Mathematik für Naturwissenschaftler

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1 Mthemtik für Nturwissenschftler Mrtin Ziegler WS 1996/1997 Litertur [1] J.Hinzl. Mthemtik für Nturwissenschftler, volume 19 of Leitfäden der ngewndten Mthemtik und Mechnik. Teubner, Inhltsverzeichnis 1 Kombintorik 2 2 Folgen und Reihen Folgen Reihen Stetige Funktionen 6 4 Differentilrechnung 6 5 Integrlrechnung 9 6 Tylorreihen 11 7 Polynome und rtionle Funktionen Bestimmen von Nullstellen Interpoltion durch Polynome Komplexe Zhlen Rtionle Funktionen Fourierreihen 14 9 Vektorrechnung Vektorräume Sklrprodukt Kreuzprodukt Version 3c, Februr

2 10 Linere Abbildungen Linere Gleichungssysteme Differentilrechnung im R n Kurven und Bereichsintegrle Differentilgleichungen Trennung der Vriblen Exkte Differentilgleichungen Linere Differentilgleichungen Kombintorik Stz 1.1 Eine n elementige Menge ht 2 n viele Teilmengen. Als Formel: Dbei bezeichnet #P(A) = 2 #A. P(A) := {B B A} die Potenzmenge von A und #A die Zhl der Elemente von A. Stz 1.2 Sei A eine Menge mit n Elementen und k eine Zhl zwischen 0 und n. Dnn gibt es n(n 1)... (n k + 1) viele Möglichkeiten us den Elementen von A eine k elementige Folge ohne Wiederholungen uszuwählen. Definition ( ) n k bezeichnet die Zhl der k elementigen Teilmengen B einer n elementigen Menge B. Definition Die Fkultät von n ist ds Produkt n! = n. Konvention: 0! = 1 Stz 1.3 Eine n elementige Menge läßt sich uf n! verschiedene Arten nordnen. Stz 1.4 ( ) n k = = n(n 1)... (n k + 1) k! n! k!(n k)! 2

3 Stz 1.5 (Psclsches Dreieck) ( ) n + 1 = k Stz 1.6 (Binomische Formel) ( ) ( n n (x + y) n = x n Folgen und Reihen 2.1 Folgen ( ) ( ) n n + k k 1 ) x n 1 y ( ) n xy n 1 + n 1 ( ) n y n n Definition Eine Zhlenfolge 0, 1,... heißt konvergent, wenn sie gegen einen Grenzwert c konvergiert. Ds bedeutet, dß in jeder noch so kleinen Umgebung von c fst lle Folgenglieder liegen. In Quntorenschreibweise: Eine Folge ohne Grenzwert divergiert. ɛ > 0 N n N n c < ɛ Eine Zhlenfolge ( n ) knn nur einen Grenzwert c (oder Limes) hben. Mn schreibt dfür lim n = c n n n Wenn eine Zhlenfolge ( n ) drum divergiert, weil n für genügend große n beliebig groß wird, konvergiert sie gegen : Beispiel: lim n n = M N n N M < n lim n n = 1 n c Stz 2.1 Eine beschränkte monoton wchsende Folge ist konvergent. Stz 2.2 (Cuchysches Konvergenzkriterium) Eine Folge ( n ) konvergiert genu dnn, wenn die Differenzen m n für genügend große m, n beliebig klein werden. Genuer, wenn ɛ > 0 N n, m N m n < ɛ 3

4 Stz 2.3 (Rechenregeln) ( n ) und (b n ) seien zwei konvergente Folgen. Dnn ist lim n + b n ) n = lim n + lim n lim n b n ) n = lim n lim n 1 1 lim = n n lim n n n b n n b n In der letzten Gleichung muß mn vorussetzen, dß die n ungleich Null sind. und lim n n 2.2 Reihen Eine unendliche Reihe n = n=0 heißt konvergent, wenn die Folge (s n ) der Prtilsummen n s n := i = n i=0 konvergiert. lim n s n n=0 n bezeichnet. heißt die Summe der Reihe und wird ebenflls mit Lemm 2.4 Wenn n=0 n konvergiert, muß ( n ) gegen Null konvergieren. Beispiel: Die hrmonische Reihe n=1 1 n = ist divergent. Die lternierende hrmonische Reihe ( 1) n n=1 n = konvergiert. Die Summe der Reihe e := n=0 ist die Eulersche Zhl e = n! = ! + 1 2! +... Definition n=0 n heißt bsolut konvergent, wenn die Reihe n=0 n der Absolutbeträge konvergiert. 4

5 Beispiel: Die geometrische Reihe x n = 1 + x + x n=0 ist genu dnn bsolut konvergent, wenn x < 1. Die Summe ist x n = x 1 x. n=0 Stz 2.5 (Wurzelkriterium) Die wenn es eine Zhl δ gibt mit 1. 0 δ < 1 Reihe n=0 n konvergiert bsolut, 2. n n δ für genügend große n.. konvergiert bso- Stz 2.6 (Quotientenkriterium) Die Reihe lut, wenn es eine Zhl δ gibt mit n=0 n δ < 1 2. n+1 n δ für genügend große n. Definition Die Potenzreihe exp(x) = n=0 x n n! = 1 + x + x2 2! + x3 3! +... konvergiert bsolut für lle x. Die ddurch durch drgestellte Funktion heißt Exponentilfunktion. Stz 2.7 Folgerung 2.8 exp(x) = e x exp(0) = 1 exp(1) = e exp( + b) = exp() exp(b) 5

