Diskrete Mathematik. Sebastian Iwanowski FH Wedel. Kap.5: Kombinatorik. Referenzen zum Nacharbeiten:

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1 FH Wedel Prof. Dr. Sebasta Iwaows D5 Fole Dsrete athemat Sebasta Iwaows FH Wedel ap.5: ombator Refereze zum Nacharbete: Lag (Bsp. 4) Beutelspacher 4 (außer Fxpute vo Permutatoe) eel 8 Hacheberger

2 FH Wedel Prof. Dr. Sebasta Iwaows D5 Fole 5. ombator 5. Zählformel für edlche ege Bezechug der Azahl der Elemete eer edlche ege : De ombator beschäftgt sch mt der Azahl der Elemete edlcher Struture. Zusammehag zwsche de Elemetzahle vo Schttmege Veregugsmege ud de Ezelmege: Sebformel (... )... ( ) ( 3 )... ( - ) ( 3 )... ( - - )... (-) - (... ) < < < < I I U l j l l l j ) ( ) ( ) (

3 FH Wedel Prof. Dr. Sebasta Iwaows D5 Fole 3 5. ombator De ombator beschäftgt sch mt der Azahl der Elemete edlcher Struture. 5. Zählformel für edlche ege Zusammehag zwsche de Elemetzahle vo ege ud hrem reuzprodut: ( x x... x )... Azahl der -Tupel eer -elemetge ege: Azahl der möglche Aorduge eer -elemetge ege:! (Azahl der Permutatoe)

4 FH Wedel Prof. Dr. Sebasta Iwaows D5 Fole 4 5. ombator De ombator beschäftgt sch mt der Azahl der Elemete edlcher Struture. 5. Zählformel für edlche ege Zusammehag zwsche der Elemetzahl eer ege ud der Azahl hrer Telmege: P( ) Zusammehag zwsche der Elemetzahl eer ege ud der Azahl hrer -elemetge Telmege: : ( ) (! )!!( )! (Bomaloeffzet)

5 FH Wedel Prof. Dr. Sebasta Iwaows D5 Fole 5 5. ombator De ombator beschäftgt sch mt der Azahl der Elemete edlcher Struture. 5. Zählformel für edlche ege Zusammehag zwsche Bomaloeffzet ud bomscher Formel: y x y x 0 ) ( Zusammehag zwsche de Bomaloeffzete: Pascalsches Dreec: Reursve Berechug der Bomaloeffzete ud bereche de aus de ach der reursve Formel Blde für 0... acheader de Rehe der Bomaloeffzete : 0 Verwede für jedes de Regel 0

6 FH Wedel Prof. Dr. Sebasta Iwaows D5 Fole 6 5. Permutatoe 5. ombator Ee -Permutato st ee bjetve Abbldug f vo eer -elemetge ege sch selbst: f :{ } {... } j f ( ) f ( j) Darstellugswese vo Permutatoe: Permutatostabelle f () L f () L f ( ) Bsp.: Aordug f ( ) f () f ( ) Zyledarstellug ( 7 3 5) ( 6) (4) ( 7 3 5) ( 6) De Zerlegug Zyle st cht edeutg ur de dsjute Zyle maxmaler Läge wobe de zylsche Umstellug ees Zylus als glech agesehe wrd. E Zylus der Läge heßt Trasposto

7 FH Wedel Prof. Dr. Sebasta Iwaows D5 Fole 7 5. Permutatoe 5. ombator Htereaderschaltug (omposto) vo Permutatoe: ( 7 3 5) ( 6) ( 3 5) ( 4 7 6) ( ) De omposto wrd vo rechts ach ls ausgeführt. Das Operatossymbol a der Zyledarstellug weggelasse werde da de Zerlegug dsjute Zyle auch als omposto aufgefasst werde a.

8 FH Wedel Prof. Dr. Sebasta Iwaows D5 Fole 8 5. Permutatoe 5. ombator Zerlegug vo Permutatoe Traspostoe: Jede Permutato a ee omposto vo Traspostoe zerlegt werde: (a... a ) (a a ) (a a - )... (a a ) ( 7 3 5) ( 6) ( 5) ( 3) ( 7) ( 6) Dese Zerlegug st cht edeutg ebefalls cht de Azahl vo Traspostoe. Es glt aber mmer dass Zerleguge für deselbe Permutato etweder alle ee gerade Azahl oder alle ee ugerade Azahl vo Traspostoe habe. Gemäß hrer Zerlegugsegeschaft Traspostoe bezechet ma ee Permutato als gerade oder ugerade.

9 FH Wedel Prof. Dr. Sebasta Iwaows D5 Fole 9 5. Permutatoe 5. ombator De Permutatosgruppe S : De ege aller -Permutatoe bldet mt der omposto als Verüpfug ee Gruppe de symmetrsche Gruppe S. De symmetrsche Gruppe st cht abelsch d.h. das ommutatvgesetz glt cht. De ege der gerade Permutatoe bldet ee Utergruppe vo S. Se heßt de altererede Gruppe A.

v. Weter st + r X + = ( X + ) = ( X + ) ( X + ) = P Deshalb fr 6 6 = + X = K, d. h. I desem Berech ( 6 6 ) glt also ( Idukto ach ) ( ) ( mod ), was fr

v. Weter st + r X + = ( X + ) = ( X + ) ( X + ) = P Deshalb fr 6 6 = + X = K, d. h. I desem Berech ( 6 6 ) glt also ( Idukto ach ) ( ) ( mod ), was fr 5. De Stze vo Sylow Im gaze Abschtt st G ee edlche Grue, 4 #( G). 5.. Problem: Gbt es zu jedem Teler t vo ( tj ) ee Utergrue H mt #( H) = t? We ja, wevele? Gegebesel: 9 Utergrue H vo G = A 5 mt #( H) =

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