1 Grundwissen 6 2 Dezimalbrüche (Dezimalzahlen) 9 3 Brüche 11 4 Rationale Zahlen 16 5 Potenzen und Wurzeln 20 6 Größen und Schätzen 24

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2 Inhalt A Grundrechenarten Grundwissen 6 Dezimalbrüche (Dezimalzahlen) 9 Brüche Rationale Zahlen 6 5 Potenzen und Wurzeln 0 6 Größen und Schätzen B Zuordnungen Proportionale Zuordnungen 8 Umgekehrt proportionale Zuordnungen 0 Anwendungen Zusammengesetzte Größen 5 Mischungsverhältnisse 8 C Prozent- und Zinsrechnen Der Prozentbegriff 0 Grundwert, Prozentwert, Prozentsatz Vermehrter und verminderter Grundwert 50 Zinsrechnung 58 D Gleichungen Terme umformen 6 Rechnen mit Gleichungen 66 E Geometrie Zeichnen und Konstruieren 7 Der Satz des Pythagoras 79 Flächen 8 Körper 87

3 F Statistische Grundlagen Mittelwert 95 Schaubilder 96 G Testarbeiten Lösungen Hinweise 98. Testarbeit 99. Testarbeit 0 A Grundrechenarten B Zuordnungen 7 C Prozent und Zinsrechnen D Gleichungen 7 E Geometrie F Statistische Grundlagen 6 G Testarbeiten 6 5

4 A Grundrechenarten Grundwissen Rechenarten Addition und Subtraktion Addieren heißt zusammenzählen, plus rechnen oder die Summe bilden = Umkehraufgabe 05 Summe Ergebnis der Summe 987 Subtrahieren heißt abziehen, minus rechnen oder die Differenz bilden = 8 Differenz Ergebnis der Differenz Multiplikation und Division Multiplizieren heißt malnehmen oder das Produkt bilden = Umkehraufgabe Produkt Ergebnis des Produkts : 7 Dividieren heißt geteilt rechnen oder den Quotienten bilden : 7 = 807 Quotient Ergebnis des Quotienten Runden und überschlagen Die Rundungsregel lautet: Bei 0,,,, wird abgerundet, bei 5, 6, 7, 8, 9 wird aufgerundet. Die Stelle rechts neben der zu rundenden Zahl entscheidet dies. Hier im Beispiel wird auf ganze Zahlen gerundet, die erste Stelle nach dem Komma ( Zehntel ) entscheidet das Auf- oder Abrunden. 7,8 7,9 7,7 7,6 8 7,5 aufrunden abrunden 7, 7, 7 7, 7, 7,0 6

5 Grundwissen Runde 8 06 auf Hunderter.! Die 6 entscheidet das Aufrunden aus der 0 wird eine. Die gerundete Zahl heißt Runde 7,8 auf eine Stelle nach dem Komma ( Zehntel ).! Die entscheidet das Abrunden die 8 bleibt. Die gerundete Zahl heißt 7,8. Wenn bei nicht angegeben ist, wie du runden sollst, dann runde sinnvoll, z. B. bei Euro auf zwei Stellen nach dem Komma, denn ein Euro hat nur 00 Cent. Tipp Der Überschlag bei einer Aufgabe ist sinnvoll, denn er gibt an, wie groß ein Ergebnis ungefähr ist, d. h. wie viele Stellen das Ergebnis haben muss. Runde dabei großzügig und verwende Zahlen, mit denen du einfach im Kopf rechnen kannst. So hast du eine gute Kontrollmöglichkeit. 7, ø = 800 5,8,7 ø 50 0 = 50 7,97,9 ø 7 5 = 85 9 : 7,55 ø 900 : 8 = 50. Runde die Zahlen zuerst auf ganze Zahlen, dann auf zwei Stellen nach dem Komma. a) 8,755 b),907 c) 7,95 d) 78,78 e) 8,79 f),08. Wandle in die angegebene Einheit um und runde auf ganze Zahlen. km t m cm kg km t 86 m 8 Ct 9 6 kg 98 cm 559 Ct,6 m,590 t 78 m 07 kg,86 km ø km ø. Mach den Überschlag und notiere dein Ergebnis. a) 70, , b) 97, c), 0,79 d) 08,,98 e) 69,58 7,09 f), 0,8 g) 7 76, : 89,8 h) 9 : 750,76 7