6 3 Stetige Funktionen Sei D eine Menge von reellen Zhlen und f : D R eine Funktion. Definition f heißt stetig bei D, wenn f(x) beliebig nhe bei f() liegt, wenn nur x genügend nhe bei liegt: ɛ > 0 δ > 0 x D x < δ f(x) f() < ɛ f heißt stetig, wenn f bei llen D stetig ist Komposition (Hintereinnderusführung) f g, Summe f + g, Produkt f g und Quotient f g von Funktionen sind wie folgt erklärt: (f g)(x) = f(g(x)) (f + g)(x) = f(x) + g(x) (f g)(x) = f(x)g(x) f f(x) (x) = g g(x) Stz 3.1 Komposition, Summe, Produkt und Quotient von stetigen Funktionen sind wieder stetig. Lemm 3.2 Wenn f stetig ist und dnn ist uch n f( n ) n, n f(). Stz 3.3 (Mittelwertstz) Eine uf einem bgeschlossenen Intervll [, b] = {x R x b} definierte stetige Funktion nimmt jeden Wert zwischen f() und f(b) n. Stz 3.4 (Stz von Mximum) Jede uf einem bgeschlossenen Intervll [, b] definierte stetige Funktion ht ein Mximum 4 Differentilrechnung f(x 0 ) = mx x [,b] f(x). Definition Sei D eine Teilmenge von R und f : D R heißt differenzierbr bei D, wenn es eine Zhl b gibt, sodß der Differenzenquotient f(x) f() x beliebig nhe bei b liegt, wenn x genügend nhe bei liegt. In Quntorenschreibweise: ɛ > 0 δ > 0 x D 0 < x < δ f(x) f() b x < ɛ 6

7 oder uch f( + h) f() lim = b. h 0 h f heißt differenzierbr, wenn f bei llen D differenzierbr ist. b heißt die Ableitung von f bei. Mn schreibt für b uch f (). Die Funktion f ist die Ableitung von f. Mn schreibt uch f (x) = df(x) dx. f () ist die Steigung der Tngente n der Kurve y = f(x) im Punkt (, f()). Die Gleichung der Tngente ist Beispiel: f () = y f() x. (x n ) = nx n 1 exp (x) = exp(x) sin (x) = cos(x) cos (x) = sin(x) tn (x) = 1 cos 2 (x) Stz 4.1 (Ableitungsregeln) 1. (f(x) + g(x)) = f (x) + g (x) 2. (f(x)g(x)) = f (x)g(x) + f(x)g (x) 3. (f(g(x))) = f (g(x))g (x) (Kettenregel) Folgerung 4.2 (Ableitung eines Quotienten) ( ) f(x) = f (x)g(x) f(x)g (x) g(x) g 2 (x) Stz 4.3 (Ableitung der Umkehrfunktion) Sei g = h 1 Umkehrfunktion von h, ds heißt g(h(x)) = x für lle x. Dnn ist g (x) = 1 h (g(x)) 7

8 Die Umkehrfunktion der Exponentilfunktion ist der ntürliche Logrithmus Umkehrfunktionen Folgerung 4.4 ln : R + = {x R x > 0} R. f sin rcsin : [ 1, 1] [ π/2, π/2] cos rccos : [ 1, 1] [0, π] tn rctn : R [ π/2, π/2] f 1 ln (x) = 1 x rcsin (x) = 1 1 x 2 rccos (x) = rctn (x) = 1 1 x x 2 Für beliebige positive x ist x y definiert durch x y = exp(ln(x)y). Es ist Weil x = x 1 2, ist zum Beispiel dx y dx = yxy 1. d x dx = x Der hyperbolische Sinus und Cosinus und hben die Ableitungen und sinh(x) = ex e x 2 cosh(x) = ex + e x 2 sinh (x) = cosh(x) cosh (x) = sin(x). 8

9 5 Integrlrechnung Sei f : [, b] R ein stetige Funktion und Z eine Zerlegung = x 0 < x 1 <... < x n 1 < x n = b des Intervlls. Für i = 0,..., n 1 sei fi mx ds Mximum der Werte von f uf [x i, x i+1 ] und fi min ds Minimum. Dnn ist die Obersumme n 1 O Z (f) = fi mx (x i+1 x i ) und die Untersumme i=0 n 1 U Z (f) = fi min (x i+1 x i ). i=0 Wenn Z ein Verfeinerung von Z ist, gilt immer U Z (f) U Z (f) O Z (f) O Z (f). Mn knn zeigen, dß die Differenz O Z (f) U Z (f) für genügend feine Zerlegungen beliebig klein wird. Drus folgt Stz 5.1 Es gibt ein eindeutig bestimmte Zhl c, sodß für genügend feine Z c heißt ds Integrl von f über [, b]. Mn schreibt c ɛ U Z (f) c O Z (f) c + ɛ. Für < b setzt mn b b f(x) dx. f(x)dx = b f(x)dx. Stz 5.2 (Chrkteristische Eigenschften des Integrls) 1. b c dx = c (b ) 2. b f(x) dx b g(x) dx, wenn f(x) g(x) für lle x [, b]. 3. b f(x) dx + c b f(x) dx = c Stz 5.3 f(x) dx 1. b (f(x) + g(x)) dx = b f(x) dx + b 2. b λf(x) dx = λ b f(x) dx g(x) dx Stz 5.4 (Dreiecksungleichung und Mittelwertstz) 9

