Tag der Mathematik 2006

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1 Tag der Mathematik 2006 Gruppenwettbewerb Einzelwettbewerb Mathematische Hürden Lösungen Allgemeine Hinweise: Als Hilfsmittel dürfen nur Schreibzeug, Geodreieck und Zirkel benutzt werden. Taschenrechner sind nicht zugelassen. Aufgaben bitte nur auf den Aufgabenblättern bearbeiten und abgeben!

2 Aufgabe G1 (8 Punkte) Ein Fußball besteht aus 12 Fünfecken und 20 Sechsecken. Wie viele Ecken und Kanten hat der Fußball? Wie viele Diagonalen hat dieser Körper? Wie viele Diagonalen sind Raumdiagonalen, verlaufen also ganz im Inneren des Fußballs? Anzahl der Ecken: 1 ( ) = 60 3 Anzahl der Kanten: 1 ( ) = 90 2 Von jeder Ecke gehen 59 3 Diagonalen aus, also gibt es insgesamt 1 60 (59 3) = Diagonalen. Ein 6-Eck hat 9 Diagonalen, ein 5-Eck hat 5 Diagonalen. Also hat der Fußball = 240 Flächendiagonalen und somit = 1440 Raumdiagonalen.

3 Aufgabe G2 (8 Punkte) Einem rechtwinkligen, gleichschenkligen Dreieck mit der Kathetenlänge 1 wird ein Rechteck und ein Kreis einbeschrieben (siehe Abb.). Wie muss die Seite x des Rechtecks gewählt werden, damit die Fläche von Rechteck und Kreis zusammen möglichst groß ist? Die Fläche ist A(x) = x(1 x) + πr 2 wobei für den Kreisradius r gilt r + r 2 = 1 x 2 also r = 1 x 2+ und somit 2 oder r + 1 x 2 = 1 x (1 x)2 A(x) = x(x 1) + π (2 + 2) 2 1. (Quadratische Ergänzung) = x(x 1) + k (1 x) 2 mit k := A(x) = (k 1)x 2 + x(1 2k) + k = k + Also ist A(x) maximal für x = (1 2k)2 4(1 k) 1 2k 2(1 k) (1 k) π (2 + 2) 2 < 1 ( x 1 2k 2(1 k) ) 2 2. (Ableitung) A (x) = 1 2x 2k(1 x) = 0, also x = 1 2k 2(1 k) A (x) = 2(k 1) < 0, da k < 1.

4 Aufgabe G3 (8 Punkte) Wirft man zwei normale Spielwürfel, die jeweils die Zahlen 1, 2,..., 6 tragen, so erhält man die Augensummen 2, 3,..., 12 mit unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten. Wie muss man zwei Würfel mit den Zahlen 0, 1, 2,..., 6 versehen, damit jede der Augensummen 1, 2,..., 9 mit gleicher Wahrscheinlichkeit erscheint. (Bei der Verteilung der Zahlen 0, 1,..., 6 auf die 12 Würfelflächen können Zahlen mehrfach oder auch gar nicht vorkommen und auf den beiden Würfeln müssen nicht die gleichen Zahlen stehen.) Bei zwei Würfeln gibt es 6 6 = 36 Augensummen. Da nur 9 Augensummen verschieden und gleichwahrscheinlich sein sollen, muss jede der Augensummen 1, 2, 3,..., 9 genau viermal vorkommen. Da die Augensummen 1 nur als und vorkommen kann, muss sein: Auch die Augensumme 2 und 3 können dann nur als und bzw und vorkommen. Also Setzt man auf den 1. Würfel so hat man die Lösung.

