Diskretisierte Modelle für Netzwerke verteilt-parametrischer Port-Hamiltonscher Systeme

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1 Diskretisierte Modee für Netzwerke verteit-prmetrischer Port-Hmitonscher Systeme Pu Kotyczk Lehrstuh für Regeungstechnik, Technische Universität München Botzmnnstr. 15, Grching E-Mi: In diesem Beitrg wird eine systemtische Herngehensweise vorgestet, um diskretisierte Modee für Netzwerke verteit-prmetrischer Systeme in einer Ortsvribe zu ermitten. Hierzu wird der Port-Hmitonsche Anstz usgenutzt, der sich im Rhmen der physikischen Modebidung und energiebsierten Regeung s nützich erwiesen ht. Insbesondere wird eine Methode zur strukturerhtenden Diskretisierung genutzt, die vor einigen Jhren vorgestet worden ist. Am Beispie eines einfchen Pipeine-Netzes wird ein einfch zu impementierendes, rekursives Vorgehen vorgestet, mit wechem die Systemmtrizen des diskretisierten Port- Hmiton-Systems konstruiert werden können. In einem ersten Schritt wird die bestehende Theorie ngewndt, um konzentriert-prmetrische Näherungen für die einzenen Subsysteme (z. B. Pipeines) zu erzeugen. Dnch wird durch Verschtung entsprechend der Struktur des Netzes ds Port-Hmitonsche Gesmtmode, einschießich Dissiption, rekursiv ufgestet. Die Modeierung und Simution des Beispienetzes wurde mit Hife der freien Mthemtiksoftwre SAGE durchgeführt, wobei Prmeter us der Litertur verwendet wurden. 1 Eineitung Große Netze zur Übertrgung von eektrischer Leistung, Gs, Ö und Wärme sind Grundgerüste industriisierter Geseschften. Ihr Ausbu, die Modernisierung und Umstrukturierung stehen gerde heute in der öffentichen Diskussion und werden durch veränderte poitische Rhmenbedingungen vorngetrieben mn denke n die dezentre Einspeisung eektrischer Leistung us erneuerbren Energiequeen oder den Ausbu der Fernwärmeversorgung zur Nutzung von Krftwerksbwärme. Ds Verhten einzener Komponenten socher Übertrgungsnetze (Pipeines, Hochspnnungseitungen) ässt sich durch prtiee Differentigeichungen hyperboischen Typs beschreiben. Für ds Probem der Erzeugung hndhbbrer Näherungsmodee zur Offine-Simution und Onine-Überwchung gibt es eine Viezh von Lösungen in unterschiedichen Detiierungsgrden. Im voriegenden Beitrg wird der energiebsierte Port-Hmitonsche Formismus, siehe [7] für eine einführende Übersicht, herngezogen, um Näherungsmodee socher verteit-prmetrischer Leitungssysteme zu erzeugen. Verwendet wird die in [6] vorgestete Methode zur strukturerhtenden Diskretisierung, die uch s Grundge für den Regeungsentwurf in [8] dient. Ein Beispie für ein verwndtes Vorgehen zur Diskretisierung eektrischer Leitungen ist in [5] drgestet. In [10] wird ein gorithmischer Anstz zur Erzeugung konzentriert-prmetrischer Approximtionen eindimensioner verteit-prmetrischer Port-Hmiton-Systeme mit gemeinen örtichen Anstzfunktionen vorgestet. Im voriegenden Beitrg werden die einfchst mögichen Anstzfunktionen verwendet. Zwr wird ddurch die Agemeinheit der Drsteung eingeschränkt, jedoch zugunsten einfcher Ausdrücke für die Subsysteme, weche sich rekursiv zu den Systemmtrizen des diskretisierten Gesmtmodes zusmmensetzen ssen.

