Komplexe Zahlen (Seite 1)

Transkript

1 (Seite 1) (i) Motivation: + 5 = 3 hat in N keine Lösung Erweiterung zu Z = 2 3 = 2 hat in Z keine Lösung Erweiterung zu Q = 2 / 3 ² = 2 hat in Q keine Lösung Erweiterung zu R = ± 2 ² + 1 = 0 hat in R keine Lösung Erweiterung zu C (Menge der kompleen Zahlen) = ±i mit i² := 1 (oder i = 1 ) Imaginäre Einheit: Die Zahl i mit i² = 1 heißt imaginäre Einheit (Euler 1777). Folgerungen: i 0 = 0 i = 0 i + 0 = i i / i = 1 i² = 1 i³ = i² i = i i 4 = i² i² = +1 i 5 = i i 4n+r = (i 4 ) n i r = 1 n i r = i r für r = 0, 1, 2, 3 (3i)² = 9 (2i) 4 = 16 4 / i = 4i 16 = 4i i 234 = i = i² = 1 (ii) Komplee Zahlen: Komplee Zahl: Die Zahl z = a + bi heißt komplee Zahl mit dem Realteil a = Re(z) und dem Imaginärteil b = Im(z). Der Betrag einer kompleen Zahl berechnet sich durch: z = a + bi = a² + b². Die Zahl z = a bi nennt man konjugiert komplee Zahl der Zahl z = a + bi mit z = z. Beispiel: z = 3 + 4i z = 3 4i mit z = 5 z = 4 12i z = i mit z = 4 10 Beachte: a = 0 < rein imaginäre Zahl; b = 0 < reelle Zahl. z 1 = z 2 < a 1 = a 2 und b 1 = b 2! z = z < b = 0! ( z ) =z

2 (Seite 2) (iii) Rechnen mit kompleen Zahlen: (9 + 2i) + (7 + 4i) = i (9 + 2i) (7 + 4i) = i (5 + 12i) (5 12i) = 169 (2 + 3i)² = i ( 3 2i ) ( 4 5i ) 3 2i 12 15i 8i + 10 i² 2 23i 2 23i = = = = 4 + 5i 4 + 5i 4 5i i² Rechenregeln: Addition / Subtraktion: (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d) i Multiplikation: (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (ad + bc) i, da i² = 1. Division: ( ) ( ) a + bi a + bi c di ac + bd + bc ad i ac + bd bc ad = = = + i. c + di c + di c di c² + d² c² + d² c² + d² Potenzieren: (a + bi)² = (a² b²) + 2ab i (höhere Potenzen: Pascalsches Dreieck!). Folgerungen: u + v = u + v und u v = u v. z z = z², d.h. z = z z 4. Binomische Formel : (a + bi) (a bi) = a² + b² i 1 = i³ = i, denn: ii 1 = 1 = i 4 = ii³ z 1 = 1 / z = z* / z z* = z* / z ² Wurzeln: Die Wurzel aus der kompleen Zahl z² = a + bi ergibt sich aus: a² + b² + a a² + b² a z1,2 = ± + i für b > a² + b² + a a² + b² a z = ± i für b < ; 3,4 (da und y verschiedene Vorzeichen haben müssen bei b<0 wegen 2y = b). Herleitung: Gesucht ist Zahl z = + yi mit ( + yi)² = a + bi, also (² y²) + 2y i = a + bi. 4 4 ( ² y² ) ² = a² ² y² = a 2 ² y² + y = a² < < 2y = b 4 ² y² = b² 4 ² y² = b² ² y² = a ² y² = a ² y² = a < < < ² y² + y = a² + b² ² + y² ² = a² + b² ² + y² = a² + b² ² ² ² ² ² a + b + a ; ² a + y b = = a 2 2 ( )

