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1 $Id: mengen.tex,v //6 20:09:23 hk Exp $ $Id: komplex.tex,v //6 20:2:23 hk Exp hk $ I. Grundlagen 3 Mengen und Abbildungen 3.4 Vollständige Induktion und endliche Mengen Wir wollen noch ein zweites, eher informelles, Argument für die Formel A(n) = n! angeben. Wir denken uns unsere zu ordnenden n Objekte gegeben, und wollen diese in n bereitstehende Schubladen einräumen. Die Reihenfolge in der die Objekte in den verschiedenen Schubladen landen entspricht dann einer Anordnung der Objekte Für die erste Kugel stehen n freie Schubladen zur Verfügung, und wir haben damit n Möglichkeiten diese Kugel einzuordnen. Bei der Einordnung der zweiten Kugel ist bereits eine Schublade belegt, wir haben also nur noch n freie Schubladen und somit n Möglichkeiten diese Kugel einzuordnen. So fortfahrend gibt es für die dritte Kugel n 2 Möglichkeiten, und so weiter bis zur letzten Kugel, die nur noch eine freie Schublade vorfindet, also auch nur eine einzige Möglichkeit hat eingeordnet zu werden. Insgesamt haben wir damit n (n )... = n! Möglichkeiten der Anordnung unserer n Objekte. Beachte das dies in Wahrheit nur eine andere Formulierung unserer vorherigen Argumentation ist. Nach Einordnung der ersten Kugel haben wir dieselbe Situation nur für n statt n Kugeln vor uns, d.h. in unserer obigen Notation haben wir wieder die rekursive Beziehung A(n) = n A(n ) eingesehen. Die anderen beiden Anzahlformeln, die wir nun noch herleiten wollen, werden wir nur im Stil der eben vorgestellten zweiten Argumentation vorführen. Bei Bedarf könnten wir diese Begründungen jederzeit in ein entsprechendes Induktionsargument überführen, aber für unsere Zwecke reicht es, ein solches Argument gesehen zu haben. Wir wollen nun die Anzahl der Teilmengen einer n-elementigen Menge M berechnen. Jede dieser Teilmengen besteht dann aus gewissen der Elemente von M, kann also 7-

2 dadurch beschrieben werden, dass wir für jedes Element x von M sagen ob es zur Teilmenge gehört oder nicht. Um eine der Teilmengen von M beschreiben, haben wir also für jedes der n Elemente von M zu entscheiden, ob wir es zur Teilmenge gehören lassen oder nicht. Für jedes der n Elemente von M gibt es also zwei Möglichkeiten, und insgesamt haben wir damit 2 } 2 {{... 2} = 2 n n mal Möglichkeiten eine Teilmenge von M auszuwählen. Die Zahl der Teilmengen einer n- elementigen Menge ist also 2 n. Wie bereits bemerkt ist es auch leicht möglich, dieses Argument in einen Induktionsbeweis umzuschreiben. Dies können wir zum Beispiel machen indem wir die Teilmengen von M in zwei Gruppen einteilen, die einen enthalten ein fixiertes Element x von M und die anderen nicht. Es ist durchaus lohnend, einen solchen Induktionsbeweis als eine kleine Übung einmal selbst zu formulieren. Wir wollen uns noch eine weitere solche Anzahlformel überlegen. Diesmal wollen wir die Anzahl aller k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Mengen bestimmen. Da eine Teilmenge einer n-elementigen Menge selbst höchstens n Elemente haben kann, können wir uns auf den Fall 0 k n beschränken. Seien also n N und 0 k n gegeben. Wir orientieren uns in unserer Argumentation nun an der Diskussion zur Bestimmung der Anordnungen von n Elementen. Um eine k-elementige Teilmenge einer n-elementigen Menge M zu wählen, können wir der Reihe nach k verschiedene Elemente aus M herauspicken. Für das erste Element können wir dabei jedes beliebige Element von M verwenden, haben also n Möglichkeiten. Wählen wir dann ein zweites