2 Der Beitrg giedert sich wie fogt: In Abschnitt wird ein kurzer Überbick über die konzentriert- und verteit-prmetrische Port-Hmitonsche Systembeschreibung gegeben. Abschnitt 3 enthät die Hereitung des Port-Hmitonschen Modes eines eindimensionen Fuids, z. B. durch eine Pipeine, ds uch s Anwendungsbeispie dient. In Abschnitt 4 wird der strukturerhtende Diskretisierungsnstz us [6] mit den einfchst mögichen Formfunktionen zusmmengefsst. Für ds Beispie der Pipeine (prototypisch für Systeme verwndter Struktur) werden die Zustndsmtrizen des diskretisierten Modes hergeeitet. Dies geschieht durch rekursives Verschten einzender Segmente. Schießich wird m Minimbeispie eines Netzes us 3 Leitungen skizziert, wie diskretisierte Modee von Leitungsnetzen konstruiert werden können. In Abschnitt 5 wird eine mit SAGE [1] erzeugte Simution des Beispienetzes gezeigt, während in Abschnitt 6 eine kurze Zusmmenfssung mit dem Ausbick uf weitere Arbeiten den Beitrg bschießt. Port-Hmitonsche Zustndsdrsteung Port-Hmitonsche Modee ergeben sich us der physikischen Modebidung oder ber s Resutt der pssivitätsbsierten Regeung, etw mit der Methode IDA-PBC [11]. Die Komponenten der Zustndsdrsteung beschreiben dbei Speicherung, Austusch und Dissiption einer physikischen oder rein virtueen Energiefunktion. Zusmmen mit dem kookierten Ausgng beschreibt die Zustndsdifferentigeichung ein pssives System, so dss die Energiefunktion s Ljpunowfunktion für ds freie System herngezogen werden knn. Weiterhin knn eicht gezeigt werden, dss die eistungserhtende Verschtung Port-Hmitonscher Systeme wiederum uf ein Port-Hmitonsches Gesmtsystem führt, ws eine eegnte Eigenschft für die Modeierung großer Systeme drstet..1 Konzentriert-prmetrischer F Die Port-Hmitonsche Zustndsdifferentigeichung eines endich-dimensionen Systems ist ż(t) = (J R) H(z(t)) + Gu(t). Drin ist z R n der Zustndsvektor, u R m der Eingngsvektor und H : R n Energie- oder Hmitonfunktion mit der Eigenschft R die z = rg min H(z), z wobei z Ruhege des Systems ist. Die n n-mtrizen J = J T und R = R T 0 werden s Struktur- und Dissiptionsmtrix bezeichnet und häufig durch F = J R zusmmengefsst. G ist die Eingngsmtrix der Dimension n m. Ae Mtrizen dürfen uch vom Zustndsvektor und den Eingngsgrößen bhängen. Letzteres ist etw bei der Modeierung eistungseektronischer Umrichterschtungen der F. Mit der Definition des kookierten Ausgngs y R m gemäß y(t) = G T H(z(t)) + Du(t), wobei die m m-durchgriffsmtrix D = D T häufig nu ist, ergibt sich die Dissiptionsungeichung Ḣ = z H(J R)( z H) T + }{{} z HGu }{{} y T u. 0 =y T u u T D T u

3 Zusmmen mit der Ttsche, dss H(z) nch unten beschränkt ist, wird so Pssivität der Port- Hmitonschen Zustndsdrsteung gezeigt. Für den utonomen F u = 0 ergibt sich Ḣ 0, wodurch Stbiität der Ruhege z im Sinne von Ljpunow nchweisbr ist. Nottion: H ist der Sptenvektor der prtieen Abeitungen von H (Grdient), während H den entsprechenden Zeienvektor, im Einkng mit der Definition der Jcobimtrix, drstet.. Verteit-prmetrischer F Eine Vergemeinerung der Port-Hmitonschen Drsteung für Systeme, die durch prtiee Differentigeichungen in einer Ortsvribe x beschrieben werden, ist ż(x, t) = P 1 x (δ z H(t)) T R 0 (δ z H(t)) T. (1) Drin ist der Zustndsvektor z eine Funktion der Zeit und der Ortsvribe. δ z H ist der Zeienvektor der Vritionsbeitungen der Gesmtenergie, die durch ds Funktion H(z(, t)) = H(z(x, t), x)dx drgestet wird. Der Integrnd H ist die Energie- oder Hmitonsche Dichte. Die Vritionsbeitung, siehe [7], ist s diejenige Funktion δ z H definiert, weche die Geichung H(z + εη) = H(z) + ε δ z H(z)η dx + O(ε ) erfüt. Enthät H keine prtieen Abeitungen nch der Ortsvribe x, dnn git δ z H = z H, d. h. die Vritionsbeitung stimmt mit der prtieen Abeitung der Hmitonschen Dichte überein. Geichung (1) knn knpper geschrieben werden, wenn die Leistungsvriben f = ż und e = (δ z H) T eingeführt werden: f(x, t) = P 1 x e(x, t) R 0 e(x, t). Die Energiebinz für ein Interv [, b] des verteit-prmetrischen Systems ässt sich wie fogt ermitten, wobei die Definition der Vritionsbeitung usgenutzt und die rechte Seite der prtieen Differentigeichung eingesetzt wird: Ḣ = z Hż = δ z Hż dx = e T f dx = e T P 1 x e dx e T R 0 e dx. } {{ } 0 Bei der betrchteten Systemksse ht die Mtrix P 1 die in (9) ngegebe Gestt. Der voretzte Term knn mithife prtieer Integrtion usgewertet werden und mit der Definitheit des etzten Summnden ergibt sich die Energiebinzgeichung im verteit-prmetrischen F Ḣ e 1 ()e () e 1 (b)e (b). Ds Produkt der Koenergievriben e beschreibt jeweis den Leistungsfuss n den Rändern des Systems, wobei n dieser Stee e 1 ()e () s zugeführte und e 1 (b)e (b) s entnommene Leistung zu esen ist. Für weitere Detis und Erkärungen wird uf [7] verwiesen.

