Lösungsskizzen zur Präsenzübung 05

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1 Lösungsskizzen zur Präsenzübung 0 Hilfestellung zur Vorlesung Anwendungen der Mathematik im Wintersemester 201/2016 Fakultät für Mathematik Universität Bielefeld Veröffentlicht am 01. Dezember 201 von: Mirko Getzin mirko.getzin@uni-bielefeld.de Homepage: Tutor zur Vorlesung Anwendungen der Mathematik im Wintersemester 201/2016. Keine Gewähr auf vollständige Richtigkeit und Präzision aller (mathematischen) Aussagen. Das Dokument hat lediglich den Anspruch, eine Hilfestellung beim Verständnis der Vorlesungsinhalte darzustellen und Lösungsideen für die Aufgaben möglichst vollständig (bis auf Ausnahmen) zu skizzieren. Eine Veröffentlichung oder Vervielfältigung ist nur nach Rücksprache mit dem Urheber dieses Dokuments erlaubt. Angehängt befindet sich das Aufgabenblatt, sowie der pdf-ausdruck von verwendeten Tabellenblättern. Die Tabellenblätter sind im ods-format auf der unten angegebenen Homepage zu finden. 1

2 Lösungsskizzen Die Aufgaben dieser Präsenzübung sollen das Grundverständnis der Kombinatorik fördern. So werden wir in Aufgabe 1 das allgemeine Zählprinzip als Grundlage der Kombinatorik identifizieren und benutzen. In den Aufgaben 2 und nutzen wir weitergehend Formeln der Kombinatorik, welche aus dem allgemeinen Zählprinzip herzuleiten sind. Anschließend befassen wir uns in Aufgabe 4 mit dem Binomischen Lehrsatz in Verbindung mit dem Pascalschen Dreieck. Weiter hinten im Dokument ist die Kombinatoriktabelle zu finden, welche die Formeln der 4 Fälle mit/ohne Wiederholung/Berücksichtigung der Reihenfolge enthält. Lösung zur Aufgabe 1 (Allgemeines Zählprinzip). In dieser Aufgabe hat sich zunächst ein Fehler eingeschlichen: Wir unterscheiden zwischen vier verschiedenen Modellen A, B, C und D. Der Trick bei dieser Aufgabe ist es, zu erkennen, dass wir zwischen 4 Beobachtungsgrößen hier unterscheiden. Jede Beobachtung verfügt über eine bestimmte Anzahl unterscheidbarer Ausprägungen. Da jede Kombination von verschiedenen Kombinationen möglich ist, nutzen wir das allgemeine Zählprinzip für eine Menge Ω = Ω 1 Ω 2... Ω n bei festem n N Ω = Ω 1 Ω 2... Ω n. (0.1) In unserer Aufgabe ist Ω die Menge aller unterscheidbaren Autos. Für n = 4 Beobachtungsgrößen erhalten wir die Menge Ω 1 = {A, B, C, D} als Menge aller unterscheidbaren Modelle, Ω 2 = {Benzin, Diesel, Erdgas} als Menge aller unterscheidbaren Motoren, Ω = {M, A} als Menge aller unterscheidbaren Getriebe (M: Manuell; A: Automatik), Ω 4 = {s, w, r, g, b, sg} als Menge aller unterscheidbaren Farben (Farbenkürzel wie sonst). Nun gilt Ω 1 = 4, Ω 2 =, Ω = 2 und Ω 4 = 6 und wir erhalten mit der Formel (0.1) Ω = Ω 1 Ω 2 Ω Ω 4 = = 144 unterscheidbare Varianten, zwischen denen ein Kunde wählen kann. Lösung zur Aufgabe 2 (Kombinatorik mit Berücksichtigung der Reihenfolge). Gegeben seien die Ziffern 4,,6,7,8. Verfolgen wir den Modellgedanken der Kombinatorik so entspricht dies einer Anzahl von n = unterscheidbaren Kugel im Urnenmodell (bzw. Fächern im Fächermodell). Da wir 4-stellige Zahlen mit Hilfe der oben genannten Ziffern generieren möchten, ziehen wir innerhalb des Urnenmodells k = 4 Mal. Wir ziehen in jeder der folgenden Teilaufgaben mit Berücksichtigung der Reihenfolge, da die Ziffernstellen innerhalb einer 4-stelligen Zahl unterscheidbar durch ihren Wert sind (letzte Stelle: Einerstelle; vorletzte Stelle: Zehnerstelle; Weitere: Hunderter- und Tausenderstelle). 2