3 (Seite 3) (iv) Die Gaußsche Zahlenebene (komplee Ebene): Komplee Ebene: Gaußsche Zahlenebene Die 1. Achse entspricht dem Realteil, die 2. Achse dem Imaginärteil, d.h.: = Re(z), y = Im(z). Jeder kompleen Zahl z = a +bi entspricht somit der der Punkt P(a b). Die rein imaginären Zahlen liegen auf der y-achse, die reellen auf der -Achse. Eine komplee Zahl liegt stets - achsensymmetrisch zu ihrer konjugiert kompleen Zahl. Problem: Komplee Zahlen lassen sich nicht der Größe nach ordnen (d.h. z 1 < z 2 ergibt keinen Sinn!). Stattdessen verwendet man oftmals den Betrag einer kompleen Zahl, der ihren Abstand vom Ursprung angibt. Zahlen mit demselben Betrag liegen auf einem Kreis um den Ursprung. (v) Vektoren; Polarkoordinaten: Vektoren: Die Zahl z = a + bi lässt sich auch als Ortsvektor darstellen, d.h. a z = OZ = b. Vorteil: Die Addition/Subtraktion lässt sich durch Vektoren leicht ausführen (man addiert/subtrahiert stets gleichartige Komponenten). Weitere Darstellung eines Punktes: Den im Bild dargestellten Punkt A(3 4) kann man auch beschreiben durch: 1 4 z = 3³ + 4² und ϕ = tan 51,13. 3 D.h. jede komplee Zahl lässt sich nun auch in Polarkoordinaten darstellen, es gilt folglich: A( 3 4) A[ 5 51,13 ] <. Auch die Grundrechenarten lassen sich mit Polarkoordinaten leicht darstellen (Additionstheoreme!!!). Polarkoordinaten: Jede komplee Zahl z = a + bi lässt sich sowohl in kartesischen Koordinaten ( ) a b als auch in Polarkoordinaten z ϕ angeben mit: a b z = a² + b², cosϕ = und sinϕ = z z ( ϕ ϕ ) i z = z cos + i sin = z e ϕ., also:

4 (Seite 4) Ekurs: Taylor-Reihen-Entwicklung Sinusfunktion: Kosinusfunktion: Eponentialfunktion: iϕ e = cosϕ + i sin ϕ sin( ) = ! 3! 5! 7! cos( ) = ! 4! 6! e = ! 2! 3! 4! 5! (vi) Lösen von Gleichungen: Beachte: Ist z Lösung einer Gleichung, so ist auch immer z Lösung derselben Gleichung! (1) Bestimme die Lösungen der Gleichung ² = 0! 1, = ± 8 = 2 ± 4 = 2 ± 4 1 = 2 ± 2i L = {2±2i} 2 2 (2) Bestimme die Nullstellen des Polynoms ! Durch Raten : 1 + i ist Lösung, denn: i 1+ i + 1+ i + 2 = 1+ 4i + 6 i² + 4 i³ + i 1+ 3i + 3 i² + i³ i + i² + 2 = 0 Wenn 1 + i Lösung ist, dann ist auch 1 i eine Lösung. ( (1 + i)) ( (1 i)) = (( 1) i) (( 1) + i) = ( 1)² i² = ² ( ³ ² 2): ( ² 2 2) ² = + + (Polynomdivision) 1, = ± 1 = ± = ± 1 = ± i L = 1 ± i; ± i 2 2 Fundamentalsatz der Algebra: Ein Polynom n-ten Grades hat in C immer genau n Nullstellen.

5 (Seite 5) (vii) Anwendungen: (1) Schwingungen: Bei einem Federpendel wirkt die Kraft F = m a, die von der Rückstellkraft F = D s geliefert wird. Es gilt somit zu jedem Zeitpunkt: m a(t) = D s(t) bzw. a(t) = D / m s(t). Da a(t) = ɺɺ s(t) (Herleitung z.b. über Graph), erhält man: ɺɺ s(t) = D / m s(t) (Differentialgleichung). Lösungen dieser Gleichung sind: = ˆ ( ω + ϕ), s( t) sˆ cos( ωt ϕ ) s( t) s sin t = + bzw. ( ( ω ϕ ) ( ω ϕ )) i t s( t) = sˆ cos t + + i sin t + oder s( t) = sˆ e ω + ϕ. Vorteil von kompleen Zahlen im Vergleich zu Reellen: Bei der Dämpfung lautet die Differentialgleichung: m a(t) = k v(t) D s(t). Durch Verwendung der kompleen Zahlen kann man statt sin und cos die Eponentialfunktion verwenden, was gerade Produkte und deren Ableitungen stark vereinfacht! (2) Mandelbrot-Mengen ( Apfelmännchen ): Mandelbrot-Menge ist die Menge aller kompleen Zahlen c, für welche der Betrag der rekursiv definierten Folge kompleer Zahlen zn + 1 = zn² + c ; z 0 = 0 beschränkt bleibt. Punkte der Folge werden schwarz dargestellt; manchmal gibt die Farbe eines Punktes auch den Grad der Divergenz an. Da die Berechnung sehr aufwendig ist, begnügt man sich oft mit folgendem: Ist das 20. Folgenglied kleiner als 2, so gehört der Punkt zur Menge, ansonsten gehört er nicht dazu. Man beachte die Selbstähnlichkeit der entstehenden Struktur! Anwendung: Computer-Darstellungen von Wolken, Bergen, Küsten,