4 3 Modebidung 3.1 Fuiddynmisches System Tbee 1: Symboe und Einheiten des Pipeinemodes Größe Symbo Einheit Strömungsgeschwindigkeit v m/s Dichte ρ kg/m 3 Mssenstromdichte ρv kg/(m s) Spezifische innere Energie u Nm/kg Ortskoordinte x m Höhe der Rohreitung y m Steigung / Gefäe der Pipeine α Grd Der Durchfuss eines Gses oder Fuids durch eine Rohreitung wird durch Kontinuitäts- und Impusgeichungen, siehe etw [], [9], beschrieben, die den fogenden Stz von prtieen Differentigeichungen iefern: t ρ = x (ρv) () t v = v x v 1 ρ xp g sin α f v v D. (3) Der dimensionsose Reibkoeffizient f knn us [ (ɛ/d ) ] = 1.8 og f Re berechnet werden, mit der Reynodszh Re = ρ v D/µ. Die in den Geichungen uftretenden Größen und deren Symboe sind in den Tbeen 1 und 3 erkärt. As weitere Geichung ist noch die thermodynmische Zustndsgeichung zu berücksichtigen, die die thermodynmischen Zustände Druck, Dichte und Tempertur in Beziehung setzt. Ihre Gestt hängt von den Bedingungen des fuidischen Systems b. Für ds betrchtete Beispie wird sie weiter unten formuiert. In diesem Beitrg werden Rohreitungen mit konstntem Querschnitt A = D π/4 betrchtet. Die Geichungen () und (3) ssen sich uch in Hmitonscher Form drsteen, siehe [1], [4], ws im Fogenden schrittweise nchvozogen wird. Zunächst werden die Geichungen für den verustosen F formuiert, dnch wird der Reibungsterm hinzugefügt. Die Hmitonsche (Voumen-)Dichte des Fuids H = 1 ρ(v + gy + u(ρ)), besteht us jeweis einem Antei, der der kinetischen Energie, der potentieen Lgeenergie und der inneren Energie zuzuschreiben ist. Die Integrtion entng eines Segments [, b] einer Rohreitung ergibt den Ausdruck der pro Einheitsfäche in dem Segment gespeicherten Energie H A = Hdx. (4)

5 Die Verwendung dieses Ausdrucks sttt der gespeicherten Gesmtenergie H A A vereinfcht die resutierenden Geichungen in dem Sinne, dss kein skierender Fktor 1/A uftritt. D die Hmitonsche Dichte H nicht von Abeitungen nch der Ortskoordinte bhängt, git: δ v H A = v H = ρv (5) δ ρ H A = ρ H = 1 v + gy + u + ρ ρ u }{{} Enthpie h (6) Dbei ist δ v H A der Mssenstrom pro Fäche (Mssenstromdichte) und δ ρ H A ht die Einheit eines Drucks pro Dichte. Im Fe inkompressiber Füssigkeiten ist δ ρ H A konstnt, gemäß der Bernouigeichung. 3. Enthpie Im voriegenden Beitrg werden die fuidischen prtieen Differentigeichungen in Port-Hmitonscher Form drgestet und nschießend strukturerhtend diskretisiert. Ds so erhtene Mode knn dnn z. B. für die Simution genutzt werden. Dzu ist erdings die Ermittung eines expiziten Ausdrucks für die Enthpie h nötig. Annhme: Der betrchtete thermodynmische Prozess die Strömung im Rohr ist reversibe und dibtisch und dmit uch isentrop. Im ersten Huptstz der Thermodynmik wird die inkrementee Änderung der inneren Energie du in Beziehung gesetzt zur inkrementeen Wärmezufuhr dq und m System verrichteten Arbeit dw: du = dq + dw. Die Reversibiität des Prozesses wird durch dw = pdv usgedrückt, d. h. durch inkremente zugeführte Arbeit wird ds Medium bei geichem Druck komprimiert. (Bei Entspnnung knn ds System dnn die betrgsmäßig geiche Arbeit verrichten Umkehrbrkeit.) V = 1/ρ ist ds spezifische Voumen. Wird Adibtizität berücksichtigt, so kein Wärmeustusch mit der Umgebung, dq = 0, dnn utet der erste Huptstz unter diesen Bedingungen du = pdv. Die inkrementee Änderung der Enthpie h = u + pv unter den gegebenen Bedingungen ässt sich schießich drsteen s dh = du + pdv + V dp = V dp = 1 dp. (7) ρ Mit der Zustndsgeichung für eine Füssigkeitsströmung us [3] p p ref = c (ρ ρ ref ), ergibt sich dp = c dq und Geichung (7), die dnn dh = c /ρdρ geschrieben werden knn, ässt sich über die Dichte integrieren: ( ) ρ h = h ref + c n. ρ ref