10 1. b f(x) dx b f(x) dx 2. Es gibt immer ein ξ [, b], sodß b f(x) dx = f(ξ) (b ). Definition F (x) heißt Stmmfunktion von f, wenn F (x) = f(x). Für festes ist F (b) = b f(x) dx eine Stmmfunktion von f. Alle nderen Stmmfunktionen von f hben die Form F (x) + c. Mn nennt deshlb F (x) uch ein unbestimmtes Integrl von f und schreibt F (x) = f(x) dx. Definition F (x) b = F (b) F () Es folgt Stz 5.5 (Huptstz der Integrl und Differentilrechnung) Wenn F (x) eine Stmmfunktion von f(x) ist, ist b Stz 5.6 (Prtielle Integrtion) b f(x) dx = F (x) b. f (x)g(x) dx = f(x)g(x) b b f(x)g (x) dx Stz 5.7 (Integrtion durch Substitution) g(b) f(x) dx = b g() f(g(t)) g (t) dt Numerische Integrtion Sei = x 0, x 1,..., x N = b mit x i = + i b N eine gleichmäßige Unterteilung des Intervlls [, b] in N Punkte. Dnn läßt sich b f(x) dx näherungsweise berechnen durch die Sehnen Trpezregel b f(x) dx b 2N (f(x 0) + 2f(x 1 ) + 2f(x 2 ) f(x N 1 ) + f(x N )) und für gerdes N durch die (bessere) 10

11 Simpsonregel b f(x) dx b 3N (f(x 0) + 4f(x 1 ) + 2f(x 2 ) + 4f(x 3 ) f(x N 1 ) + f(x N )). Für N = 2 ergibt sich die Keplersche Fßregel b 6 Tylorreihen f(x) dx b 6 ( f() + 4f ( + b 2 ) ) + f(b). Für eine beliebig oft differenzierbre Funktion f schreiben wir für die n te Ableitung von f(x). f (n) (x) Definition Die Tylorreihe von f(x) im Punkt ist die Potenzreihe i=0 f (i) () i! (x ) i = f() + f ()(x ) + f () (x ) Wenn f(x) in einer Umgebung von durch eine konvergente Potenzreihe i=0 i(x ) i drgestellt wird, ist i=0 i(x ) i die Tylorreihe von f im Punkt. Wenn die hohen Ableitungen von f nicht zu groß sind, konvergiert die Tylorreihe von f bei und stellt in einer Umgebung von die Funktion f(x) dr. Es gilt nämlich: Stz 6.1 (Restgliedbschätzung der Tylorreihe) Wenn der Betrg der (n + 1) ten Ableitung von f zwischen und x durch M beschränkt ist, gilt die Abschätzung n f(x) f (i) () (x ) i M (x )n+1 i! (n + 1)! i=0 Beispiele: Die Tylorreihe von exp(x) in 0 ist die überll konvergente Reihe exp(x) = 1 + x + x2 2! + x3 3! Die Tylorreihe von sin(x) in 0 ist die überll konvergente Reihe sin(x) = x 1 3! x ! x

12 Ebenso konvergiert die Tylorreihe des Cosinus für lle x gegen cos(x): cos(x) = 1 x ! x4 1 6! x Die Tylorreihe von 1 x in 1 stellt die Funktion im Intervll (0, 2) dr: 1 x = 1 (x 1) + (x 1)2 (x 1) Drus ergibt sich durch Integrtion die im selben Intervll konvergente Potenzreihe des Logrithmus: ln(x) = (x 1) (x 1) 2 + (x 1) Polynome und rtionle Funktionen Definition Ein Polynom ist eine Funktion der Form Wenn n 0, ht f(x) den Grd n. f(x) = x n x n. 7.1 Bestimmen von Nullstellen Stz 7.1 Sei f(x) = x 2 + px + q. Wenn p 2 4q 0, ht f(x) die beiden Nullstellen ( p ) 2 (p ) 2 ξ 1 = + q 2 2 ( p ) 2 (p ) 2 ξ 2 = q 2 2 Für Gleichungen von größerem Grd ls 4 gibt es keine derrtigen Formeln. Mn verwendet ds Newtonverfhren: Sei f(x) eine differenzierbre Funktion und ξ 0 in der Nähe einer Nullstelle von f. Dnn ist ξ 1 = ξ 0 f(ξ 0) f (ξ 0 ) im llgemeinen eine bessere Näherung. Die Folge ξ 0, ξ 1,..., wobei ξ i+1 = ξ 0 f(ξ i) f (ξ i ) konvergiert schnell gegen eine Nullstelle von f. 12

13 7.2 Interpoltion durch Polynome Lemm 7.2 Wenn ξ Nullstelle von f(x) ist, knn mn f(x) schreiben ls für ein Polynom g(x). (x ξ)q(x) Folgerung 7.3 Ein Polynom n-ten Grdes ht höchstens n Nullstellen. Stz 7.4 (Lngrngesche Interpoltionsformel) ξ 0,..., ξ n seien prweise verschiedene Zhlen. Dnn ist n x ξ j f(x) = ζ i ξ i ξ j i=0 ein Polynom n ten Grdes, ds n den Stellen ξ 0,..., ξ n die Werte ζ 0,..., ζ n nnimmt. 7.3 Komplexe Zhlen Definition Summen j i Der Körper C der komplexen Zhlen besteht us llen formlen z = + bi, für reelle Zhlen und b. Addition und Multipliktion sind erklärt durch z + z = ( + ) + (b + b )i z z = ( bb ) + (b + b)i Es gelten dir gleichen Rechengesetze wie für reelle Zhlen. Drüber hinus ht mn: Rechenregeln: i i = 1 ( + bi)( bi) = 2 + b 2 ( + bi) 1 = bi 2 + b 2 + bi = 2 + b 2 ist der Betrg von + bi. Setzt mn komplexe Zhlen in die Potenzreihe für exp(x) ein, ergibt sich Stz 7.5 Für reelle Zhlen b ist e ib = cos(b) + sin(b)i Folgerung 7.6 e +bi = e (cos(b) + sin(b)i) Stz 7.7 (Huptstz der Algebr) Jedes nicht konstnte Polynom ht eine komplexe Nullstelle. Folgerung 7.8 Jedes Polynom mit komplexen Koeffizienten zerfällt in ein Produkt von lineren Polynomen. 13

