WÜRFELSUMME. Ein Baustein der Materialiensammlung Statistik in der Volksschule

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1 WÜRFELSUMME Ein Baustein der Materialiensammlung Statistik in der Volksschule Zwei Würfeln werden oft geworfen, die beiden Augenzahlen jeweils addiert. Die Summe kann von 2 bis 12 reichen, aber: Wird jede Summe gleich oft kommen? Oder gibt es Unterschiede, die womöglich immer in dieselbe Richtung gehen? In einem etwas anspruchsvolleren Beispiel zum Thema Wahrscheinlichkeit werden zwei Verteilungen und das Prinzip Günstige durch Mögliche vorgestellt. Kurze Beschreibung des Beispiels: Im Beispiel Drehscheibe haben die Kinder bereits erste Erfahrungen mit dem Begriff Wahrscheinlichkeit gemacht, nun werden diese Erkenntnisse vertieft. In Gruppen werden ein bzw. zwei Würfel insgesamt 1x geworfen, die Augenzahlen (bzw. deren Summe) werden in einem Diagramm festgehalten. Nun kann abgelesen werden, welche Zahlen öfter, welche seltener gekommen sind. Die Ergebnisse der verschiedenen Gruppen werden verglichen und Gemeinsamkeiten festgestellt. Fakten: Alter: Themen: Zeit: Materialaufwand: Unterrichtsart: 4. Klasse Wahrscheinlichkeit 1-2 Stunden mittel % frontal, 4% Diskussion, 4% Gruppenarbeit Lehrmaterialien Statistik für die Volksschule 1 Christian Neumann

2 Einleitung Vorsicht! Da jeder Baustein für sich allein verwendbar sein soll, ist dies eine allgemeine Einleitung. Falls Sie die Einleitung zur Sammlung oder zu einem anderen Beispiel dieser Sammlung bereits kennen, springen Sie bitte gleich zum nächsten Abschnitt. Da Sie hier weiterlesen, ist dies Ihr erstes Beispiel aus der Sammlung Statistische Lehrmaterialien für die Volksschule. Aus diesem Grund möchte ich hier ganz kurz erläutern, welche Ziele mit dieser Materialiensammlung verfolgt werden und wie der allgemeine Ablauf eines solchen Beispiels aussehen soll. Die Materialiensammlung Statistische Lehrmaterialien für die Volksschule enthält ausgearbeitete Beispiele zur Vermittlung statistischer Inhalte, wobei folgende Gesichtspunkte zentrale Bedeutung haben. - fächerübergreifend: Die Beispiele sind nicht für einen eigenen Statistikunterricht gedacht, sondern zum Einsatz im Rahmen unterschiedlichster alltäglicher Themenkreise. Es soll gezeigt werden, daß die Verwendung statistischer Denk- und Arbeitsweisen in allen Bereichen gewinnbringend eingesetzt werden kann. - handlungsorientiert: Die Beispiele sind so ausgelegt, daß die Kinder stets selbst Hand anlegen können bzw. müssen und so anhand eigener Erfahrungen Erkenntnisse gewinnen. Dieser Freiraum ist zwar stets mit einer gewissen Unsicherheit verbunden, ermöglicht es aber auch, individuell auf die Kenntnisse und Leistungen der Kinder einzugehen. - modular: Jedes Beispiel steht grundsätzlich für sich allein, kann also unabhängig von allen anderen Beispiele durchgeführt werden. Am Ende der Materialiensammlung wird aber ein Konzept präsentiert, wie eine mögliche Reihung der Beispiele im Laufe des Volksschulunterrichts aussehen könnte. Der Aufbau der Beispiele besteht jeweils aus drei Teilen, einem Stichwortzettel, der genauen Beschreibung und dazu gehörigen Materialien. Der Stichwortzettel gibt einen gegliederten Überblick über den Ablauf des Beispiels und kann auch als Hilfe während der Durchführung dienen. Die Beschreibung ist selbst wiederum in drei Abschnitte gegliedert. Der Rahmen gibt ein mögliches Umfeld (Projekt, Thema o.ä) an, in dem das Beispiel eingesetzt werden kann. Im Abschnitt Durchführung wird der Ablauf des Beispiels von der Einleitung bis zur Analyse der Ergebnisse ausführlich beschrieben. Schließlich bietet der Abschnitt Ideen für Erweiterungen verschiedene Anregungen, das Beispiel auszubauen, zu erweitern, zu verändern oder nochmals durchzuführen. Im Anhang befinden sich nützliche Materialien, wie z.b. Kopiervorlagen von Übersichtsblättern oder Musterlösungen, die die Verwendung der Beispiele erleichtern sollen. Außerdem werden die weiteren benötigten Materialien, die nicht enthalten sind, beschrieben und Vorschläge zu deren Beschaffung gemacht. Lehrmaterialien Statistik für die Volksschule 2 Christian Neumann