6 A Grundrechenarten Rechenregeln Klammerregeln: Was in Klammern steht, wird zuerst berechnet. Steht ein Minus vor der Klammer, kannst du die Klammer weglassen, musst aber die Rechenzeichen in der Klammer umkehren. Aus + wird, aus wird +. Die Rechenzeichen und : bleiben unverändert. Punkt-vor-Strich-Regel: Punkt Rechnungen ( und :) werden vor Strich Rechnungen (+ und ) gerechnet. Punkt vor Strich gilt auch in einer Klammer. 9 (5 + ) = ( 7) : = 5 (56 98) = 9 8 = 7 5 : = = 9 86 ( + 59) = 8 : + = (7 + 8 : 9) = = = 0 (7 + 9 ) = 7 9 = 87. Berechne. a) : 8 9 b) 5 + (6 56) : c) 6 ( + ) : d) 78 ( ) 7 5. Löse die Textaufgaben. Schreibe zunächst mit Rechen zeichen. a) Subtrahiere vom Produkt der Zahlen und 7 die Zahl 5. b) Bilde den Quotienten aus den Zahlen 08 und und addiere dann. c) Dividiere die Differenz aus den Zahlen 5 und 88 durch die Summe der Zahlen 6 und 9. d) Bilde das Produkt der Zahlen 8 und 6; subtrahiere davon den Quotienten aus diesen Zahlen. Zahlenreihen Eine Zahlenreihe ist eine Abfolge von Zahlen, die in einem logischen Zusammenhang stehen. Du musst herausfinden, welche Rechengesetze dahinterstecken, damit du die Lücken füllen kannst. Eine Zahlenreihe kann aus verschiedenen Rechenaufträgen bestehen Aufgabe 6. Ergänze folgende Zahlenreihen. a) b) c) d)

7 Dezimalbrüche (Dezimalzahlen) Du findest beide Bezeichnungen. Die Bezeichnung Brüche kommt daher, dass nach dem Komma Zehntel, Hundertstel, etc. folgen. Addieren und Subtrahieren Beim schriftlichen Addieren und Subtrahieren musst du Komma unter Komma schreiben. Schreibe jede Ziffer in ein Kästchen, dann machst du keinen Fehler. Die fehlenden Dezimalstellen nach dem Komma kannst du mit Nullen auffüllen, dann geht das Rechnen leichter. Vergiss das Komma nicht, wenn du mit dem Taschenrechner rechnest. 5,07 + 7,85 + 0, 5,8,9 7,00 5,070 5,800 oder:,90 5,800 7,85,90 + 7,00 0,9 + 0,00 7,00 0,9 0, , 0, Schreibe richtig untereinander und berechne. a) 67,89 + 7,9 + 0, b) 7, + 8,09 c) 56,0 +,78 0,6 d) 68, 5,87 e) 0,798 0,5 f) 59,,68,0 g),07 0,008 Aufgabe Multiplizieren und Dividieren Beim Multiplizieren rechnest du zunächst wie mit ganzen Zahlen. Dann musst du bei beiden Dezimalbrüchen die Stellen nach den Kommas zusammenzählen und vom Ergebnis abstreichen. 6,7 8, ,9 6,7 hat zwei Stellen nach dem Komma, 8, eine Stelle. Also muss das Ergebnis drei Stellen nach dem Komma haben. Beispiel Beim Dividieren eines Dezimalbruchs durch eine ganze Zahl rechnest du wie mit ganzen Zahlen. Wenn du das Komma beim Rechnen über schreitest, musst du im Ergebnis das Komma setzen. Sind beide Zahlen Dezimalbrüche, werden sie so lange erweitert, bis du durch eine ganze Zahl teilen kannst. Das Komma wandert nach rechts. 9

8 A Grundrechenarten Tipp Wenn die erste Dezimalzahl weniger Kommastellen als die zweite hat, musst du Nullen anhängen (z. B., :,7 = 0 : 7). 7,8 : =,58 7,7 :,08 = 7,7 : 08 =,5 ø, Multipliziere die Dezimalbrüche. a) 7, 0,5 b) 59,7, c) 7,0 0,9 d),9 0,7 e),007 6, f) 0,89 0,7 9. Berechne; die a) bis d) kannst du vielleicht auch im Kopf schaffen. a),8 : b), : c) 5,6 : 7 d) 60,88 : e) 5,96 : 6 f) 70,6 : 8 g),06 : 5 h) 9 6,85 : 5 0. Dividiere die Zahlen. Runde, wenn nötig, auf zwei Stellen nach dem Komma. a),8 : 0, b) 9, :,5 c) 77 :,5 d) 0,508 : 0,7 e),957 :,9 f) 50,5 : 7,7 g) 78, : 0,6 h) 0,9 :,9. Löse die Textaufgaben. Setze Klammern, wo es notwendig ist. a) Subtrahiere vom Quotienten aus den Zahlen 95 und 8, die Zahl,. b) Addiere zum Produkt aus den Zahlen 7,9 und,8 die Differenz aus den Zahlen 8, und 9,0. c) Dividiere die Zahl 5 durch und subtrahiere davon 7,. d) Multipliziere die Zahl mit der Summe aus den Zahlen 9,87 und 8,9. e) Subtrahiere von der Summe aus den Zahlen 08,9 und 58, die Differenz aus diesen Zahlen. f) Bilde die Summe aus der Zahl 7 und der Differenz aus den Zahlen 8, und 7,08.. Beachte die Rechenregeln und berechne. a) 67,68 : 7, b) 87, ( 56,0 + 7,7) c) 0,8 6 (0,8 + 0,07) d) (,7 +,78 : 9) 8,5 0