14 7.4 Rtionle Funktionen Definition Ein Quotient f(x) g(x) von zwei Polynomen ist eine rtionle Funktion. Der folgende Stz gestttet es Stmmfunktionen von rtionlen Funktionen zu ufzufinden. Stz 7.9 (Prtilbruchzerlegung) Jede rtionle Funktion ist eine Summe eines Polynoms und Funktionen der Form für komplexe Zhlen, b. b (x ) n 8 Fourierreihen Eine Funktion f : R R heißt periodisch (mit Periode 2π), wenn für lle x f(x) = f(x + 2π). Stz 8.1 Eine stückweise differenzierbre 1 periodische Funktion f(x) läßt sich durch eine Fourierreihe drstellen: f(x) = 0 + ( k cos(kx) + b k sin(kx)). k=1 Um genu zu sein: Die Fourierreihe muß n den Unstetigkeitsstellen von f nicht gegen f() konvergieren. Stz 8.2 Die Koeffizienten der Fourierreihe berechnen sich so (k > 0): 0 = 1 2π k = 1 π b k = 1 π π π π π π π f(x) dx f(x) cos(kx) dx f(x) sin(kx) dx Beispiel: Die periodische Sägezhnfunktion, für die f(x) = x im Intervll ( π, π), ht die Fourierreihe ( 2 sin(x) sin(2x) + sin(3x) sin(4x) ) Siehe [1, S.160] für eine präzise Formulierung 14

15 9 Vektorrechnung 9.1 Vektorräume Sei ein Punkt O im dreidimensionlen Anschuungsrum A fixiert. Ein Vektor ist eine gerichtete Strecke OP mit Anfngspunkt O(und Endpunkt P ). Zwei Vektoren OP und OQ werden ddiert, indem mn die Punkte O, P, Q zu einem Prllelogrmm O, P, Q, S ergänzt: OS = OP + OQ 0 = OO ist der Nullvektor. Der zu u inverse Vektor u ht die gleiche Länge wie u, ber die entgegengesetzte Richtung. Für Vektoren u,v,w gelten die Rechenregeln (A1) u + v = v + u (A2) (u + v) + w = u + (v + w) (A3) 0 + v = v (A4) v + ( v) = 0 Sei α ein reelle Zhl und v ein Vektor. Der Vektor α v ht die gleiche Länge wie v, ber die α fche Länge. Wenn α negtiv ist, kehrt sich uch die Richtung um. Rechenregeln der Sklrmultipliktion (M1) 1 v = v (M2) α (β v) = (αβ) v (M3) (α + β) v = α v + β v (M4) α (v + w) = α v + α w Eine Menge, uf der eine Addition 2 erklärt ist und deren Elemente mn mit reellen Zhlen multiplizieren knn, sodß die Axiome A1 A4 und M1 M4 gelten, nennt mn einen Vektorrum. Beispiel: R 3 = R R R = {(x 1, x 2, x 3 ) x 1, x 2, x 3 R} ist mit komponentenweiser Addition und Multipliktion ein Vektorrum. Mn schreibt die Elemente von R 3 uch ls Splten oder Zeilenvektoren: x 1 x 2 x 3 oder (x 1 x 2 x 3 ) 2 mit einem Nullelement und einer Inversenopertion 15

16 Mn definiert nlog R 1 = R, R 2 und llgemein R n. A ls Vektorrum ufgefßt und R 3 sind drei dimensionl in folgendem Sinn: Es gibt drei Vektoren b 1, b 2, b 3 sodß sich jeder Vektor schreiben läßt ls v = α 1 b α 2 b 2 + α 3 b 3. für eindeutig bestimmte α i R. b 1, b 2, b 3 heißt Bsis des Vektorrums. α 1, α 2, α 3 sind die Koordinten von v (bezüglich der Bsis b 1, b 2, b 3 ). Eine Bsis heißt dher uch Koordintensystem. Der R 3 ht die knonische Bsis e 1 = (1, 0, 0) e 2 = (0, 1, 0) e 3 = (0, 0, 1). Ein Isomorphismus zwischen zwei Vektorräumen U und V ist eine Bijektion f : U V, die sich mit der Addition und der Sklrmultipliktion verträgt: f(u + v) = f(u) + f(v) f(αu) = αf(u) Stz 9.1 Jeder drei dimensionle Vektorrum ist isomorph zu R Sklrprodukt Ds Sklrprodukt zweier Vektoren in A ist die Zhl OP OQ = cos(φ) OP OQ, wobei φ der Winkel (P, O, Q) zwischen den beiden Vektoren ist und OP, OQ ihre Längen sind. Ds Sklrprodukt ht folgende Eigenschften: (S1) u v = v u (S2) u (v + w) = u v + u w (S3) u (α v) = α (u v) (S4) u u 0 (S5) u u = 0 u = 0 u v = 0 genu dnn, wenn u senkrecht uf v steht. Definiert mn uf dem R n ds Produkt α 1 β 1 α 2. β 2. = α 1β 1 + α 2 β α n β n, α n β n 16

17 so sind die Eigenschften S1 S4 ebenflls erfüllt. Mn definiert für Räume mit Sklrprodukt die Länge eines Vektors durch: v = v v. Lemm 9.2 (Schwrzsche Ungleichung) u v u v Folgerung 9.3 (Dreiecksungleichung) u + v u + v. Definition Sei V ein Vektorrum mit Sklrprodukt. Eine Orthonormlbsis ist eine Bsis b 1, b 2..., b n mit { 1 wenn i = j b i b j = 0 wenn i j Jeder endlich dimensionle Vektorrum ht eine Orthonormlbsis. Ds ist leicht für den Anschuungsrum A zu sehen. Die knonische Bsis des R n ist orthonorml. Lemm 9.4 Sei V ein Vektorrum mit Sklrprodukt und b 1, b 2..., b n eine Orthonormlbsis. Dnn berechnet sich ds Sklrprodukt von u = α 1 b α n b n und v = β 1 b β n b n ls u v = α 1 β α n β n. 9.3 Kreuzprodukt Ds Kreuzprodukt u v zweier Vektoren des Anschuungsrums ist ein Vektor des durch folgende Eigenschften bestimmt ist: 1. u v = sin(φ) u v, wobei φ der Winkel zwischen u und v ist (von u nch v gezählt). 2. u v steht senkrecht uf u und v. 3. u, v und u v bilden ein Rechtssystem 3. u v ist der Flächeninhlt des von u und v ufgespnnten Prllelogrmms. Rechenregeln (K1) u v = v u 3 wie Mittelfinger, Dumen und Zeigefinger der rechten Hnd (wenn π/2 φ π/2) 17