3 Ablauf in Stichworten Mögliche Fragen Einleitung Würfel Wiederholung, was vom Drehscheibenbesipiel bekannt ist (Wahrscheinlichlichkeit, Sicherheit, etc.) Vorstellung der Würfel (sechs Seiten, Augenzahlen 1-6) Einleitung Würfeln Theorie: 1 Würfel mögliche Ergebnisse: 1-6 Wenn man oft mit einem Würfel häufig würfelt, wird eine Zahl öfter kommen? Warum bzw. warum nicht? Wenn ja, welche? Würfeln mit 1 Würfel 1x Würfeln in Gruppen! Ergebnisse notieren Auswertung Sind bestimmte Zahlen deutlich öfters gekommen? Ist das Ergebnis in allen Gruppen gleich? Einleitung Würfelsumme Theorie: 2 Würfel! Summe mögliche Ergebnisse: 2-12 Wenn man mit 2 Würfeln oft würfelt und jeweils die Summe bildet, werden bestimmte Ergebnisse häufiger kommen? Wenn ja, welche? Würfeln mit 2 Würfeln 1x Würfeln in Gruppen! Ergebnisse notieren Diskussion Übersichtsblätter an die Tafel Gemeinsame Diskussion der Ergebnisse Erklärung des Prinzips Günstige durch Mögliche 7 (beinahe) immer am häufigsten, dann 6 und 8. Warum? Wieviele Möglichkeiten gibt es, eine 7 zu würfeln, wie viele eine 6, eine 2?. Lehrmaterialien Statistik für die Volksschule 3 Christian Neumann

4 Rahmen Für dieses Beispiel ist eine grundlegende Vertrautheit mit dem Begriff Wahrscheinlichkeit günstig. Aus diesem Grund ist es empfehlenswert, das Beispiel Drehscheibe (Baustein 4) vor diesem durchzunehmen. Durchführung Zu Beginn wird der Begriff der Wahrscheinlichkeit gemeinsam wiederholt. (vgl. Baustein 4: Drehscheibe) Anschließend wird ein Würfel vorgestellt: Dieser hat sechs Seiten mit den Augenzahlen 1-6, wobei beim Würfeln jede Seite mit der gleichen Wahrscheinlichkeit nach oben zeigt. (Ein Würfel kann mit einer Drehscheibe verglichen werden, die in sechs gleich große Abschnitte unterteilt ist.) Die Klasse wird in Zweiergruppen geteilt, jede Gruppe erhält einen Würfel sowie ein Übersichtsblatt 1. Bevor mit dem Würfeln begonnen wird, werden die Kinder gefragt, ob bzw. welche Zahlen öfters kommen werden, wenn man 1x würfelt. Diese Vorhersagen werden an der Tafel festgehalten. Nun kann das Würfeln beginnen. Die Würfelergebnisse werden im Übersichtsblatt eingetragen, wobei jeweils das unterste freie Kästchen über der gewürfelten Zahl ausgemalt wird. So entsteht ganz automatisch ein Diagramm, von dem man das Gesamtergebnis leicht ablesen kann. Damit das Mitzählen bei 1 Würfen erleichtert wird, ist am Rand des Übersichtsblattes eine Leiste mit den Zahlen von 1 1 abgedruckt, bei jedem Wurf wird eine Zahl weggestrichen bis man bei 1 angelangt ist. Nachdem alle Gruppen mit dem Würfeln fertiggeworden sind, werden die Übersichtsblätter abgesammelt und an der Tafel befestigt. Die Ergebnisse werden in etwa folgendermaßen aussehen: Lehrmaterialien Statistik für die Volksschule 4 Christian Neumann

5 Abbildung 1: Erwürfelte Ergebnisse bei 1x Würfeln mit einem Würfel An den tatsächlich erwürfelten Ergebnissen in Abbildung 1 sind folgende Eigenschaften zu erkennen: - Bei 1 Würfen gibt es starke Abweichungen von der Gleichverteilung (jede Augenzahl wird gleich oft gewürfelt), in allen Gruppen ist aber eine Tendenz dazu zu erkennen. - Die Abweichungen sind nicht auf bestimmte Augenzahlen fixiert, es kommt nicht immer eine bestimmte Zahl öfter oder seltener. Zusammenfassend kann gesagt werden, daß die verschiedenen Augenzahlen ungefähr gleich oft kommen, bei nur 1 Würfen aber noch starke Abweichungen auftreten. Diese Abweichungen sind von Gruppe zu Gruppe unterschiedlich und gehen in verschiedene Richtungen. Ein immer gleichmäßigeres Bild erhält man, je öfters gewürfelt wird. Im Abschnitt Ideen für Erweiterungen wird diese Thematik ausführlich behandelt. Nun kommt der zweite Würfel ins Spiel. Wie im Abschnitt Materialien erwähnt, sollte dieser eine andere Farbe als der erste Würfel haben, zum Beispiel rot und schwarz. Weiters erhält jede Gruppe ein Übersichtsblatt 2. Im folgenden Versuch sollen die Kinder jeweils beide Würfeln werfen und die Augenzahlen zusammenzählen. Dieses Ergebnis wird wie im ersten Versuch in das jeweils unterste freie Kästchen über der gewürfelten Summe eingetragen. Z.B.: Ergebnis:! ein Kästchen über der 8 wird angemalt Ergebnis:! ein Kästchen über der 3 wird angemalt Lehrmaterialien Statistik für die Volksschule Christian Neumann