Element, so dürfen wir das bereits gewählte erste Element nicht noch einmal nehmen, haben also nur noch n Möglichkeiten zur Wahl des zweiten Elements unserer Teilmenge. So fortfahrend gibt es dann n 2 mögliche Wahlen für das dritte Element, bis wir letztlich zum k-ten Element kommen, für das es noch n k + Möglichkeiten gibt. Letztere Formel läßt sich am einfachsten einsehen, wenn wir uns klarmachen, dass es n = n + Möglichkeiten für das erste Element, n = n 2 + Möglichkeiten für das zweite Element, n 2 = n 3 + Möglichkeiten für das dritte Element, also allgemein n i + Möglichkeiten für das i-te Element gibt. Damit haben wir insgesamt n (n )... (n k+) Möglichkeiten, aber dies ist noch nicht unser Endergebnis. Die eben berechnete Zahl ist ja nur die Anzahl aller Listen aus k verschiedenen Elementen von M. Jede solche Liste liefert uns eine der gesuchten k-elementigen Teilmengen, nämlich diejenige dere Elemente gerade die Einträge unserer Liste sind, aber auf diese Art wird jede k-elementige Teilmenge mehrfach gezählt. Eine gegebene k-elementige Menge kann man ja auf verschiedene Arten durch Auflisten ihrer k Elemente hinschreiben, nämlich auf soviele Arten wie es Anordnungen ihrer k Elemente gibt. Diese Zahl haben wir aber bereits als k! berechnet. Als Anzahl der k-elementigen Teilmengen der n-elementigen Menge M ergibt sich damit n (n )... (n k + ) k! = n (n )... k! (n k)... = n! k!(n k)!. 7-2

3 Diesen Quotienten := k n! k!(n k)! bezeichnet man als den Binomialkoeffizienten n über k. Zusammenfassend haben wir damit die folgenden Anzahlformeln eingesehen: Beschreibung Anzahl Anordnungen von n Objekten n! Teilmengen einer n-elementigen Menge ( 2 n k-elementige Teilmengen einer n-elementigen Menge n k) Zum Abschluß dieses Abschnitts wollen wir die Binomialkoeffizienten noch etwas näher untersuchen, und insbesondere erklären woher sie ihren Namen haben. In unserer obigen Überlegung hatten wir immer n N also insbesondere n angenommen, aber unsere obige Definition ergibt wegen 0! = auch ( 0 0) =. Für jedes n N hat eine n- elementige Menge M genau eine nullelementige und genau eine n-elementige Teilmenge, nämlich beziehungsweise M, also haben wir ( ) n = = 0 n was natürlich auch mit der definierenden Formel klar ist. Weiter hat M auch genau n einelementige Teilmengen, nämlich die Mengen {x} mit x M, d.h. wir haben = n. Die Binomialkoeffizienten sind auch symmetrisch in k, d.h. es gilt die Gleichung ( ) ( ) n n = k n k für alle 0 k n. Auch dies ist wegen n (n k) = k direkt aus unserer Formel klar. Alternativ können wir dies auch dadurch begründen, dass die k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Mengen über Komplementbildung den (n k)-elementigen Teilmengen entsprechen. Insbesondere ist damit übrigens: ( ) ( ) n n = = n. n Es gibt noch eine weitere einfache Beziehung zwischen den Binomialkoeffizienten, das Pascalsche Dreieck. Um diese Formel herzuleiten betrachten wir eine natürliche Zahl n N sowie ein 0 k < n. Weiter sei M die Menge der (k+)-elementigen Teilmengen der (n + )-elementigen Menge {,..., n + }. Dann wissen wir bereits + M =. k + 7-3