9 Brüche Darstellen von Bruchteilen Brüche sind Teile von einem Ganzen. Zähler (zählt die Bruchteile) 5 Nenner (benennt den Bruch und gibt an, in wie viele gleich große Teile das Ganze geteilt ist) Der Bruchstrich bedeutet von, d. h. 5 oder :5. sind von 5 ( Teile von 5 Teilen) Ein Ganzes kann auch in verschieden große Teile geteilt werden. Je nachdem wie groß sie sind, erhalten die Bruchteile ihren Namen. 8 8 Eine gemischte Zahl ist eine ganze Zahl und ein Bruch. 7 = Zum Umwandeln in einen Bruch wird die ganze Zahl mit dem Nenner multipliziert und das Ergebnis mit dem Zähler addiert. Brüche, bei denen der Zähler größer ist als der Nenner, heißen unechte Brüche. Man kann sie vereinfachen und als gemischte Zahl schreiben. 7 = Zum Umwandeln in eine gemischte Zahl wird der Zähler durch den Nenner dividiert; es ergibt sich die ganze Zahl, der Bruchteil bleibt übrig Welche Bruchteile sind in den Abbildungen dargestellt? Gib den Brüchen verschiedene Namen, wenn du kannst (z. B. 6 = ). a) b) A A B B C C c) A D d) B C E A D B C E

10 A Grundrechenarten. Schraffiere den angegebenen Bruchteil jeweils farbig. a) 5 b) 5. Berechne die Bruchteile. Beispiel: von 00 kg =?; ist der. Teil, also rechnest du: 00 kg : = 600 kg; erhältst du, wenn du Teile nimmst: 600 kg = 800 kg a) 5 von 65 m b) 7 8 von kg c) von 800 d) 7 von 8 km 6. Schreibe als unechten Bruch. a) 8 b) c) d) 6 7 e) 8 f) 95 6 Erweitern und Kürzen : 5 5 = erweitern 0 = : 5 kürzen Wenn man den Zähler und den Nenner mit der gleichen Zahl multipliziert oder dividiert, ändert sich der Wert des Bruches nicht. Das Erweitern und Kürzen brauchst du, wenn du Brüche addieren, subtrahieren oder vergleichen (, ) sollst. Tipp Wenn du das kleine Einmaleins gut kannst, dann geht das Rechnen viel leichter! 7. Erweitere die Brüche und setze die fehlenden Zahlen ein. Gib die Erweiterungszahl an. a) 7 8 = 0 b) 5 = 5 c) = 60 d) 5 = 0 e) = 9 f) 7 8 = 7 8. Kürze die Brüche. Gib die Kürzungszahl an. a) 5 75 = 5 b) 56 = 6 c) 8 08 = 9 d) 8 00 = 5 e) 8 6 = 9 f) 000 = g) 85 = h) 90 8 = 5 9. Schreibe als gemischte Zahl; kürze, wenn es möglich ist a) b) c) 0 7 d) 5 6 e) 9 8 f) Schreibe als Bruch und kürze soweit wie möglich. Gib die Kürzungszahl an. a) 80 : 00 b) : 5 c) 90 : 5 d) 08 : 000 e) 6 : 96 f) 8 : 08 g) 65 : 000 h) 6 : 7

