Induktion am Beispiel des Pascalschen Dreiecks

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1 Iduto am Bespel des Pascalsche Dreecs Alexader Rehold Coldtz

2 Eletug vollstädge Iduto De vollstädge Iduto st ebe dem drete ud drete Bewesverfahre ees der wchtgste der Mathemat. Eher bespelhaft soll her auf de Vorgeheswese egegage werde. Aufgabestellug Behauptug( soll für alle N 0 gelte. Vorgeheswese der vollstädge Iduto Idutosafag - IA: De Behauptug( glt für e bestmmtes 0 oder für mehrere 0. Deses st durch Esetze ud Nachreche lecht zu überprüfe. Für obges Bespel würde ma also 0 überprüfe. Idutosvoraussetzug - IV : Mt dem IA st de Behauptug( zur Voraussetzug( für alle 0 geworde ( 0 0. Idutosbehauptug - IB: Ma behauptet u (mt der soebe geschaffee Voraussetzug, dass de Behauptug auch stets für glt. Idutosschrtt - IS: Des st der Ker des Idutosbeweses. Her muss u gezegt werde, dass ma aus der Idutosvorraussetzug auch de Idutosbehauptug folger a. Idutosschluss: Deser ethält de Schlussfolgerug ud das Idutosprzp. Glt ee Aussage für überprüfte 0, welche wr als Voraussetzug beutze öe ud öe wr zege, dass aus der Voraussetzug( stets de Behauptug( folgt glt de Behauptug( für alle N 0 ab dem Idutosafag. Bemeruge Der Idutosafag st stets fre wählbar, demach a belebg auch be 4, oder 20 agefage werde, we es de Aufgabestellug erfordert. Iduto st auch für Z möglch. Her öte ma z.b. vo 0 emal aufwärts ud emal abwärts de vollstädge Iduto awede. Ee Wetere Möglchet st es ee Folge zu wähle, de alle Elemete vo Z erfasst, we {0,,, 2, 2, 3, 3,...}, de Elemete mt a, N 0 zu dzere ud über de vollstädge Iduto azuwede. Letzteres st e scheres Mttel um sch z.b. der Mege der gerade Zahle, Prmzahle zu bewege oder aber auch für gaz adere Aweduge, de chts mt Zahle zu tu habe.

3 Eletug Pascalsches Dreec Bespel bs Defto ( 0 { ; 0 0 ; 0 ( N 0, Z ( ( Bemerug: De Erweterug für Z erlechtert de Summatosgreze be de Bewese auch ee Erweterug für Z st möglch, aber her cht otwedg. Egeschafte/Aweduge I der Stochast als Bomaloeffzete: ( Bomscher Satz: (a b ( 0 a b Symmetre: ( ( Zelesumme: ( 2 Altererede Zelesumme: { ( ( ; 0 0 ; 0 Explzte Bldugsvorschrft: (!!(! 2

4 Bewes Symmetre ( ( ; N 0 ; Z Idutosafag 0 : { ( 0 ; 0 { 0 ; 0 ( 0 ; 0 0 ; 0 Idutosvoraussetzug ( ( ; N 0, 0 ; Z Idutosschrtt Idutosschluss ( ( ( ( ( ( ( ( Da ma aus der IV für 0 stets folger a, dass se auch für glt, st dese Aussage mt dem IA ach dem Przp der vollstädge Iduto für alle N 0 gültg. 3

5 Eletug Summezeche Das Summezeche ermöglcht ee urze ud exate Notato vo Rehe. Es st verglechbar mt eer for -schlefe aus der Iformat. Uterhalb des Summezeches schrebt ma de Startbedgug für de Laufvarable z.b. 0, oberhalb das Ede z.b., es wrd mmer de Schrttwete verwedet. Schrebt ma efach ur ee Laufvarable uter das Summezeche, so bedeutet des, das alle gaze Zahle durchlaufe werde. Bespele (2 ( 2 ( ( Arbete mt Summezeche E- ud Ausgleder aus der Summe Zusammefasse bzw. Tree Idexverschebug f( g( 2 ( m (f( g( m (2 (3 (4... (( ( 2 Bemerug: alt eu, daraus folgt eu alt. Damt ergbt sch für de Start aus alt,s eu,s 2 ud für das Ede aus alt,e eu,e. 4

6 Aufgabe zum Summezeche Verefache! 0 ( 2 0 ( 2 2 ( ( 2 ( 2 ( ( 2 (( 2 0 ( ( 2 ( ( 2 ( 2 ( 2 2 ( ( 2 ( 2 ( 2 ( 2 ( 2 0 5

7 Bewese zur vollstädge Iduto Bomscher Satz (a b ( 0 a b a, b R N 0 Zelesumme ( 2 N 0 Erweterte Defto ( ( c ( c N 0 Z c N 0 0 c Bemerug: Iduto st her über ud c möglch. Bem Awede der IV ud der reursve Defto der Bomeloeffzete st de Awedbaret zu Prüfe, da durch 0 c cht offeschtlch. Evetuell Soderfälle betrachte. Quadratsumme ( 2 ( 2 N 0 Bemerug: Bem Bewes a aus der erweterte Defto (sehe obe geschlussfolgert werde. Iteressat st da de Frage, ob es och e Bewes mt vollstädger Iduto st. Zusatz 0 ( 2 N 0 Wetere Bewese De Schwerget besteht machmal cht ur dar de Weg m Idutosschrtt zu fde, soder auch sch ee geegete Idutosvarable zu suche Bespele gbt es scher vele, uter fdet ma ees davo. 6

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