6 Aus Geichung (7) fogt x h = x p/ρ und mit x y = sin α ässt sich schießich einfch zeigen, dss die Hmitonschen Geichungen t ρ = x (δ v H A ), t v = x (δ ρ H A ) äquivent zu (), (3) sind (im verustosen F f = 0). 3.3 Port-Hmitonsche Formuierung mit Reibung Zur Ermittung der Port-Hmitonschen Zustndsdrsteung wird der Vektor der Zustndsgrößen z(x, t) und dessen Zeitbeitung f(x, t) eingeführt, sowie die Vritionsbeitungen der Hmitonfunktion gemäß Geichungen (5), (6) im Vektor e(x, t) zusmmengefsst: [ ] v z =, f = ρ [ t v t ρ ] [ δv H, e = A δ ρ H A D ihr Skrprodukt e T f eine Leistung (pro Fäche) ergibt, spricht mn bei f und e von Leistungsvriben. In der engischsprchigen Litertur werden diese Größen uch s fows und efforts (Koenergievriben) bezeichnet. Im Übrigen ht hier uch ds Produkt e 1 e die Einheit Leistung pro Fäche. Mit Hife dieser Definitionen ssen sich die Geichungen (), (3) in der kompkten Port-Hmitonschen Drsteung P 1 = t z = P 1 x e R 0 (z)e, (8) [ ] [ ] 0 1 r(z) 0, R = 0 0 (9) nschreiben, wobei usgenutzt wurde, dss sich der Reibungsterm us (3) durch drsteen ässt. f z 1 z 1 D = f z 1 Dz e 1 =: r(z)e 1. ]. 4 Strukturerhtende Ortsdiskretisierung In diesem Abschnitt wird gemäß dem Verfhren vorgegngen, weches in [6] vorgestet worden ist. Die einfchstmögichen Formfunktionen für die Veräufe von z, f und e werden genutzt, um die endich-dimensione Näherung der Port-Hmitonschen prtieen Differentigeichung (8) zu erhten. Nchdem für einen Pipeinebschnitt gegebener Länge ds diskretisierte Mode ermittet worden ist, wird gezeigt, wie ds Mode für eine Pipeine us N Segmenten rekursiv gewonnen werden knn. Schießich wird beispiehft vorgeführt, wie mehrere Pipeinestücke zu einem Netzwerk zusmmengefügt werden können. Ds Pipeine-Beispie ist dbei prototypisch für Netzwerke von Systemen (wie eektrische Leitungen), deren Geichungen entsprechende Struktur ufweisen. Bemerkenswert bei dem ngewndten Verfhren ist, dss die resutierenden Zustndsgrößen des Näherungsmodes ttsächiche physikische (und dmit bestenfs messbre) Größen sind, im Gegenstz zu Ampituden von Schwingungsformen bei den moden Verfhren.

