1.3 Funktionen. Seien M und N Mengen. f : M N x M : 1 y N : y = f(x) nennt man Funktion oder Abbildung. Beachte: Zuordnung ist eindeutig.

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1 1.3 Fuktioe Seie M ud N Mege f : M N x M : 1 y N : y fx et ma Fuktio oder Abbildug. Beachte: Zuordug ist eideutig. Bezeichuge: M : Defiitiosbereich N : Bildbereich Zielmege vo f Der Graph eier Fuktio: graphf : {x, fx x M} M N

2 Sei A M: das Bild vo A uter der Fuktio f ist gegebe durch fa : {fa a A} Für B N et ma f 1 B : {a M fa B} das Urbild vo B uter der Fuktio f. Eie Fuktio f ist surjektiv, falls fx y stets weigstes eie Lösug hat, d.h. y N x M : y fx ijektiv, falls fx y stets höchstes eie Lösug hat, d.h. x 1, x 2 M : fx 1 fx 2 x 1 x 2

3 Eie Fuktio f ist bijektiv, falls f gleichzeitig ijektiv ud surjektiv ist Ijektive Fuktioe besitze eie Umkehrfuktio f 1 : fm M : f 1 fx x Ist f bijektiv so gilt M f N N f 1 M Bemerkug: Die Umkehrfuktio eier reellwertige Fuktio eier reelle Variable erhält ma durch Spiegelug a der Diagoale

4 Kompositio vo Fuktioe: Sei f : M N ud g : N P. Defiiere g f : M P, g fx gfx Eigeschafte der Kompositio: a assoziativ h g f h g f b i der Regel icht kommutativ g f f g c Sei M eie Mege, setze SM : {f : M M f bijektiv}. Ma et SM symmetrische Gruppe vo M

5 Die symmetrische Gruppe vo M Gruppeaxiome G1 h g f h g f Assoziativgesetz G2 f id M id M f f eutrales Elemet G3 f f 1 f 1 f id M iverses Elemet Dabei ist id M die Idetität als Fuktio, d.h. ud f 1 die Umkehrfuktio vo f. id M x x

6 Elemetare Fuktioe: a Affi lieare Fuktio y fx a 1 x + a 0 Der Graph ist eie Gerade i der euklidische Ebee b Polyome y fx a x + a 1 x a 1 x + a 0 a 0 Dabei bezeichet de Grad des Polyoms c Expoetialfuktio y fx a x Für die Expoetialfuktio gilt a x+y a x a y

7 c Expoetialfuktio Fortsetzug Speziell: Expoetialfuktio y e x, zum Beispiel defiiert durch f 0 1 e 0 1! Eulersche Zahl d Logarithmus y fx log a x, a > 0, a 1 Umkehrfuktio der Expoetialfuktio ur defiiert für positive x Für de Logarithmus gilt log a xy log a x + log a y Speziell: atürlicher Logarithmus y l x Basis e mit l 1 0 l e 1

8 e Trigoometrische Fuktioe Bogemaß: 0 ϕ 0, 45 ϕ π 4, 90 ϕ π 2 Kreiszahl π Bild: Trigoometrische Fuktioe am Eiheitskreis

9 Eigeschafte: Es gelte: iv i si 2 ϕ + cos 2 ϕ 1 ii si ϕ siϕ, cos ϕ cosϕ iii cosϕ + 2π cosϕ, siϕ + 2π siϕ Wertetafel: ϕ 0 π/6 π/4 π/3 π/2 si ϕ 0 1/2 2/2 3/2 1 cos ϕ 1 3/2 2/2 1/2 0 v Additiostheoreme cosα + β cos α cos β si α si β siα + β si α cos β + cos α si β

10 Kapitel 2: Zahlebereiche 2.1 Natürliche Zahle Die Mege der atürliche Zahle N {1, 2, 3,...} wird abstrakt durch die Peao Axiome defiiert: A1 A2 1 N N + 1 N A3 m + 1 m + 1 A4 N A5 für eie Teilmege A N gilt : 1 A : [ A + 1 A] A N Die Nachfolgeabbildug + 1 ist eie ijektive Abbildug.

11 Das Vollstädigkeitsaxiom A5 ist Grudlage des Beweisprizips der vollstädige Iduktio Zu beweise sei: Für alle N gilt: die Aussage A ist wahr, also N : A Dabei ist A eie Aussageform, die vo N abhägt.

12 Gelte u A1 ud für beliebiges N Iduktiosafag A A + 1 Iduktiosschluss so ist die Aussage A für alle N wahr. Wichtig: Iduktiosschluss muss für ei beliebiges, festes N bewiese werde Ma et daher A die Iduktiosaahme A + 1 die Iduktiosbehauptug

13 Beispiel: Azahl t der Teilmege eier elemetige Mege Fide eie Formel für t, die für kleie N gilt: für 1 A 1 {a 1 } Teilmege:, {a 1 } es gibt t 1 2 Teilmege für 2 A 2 {a 1, a 2 } Teilmege:, {a 1 }, {a 2 }, {a 1, a 2 } es gibt t 2 4 Teilmege Es gilt: t , t Vermutug: Allgemei gilt t 2 d.h. eie elemetige Mege besitzt geau 2 Teilmege.