3 a) Jede Ziffer darf höchstens einmal vorkommen. In dem Urnenmodell bedeutet dies, dass wir ohne Zurücklegen die Kugeln ziehen. Wir betrachten also den kombinatorischen Fall ohne Wiederholung. Die Anzahl aller unterscheidbaren Zahlen ist hier M 1 = n! (n k)! 4 2 = 120. = ( n k) k! = b) Ziffern dürfen wiederholt werden. In dem Urnenmodell bedeutet dies, dass wir mit Zurücklegen die Kugeln ziehen. Wir betrachten also den kombinatorischen Fall mit Wiederholung. Die Anzahl aller unterscheidbaren Zahlen ist hier M 2 = n k = 4 = 62. c) Ziffern dürfen nicht wiederholt werden und jede Ziffer ist kleiner als die folgende Ziffer. Wir können hier keine der Standardformeln der Kombinatorik einfach nutzen, da es sich hierbei um einen speziellen konstruierten Fall handelt. Wir gehen also elementar-kombinatorisch vor. Es ist zu erkennen, dass bei gegebenen Ziffern die größten Ziffern nicht an erster Stelle stehen können. Für die erste Ziffer haben wir also insgesamt nur die Fälle, dass 4 oder den Platz besetzt. Analog erhalte man, dass an der zweiten Stelle nicht die 2 größten Ziffern stehen können. Mit Hilfe dieser Überlegung finden wir durch einfaches Abzählen alle möglichen Kombinationen: M = {(4,, 6, 7), (4,, 6, 8), (4,, 7, 8), (4, 6, 7, 8), (, 6, 7, 8)}. Es gibt also M = mögliche unterscheidbare Zahlen unter den gegebenen Bedingungen. Lösung zur Aufgabe (Kombinatorik ohne Berücksichtigung der Reihenfolge). In beiden Aufgabenteilen handelt es sich um den kombinatorischen Fall ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. a) Da in dem Wettkampfteam zwischen den Plätzen nicht unterschieden wird (keine unterscheidbaren Funktionen im Team für Platz 1, 2,...; Bodenturnen, Barren,...), handelt es sich hier in der Tat um ein Ziehen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge im Urnenmodell. Da darüber hinaus kein Teammitglied mehrere Plätze besetzen kann, befinden wir uns im kombinatorischen Fall ohne Wiederholung. Wir erhalten also gemäß der Kombinatoriktabelle für n = 1, k = genau M 1 = ( n k) = ( 1 ) = 1287 Möglichkeiten. b) Dadurch, dass wir gleichzeitig Kugeln aus der Urne ziehen, ist ein mehrfaches Ziehen gleicher Kugeln nicht möglich. Auch hier befinden wir uns also im Fall Ziehen ohne Wiederholung. Analog zu a) erhalten wir M 2 = ( 12 ) = 220 Möglichkeiten.

4 Lösung zur Aufgabe 4 (Binomischer Lehrsatz). Der Binomische Lehrsatz lautet (x + y) n = n k=0 ( ) n x k y n k n N x, y R. (0.2) k Wir können also höhere Potenzen von Binomen der Form x + y mit Hilfe dieser Formel berechnen, indem wir aus dem Pascal schen Dreieck die Binomialkoeffizienten ablesen und x und y mit aufsteigenden bzw. absteigenden Exponenten pro Summand aufschreiben. Ist das Pascalsche Dreieck gegeben, so lässt sich jede beliebige natürlichzahlige Potenz von Binomen sofort (ohne rechnen) hinschreiben. Wir erhalten ( ) ( ) (x + y) = x 0 y 0 + x 1 y ( ) x 2 y ( ) x y + ( ) x 4 y ( ) x y =... Abb. 0.1: Pascalsches Dreieck bis n =. Es folgt zum Abschluss die Tabelle der Kombinatorik. Abb. 0.2: Tabelle der Kombinatorik. Von: Uni Wuppertal. 4

5 Universität Bielefeld Wintersemester 201/16 G. Elsner Präsenzübungen zur Vorlesung Anwendungen der Mathematik Blatt Aufgabe 1 Ein Autohersteller produziert fünf verschiedene Modelle A, B, C und D. Jedes dieser Modell kann mit einem Benzinmotor, einen Dieselmotor oder einem Erdgasantrieb gekauft werden. Der Kunde hat außerdem die Möglichkeit, zwischen einem Schalt- und einem Automatikgetriebe zu wählen. Alle Modelle werden in den Farben Schwarz, Weiß, Rot, Grün, Blau oder Silbergrau angeboten. Zwischen wie vielen verschiedenen Varianten kann der Kunde wählen? Aufgabe 2 Wie viele vierstellige Zahlen kann man mit den Ziffern 4; ; 6; 7; 8 schreiben, wenn a) jede Ziffer höchstes einmal auftreten darf, b) Ziffern wiederholt werden dürfen, c) Ziffern nicht wiederholt werden dürfen und jede Ziffer kleiner als die nachfolgende ist? Aufgabe a) In einem Sportverein gehören 1 Kinder in eine Turngruppe. Bei einem Turnwettkampf sollen Kinder den Verein vertreten. Wie viele verschiedene Möglichkeiten hat der Trainer das Wettkampfteam zusammenzustellen? b) In einer Urne befinden sich 12 von 1 bis 12 durchnummerierte Kugeln. Es werden Kugeln mit einem Griff gezogen. Wie viele verschiedene Ziehungsergebnisse gibt es? Aufgabe 4 Berechnen Sie mithilfe des Binomischen Lehrsatzes (x + y).