7 4.1 Diskretisierungsnstz Die verteiten Zustände und ihre Zeitbeitungen werden uf dem Interv x [, b] durch fogenden Anstz (i = 1, ) diskretisiert: z i (x, t) ω i (x)z i (t), f i (x, t) ω i (x)f i (t). (10) Dbei soen die groß geschriebenen, diskretisierten Zustndsgrößen, ds Integr des verteiten Zustnds bzw. seiner Zeitbeitung über dem Abschnitt [, b] drsteen, so z i (x, t)dx = Z i (t) (11) und entsprechend für die Zeitbeitung. Z 1 beschreibt somit den Gesmtimpus des in einem Interv befindichen Fuids pro Dichte, bezogen uf die Einheitsfäche, Z ist die Msse pro Einheitsfäche im Rohrsegment. Aus der Forderung (11) ergibt sich die Bedingung n die Formfunktion ω i (x)dx = 1. Die Koenergievriben e i (x, t) treten in der rechten Seite der Port-Hmitonschen Zustndsbeschreibung (8) uf und induzieren die zeitiche Änderung der Zustndsvriben. Die Rndwerte e i (, t) inks und e i (b, t) rechts wirken wie Eingänge uf ds System und soen entsprechend im diskretisierten System s E i (t) bzw. E b i (t), i = 1,, uftreten. Der Forderung e i (, t) = E i (t), e i (b, t) = E b i (t) wird durch den Anstz genügt, wobei die Formfunktionen die Rndbedingungen e i (x, t) ω i (x)e i (t) + ω b i (x)e b i (t) (1) ω i () = 1, ω i (b) = 0, ω b i () = 0, ω b i (b) = 1 erfüen müssen. Werden die Ansätze (10), (1) in Geichung (8) ersetzt (zunächst für den verustosen F R 0 = 0), erhät mn die Differentigeichungen ω 1 (x)ż1(t) = x ω (x)e (t) x ω b (x)e b (t) ω (x)ż(t) = x ω 1(x)E 1(t) x ω b 1(x)E b 1(t), (13) deren Terme in orts- und zeitbhängige Größen ufgespten sind. Erfüen die Formfunktionen die Bedingung ω 1/ (x) = x ω /1(x) = x ω b /1(x), ws mit der einfchsten Wh der konstnten und ineren Funktionen ω 1 = ω = 1 b, ω 1(x) = ω (x) = b x b, ωb 1(x) = ω b (x) = x b, (14) gegeben ist, dnn ssen sich die Formfunktionen us (13) kürzen und es ergibt sich der Stz gewöhnicher Differentigeichungen Ż 1 (t) = E (t) E b (t) Ż (t) = E 1(t) E b 1(t). (15)

8 E /b i steen die Rndwerte der Koenergievriben dr, jedoch nicht die Approximtionen der Koenergievriben uf dem Interv [, b]. Dies geschieht im einfchsten F durch Mittewertbidung E i := 1 (E i + E b i ). Dieser Ausdruck ässt sich gemäß E /b i = E i E b/ i Geichung (16) umformuiert werden knn: nch den Rndwerten ufösen, so dss Ż 1 (t) = E (t) E b (t) Ż (t) = E 1 (t) + E 1(t). (16) Durch Ersetzen der Ansätze (10) und (1) mit den einfchen Formfunktionen (14) im Ausdruck für die Energiefunktion (4) erhät mn deren Näherung H pp = 1 Z1Z x + gz Y b + Z u( Z x ) H A. (17) Drin beschreibt Y b die mittere Höhe des Rohreitungsstücks uf dem Interv der Länge x = b. Prtiees Abeiten dieser pproximierten Energiefunktion nch den konzentrierten Zuständen Z 1 und Z ergibt Z Z1 H pp = Z 1 x x E 1, Z H pp = 1 x + gy b + h( Z x ) E. Mn erkennt, dss die Ausdrücke die Vritionsbeitungen gemäß (5) und (6) pproximieren, denen die Roe von verteiten Koenergievriben e 1 und e zugewiesen worden ist. Dmit git, wie oben drgestet, uch Zi H pp E i. Wird nun noch die Reibung innerhb eines Rohrsegments s konstnt ngenommen, ässt sich ihre Wirkung uf die Differentigeichung für Z 1 durch R(Z)E 1 mit R(Z) = f Z 1 x (18) DZ beschreiben. Weist mn schießich den verbeibenden Rndgrößen nch Tbee die Roe von Eingängen zu, dnn ergibt sich die fogende konzentriert-prmetrische Port-Hmitonsche Differentigeichung weche ds Verhten des Fuids im Rohreitungsstück [, b] nnähert (b hier wird die pproximierte Energie pro Querschnittsfäche mit H = H pp bezeichnet): Z 1 Ż(t) = F H(Z(t)) + GU(t) mit F = [ ] R(Z), G = [ [ ] ] 0 g 0 1 g =. (19) 0 Für eine voständige Port-Hmitonsche Zustndsdrsteung feht noch die Definition der Ausgänge. Diese soen kookiert zu den zuvor definierten Eingängen sein, d. h. ihr Produkt so eine Leistung pro Fäche ergeben. Außerdem so duch A Y T U die Leistung drgestet sein, die dem Pipeinestück zugeführt wird, ws die Vorzeichenwh für Y erkärt. Es ergibt sich schießich Y 1 = E = E U, Y = E b 1 = E 1 + U 1,