14 Satz: Eie elemetige Mege A {a 1,..., a } besitzt 2 Teilmege Beweis: durch vollstädige Iduktio 1: Wie gezeigt, gilt t : Iduktiosvoraussetzug: Zu beweise ist: Setze PA K 1 K 2 mit Sei N beliebig, aber fest. Eie elemetige Mege hat 2 Teilmege A {a 1,..., a, a +1 } hat 2 +1 Teilmege. T K 1 : a +1 / T T K 2 : a +1 T Nach Iduktiosvoraussetzug besitzt K 1 geau 2 Elemete, de die Elemete aus K 1 sid gerade die Teilmege vo A {a 1,..., a }.

15 Jedes Elemet aus K 2 hat die Form wobei T {a i1,..., a ik, a +1 } {a i1,..., a ik } K 1 Also besitzt die Mege K 2 wieder ach Iduktiosvoraussetzug ebefalls 2 Elemete. Nach Kostruktio gilt K 1 K 2. Daraus folgt aber, dass PA geau Elemete besitzt.

16 Beispiel: Wieviele Vertauschuge Permutatioe des Tupels 1, 2,..., gibt es? Suche wiederum eie Formel für kleie N: 1: 1 : 1 Permutatio 2: 1,2, 2,1 : 2 Permutatioe 3: 1,2,3, 1,3,2 2,3,1, 2,1,3 : 6 Permutatioe 3,1,2, 3,2,1 Es gilt: p 1 1, p , p Vermutug: Allgemei gilt p ! d.h. ei Tupel besitzt geau! Permutatioe.

17 Satz: Es gibt p :! : Permutatioe des Tupels 1, 2,..., bzw. a 1,..., a, a i paarweise verschiede Beweis: durch vollstädige Iduktio 1: Wie gezeigt, gilt p : Iduktiosvoraussetzug: Zu beweise ist: Sei N beliebig, aber fest Betrachte spezielle Permutatio Ei Tupel besitzt! Permutatioe Das + 1 Tupel besitzt + 1! Permutatioe k, i 1,..., i wobei i 1,..., i Permutatio der Mege 1,..., k 1, k+1,..., paarweise disjukte Klasse vo Permutatioe p p + 1!

18 Folgerug: Eie elemetige Mege {a 1,..., a } besitzt geau m :! m! m! m elemetige Teilmege. Dies gilt für alle gaze Zahle 0 m, wobei zusätzlich 0! : 1 gesetzt wird. Beweis: Vollstädige Iduktio uter Verwedug des ächste Satzes Bezeichug: Die atürliche Zahle m et ma Biomialkoeffiziete.

19 Defiitio: Allgemeie Summe ud Produkte km km km km b k : b m + b m b falls m b k : 0 falls m >, leere Summe b k : b m b m+1... b falls m b k : 1 falls m >, leeres Produkt

20 Defiitio: Poteze a : k1 a für 0 a : 1/a für < 0 Da gelte die Potezgesetze: a a m a +m a m a m

21 Satz: a Für, m N, 0 < m, gilt die Rekursiosformel: m m + m 1 b Für reelle ud auch komplexe a,b ud N 0 : N {0} gilt der Biomische Lehrsatz: a + b a k b k k k0

22 Beweis zu a:, m N, 0 < m m + m 1! m! m! +! m 1! m + 1!! m + 1 +! m m! + 1 m!! + 1 m + m m! + 1 m! + 1! m! + 1 m! + 1 m

23 Beweis zu b: vollstädige Iduktio 1: + 1: a + b 1 a + b 1 0 a 0 b a + b +1 a + ba + b Id.vor. a + b jk+1 k0 +1 j1 k j 1 a k+1 b k + k0 a j b +1 j + k k0 a 1 b 0 k0 k k a k b +1 k a k b k a k b +1 k

24 jk+1 de +1 j1 0 j k0 0 0 a 0 b k a j b +1 j + k1 a 0 b +1 + [ k k1 a k b +1 k k0 + k + 1 k k 1 a k b +1 k ] a k b +1 k a k b +1 k a +1 b a +1 b 0

25 Berechug der Biomialkoeffiziete mit Hilfe des Pascalsches Dreieck Beispiel: Biomischer Lehrsatz a + b 5 1 a 0 b a 1 b a 2 b a 3 b a 4 b a 5 b 0 a 5 + 5a 4 b + 10a 2 b a 2 b 3 + 5ab 4 + b 5

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