Drei Kreise. Fahrrad r = = = 3 = 3. r r r. n = = = Der Flächeninhalt beträgt 6,34 cm 2.

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1 Dei Keise Bestimmt den Flächeninhalt de schaffieten Fläche. Die schaffiete Figu besteht aus einem gleichseitigen Deieck ( cm) und dei Keisabschnitten (gau gezeichnet). Damit beechnet sich die Gesamtfläche: + Beechnung von : Fü die Höhe im gleichseitigen Deieck gilt (Pythagoas): h h Damit egibt sich fü den Flächeninhalt: g h h. Beechnung von : Wi ziehen von einem Keisausschnitt (siehe links) die Fläche ab: Insgesamt egibt sich: ( ) ( ) 6, De Flächeninhalt betägt 6, cm. Fahad Beechnet die nzahl de Radumdehungen auf euem Schulheimweg. De Heimweg hie sei dei Kilomete. Ein Zoll entspicht,5 cm. Ein 8-Zoll-Fahad, hat demnach einen Duchmesse von ca. 7, cm. Die nzahl de Umdehungen n egibt sich aus de gesamten Wegstecke s geteilt duch den Radumfang u: s s 000 m n u 0,7 m In de Beispielechnung dehte sich das Rad ca. mal.

2 Dichteste Packung Belegt einen Teil eues Tisches so dicht wie möglich mit Fünf- Cent-Stücken. Wie viel Pozent de Fläche ist mit Fünf-Cent- Stücken bedeckt? Wäe de Pozentsatz kleine, wenn man Ein-Cent-Stücke genommen hätte? Wenn ja, um wie viel? Fü unsee Übelegung weden nu dei Münzen benötigt. Es eicht, das hevogehobene Deieck zu betachten. (Die gesamte Ebene lässt sich mit solchen Deiecken pakettieen.) d Duchmesse de Münzen. Radius de Münzen Beechnung von : Fü die Höhe im gleichseitigen Deieck gilt (Pythagoas): h. Die von den Münzen im Deieck bedeckte Fläche : d d d d d d h Damit egibt sich fü den Flächeninhalt: g h d h d d d ( ) Bedeckte Fläche in Pozent: 0,907 90,7% Es sind ca. 90,7% de Fläche bedeckt. Das hängt nicht vom Radius de Münzen ab. Pizza Die Pizza hat einen Duchmesse von 8 cm. ngenommen, ih habt einen doppelt so goßen Hunge. Welchen Duchmesse müsste die Pizza jetzt haben? Die Fläche de Pizza betägt: 65,8 cm. Ein doppelte Hunge efodet die doppelte Pizzafläche, also betägt die gewünschte Fläche:,5 cm. Es gilt:,5 cm 9,8 cm Rechenaltenative: cm 9,8 cm Bemekung (zweite Rechenaltenative): Sind die Eigenschaften von zentischen Steckungen bekannt, kann man auch unmittelba einen Steckfakto von k folgen. Die Pizza müsste jetzt einen Duchmesse von ca. 9,6 cm (doppelte Radius) haben.

3 Domino 5 Wenn ih alle Steine ichtig aneinandelegt, egibt sich folgende Lösungsfigu: 6 Schnu um den Äquato Stellt euch vo, um eine glatte Kugel von de Göße de Ede ( 670 km) sei ein (nicht dehnbaes) Seil um den Äquato gespannt. Daduch hat es jetzt übeall (gleichmäßig) einen kleinen bstand von de Kugel. Könnte de abgebildete Wandee Fidolin sich dazwischen duchklemmen? Ode passt nicht einmal ein Haa (Duchmesse: 0,00005 Mete) von ihm duch? Fü den Edumfang u gilt: u. uflösen nach dem Radius egibt: u Fü die Schnulänge u + gilt entspechend: u + u + R bzw. R. Damit gilt fü den bstand d: u + u u u d R + 0,59. Das Egebnis m 0,59 m 5,9 cm ist von de Göße des Planeten unabhängig. (!)

4 DVD 7 Eine Digital Vesatile Disc hat einen ußenduchmesse von genau zwölf Zentimeten und hat (auf eine Seite) eine Obefläche von ca., cm. Lässt sich aus diesen ngaben de Innenduchmesse bestimmen? De Radius de DVD betägt R 6 cm. Die Fläche besteht aus einem Keising: R Wi lösen diese Gleichung nach de Unbekannten auf: + R R R R, cm R (6 cm) d 0,756 cm,5 cm 0,756 cm De Innenduchmesse betägt ca.,5 cm. 8 Vesucht mit eine Methode eue Wahl so genau wie möglich zu bestimmen. Welche Messfehle gibt es und wie können diese möglichst klein gehalten weden? Es weden zwei typische Messfehle dagestellt: Je dicke de Faden (die Schnu), desto ungenaue wid de Messewet: Die Länge eine Schnu entspicht nicht dem tatsächlichen Umfang des Gegenstandes. Es wid ein zu goße Umfang gemessen. Je dünne de Faden ist, desto genaue wid die Messung. Ein weitee Messfehle egibt sich aus de Messung de Fadenlänge. (Vegleiche auch Station 6). Bei de Messung macht man (weitgehend unabhängig von de Länge) einen Fehle von ± mm. Je göße de ausgemessene Keis ist, desto kleine wid de elative Fehle. Hie die esten 00 Stellen von :