9 Tbee : Zustände, Eingngs- und Ausgngsgrößen des diskretisierten Pipeinestücks Symbo Einheit Beschreibung Z 1 m /s Impus pro Fäche pro Dichte Z kg/m Msse pro Einheitsfäche U 1 = E1 kg/s/m Mssenstromdichte von inks U = E b m /s Druck pro Dichte, rechts Y 1 = E m /s Druck pro Dichte, inks Y = E1 b kg/s/m Mssenstromdichte von rechts bzw. in Vektornottion Y (t) = G T H(Z(t)) + DU(t) mit der Durchgriffsmtrix D = [ ] d T 1 d T = [ ] 0 1. (0) 1 0 Mit Tbee ässt sich eicht überprüfen, dss A Y T U die physikische Leistung drstet, die über die Ränder dem Pipeinestück zugeführt wird. 4. Ein Rohreitungsstück Ein einzenes Rohreitungsstück wird somit durch die konzentriert-prmetrische, Port-Hmitonsche Zustndsdrsteung Ż = F H + GU Y = G T H + DU näherungsweise beschrieben, mit den Mtrizen und dem Dissiptionsterm gemäß (19), (0) und (18). Bemerkenswert ist, dss der kookierte Ausgngs Y nicht wie häufig durch G T H, gebidet wird, sondern einen Durchgriff des Eingngs U enthät. 4.3 Reihenschtung zweier Rohreitungsstücke Zwei Rohreitungsstücke (Index für inks, r für rechts) werden, zunächst unbhängig voneinnder, durch die Zustndsdrsteung ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [Ż F 0 H g Ż r = 0 F r H r U 1 g 0 g r U r + 0 U 0 g r 1 U1 r (1) beschrieben. Die Verschtungsbedingungen (Druckgeichheit n der Verbindung und Kontinuität des Mssenstroms) werden, entsprechend der Drsteung in Abb. 1 durch U = Y1 r = (g r 1) T H r U r U1 r = Y = (g ) T H U1 formuiert, so dss zwei Eingngsgrößen us (1) eiminiert werden und nur die Mssenstromdichte inks und der Druck pro Dichte rechts s Eingänge des verschteten Systems übrig

10 Abbidung 1: Ein- und Ausgänge n einem Leitungsstück und bei der Hintereinnderschtung zweier Segmente beiben: ] [ [Ż F Ż r = g r 1(g ) T ] [ ] g (g r 1) T H F r H r + [ g 1 g g r 1 g r ] [ U 1 Die kookierten Ausgänge, so die duen Leistungsvriben, für die Reihenschtung sind [ ] [ ] Y 1 (g Y r = 1 ) T H U (g r ) T H r + U1 r. Werden hier wiederum die Verschtungsbedingungen U ergibt sich der Ausgngsvektor [ ] [ ] [ ] Y 1 (g Y r = 1 ) T (g r 1) T H (g ) T (g r ) T H r U r ]. = Y r 1 nd U r 1 = Y ersetzt, D [ U 1 U r Die in der Verbindung us zwei Segmenten gespeicherte Energie pro Querschnittsfäche ist durch die Summe H = H + H r gegeben. Zu bechten ist, neben der Struktur der Eingngsmtrix, der Vorzeichenwechse vor dem Durchgriff. ]. 4.4 Reihenschtung von N Segmenten Rohreitungsstücke ssen sich itertiv neinnderfügen. Aus dem Port-Hmitonschen Mode einer Pipeine mit N 1 Segmenten können die Mtrizen für den F N wie fogt berechnet werden, wobei gednkich m rechten Ende ein neues Segment hinzugefügt wird: [ F N F N 1 = g 1 (g N 1 ) T F [ ] g1 g N 1, g N = 1 g N 1 = D N = D N 1. g N 1 g T 1 ], [ ] g N 1, g Die eementren Busteine des Modes F = F 1, g 1 = g 1 1, g = g 1 und D = D 1 sind durch (19) und (0) definiert. Die pproximierte Gesmtenergie der Leitung ist durch H = N i=1 Hi beschrieben, wobei H i den Energieinht pro Fäche des i-ten Segments nch (17) drstet.