18 (K2) (αu) v = α(u v) (K3) (u + v) w = (u w) + (v w) u v = 0 genu dnn, wenn u und v prllel sind. Definition (u v) w ist ds Sptprodukt von u, v und w. Der Betrg von (u v) w ist ds Volumen des von u, v und w ufgespnnten Prllelepiped. (u v) w ist genu dnn positiv, wenn u, v und w ein Rechtssystem bilden. Wenn b 1, b 2, b 3 eine Orthonormlbsis von A ist, die ein Rechtssystem bildet, drückt sich ds Kreuzprodukt in den Koordinten so us α 1 α 2 α 3 β 1 β 2 β 3 = 10 Linere Abbildungen α 2β 3 α 3 β 2 α 3 β 1 α 1 β 3 α 1 β 2 α 2 β 2. Definition Eine Abbildung f : R 3 R 3 der Form f x 1 x 2 = 11x x x 3 21 x x x 3 x 3 31 x x x 3, (1) heißt liner. Eine Abbildung f : A A ist liner, wenn sie für ein fest gewähltes Koordintensystem einer lineren Abbildung der Koordinten entspricht. Der Begriff hängt nicht von der Whl der Bsis b. Eine Gerde in R 3 ist eine Menge der Form G = {u 0 + αv 0 α R}. Lemm 10.1 Eine linere Abbildung bildet Gerden in Gerden b. Ds Zhlenschem durch ds A = ( ij ) = f = f A in (1) definiert wird, heißt 3 3 Mtrix. Die Splten 11 21, und

19 von A sind die Bilder der knonischen Bsis von R 3. f(e 1 ), f(e 2 ) und f(e 3 ) Mtrixopertionen Seien A = ( ij ) und B = (b ij ) Mtrizen, c = (c i ) ein Spltenvektor und α eine Zhl. Mtrixddition Sklrmultipliktion Multipliktion A + B = ( ij + b ij ) αa = (α ij ) ( 3 ) AB = ik b kj k=1 Multipliktion mit einer Splte ( 3 ) Ac = ik c k A + B, αa und AB sind wieder Mtrizen, Ac ist ein Spltenvektor. Mtrixopertionen entsprechen Opertionen der durch sie drgestellten lineren Abbildungen. Es ist f A+B = f A + f B f αa = αf A f AB = f A f B f A (c) = Ac k=1 Rechenregeln Die Mtrizen bilden unter der Addition und Sklrmultipliktion einen 3 3 dimensionlen Vektorrum. Zusätzlich gilt (MA1) (MA2) (MA3) (MA4) (MA5) A(B + C) = AB + AC (A + B)C = AB + BC A(αB) = (αa)b = α(ab) A(BC) = (AB)C AE = EA = A 19

20 Dbei ist E = die (3 dimensionle) Einheitsmtrix. A heißt invertierbr, wenn es ein B mit AB = BA = E gibt. B = A 1 ist eindeutig bestimmt und heißt die Inverse von A. Verllgemeinerung: Linere Abbildungen f : R n R m werden beschrieben durch m n Mtrizen 11 1n A =... m1 mn 11 Linere Gleichungssysteme Definition Die Determinnte einer 2 2 Mtrix A = det A = ( ) ist Alterntive Schreibweise: det A = A Stz 11.1 (Crmersche Regel für n=2) Wenn det A 0, ht ds Gleichungssystem 11 x x 2 =b 1 21 x x 2 =b 2 die Lösung b 1 12 b 2 22 x 1 = b 1 21 b 2 x 2 = Wenn det A = 0, gibt es keine Lösung oder unendlich viele Lösungen. Die Crmersche Regel läßt sich für linere Gleichungssysteme mit beliebig vielen Vriblen formulieren. Zunächst definiert mn die Determinnte von beliebigen qudrtischen Mtrizen durch den folgenden Stz: Stz 11.2 Es gibt genu eine Funktion det, die jeder n n Mtrix A eine Zhl det A zuordnet und die folgenden Eigenschften ht: 20

21 (D1) det ist ls Funktion jeder Splte jeweils eine linere Abbildung R n R. (D2) det A ist Null, wenn A zwei gleiche Splten ht. (D3) det E = 1 (Mn schreibt wieder A für det A.) Zum Beispiel ist = Ein lineres Gleichungssystem 11 x n x n = b (2) n1 x nn x n = b n schreibt mn ls 11 1n.. n1 nn x 1. x n = b 1.. b n oder kurz Ax = b. Stz 11.3 (Crmersche Regel) Wenn det A 0, ht ds Gleichungssystem Ax = b die Lösung x 1 = A 1 A, x 2 = A 2 A, , x n = A n A, wobei A i us A entsteht, indem die i te Splte durch b ersetzt wird. Wenn det A = 0, gibt es keine Lösung oder unendlich viele Lösungen. Prktischer ls die Crmersche Regel ist ds folgende Elimintionsverfhren: Mn schreibt (2) ls ein Schem 11 1n b n1 nn b n Durch Anwenden von Zeilenopertionenuf dieses Schem erhält mn äquivlente Gleichungssysteme: Addiere ein Vielfches einer Zeile zu einer nderen Zeile. 21