6 Wiederum werden die Kinder gefragt, welche Zahl oder welche Zahlen öfters oder seltener kommen werden und diese Vorhersagen in einer Liste an der Tafel festgehalten. Das zweite Würfelexperiment kann beginnen. Zu Erleichterung des Mitzählens dient auch hier die Leiste am rechten Seitenrand des Übersichtsblattes. Nachdem alle Gruppen mit dem Würfeln fertiggeworden sind, werden die Übersichtsblätter abgesammelt und an der Tafel befestigt. Die Ergebnisse werden in etwa folgendermaßen aussehen: Abbildung 2: Erwürfelte Ergebnisse für die Würfelsumme bei 1 Würfen An den tatsächlich erwürfelten Ergebnissen in Abbildung 2 sind folgende Eigenschaften zu erkennen: - Von einigen Unregelmäßigkeiten abgesehen, wird meistens die 7 am öftesten gewürfelt, gefolgt von 6 und 8, danach und 9 usw. - Auch hier gibt es Abweichungen vom obigen Schema, die bei 1x würfeln noch relativ groß sein können. (für häufigeres Würfeln siehe Abschnitt Ideen für Erweiterungen) Lehrmaterialien Statistik für die Volksschule 6 Christian Neumann

7 In der anschließenden Diskussion wird die Frage gestellt, warum die Zahlen in der Mitte (6,7,8) häufiger gewürfelt wurden als die Zahlen am Rand (2,3,11,12). Eine übersichtliche Beantwortung dieser Frage ist am besten mit Hilfe einer weiteren Tabelle möglich. In dieser Tabelle werden die Anzahl der unterschiedlichen Möglichkeiten eingetragen, wie jede einzelne Würfelsumme erzielt werden kann. Abbildung 3 zeigt diese Tabelle: Ergebnis Augen Augen Augen Augen Augen Augen Möglichkeiten Abbildung 3: Möglichen Würfelsummen Die Abbildung zeigt sehr anschaulich, warum die 7 bei oftmaligem Würfeln am häufigsten kommt: Mit zwei verschiedenen Würfeln können insgesamt 36 Kombinationen erzielt werden, wobei jedes einzelne Ergebnispaar mit derselben Wahrscheinlichkeit auftritt. Gibt es mehrere Möglichkeiten, eine Summe zu erzielen, addieren sich die Wahrscheinlichkeiten für diese Summe und sie wird auch dementsprechend öfters gewürfelt werden. Dieses Prinzip wird auch als Günstige durch Mögliche bezeichnet. Für die Summe 7 sind sechs verschiedene Kombinationen günstig (1,6; 2,; 3,4; 4,3;,2; 6,1). Insgesamt gibt es, wie erwähnt, 36 mögliche Kombinationen, die Wahrscheinlichkeit für die Summe 7 ergibt sich also zu 6/36 = 1/6. Lehrmaterialien Statistik für die Volksschule 7 Christian Neumann

8 Für die Summe 2 hingegen ist nur eine einzige Kombination günstig (1,1), die Anzahl der Möglichkeiten bleibt allerdings bei 36. Die Wahrscheinlichkeit für die Summe 2 ergibt sich also zu 1/36. 7/36 6/36 /36 4/36 3/36 2/36 1/36 / Abbildung 4: Wahrscheinlichkeiten für Würfelsummen Abbildung 4 zeigt eine Zusammenfassung der Wahrscheinlichkeiten, mit der die verschiedenen Summen erzielt werden können. Vergleicht man dieses Diagramm mit den Diagrammen der tatsächlich erwürfelten Ergebnisse, kann man erkennen, daß sich die in der Praxis ermittelten Bilder immer mehr an dieses theoretische Diagramm annähern, je öfters gewürfelt wird. Lehrmaterialien Statistik für die Volksschule 8 Christian Neumann