5 Aufgabe G4 (8 Punkte) In einem gleichseitigen Dreieck ABC (Seitenlänge 2) mit den Seitenmitten D und E schneidet die Gerade durch D und E den Umkreis (Mittelpunkt M) in G und F. Bestimmen Sie die Länge x der Strecke EF. 1. Der Umkreisradius r ist 2 der Dreieckshöhe h, 3 für die gilt h 2 = = 3 2, also r = Im (M F E) gilt (Kosinussatz): r 2 = ( 1 3 h)2 + x 2 2 h x cos ( 2 3) 2 = ( 1 3) 2 + x x cos Mit cos 150 = cos 30 = folgt 0 = x 2 + x x = 2 2. Für die Höhe h gilt h = 3. Der Umkreisradius r ist 2h. Also gilt 3 (x )2 = r 2 (r h 2 )2 = ( 2 3 h)2 ( 1 6 h)2 = 5 4, also x = 5 1 2

6 3. Sehnensatz: x (1 + x) = EF B ist ähnlich zu ECG Also x 1 = x

7 Aufgabe E1 (8 Punkte) Die beiden Ziffern im Alter von Jörg sind dieselben wie im Alter von Bettina, nur in umgekehrter Reihenfolge. In 5 Jahren wird Jörg doppelt so alt sein wie Bettina dann sein wird. Wie alt sind Jörg und Bettina heute? Für das Alter 10a + b von Jörg und 10b + a von Bettina gilt 10a + b + 5 = 2(10b + a + 5) und somit 8a = 19b + 5 mit der einzigen einstelligen Lösung (a, b) = (3, 1). Somit ist Jörg 31 und Bettina 13 Jahre alt.

8 Aufgabe E2 (8 Punkte) Es seien f(x) = ax + b und g(x) = bx + a mit a, b 0. Wie müssen a und b gewählt werden, damit g die Umkehrfunktion von f ist? 1. Aus f(g(x)) = abx + a 2 + b = x für alle x folgt a b = 1 und a 2 + b = 0. Also ist a a = 0 und somit a = b = Aus x = a g(x) + b folgt g(x) = x b a. Also gilt x a b a = bx + a. Somit muss b = 1 a und b a = a sein. Also a 2 = 1, d.h. a = 1 und somit b = 1. a

9 Aufgabe E3 (8 Punkte) Ein Quader mit quadratischer Grundfläche ist aus Würfeln der Kantenlänge 1 aufgebaut. Die Anzahl dieser Würfel ist so groß wie die Anzahl der außen liegenden Würfelflächen (einschließlich der Grundfläche). Bestimme diejenige Würfelzahl, für die dies mit der kleinsten Grundfläche möglich ist. Aus n 2 h = 4n h + 2n 2 folgt h = 2n n 4. Da h und n ganzzahlig sind, wird der Bruch ganzzahlig bei kleinstmöglichem n, wenn n = 5 und h = 10 ist. Es werden also n 2 h = 250 Würfel benötigt.

10 Aufgabe E4 (8 Punkte) Ein Rechteck mit den Seiten 1 und 2 rotiert um eine seiner Diagonalen. Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers. Die Dreiecke ABC und ACD erzeugen zwei Doppelkegel, die sich teilweise überschneiden und deren gemeinsamer Körper ein Doppelkegel ist, der durch das gleichschenklige Dreieck ACE erzeugt wird. Für den Abstand d von D zur Achse AC gilt d 3 = 1 2, 6 also d = 3. Für den Abstand e von E zur Drehachse gilt e : 3 = 1 : 2, 2 6 also e = 4. Das gesuchte Volumen des Rotationskörpers ist 2 π 1 3 d π e2 3 = π ( ) 2 ( ) = 23π

11 Aufgabe S1 (4 Punkte) Welcher Bruch a b hat die Dezimalzahldarstellung 1, = 1, 451? 1. 1, 451 = 1, 4 + 0, 051 = = = Aus s : = 0, 51 und 100s = 51, 51 folgt 99s = 51 und somit s = , 4 + 0, 051 = 1, 4 + 0, 051 = 1, 4 + = ( ) 100 = =

