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1 Vorbemerkung Dies ist ein abgegebener Übungszette aus dem Modu math31. Dieser Übungszette wurde nicht korrigiert. Es handet sich edigich um meine Abgabe und keine Musterösung. Ae Übungszette zu diesem Modu können auf gefunden werden. Sofern im Dokuments nichts anderes angegeben ist: Dieses Werk von Martin Ueding ist izenziert unter einer Creative Commons Namensnennung - Weitergabe unter geichen Bedingungen.0 Internationa Lizenz. [discaimer]

2 math30 Übung 8 Gruppe 16 Mate Lackmann Martin Ueding mu@uni-bonn.de Pau Manz Lino Lemmer Aufgabe Punkte xxxxx/ 10 xxxxx/ 5 xxxxx/ Eigenschaften der Legendrepoynome 8.1a P berechnen Wir benutzen die Forme (1) und setzen ein: P 1 (x) x P 2 (x) 3 2 x P 3 (x) 5 2 x x P (x) 35 8 x x 2 8.1b P(±1) In der anderen Aufgabe haben wir bereits hergeeitet, dass git (1): P (x) 1 d 1 2! dx 2 i0 (x 1) i (x + 1) i i Wenn wir dort x 1 einsetzen, sind ae Potenten von (x 1) geich 0, außer wenn i 0 ist. Dann ist aerdings (x + 1) gerade 2. Somit ist P (1) 1. Für x git das geiche Argument, die verbeibende Kammer ist aerdings ( 2), so dass P () () beibt. 8.1c Orthogonaität Hier fehen noch Inhate. 8.1d Differentiageichung erfüen Hier fehen noch Inhate. 1

3 math30 Übung DIRICHTLETPROBLEM 8.3 Dirichtetprobem Die Randbedingung formen wir um: u(x, y, z) z u(r, θ, φ) r cos θ Wir setzen r R ein und erhaten as Randbedingung eine Funktion auf der Kugefäche: u R (θ, φ) R cos θ Da u R φ 0, können wir φ aus den Argumenten streichen. Außerdem setzen wir cos θ : x um die weiteren Rechnungen übersichticher zu gestaten. Somit erhaten wir as Randbedingung: ũ(x) x Diese Funktion entwicken wir nun nach Kugefächenfunktionen. Aus der Symmetrie in φ müssen die m 0 sein. Somit beiben die. Die Koeffizienten K m bestimmen wir über das Skaarprodukt: ũ, Y 0 2π dφ 0 dx uy 0 Dabei sind die Kugefächenfunktionen gegeben durch: Y m ( m)! (θ, φ) π ( + m)! P m (cos θ)e imφ Aerdings ist hier gerade m 0, so dass sich das ganze noch weiter vereinfacht π P (cos θ) Wir setzen die Forme von Rodriguez ein d π 2! dx 8.3a Bestimmung der Koeffizienten Wir setzen unsere Funktion ũ ein und bestimmen somit die Koeffizienten. Dabei haben wir dφ schon zu 2π ausgewertet und gekürzt. K 0 (2 + 1) π 1 2! R dx x d dx An dieser Stee müssen wir in eine Faunterscheidung machen. Fa 0 Das Integra vereinfacht sich, wei das Poynom entfät. Somit beibt ein Poynom, dessen Integra ist: x 5 Der erste Koeffizient ist damit dann: K πr 5 Ueding, Manz, Lemmer Gruppe 16 Mate Lackmann Seite 2 /

4 math30 Übung DIRICHTLETPROBLEM Fa > 0 Jetzt müssen wir partiee Integration benutzen, wir erhaten: d 1 K 0 x dx }{{} 0 dx x 3 d dx Die eckige Kammer wird 0. Dies können wir dadurch sehen, dass wir die Produktrege 1 ma anwenden und sich dann ein pascasches Dreieck aus Summanden bidet. Diese können wir anaog zu den binomischen Formen schreiben as: d dx! i0 (x 1) i (x + 1) i (1) i Wenn wir dort oder 1 einsetzen, wird immer 0 herauskommen. Somit sind ae derartigen Kammern, die noch in den weiteren Fäen auftreten werden, 0 und wir werden sie daher in den nächsten Fäen wegassen. Für den jetzt verbeibenden Integranden müssen wir erneut eine Faunterscheidung machen. Fa 1 In diesem Fa ist der Integrand wieder einfach und wir erhaten as Integra: x 1 0 Somit ist R Ae ungerade Koeffizienten werden 0 sein, wei wir eine gerade Funktion entwicken. Fa > 1 Wieder führen wir eine partiee Integration aus und erhaten: K 0 dx 12x 2 d 2 dx 2 Fa 2 Das Integra ist: x Daraus fogt für den Koeffizienten: K 0 2 5πR Fa > 2 Durch partiee Integration erhaten wir: K 0 dx 2x d 3 dx 3 Fa 3 Das Integra ist: 12x Ueding, Manz, Lemmer Gruppe 16 Mate Lackmann Seite 3 /

5 math30 Übung DIRICHTLETPROBLEM Fa > 3 Partiee Integra iefert: K 0 dx 2 d dx Fa Das Integra ist: [2x] 1 8 Der Koeffizient ist: K πr Fa > Eine weitere partiee Integration wird 0 ergeben. Aso sind ae Koeffizienten nach dem vierten geich b Funktion zusammensetzen Wir steen die interessanten Koeffizienten zusammen: K πr, K πR, K 0 3 πr 8 Somit können wir die Funktion as Linearkombination der Kugefächenfunktionen darsteen: 2 ũ(x) 5 P 0(x) + 5P 2 (x) + 3 πr 8 P (x) Der Sinn der ganzen Sache war jetzt der, dass die Kugefächenfunktionen die Lapacegeichung ösen. Wir fügen noch ein r/r 3 ein, damit wir eine räumiche Kugefächenfunktion erhaten. Somit die Lösung der Lapacegeichung mit den Randbedingungen: u(r, θ, φ) r 3 2 R 5 P 0(cos θ) + 5P 2 (cos θ) + 3 πr 8 P (cos θ) Wir können noch r x 2 + y 2 + z 2 sowie cos θ : ẑ : z einsetzen und erhaten so: x 2 + y 2 +z2 u(x, y, z) x 2 + y 2 + z 2 R P 0 (ẑ) + 5P 2 (ẑ) + 3 πr 8 P (ẑ) Außerdem können wir die Legendrepoynome einsetzen und erhaten: u(x, y, z) x 2 + y 2 + z ẑ ẑ 30ẑ πr Wir fassen die Potenzen zusammen und erhaten: u(x, y, z) x 2 + y 2 + z 23 πr ẑ ẑ 320 Ueding, Manz, Lemmer Gruppe 16 Mate Lackmann Seite /