5 9 Zeige eine Uh De Minutenzeige de abgebildeten Uh ist Millimete lang, de Stundenzeige 7 Millimete. Welche Fläche übesteicht de Minutenzeige bis :00 Uh? Welchen Weg legt die Zeigespitze dabei zuück? De Minutenzeige übesteicht in 5 Minuten den gau untelegten Keisausschnitt. De Radius ist duch die Minutenzeigelänge gegeben: mm, cm Beechnung de Fläche : 5 5, cm { 60 ganze Keis 60 Buchteil des Keises { ( ),5 cm Beechnung des zuückgelegten Weges s: 5 5 s, cm 6,9 cm { 60 Umfang des ganzen Keises 60 Buchteil des Keises De Zeige übesteicht eine Fläche von ca.,5 cm und die Zeigespitze legt dabei einen Weg von ca. 6,9 cm zuück. Keising 0 Eine Ein-Euo-Münze besitzt einen Ring aus eine Messing- Nickel-Legieung. Betachtet diesen Ring senkecht von oben: Wie viel Pozent de Fläche escheint jetzt in gold-gelbe Fabe? Die Fläche de Messing-Nickel-Legieung besteht aus einem Keising mit einem ußenduchmesse von D mm, cm und einem Innenduchmesse von d 6 mm,6 cm. Damit ist R,5 cm und 0,8 cm. ( R ) (,5 cm ) ( 0,8 cm ) ), cm R (,5 cm ),5 cm R R p, cm,5 cm % R 0,56 5,6% ltenativ lässt sich de Pozentsatz diekt bestimmen: p % R ( R ) ( R ) 0,56 5,5% R R 0,8 cm,5 cm De gold-gelbe Flächenanteil betägt 5,6%.

6 Vie Münzen Vie Münzen (5-Cent-Stücke) weden so zusammengelegt, dass ihe Mittelpunkte ein Quadat bilden. Beechnet die Fläche, welche die Münzen einschließen. Bestimmt die Gößen, die ih fü die Rechnung baucht. Zusatz: Bestimmt die gesuchte Fläche in bhängigkeit vom Radius eine Münze. Wi betachten das aus den Mittelpunkten entstandene Quadat Q. De Duchmesse eine 5-Cent-Münze betägt ca. mm bzw. de Radius ist 0,05 mm,05 cm. Die gesuchte Fläche ehält man, indem man von de Quadatfläche vie Vietelkeise K abzieht: Q K Q. K. Fü den Flächeninhalt des Quadates gilt: ( ) Fü die Fläche eines Keisausschnittes K gilt: Damit ehält man fü den gesuchten Flächeninhalt : Q K (,05 cm ) ( ) 0,96 cm ( ) Die eingeschlossene Fläche betägt ca. 0,96 cm bzw. 9,6 mm Genaue Duchmesse De Duchmesse eine Tafelkeide soll mit Hilfe eines dünnen Fadens seh genau bestimmt weden. Übelegt euch eine Methode, um den Duchmesse auf ± 0, mm zu bestimmen Die Länge des Fadens lässt sich auf ± mm genau bestimmen. De Faden wid zehnmal um die Keide gewickelt und zwa so, dass die einzelnen Windungen dicht nebeneinande liegen, jedoch nicht übeeinande. Bestimmt ih jetzt die Länge des Fadens auf einen Millimete genau, so veinget sich de Fehle po Windung auf ± 0, mm. (Vegleicht auch Station N. 8) Länge des Fadens L ist gleich dem zehnfachen Umfang. Es gilt: L 0 u 0. ufgelöst nach egibt sich: L mm, mm 0 0. Die Beispielechnung egibt den Duchmesse, mm. Das Egebnis kann von Keidestück zu Keidestück abweichen.

7 Maximal Mit de Schnu soll eine möglichst goße Fläche umandet weden. Wie goß ist diese maximal? Zusatz: Vedoppelt sich de Flächeninhalt, wenn die Länge de Schnu vedoppelt wid? De maximale Flächeninhalt wid duch einen Keis eeicht. Fü den Umfang u gilt: u ufgelöst nach : u Das Egebnis wid in die Fomel fü den Flächeninhalt eingesetzt: u u u ( m ) 0,0796 m 7,96 dm De maximale Flächeninhalt betägt ca. 7,96 dm. m Zusatz: Wid die Länge de Schnu (d.h. de Umfang) vedoppelt, veviefacht sich de Flächeninhalt (). De vedoppelte Umfang wid mit U bezeichnet. Es gilt: U u, und wie oben ist ( u ) U u Bei Vedopplung de Schnulänge veviefacht sich de Flächeninhalt. Flächeninhalt Eine keisfömige Pizza (vgl. Station ) wude in zwölf Stücke zelegt und geodnet. Wi betachten die Pizza von oben. Fü den Umfang gilt: u Nun odnen wi die Teilstücke an: Hätten wi die Pizza in Stücke geteilt, sähe das Egebnis schon fast wie ein Rechteck aus: u Wüde man die Pizza in unendlich viele Stücke schneiden, wüde sich ein Rechteck egeben ( Infinitesimalechnung). De Flächeninhalt eines Rechtecks ist gleich Länge mal Beite: u. Damit gilt fü den Flächeninhalt eines Keises.

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