22 Multipliziere eine Zeile mit einer von Null verschiedenen Zhl. Wenn mn zusätzlich erlubt, dß im linken Teil des Schems Splten vertuscht werden (ds heißt, dß die Vriblen x 1,..., x n umnumeriert werden), knn mn (2) uf die Normlform c c c r c r c n bringen. r heißt der Rng des Gleichungssystems. r hängt nur von der Mtrix A b und nicht von den im einzelnen usgeführten Zeilenopertionen. A ht genu dnn den mximlen Rng n, wenn det A 0. In diesem Fll ist (c 1,..., c n ) die Lösung von (2). Wenn r < n, ist (2) genu dnn lösbr, wenn c r+1 = = c n = 0. Mn knn dnn sich dnn die Werte von x r+1,, x n beliebig vorgeben und erhält eine n r prmetrige Lösungsgesmtheit. Wenn mn ds Schem (A E) durch Zeilenopertionen umformt in ist B = A 1. (E B) 12 Differentilrechnung im R n Definition Eine Folge 0, 1,... von Vektoren us R n heißt konvergent, wenn sie gegen einen Grenzwert c R n konvergiert: ɛ > 0 N n N n c < ɛ Definition f heißt stetig bei D, wenn ɛ > 0 δ > 0 x D x < δ f(x) f() < ɛ f heißt stetig, wenn f bei llen D stetig ist Die Sätze 3.1, 3.2, 3.4 gelten sinngemäß für stetige Funktionen uf R n. Definition f : R n R heißt prtiell differenzierbr, wenn für lle ( 1,..., n ) us dem Definitionsbereich die einstelligen Funktionen f(x 1, 2,..., n ), f( 1, x 2,..., n ),..., f( 1,..., x n ) 22

23 differenzierbr sind. Mn schreibt f x 1, für die respektiven prtiellen Ableitungen. Alterntive Schreibweise: Der Vektor f xi f,..., f x 2 x n = f x i f x 1 ( 1,..., n ). f x n ( 1,..., n ) ht die Richtung des stärksten Wchstums von f. Eine ndere Bezeichnung ist der Grdient von f. grd f, Eine Kurve im R n ist eine Abbildung c = (c 1,..., c n ) : [, b] R n, deren Komponentenfunktionen c i stetig sind. Stz 12.1 (Kettenregel) Sei f : R n R stetig prtiell differenzierbr und c eine Kurve mit differenzierbren Komponentenfunktionen. Dnn ist df(c 1 (x),..., c n (x)) dx = = f (c 1 (x))..., c n (x)) dc 1(x) f (c 1 (x))..., c n (x)) dc n(x) x 1 dx x n dx. Lemm 12.2 Sei f uf einer Teilmenge des R n definiert und prtiell differenzierbr. Wenn f bei ein lokles Minimum oder Mximum ht, verschwinden lle prtiellen Ableitungen bei. Lemm 12.3 Wenn f zweiml stetig prtiell differenzierbr ist, spielt die Reihenfolge der Differentition keine Rolle: 2 f x i x j = T f (t 1,..., t n ) = f() + i n! 2 f x j x i Sei f : R n R unendlich oft differenzierbr. Die Tylorentwicklung von f ist die unendliche Reihe f () t i f () t i1 t i x i 2 x i,j i1 x i2 i 1,...,i k k f x i1... x ik () t i1... t ik +... Wenn f(x 1,..., x n ) ein Polynom ist, wird f in jedem Punkt durch seine Tylorreihe drgestellt. Wenn f den Grd k ht, bricht die Tylorreihen beim Grd k b. 23

24 Definition Eine n dimensionle qudrtische Form in n Vriblen ist ein homogenes qudrtisches Polynom q(t 1,..., t n ). Ds heißt, dß q durch eine Mtrix A = ( ij ) in der Form q A (x 1,..., x n ) = i,j ij t j t j gegeben ist. Wir können immer nnehmen, dß die Mtrix A symmetrisch ist: ij = ji. Die Hessesche Form einer zweiml differenzierbren Funktion in ist ds 2 fche des qudrtischen Teils der Tylorreihe in : H f () = i,j 2 f x i1 x i2 () t i1 t i2. Definition Ein qudrtische Form q ist positiv definit, wenn q(b) > 0 für lle b 0 negtiv definit, wenn q(b) < 0 für lle b 0 indefinit, wenn q positive und negtive Werte nnimmt. Lemm 12.4 Eine zweidimensionle qudrtische Form q A ist genu dnn (positiv oder negtiv) definit, wenn det A > 0, und genu dnn indefinit, wenn det A < 0. Wenn det A > 0 ist A genu dnn positiv definit, wenn 11 (oder 22 ) positiv ist. Stz 12.5 Sei f uf einer Teilmenge des R n definiert und prtiell stetig differenzierbr. Sei ein Punkt, n dem die ersten prtiellen Ableitungen verschwinden. Wenn dnn die Hessesche Form H f () positiv definit ist, ht f bei ein lokles Minimum, negtiv definit ist, ht f bei ein lokles Mximum, indefinit ist, ht f bei weder ein lokles Minimum noch ein lokles Mximum. (f ht dnn einen Sttelpunkt.) Zum Beweis brucht mn: Stz 12.6 (Huptchsentrnsformtion) Für jede n dimensionle qudrtische Form q läßt sich eine Orthonormlbsis des R n so wählen, dß q in den neuen Koordinten die Gestlt ht λ 1 t λ n t 2 n 24