9 Ideen für Erweiterungen Würfeln mit einem Würfel Im Abschnitt Durchführung war die Annäherung an die Gleichverteilung noch nicht besonders gut. Die Abweichungen wurden darauf zurückgeführt, daß 1 Würfelwürfe noch nicht besonders viel seien. Hier stellt sich natürlich sogleich die Frage: Wie sieht das Bild aus, wenn man öfters würfelt, z.b. 1.mal, 1.mal, 1.mal? Die praktische Beantwortung dieser Frage scheitert normalerweise an der zur Verfügung stehenden Zeit, 1.x Würfeln würde bereits mehrere Stunden dauern, durch einen kleinen Trick können aber zumindest etwa 1. Würfe von den Kindern selbst in kurzer Zeit erreicht werden. Es ist für das Erreichen von 1. Würfelergebnissen unerheblich, ob eine Person 1. mal würfelt oder tausend Personen je einmal. Im ersten Versuch haben mehrere Gruppen je 1x gewürfelt. Je nach Klassengröße ergibt dies ca Einzelwürfe. Zählt man also die Ergebnisse aller Gruppen zusammen, hat man ein Gesamtbild von vielen Einzelwürfen. Dieses Bild wird in etwa folgendermaßen aussehen: Abbildung : Erwürfelte Ergebnisse bei 1.x Würfeln mit einem Würfel Hier sind die Abweichungen durchaus noch vorhanden, jedoch bereits viel kleiner als bei bloß einhundert Würfen. Ein noch viel gleichmäßigeres Bild ergibt sich bei 1. und 1. Würfen, in der Praxis wird diese Anzahl aber auch bei Aufteilung in viele Gruppen nicht in einer vernünftigen Zeit realisierbar sein. Aus diesem Grund sind auf Seite 14 tatsächliche Ergebnisse von 1. bzw. 1. Würfelwürfen angegeben, die in der Klasse vorgezeigt werden können. Lehrmaterialien Statistik für die Volksschule 9 Christian Neumann

10 Würfelsumme Auch bei diesem Experiment erhält man ein immer gleichmäßigeres Bild, je öfters gewürfelt wird. Wie bereits bei einem Würfel können auch hier die Ergebnisse der einzelnen Gruppen zusammengefaßt werden, sodaß ca. 1. Einzelsummen erzielt werden können. Abbildung 6 zeigt mögliche Ergebnisse, wobei ersichtlich ist, daß bereits ein sehr gleichmäßiges Bild entsteht Abbildung 6: Erwürfelte Ergebnisse für die Würfelsumme bei 1. Würfen Lehrmaterialien Statistik für die Volksschule 1 Christian Neumann

11 Materialien - Würfel: Für jede Zweiergruppe werden zwei verschiedenfarbige Würfel benötigt. Wenn möglich, sollten die beiden Farben in allen Gruppen gleich sein (etwa rot und schwarz) - Übersichtsblatt 1: Auf diesem Übersichtsblatt werden die Würfelergebnisse mit einem Würfel eingetragen. Es steht als Kopiervorlage zur Verfügung. - Übersichtsblatt 2: Auf diesem Übersichtsblatt werden die Würfelergebnisse mit zwei Würfeln eingetragen. Es steht als Kopiervorlage zur Verfügung. - Übersichtsblatt 3: Zum Vorzeigen in der Klasse. Es steht als Kopiervorlage zur Verfügung. - Magnete (o.ä.): Zur Befestigung aller Diagramme an der Tafel Lehrmaterialien Statistik für die Volksschule 11 Christian Neumann

12 Übersichtsblatt 1 Würfelergebnisse mit 1 Würfel Anleitung: Ihr würfelt insgesamt 1x und tragt die Ergebnisse im jeweils untersten freien Kästchen über der entsprechenden Zahl ein. 4x 3x 3x 2x x x 1x x Beispiel: Das fertige Diagramm sollte ungefähr so aussehen: Lehrmaterialien Statistik für die Volksschule 12 Christian Neumann 4x 3x 3x 2x x x 1x x

13 Übersichtsblatt 2 Würfelergebnisse mit 2 Würfeln Anleitung: Nun würfelt Ihr insgesamt 1x mit zwei Würfeln und tragt jeweils die Summe der Augenzahlen in das unterste freie Kästchen über der entsprechenden Zahl ein. (Bsp: Die beiden Würfel zeigen 3 und! Das Kästchen über der 8 wird angemalt) Lehrmaterialien Statistik für die Volksschule 13 Christian Neumann 3x 3x 2x x x 1x x

14 Übersichtsblatt 3 1.x bzw 1.x Würfeln mit einem Würfel Abbildung 7: Erwürfeltes Ergebnis bei 1.x Würfeln mit einem Würfel Abbildung 8: Erwürfeltes Ergebnis bei 1.x Würfeln mit einem Würfel Lehrmaterialien Statistik für die Volksschule 14 Christian Neumann