11 Abbidung : Skizze des Beispienetzes, inks die geregeten Einspeise- und Entnhmeknoten. Am Ende von Leitung R sind keine Rndbedingungen vorgegeben. 4.5 Rohreitungsknoten An einem Knoten von n = n + n r Rohreitungen, wobei n gednkich von inks und n r von rechts kommen, geten die Verschtungsbedingungen n i=1 Y L i + n r j=1 U R j 1 = 0 und U L i = U L j = Y R k 1 = Y R 1 für e i, j {1,..., n } und k, {1,..., n r }. Die Superskripte L und R bezeichnen Leitungen inks und rechts des Knotens. As einfchstes Beispie wird der in Abb. drgestete Knoten dreier Pipeines betrchtet. As Eingänge werden die Größen U1 L1, U1 L nd U R festgeegt, entsprechend den Mssenströmen n den Enden von L1 und L und dem Druck m Ende der Rohreitung R. Ds unverschtete Gesmtsystem ässt sich nschreiben s Ż L1 F L1 0 0 H L1 g L1 Ż L = 0 F L 0 H L U L1 + 0 g L 1 g L1 0 0 F R H R 1 0 U L 0 0 U L1 0 0 g R g L 0 U L 0 0 g R. 1 Ż R Die Verschtungsbedingungen in diesem F uten U L1 0 0 (g R U L 1 )T H L1 = 0 0 (g R 1 )T H L1 + (g1 L1)T (g1 L)T 0 H R U1 R so dss sich ds verschtete System s Ż L1 F L1 0 g L1 = 0 F L g L Ż L Ż R (gr 1 )T (gr 1 )T g R 1 (gl1 )T g R 1 (gl )T F R }{{} F Σ H L1 H L1 H R U R 0 0 ( 1) N R 0 0 ( 1) N R ( 1) N L1 ( 1) N L 0 + g L1 1 0 ( 1) N Rg L1 + 0 g L 1 ( 1) N Rg L ( 1) N L1g R 1 } ( 1) N Lg R 1 {{ g R } G Σ U R 1 U1 L1 U1 L U R U1 L1 U1 L U R, ()

12 Tbee 3: Pipeine- und Fuidprmeter us [9] Größe Symbo Wert Einheit Länge L 5000 m Durchmesser D m Oberfächenruhigkeit des Rohres ɛ m Referenzdruck p ref P Viskosität µ P s Referenz-Eingngsmssenstrom ṁ in 353 kg/s Schgeschwindigkeit c 17 m/s drsteen ässt. Schießich ergibt sich der kookierte Augngsvektor Y Σ = G T Σ H Σ + D Σ U Σ mit der Durchgriffsmtrix 0 0 ( 1) N L1+N R D Σ = 0 0 ( 1) N L+N R, ( 1) N L1+N R ( 1) N L+N R 0 wobei der Index Σ nzeigt, dss es sich um Größen des verschteten Systems hndet. 5 Simution Ds us drei Pipeines bestehende Beispienetz, siehe Abbidung, wurde diskretisiert und verschtet, wie im vorigen Abschnitt beschrieben. Zur Beschreibung der Strömung in den Rohreitungen wurden die fuidischen Prmeter us Tbee 3 benutzt. Jede Pipeine wurde in 5 geiche Segmente von je 1000 m Länge ufgeteit, so dss sich eine diskretisierte Port-Hmitonsche Zustndsdrsteung () der Ordnung 30 ergibt. Simuiert wurde mit einer Schrittweite von 0,1 s. Modebidung und Simution wurden mit SAGE durchgeführt. In Abbidung 3 sind die Mssenströme n den Rändern der Pipeines über der Zeit drgestet. ṁ in ist der geregete Mssenstrom, der dem System durch die Leitung L1 zugeführt wird (strichierte Linie oben). Mit ṁ out,1 ist die geregete Entnhme (Mssenstrom) m Ende der Leitung L drgestet (strichierte Linie unten). Der freie (ungeregete) Abfuss m Ende der Pipeine R (durchgezogene Linie) regiert uf die Änderungen n den geregeten Enden des Systems. Bei t = 0s wird der ins System gebrchte Mssenstrom innerhb von 10s um 50% erhöht und bei t = 110s wird die geregete Entnhme ṁ out,1 ebenfs um 50% innerhb von 10s nch oben korrigiert. In den jeweiigen Zeiten sttionärer Strömungen erkennt mn, s Indiktor für die Vidität des verwendeten Simutionsmodes, dss ṁ in = ṁ out,1 + ṁ out,. 6 Zusmmenfssung und Ausbick Ein einfch zu impementierendes, rekursives Vorgehen zur utomtischen Erzeugung diskretisierter Modee für Netzwerke verteit-prmetrischer Systeme wurde vorgestet. Ds Vorgehen ist eine Anwendung einer existierenden Methode zur strukturerhtenden Ortsdiskretisierung für Port-Hmitonsche Systeme. Prototypisch für Systeme vergeichbrer Struktur wurden