25 Die neuen Bsisvektoren sind die Huptchsen von q. Die λ i sind eindeutig bestimmt und heißen Eigenwerte von q. q ist genu dnn positiv (negtiv) definit, wenn lle λ i positiv (negtiv) sind. Und genu dnn indefinit, wenn es einen positiven und einen negtiven Eigenwert gibt. Mn knn 12.2 und 12.5 verwenden um ds folgende Problem zu lösen: In der Ebene seien die Punkte (x 1, y 1 ),..., (x n, y n ) gegeben. Gesucht ist die Regressionsgerde y = x + b, für die die Summe der Fehlerqudrte miniml wird. (x 1 + b y 1 ) (x n + b y n ) 2 Lösung = 1 ( n ( )( ) ) (x i y i ) x i y i d i i i b = 1 ( ( )( ) ( )( ) ) x 2 i y i x i y i y i d i wobei d = n ( ) 2. x 2 i x i i i i i i 13 Kurven und Bereichsintegrle Eine Differentilform ist eine stetige Abbildung ω : R n R n, ω(x 1,..., x n ) = ω 1 (x 1,..., x n ).. ω n (x 1,..., x n ), die wir ls ω 1 dx ω n dx n notieren. Entlng einer stückweise differenzierbren Kurve c : [, b] R n läßt sich eine Differentilform ω integrieren: c ω = b ( ω 1 (c(t)) c 1(t) ω n (c(t)) c n(t) ) dt Definition F : R n R heißt Stmmfunktion von ω, wenn ω = df = F x 1 dx F x n dx n. Eine Differentilform, die eine Stmmfunktion ht, heißt exkt. 25

26 Stz 13.1 Wenn ω eine Stmmfunktion F ht, ist für jede Kurve c : [, b] R n ω = F (c(b)) F (c()). c Eine Differentilform ist genu dnn exkt, wenn Kurvenintegrle nur von Anfngs und Endpunkt der Kurve bhängen. Die Stmmfunktion läßt sich dnn ls finden. F (x) = Integrl von ω entlng einer Kurve von 0 bis x Definition ω heißt geschlossen, wenn ω j x i = ω i x j für lle i, j. Stz 13.2 Eine Differentilform ist genu dnn exkt, wenn sie geschlossen ist. Der Stz gilt für uf dem gnzen R n definierte Differentilformen und llgemeiner für einfch zusmmenhängende Teilmengen des R n. Der Stz ist zum Beispiel flsch, wenn ω nur uf R 2 \ {0} erklärt ist. Beweisnstz: Sei zum Beispiel ω eine geschlossene Differentilform uf R 2. Fixiere einen Punkt ( 1, 2 ) R 2. Dnn ist F (x 1, x 2 ) = eine Stmmfunktion von ω. x1 1 ω 1 (s, 2 ) ds + y 2 ω 2 (x, t) dt Definition Sei F eine beschränkte (nicht llzu wilde) Fläche im R 2 und f : F R 2 eine stetige Funktion. Dnn ist f dx 1 dx 2 ds Volumen des Körpers F {(x, y, z) (x, y) F, 0 z f(x, y)}. Wenn f negtive Werte ht zählt mn ds Volumen negtiv. Für eine präzise Definition überdeckt mn F durch disjunkte kleine Rechtecke R i und pproximiert ds Integrl durch Volumen(R i )f i, i wobei f i ein Wert ist, den f uf R i nnimmt. (Siehe Abschnitt 5.) Allgemeiner definiert mn für stetige Funktionen f : R n R und gutrtige Teilmengen V R n ds Integrl f dx 1... dx n V 26

27 Sei ω eine Differentilform uf dem R 2. Definiere rot ω = ω 1 x 2 ω 2 x 1 Stz 13.3 (Stz von Stokes: Spezilfll) Sei c eine geschlossene Kurve im R 2, die eine Fläche F im negtiven Uhrzeigersinn umläuft. Dnn ist ω = rot ω dx 1 dx 2. c F Stz 13.4 (Stz von Fubini) Sei R = [ 1, b 1 ]... [ n, b n ] ein Quder im R n und f : R R eine stetige Funktion. Dnn ist ( bn ( bn 1 ) ) b1 f dx 1... dx n =... f(x 1,..., x n ) dx 1... dx n 1 dx n. R 1 n n 1 14 Differentilgleichungen Wir behndeln gewöhnliche Differentilgleichungen. Gewöhnliche Differentilgleichungen bestimmen eine Funktion f(x) einer Vrible x durch eine Gleichung zwischen x, dem Funktionswert f(x) und den Ableitungen f (x), f (x),.... Prtielle Differentilgleichungen werden für Funktionen mehrerer Vrible ufgestellt. Wir können hier nur Differentilgleichungen erster Ordnung behndeln. Eine Differentilgleichung erster Ordnung enthält nur die erste Ableitung der gesuchten Funktion. Sie ht gewöhnlich die Form y = g(x, y) (3) für eine stetig differenzierbre Funktion g. Eine Lösung ist eine Funktion f(x), sodß für lle x im Definitionsbereich f (x) = g(x, f(x)). Die Gleichung (3) ht im llgemeinen eine ein prmetrige Schr von Lösungen. Die Lösung wird eindeutig, wenn mn eine Anfngsbedingung vorgibt. Mn fordert lso f() = b. y() = b (4) Stz 14.1 Wenn g stetig prtiell differenzierbr ist, gibt es ein einer genügend kleinen Umgebung ( c, c) von eine (eindeutig bestimmte) Lösung von (3) und (4) Trennung der Vriblen Wenn (3) die Gestlt y = g(x)h(y) 27