12 Aufgabe S2 (4 Punkte) Wie groß ist der Winkel α zwischen den Sehnen in dem abgebildeten Kreis? Aus α + 44 = 96 folgt α = 52

13 Aufgabe S3 (4 Punkte) Die Verknüpfung von zwei positiven Zahlen a und b ist definiert durch Berechnen Sie a (b c) und (a b) c. a b := 1 ab aber: a (b c) = a 1 bc = bc a (a b) c = 1 ab c = ab c

14 Aufgabe S4 (4 Punkte) Ein rechteckiges Blatt Papier (20 cm x 30 cm) wird auf zwei Arten zu einem Zylinder (ohne Boden und Deckel) zusammengerollt. Beide Zylinder haben die gleiche Manteloberfläche. Überprüfe, ob auch ihre Volumen gleich sind. 1. Sind a = 20 und b = 30 die Rechtecksseiten, so sind die Zylindervolumen ( b 2π )2 π a = ab b = 30 und ( a 4π 4π 2π )2 π b = ab 4π Also hat der höhere Zylinder ein kleineres Volumen. a. = π Da der Radius quadratisch und die Höhe linear in die Volumenformel eingehen, hat der Zylinder mit dem größeren Radius das größere Volumen.

15 Aufgabe S5 (4 Punkte) Die drei Freunde Max, Tom und Fritz sitzen beim Kartenspiel. Als Einsatz hat jeder einige Spielmarken. Bei jeder Spielrunde zahlt der Verlierer an die beiden anderen so viele Spielmarken, dass sich deren Besitz an Spielmarken verdoppelt. Beim ersten Spiel verliert Max, bei der zweiten Spielrunde verliert Tom und beim letzten Spiel hat Fritz das Nachsehen. Erstaunt stellen alle drei Freunde nach drei Spielrunden fest, dass jeder von ihnen nun acht Spielmarken besitzt. Wie viele Spielmarken hatten Max, Tom und Fritz vor dem Spiel? Max Tom Fritz nach der 3. Runde nach der 2. Runde nach der 1. Runde vor dem Spiel

16 Aufgabe S6 (4 Punkte) Zwischen Adriane und Christian liegt ein Ball. Er ist 30m von Adriane und 15m von Christian entfernt. Der Ball rollt mit 4m/s auf Adriane zu. Adriane läuft ihm mit 8m/s entgegen. Christian läuft ihm mit 9m/s hinterher. Wer erreicht zuerst den Ball? Wie weit sind dann Adriane und Christian voneinander entfernt? Der Abstand zwischen Adriane und dem Ball verringert sich um 12m/s, also ist sie nach 2,5s am Ball. Da Christians Abstand zum Ball um 5m/s schrumpft, wird er den Ball erst nach 3s erreichen. Also ist Adriane als Erste am Ball und Christian dann noch 2,5m entfernt.

17 Aufgabe S7 (4 Punkte) Die vier Primzahlen ab 11, 13, 17 und 19 liegen in einem Intervall, dessen Länge kleiner als 10 ist. Geben Sie vier Primzahlen größer 20 an, bei denen die Differenz zwischen größter und kleinster Primzahl ebenfalls kleiner als 10 ist. 1. Jede Primzahl ab 5 hat die Form 6n ± 1, n = 1, 2, 3,... Die letzten vier Primzahlen in der Tabelle habe die gesuchte Eigenschaft. 6n n Alle Primzahlen größer 10 lassen sich darstellen als 4k+1 oder 4k + 3 mit k IN k k k (k+1) (k+1) (k+2)

18 Aufgabe S8 (4 Punkte) Ersetzt man die Buchstaben in EINS + EINS = ZWEI durch die Ziffern 0, 1, 2, 3,..., 9, so soll die Summe richtig sein; z.b. ist = 5728 eine Lösung. Geben Sie eine weitere Lösung an. EINS kann sein 1407, 1457, 1608, 1658, 1809, 1859, 2814, 3417, 3618, 3819.