13 ṁ in kg/s ṁ in ṁ out,1 ṁ out, t in s Abbidung 3: Mssenstrom n den Rändern des Beispienetzes. Oben: Einspeisung, unten: geregete Entnhme, Mitte: freies Ende von Leitung R. m Beispie eines einfchen Pipeine-Netzwerks die Modeierungsschritte gezeigt. Besonderes Augenmerk wurde uf die verständiche Hereitung des betrchteten fuidischen Modes geegt. Durch die Einschränkung uf einfchste Formfunktionen wird die Konstruktion der Systemmtrizen des konzentriert-prmetrischen Näherungsmodes überschubr. Der Einstz ufwändigerer Formfunktionen, die den ttsächichen Veruf der Zustndsgrößen besser nchbiden, beibt noch zu untersuchen. Insbesondere für die estischen mechnische Systeme, für die der vorgestete Anstz in Zukunft zur utomtischen Modegenerierung genutzt werden so, erscheint die Modifiktion der Formfunktionen ohnend in Bezug uf die erreichbre Approximtionsgüte. Weiterhin ist dnn die Güte der Approximtion mit existierenden, etw moden Verfhren, zu vergeichen. Litertur [1] Morrison, P. J.: Hmitonin description of the ide fuid. In: Rev. Mod. Phys., Vo. 70, 1998, pp [] Osidcz, A. J., Chczykowski, M.: Comprison of isotherm nd non-isotherm pipeine gs fow modes. In: Chemic Engineering Journ, Vo. 81, 001, pp [3] Nieckee, A. O., Brg, A. M. B., Azevedo, L. F. A.: Trnsient pig motion through gs nd iquid pipeines. In: J. Energy Resources Technoogy, Vo. 13, 001, pp [4] vn der Schft, A. J., Mschke, B. M.: Hmitonin formution of distributed-prmeter systems with boundry energy fow. In: Journ of Geometry nd Physics, Vo. 4, 00, pp

14 [5] Lopezn, R., Scherpen, J. M. A.: Lumped Approximtion of trnsmission ine with n terntive geometric discretiztion. In: Proc. nd IFAC Symp. Systems, Structure nd Contro, Oxc, Mexico, 004. [6] Goo, G., Tsi, V., vn der Schft, A., Mschke, B.: Hmitonin discretiztion of boundry contro systems. In: Automtic, Vo. 40, 004, S [7] vn der Schft, A. J.: Port-Hmitonin systems: n introductory survey. In: Proc. Int. Congress of Mthemticins, Mdrid, Spin, 006, pp [8] Mcchei, A.: Energy shping of distributed prmeter port-hmitonin systems bsed on finite eement pproximtion. In: Syst. Contro Lett., Vo. 60, 011, S [9] Huge, E., Amo, O. M., Godhvn, J.-M.: Mode bsed pipeine monitoring with ekge detection. In: Proc. 7th IFAC Symp. Noniner Contro Systems (NOLCOS), Pretori, South Afric, 007, pp [10] Bssi, L., Mcchei, A., Mechiori, C.: An Agorithm to Discretize One-Dimension Distributed Port Hmitonin Systems. In: Lgrngin nd Hmitonin Methods for Noniner Contro 006, Lecture Notes in Contro nd Informtion Science, Vo. 366, Springer, 007, pp [11] Orteg, R., Grci-Cnseco, E.: Interconnection nd Dmping Assignment Pssivity- Bsed Contro: A Survey. In: Europen Journ of Contro, Vo. 10, 004, pp [1] Stein, W. A. et.: Sge Mthemtics Softwre (Version 5.7), The Sge Deveopment Tem, 013,

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