4 Wir können die Menge als die disjunkte Vereinigung M = A B der beiden Teilmengen A := {N M n + M}, B := {N M n + / M} schreiben, und somit wird M = A + B. Wir wollen nun die Elementanzahlen A und B bestimmen. Wir beginnen dabei mit dem einfacheren B. Die Menge B ist ja die Menge aller (k + )-elementigen Teilmengen N {,..., n + } mit n + / N, und dies sind genau die (k+)-elementigen Teilmengen der n-elementigen Menge {,..., n}, also insbesondere B =. k + Die Elemente von A sind dagegen diejenigen (k + )-elementigen Teilmengen N {,..., n+} mit n+ N, und diese können wir in der Form N = N {n+} schreiben, wobei N die k-elementigen Teilmengen von {,..., n} durchläuft. Insbesondere hat A genauso viele Elemente wie es Mengen N gibt, d.h. soviele wie es k-elementige Teilmengen von {,..., n} gibt, und von letzterer Zahl wissen wir, dass sie gleich A = k ist. Insgesamt haben wir somit + = M = A + B = k + ( ) ( ) n n +. k k + Auch diese Formel könnte man natürlich leicht durch eine direkte Rechnung herleiten, aber hierdurch würde sie als eine rechnerische Zufälligkeit erscheinen, während die hier gegebene Ableitung uns eine inhaltliche Begründung der Formel gibt. Um mit dieser Formel das Pascalsche Dreieck zu konstruieren, denken wir uns die Binomalkoeffizienten zu festen n zeilenweise angeordnet: ( ) 0 0 ( ) ( ) 0 ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) 3 ( ) 3 ( ) 3 ( ) Unsere Formel können wir dann folgendermaßen interpretieren: Der k-te Binomialkoeffizient in Zeile n ergibt sich als die Summe des (k )-ten und des k-ten Binomialkoeffizienten in der darüberliegenden (n )-ten Zeile, d.h. als die Summe der beiden 7-4

5 links und rechts über im stehenden Binomialkoeffizienten. Auf diese Weise können die Binomialkoeffizienten rekursiv berechnet werden ohne das es nötig ist, die verschiedenen Fakultäten auszurechnen. Für die kleinen Werte n =, 2, 3, 4, 5, 6 erhalten wir die folgenden Binomialkoeffizienten: Einer der wesentlichen Zusammenhänge in denen die Binomialkoeffizienten eine Rolle spielen ist die sogenannte binomische Formel, dies ist eine Verallgemeinerung der Ihnen aus der Schule bekannten binomischen Formel (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 für Quadrate. Die allgemeine binomische Formel handelt von n-ten Potenzen einer Summe a + b. Um die Formel auszusprechen ist es sinnvoll zuvor eine kleine Notation einzuführen. Sind a,..., a n reelle Zahlen, so schreiben wir die Summe a + +a n mit dem sogenannten Summenzeichen als n a k := a + a n. k= Der Index k hat hier eine rein formale Bedeutung, man kann auch jedes andere Symbol verwenden n k= a k = n i= a i = n j= a j und so weiter. Ebenso kann man die Summation auch über andere Indexbereiche erstrecken, zum Beispiel n k=0 a k = a a n, 2n k=2 a k = a 2 + a a 2n und so weiter. Die binomische Formel besagt nun, dass für alle natürlichen Zahlen n N und alle reellen Zahlen a, b R stets n (a + b) n = a k b n k k k=0 gilt. Man kann diese Formel durch Induktion begründen, im Induktionsschritt wird dann die obige Formel des Pascalschen Dreiecks verwendet. Wir wollen hier aber einen direkten Beweis angeben, bei dem auch klarer wird warum hier ausgerechnet die Binomialkoeffizienten auftauchen. Wir fragen uns was passiert, wenn das Produkt (a + b) n = (a + b)... (a + b) }{{} n mal ausmultipliziert wird. Das ausmultiplizierte Produkt wird zu einer Summe von Produkten aus jeweils n Faktoren. Jeder dieser Summanden entsteht dadurch, das für jeden der n Faktoren in (a + b)... (a + b) entschieden wird, ob a oder b als Faktor verwendet wird. Haben wir beispielsweise n = 5 und wählen im ersten, dritten und vierten Faktor ein a, so entsteht der Summand abaab = a 3 b 2. Wählen wir allgemein 7-5

