mm folgt für n die Ungleichung 6 00 n+ < 0, lso 000 < n 5 < n 5, d >. Wegen 0 > 000, muss n 5 > 0 sein, lso n = 8. Für n = 7 ist die Fläche 5 8 0, [mm ]. Zentrum für Mthemtik Werrstr Bensheim 065/58006

7 Aufgbe E (8 Punkte) y Die Punkte A und B liegen uf der Prbel y = x + 7x. Der Koordintenursprung O ist Mittelpunkt der Strecke AB. Berechnen Sie die Länge von AB. A x B Für A (p q) und B ( p q) gilt q = p + 7p und q = p 7p. Hierus folgt p = und q = 7 und somit AB = (p) + (q) = 50 = 5. Zentrum für Mthemtik Werrstr Bensheim 065/58006

8 Aufgbe E (8 Punkte) Beim Bu eines unterirdischen Stollens sind folgende Bedingungen einzuhlten: c (i) Der Querschnitt muss ein gleichschenkliges Trpez mit Flächeninhlt 6 m sein. b h b (ii) Der Neigungswinkel der Seitenwände gegenüber der Bodenfläche muss 60 Grd betrgen. Wie hoch wird der Stollen (Trpezhöhe h), wenn ds Querschnittstrpez minimlen Umfng U hben soll? 60 Es gilt c (i) 6 = + c (ii) h = c Somit ist der Umfng h, lso +c = h, lso c = h b 60 }{{} c U = + c + b = + c + ( c) = h. Möglichkeit U = ( h + 9 ) = ( ) ) h (6 + h h h + h = ( h + 9 ) h wird miniml für h h = 0, b.. Möglichkeit Aus U (h) = ( 9 h ) = 0 folgt h =. lso h =. Wegen U (h) = h > 0 für h = liegt ein Minimum vor. Zentrum für Mthemtik Werrstr Bensheim 065/58006

9 Aufgbe E (8 Punkte) Die fünfstellige Zhl 679b ist durch 7 teilbr. Bestimmen Sie die Ziffern und b. Wegen 7 = 8 9 muss die Zhl durch 8 und 9 teilbr sein. Eine Zhl ist durch 8 teilbr, wenn die Zhl us den letzten drei Ziffern durch 8 teilbr ist. Aus 8 79b folgt b =. Die Quersumme muss durch 9 teilbr sein. Aus = + folgt =. Es gilt 679 = 7 5. Zentrum für Mthemtik Werrstr Bensheim 065/58006

10 Aufgbe H ( Punkte) Für welches x gilt ( ) ( ) = 0 x? Mit := 009 gilt (0 + 5) (0 5) = = 00 0 = 0 + und somit x = + = 0. Zentrum für Mthemtik Werrstr Bensheim 065/58006

11 Aufgbe H ( Punkte) In einem Rechteck ABCD mit AB > BC werden E uf AB und F uf CD so gewählt, dss Viereck AECF eine Rute ist (Mittelpunkt M). D F C Berechnen Sie EF, wenn M (i) AB = 8 und BC = 6, (ii) AB = und BC = b. A E B Die Dreiecke ABC und CMF sind ähnlich. Also gilt und somit EF = b EF AC = BC AB = b + b = = 5 Zentrum für Mthemtik Werrstr Bensheim 065/58006

12 Aufgbe H ( Punkte) Gegeben ist ein Dreieck mit den Seitenlängen, und. Berechnen Sie ) cos α, b) die Fläche des Dreiecks. α. Möglichkeit ( ) ( ) ( ) + ) Nch dem Kosinusstz gilt cos α = b) sin α = cos α = =. Möglichkeit Aus x + h = und ( x) + h = folgt x = und h = 6. h ) cos α = x = b) h = α x x Zentrum für Mthemtik Werrstr Bensheim 065/58006

13 Aufgbe H ( Punkte) D C Im Rechteck ABCD mit AD = wird der Winkel bei D durch DE und die Digonle BD gedrittelt. Berechnen Sie den Umfng des Dreieck BDE. A E B Aus der Zeichnung folgt BD =, BE = =, DE =. Umfng: A E B D C Zentrum für Mthemtik Werrstr Bensheim 065/58006

14 Aufgbe H5 ( Punkte) Es sei > 0, b > 0, b = b und b = 9. Berechnen Sie. Aus = b b = (9) 9 folgt 9 = 9. Also 8 = 9 und somit =. Zentrum für Mthemtik Werrstr Bensheim 065/58006

15 Aufgbe H6 ( Punkte) Auf einem Würfel mit Kntenlänge sitzt ein Würfel mit Kntenlänge. Auf diesem wiederum steht ein Würfel mit Kntenlänge, usw., d.h. jeder Würfel trägt einen Würfel mit hlber Kntenlänge. Wenn dieses Aufeinndertürmen der Würfel nch vier Würfeln beendet wird, welche Oberfläche ht dnn dieser vierstöckige Würfelturm? Betrchtet mn den Würfelturm von unten und oben, so sieht mn jeweils ein Einheitsqudrt. Die senkrechten Qudrtseiten hben zusmmen die Fläche ( ( ) ( ) ( ) ) Die gesmte Oberfläche ist dher + ( ) = Zentrum für Mthemtik Werrstr Bensheim 065/58006

16 Aufgbe H7 ( Punkte) Gegeben sind die Funktionen h(x) = x, g(x) = h(x) und f(x) = g(x). Zeichnen Sie die drei Funktionen in verschiedene Koordintensysteme. Berechnen Sie die Fläche, die von f und der x-achse eingeschlossen wird. h(x) g(x) x x f(x) x Fläche 6 ( ) = 7. Zentrum für Mthemtik Werrstr Bensheim 065/58006

17 Aufgbe H8 ( Punkte) Zwischen reellen Zhlen und b werden zwei Rechenrten definiert: b := b, dbei ist " " die normle Multipliktion, # b := b, dbei ist "-" die normle Subtrktion. ) Welche der Zhlen ( 6) # 8 oder (6 # 8) ist größer? b) Bestimmen Sie lle, für die = # gilt. ) ( 6) # 8 = ( 6) # 8 = 6 # 8 = 6 8 = 0 (6 # 8) = ( 6 8) = = = 056 b) Aus = # folgt = und somit ( ) = 0. Also = 0 oder =. Zentrum für Mthemtik Werrstr Bensheim 065/58006

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