28 ht, findet mn die Lösung folgendermßen: Mn integriert beide Seiten der Gleichung g(x) dx = 1 h(y) dy und erhält x g(s) ds = y b 1 h(t) dt, eine Gleichung zwischen x und y, die die Lösungskurve beschreibt Exkte Differentilgleichungen Eine exkte Differentilgleichung ht die Gestlt y = g(x, y) h(x, y), wobei g y + h x = 0. Dnn ist g(x, y) dx h(x, y) dy eine geschlossene Differentilform. Mn sucht mit der Methode von 13.2 ein Stmmfunktion F mit F (, b) = 0. Dnn beschreibt die Gleichung F (x, y) = 0 die Lösungskurve. Die Gleichung ist x g(s, b) dt = y b h(x, t) dt Linere Differentilgleichungen Linere Differentilgleichungen erster Ordnung hben die Gestlt y = g(x)y + h(x). (5) Zuerst suchen wir eine Lösung f 0 der homogenen Gleichung y = g(x)y mit der Nebenbedingung y() = 1 (Trennung der Vrible): ( x ) f 0 (x) = exp g(s) ds. Dnn bestimmt mn c(x) so, dß f(x) = c(x)f 0 (x) eine Lösung von (5) und (4) ist. Dzu muß c(x) eine Lösung von y f 0 (x) = h(x) und (4) sein: x h(s) c(x) = f 0 (s) ds. 28

29 Index A 1, 20 A, 20 A, 21 [, b], 6 rccos (x), 8 rccos(x), 8 rcsin (x), 8 rcsin(x), 8 rctn (x), 8 rctn(x), ( 8 n ) k, 2 C, 13 cos (x), 7 cos(x), 12 cosh(x), 8 det A, 20 df(x) dx, 7 f x i, 23 f xi, 23 E, 20 e, 4 exp (x), 7 exp(x), 5, 11, 13 f g, 6 f (), 7 f + g, 6 f g, 6 f (n) (x), 11 f A, 18 fg, 6 h 1, 7 f(x dx), 10 b f(x)dx, 9 lim n n, 3 ln(x), 8, 12 n!, 2 P(A), 2 q A, 24 R 2, 16 R 3, 15 R n, 16 n=0 n, 4 sin (x), 7 sin(x), 11 sinh(x), 8 tn (x), 7 u v, 17 v, 17 x, 8 (x n ), 7 x y, 8 Ableitung, 7 prtielle, 23 Ableitungsregeln, 7 bsolut konvergente Reihe, 4 Anfngsbedingung, 27 Bsis eines Vektorrums, 16 knonische, 16 orthonormle, 17 Betrg einer komplexen Zhl, 13 Binomische Formel, 3 Cuchysches Konvergenzkriterium, 3 Crmersche Regel, 20, 21 Determinnte, 20 Differentilform, 25 exkte, 25 geschlossene, 26 Differentilgleichung erster Ordnung, 27 exkte, 28 gewöhnliche, 27 linere, 28 prtielle, 27 differenzierbre Funktion, 6 Differenzierbrkeit, 6 prtielle, 22 Divergenz, 3 Dreiecksungleichung, 17 für Integrle, 9 Eigenschften des Integrls, 9 Eigenwert, 25 Einheitsmtrix, 20 Eulersche Zhl, 4 Exponentilfunktion, 5, 11 Fkultät, 2 Folge divergente, 3 29

30 konvergente, 3 Fourierreihe, 14 Funktion differenzierbre, 6 periodische, 14 rtionle, 14 stetige, 6, 22 Gerde, 18 Grdient, 23 Grenzwert, 3, 22 Huptchsentrnsformtion, 24 Huptstz der Algebr, 13 der Integrl und Differentilrechnung, 10 Hessesche Form, 24 Integrl, 9, 26 chrkteristische Eigenschften, 9 Linerität, 9 unbestimmtes, 10 Integrtion durch Substitution, 10 Intervll, 6 inverser Vektor, 15 Isomorphismus, 16 Keplersche Fßregel, 11 Kettenregel, 7, 23 komplexe Zhlen, 13 Konvergenz, 3, 4, 22 Koordinten, 16 Koordintensystem, 16 Kreuzprodukt, 17 Kurve, 23 Länge eines Vektors, 17 Lngrngesche Interpoltionsformel, 13 Limes, 3 linere Abbildung, 18 lineres Gleichungssystem, 21 Rng, 22 Logrithmus, 8, 12 ntürlicher, 8 Mtrix, 18 ddition, 19 inverse, 20 invertierbre, 20 multipliktion, 19 symmetrische, 24 Mximum, 23, 24 Minimum, 23, 24 Mittelwertstz, 6 für Integrle, 9 ntürlicher Logrithmus, 8 Newtonverfhren, 12 Nullvektor, 15 numerische Integrtion, 10 Orthonormlbsis, 17 Prtilbruchzerlegung, 14 Prtilsumme, 4 prtielle Integrtion, 10 Psclsches Dreieck, 3 periodische Funktion, 14 Polynom, 12 Grd, 12 Nullstelle, 13 Potenzmenge, 2 qudrtische Form, 24 indefinite, 24 negtiv definite, 24 positiv definite, 24 Quotient, 7 rtionle Funktion, 14 Regressionsgerde, 25 Reihe, 4 bsolut konvergente, 4 Restgliedbschätzung der Tylorreihe, 11 Sägezhnfunktion, 14 Sttelpunkt, 24 Stz vom Mximum, 6 von Stokes, 27 Schwrzsche Ungleichung, 17 Sehnen Trpezregel, 10 Simpsonregel, 11 Sklrmultipliktion, 15 Sklrprodukt, 16 Splte, 18 Spltenvektor, 15 Sptprodukt, 18 30

31 Stmmfunktion, 10, 25 Stetigkeit, 6, 22 Tngente, 7 Tylorreihe, 11, 23 Trennung der Vriblen, 27 Umkehrfunktion, 7 unbestimmtes Integrl, 10 Vektor, 15 Länge, 17 Vektorddition, 15 Vektorrum, 15 dreidimensionler, 16 Zeilenopertionen, 21 Zeilenvektor, 15 31