6 für k der n Faktoren ein a aus, so wird für die restlichen n k Faktoren das b gewählt und wir erhalten den Summanden a k b n k. Dieser Summand taucht so oft auf, wie es Möglichkeiten gibt die k Faktoren unter unseren n Faktoren auszuwählen an denen ein a stehen soll, anders gesagt so oft wie es k-elementige Teilmengen einer n-elementigen Mengen gibt. Diese Zahl war aber gerade der Binomialkoeffizient ( n k). Insgesamt haben wir also für jedes 0 k n stets ( n k) Summanden a k b n k, und dies ist gerade unsere binomische Formel. Damit ist zum einen die binomische Formel bewiesen, und zum anderen wissen wir nun warum die ( n k) Binomialkoeffizienten heißen, es sind eben gerade die Koeffizienten in der binomischen Formel. Die ersten dieser binomischen Formeln für n = 2, 3, 4, 5, 6 sind (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2, (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, (a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4, (a + b) 5 = a 5 + 5a 4 b + 0a 3 b 2 + 0a 2 b 3 + 5ab 4 + b 5, (a + b) 6 = a 6 + 6a 5 b + 5a 4 b a 3 b 3 + 5a 2 b 4 + 6ab 5 + b 6. 4 Reelle und komplexe Zahlen 4. Reelle Zahlen Dieser kurze Abschnitt dient im wesentlichen zur Einleitung des Abschnitts über die komplexen Zahlen. Ich gehe davon aus, dass Sie die reellen Zahlen und ihre Grundeigenschaften aus der Schule kennen. Die dort vermittelten Kenntnisse sind zwar keine für die Mathematik ausreichende Grundlegung der reellen Zahlen, reichen für unsere eher bescheidenen Zwecke aber aus. Sie können sich die reellen Zahlen beispielsweise als die unendlichen Dezimalbrüche vorstellen. Dass dieser Standpunkt für eine systematische Behandlung der reellen Zahlen eher unpraktisch ist, spielt für uns keine Rolle. Die beiden grundlegensten Operationen auf den reellen Zahlen sind Addition und Multiplikation, und wir wollen nun einige der Grundregeln für diese Operationen auflisten.. Assoziativgesetze der Addition und Multiplikation Für alle a, b, c R gelten a + (b + c) = (a + b) + c und a(bc) = (ab)c. Hieraus folgt dann, dass man Summen und Produkte beliebig umklammern kann, und damit können Klammern einfach weggelassen werden. 2. Kommutativgesetze der Addition und Multiplikation Für alle a, b R gelten a + b = b + a und ab = ba. 7-6

7 3. Null und Eins Es gibt Elemente 0, R mit 0 so, dass 0 + a = a und a = a für alle a R gelten. 4. Subtraktion Für jedes a R existiert genau ein additives Inverses a R mit ( a) + a = Division Für jedes a R mit a 0 existiert genau ein /a R mit (/a) a =. 6. Distributivgesetz Für alle a, b, c R gilt a(b + c) = ab + ac. Die obigen Rechenregeln () bis (6) werden als die Körperaxiome bezeichnet, und die reellen Zahlen erfüllen sie bekanntlich alle. Beachte das die Körperaxiome weder von allgemeiner Subtraktion noch von allgemeiner Division sprechen, sondern nur von a und /a. Mit diesen können wir dann a b := a + ( b), a b := a b für a, b R mit b 0 für die zweite Gleichung, definieren. Subtraktion und Division werden nun nicht als eigenständige Operationen sondern über die obige Definition nur als Schreibweisen betrachtet. Aus den Körperaxiomen folgen alle üblichen arithmetischen Gesetze, also Gleichungen die von Addition und Mutliplikation handeln. Was dagegen nicht aus den Körperaxiomen folgt sind Existenzaussagen, wie etwa die Existenz von Wurzeln, oder Ungleichungen. Beispielsweise sind die Körperaxiome nicht stark genug um auch nur + 0 einzusehen. Definieren wir beispielsweise auf der zweielementigen Menge K = {0, } die Operationen + und durch , , so erfüllen diese sämtliche Körperaxiome, aber es gilt + = 0 in K. Eine weitere grundlegende Struktur auf den reellen Zahlen ist die Anordnung. Auch diese wollen wir wieder nicht systematisch untersuchen, sondern nur die folgenden Grundgesetze auflisten:. Transitivität Sind a, b, c R mit a b und b c, so ist auch a c. 2. Antsymmetrie Sind a, b R mit a b und b a, so ist auch a = b. 3. Trichotomie Sind a, b R, s gilt stets a b oder b a. 4. Monotonie der Addition Sind a, b, c R mit a b, so ist auch a + c b + c. 5. Monotonie der Multiplikation Für alle a, b R mit a b und alle c R mit c 0 ist auch ac bc. 7-7

8 Die Körperaxiome zusammen mit diesen fünf zusätzlichen Axiomen sind die sogenannten Axiome eines angeordneten Körpers. Aus diesen folgen dann alle sonstigen Ihnen bekannten Regeln für, es folgt beispielsweise das Quadrate immer gröër gleich Null sind, dass das Produkt negativer Zahlen positiv ist, und so weiter. Insbesondere können wir dann Dinge wie + 0, beziehungsweise sogar + > 0 beweisen. Wie schon bei den Körperaxiomen wollen wir hier aber nichts von all diesen Dingen vorführen. Wir wollen aber noch bemerken, dass selbst die Axiome eines angeordneten Körpers nicht ausreichen, die reellen Zahlen vollständig zu beschreiben. Zum Beispiel erfüllen auch die rationalen Zahlen Q alle Regeln, die wir hier angegeben haben. Es gibt ein weiteres Axiom, durch das die reellen Zahlen dann vollständig beschrieben werden. Dies ist das sogenannte Vollständigkeitsaxiom, das wir aber erst besprechen werden wenn wir uns mit der Konvergenz von Zahlenfolgen beschäftigen werden. Wir wollen nun noch eine kleine Notation, die Ihnen aus der Schule wahrscheinlich nicht geläufig ist, einführen und besprechen, den sogenannten Betrag einer reellen Zahl. Dieser hat eine rein praktische Funktion, wir möchten eine bequeme Möglichkeit haben davon zu sprechen, dass eine reelle Zahl x klein ist. Wir könnten beispielsweise versuchen die Zahl x klein zu nennen wenn sie x 0 4 erfüllt. Dies erfüllt aber nicht ganz den intendierten Zweck, den es ist ja zum Beispiel auch , aber 400 wollen wir meist nicht als klein betrachten. Wir müssten unsere Bedingung also beispielsweise in x 0 4 und x 0 4 umschreiben. Um diese zwei Bedingungen durch eine einzige zu ersetzen, wird nun der Betrag der reellen Zahl x eingeführt. Definition 4.: Ist x R eine reelle Zahl, so heißt { x, x 0, x := x, x 0 der Betrag von x. Beispielsweise sind 4 = 4, 2 = 2 und 0 = 0. In anderen Worten ist x der nichtnegative Wert unter den beiden Zahlen x und x. In unserem obigen Beispiel können wir die beiden Bedingungen x 0 4 und x 0 4 dann durch die eine Bedingung x 0 4 ersetzen. Als Funktion von x hat der Betrag die folgende Gestalt x x 7-8

9 Der Betrag erfüllt eine ganze Reihe von Grundeigenschaften, die im folgenden Satz zusammengestellt sind: Satz 4.: Für alle x, y, z R gelten: (a) Es ist x = x 0 und x 2 = x 2. (b) Es gilt x x. (c) Es ist xy = x y. (d) Es gilt die Dreiecksungleichung x + y x + y. (e) Es ist x y x y. (f) Es ist x y x y. Beweis: (a,b,c) Diese Aussagen sind direkt aus der Definition des Betrages klar. (d) Mit den Regeln (a), (b) und (c) erhalten wir x+y 2 = (x+y) 2 = x 2 +2xy +y 2 x 2 + 2xy +y 2 = x 2 +2 x y + y 2 = ( x + y ) 2, und damit auch x + y x + y. (e) Mit Teil (d) rechnen wir x = (x y) + y x y + y, also x y x y. (f) Mit Teil (e) haben wir x y x y und (e), (a) zusammen ergeben auch y x y x = (x y) = x y. Da x y aber eine der beiden Zahlen x y oder ( x y ) = y x ist, folgt auch x y x y. Warum Aussage (d) hier als Dreiecksungleichung bezeichnet wird, ist an dieser Stelle nicht gut zu sehen. Wir werden dies aber bei der Betrachtung des Betrags einer komplexen Zahl später in diesem Kapitel noch klären. 7-9