11 Brüche Addieren und Subtrahieren Bei gleichnamigen Brüchen (mit gleichem Nenner) werden die Zähler addiert bzw. subtrahiert. Sind die Nenner unterschiedlich, musst du den Hauptnenner suchen und die Brüche auf diesen Nenner erweitern. Der Hauptnenner ist immer ein Vielfaches der jeweiligen Nenner, am besten das kleinste gemeinsame Vielfache (kgv). Bei gemischten Zahlen addierst du zuerst die ganzen Zahlen, dann die Brüche. Bei der Subtraktion hast du zwei Möglichkeiten: entweder alle gemisch ten Zahlen in unechte Brüche umwandeln oder nur den benötigten Teil. Du findest den Hauptnenner auf jeden Fall, wenn du beide Nenner multiplizierst. + 7 = 0 = 5 = = 5 5 = = = 0 = = 0 = = = = = = 68 9 = Tipp oder: = Addiere die Brüche, schreibe das Ergebnis als gemischte Zahl. a) b) c) d) Subtrahiere die Brüche, kürze und schreibe als gemischte Zahl. a) 5 7 b) c) d) 8 0 e) 5 6 f) 7 7

12 A Grundrechenarten Multiplizieren und Dividieren Brüche werden multipliziert, indem Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert werden. Kürze vor dem Ausrechnen, wenn es möglich ist. Gemischte Zahlen müssen in unechte Brüche umgewandelt werden. Ist eine der Zahlen eine ganze Zahl, multiplizierst du sie mit dem Zähler (z. B. = = ) = 5 7 = = 9 9 = 9 9 = 6 = 6 Brüche werden dividiert, indem der erste Bruch mit dem Kehrwert des zweiten multipliziert wird. Gemischte Zahlen müssen in unechte Brüche umgewandelt werden. Ist der zweite Bruch eine ganze Zahl, schreibst du im Nenner eine (z. B. = ). 5 : 6 = 5 6 = 6 5 = 5 = : 5 = 5 8 : = 5 8 = 5 8 = = 5. Multipliziere die Brüche und kürze, bevor du ausrechnest. a) 5 5 b) 8 7 c) 0 d) e) 5 9 f) 8 7. Dividiere. a) 9 : 5 6 b) 6 : 9 c) 5 : 8 9 d) 0 : 7 e) 5 : e) 7 :

13 Brüche Umwandeln von Brüchen und Dezimalbrüchen Um berechnen zu können, ist es häufig notwendig, Brüche in Dezimalbrüche umzuwandeln und umgekehrt. So wird ein Bruch in einen Dezimalbruch umgewandelt: Entweder auf eine Stufenzahl (0, 00, 000) erweitern 5 = 6 0 = 0,6 7 5 = 8 00 = 0,8 5 = 000 = 0,0 oder Zähler durch Nenner dividieren 5 = : 5 = 0,6 7 5 = 7 : 5 = 0,8 = : 5 = 0,0 5 Bei gemischten Zahlen bleiben die Ganzen erhalten, der Bruch wird umgewandelt: =,75. Bei der Umwandlung eines Dezimalbruchs in einen Bruch werden die Stellen nach dem Komma (Zehntel, Hundertstel, usw.) als Bruch geschrieben. Oft kann man noch kürzen. 0, = 0 =,8 = = 7 0,5 = = 8 Diese Umrechnungen solltest du auswendig können, dann sparst du viel Zeit! = 0,5 0 = 0, 8 = 0,5 = 0, ø 0, = 0,5 5 = 0, 8 = 0,75 = 0,666 ø 0,67 = 0,75 0 = 0, = 0,65 = 0,666 ø 0,6 6 Tipp 5. Rechne um, kürze bei den Brüchen, soweit es geht. Bruch/gem.Z Dezimalbruch,6,08,75 6,5,75 0,5 6. Welche Zahlen sind gleich groß? Verbinde wie im Beispiel ,7, , 60,75 0, , Rechne günstig und entscheide selbst, wie du umwandelst. a) + 7 0,5 b) 8 0 0,8 + c) , Rechne mit Brüchen oder Dezimalbrüchen. a) 0,8 b),6 c), : 8 5 d) : 0,5 9. Beachte die Rechenregeln und berechne. a) 5 + b) 6,5 : c),

14 A Grundrechenarten Rationale Zahlen Zahlen auf der Zahlengeraden Zu den rationalen Zahlen gehören alle ganzen Zahlen (positive und negative Zahlen z. B., 7,, 6) und alle Bruchzahlen (,7; 5 ;,; ). 6,, Je weiter rechts eine Zahl auf der Zahlengeraden liegt, desto größer ist sie (z. B.,7 > ). Je weiter links eine Zahl liegt, desto kleiner ist sie (z. B. 6 <,). Auf dem Zahlenstrahl kannst du auch den Abstand oder Unterschied zwischen zwei Zahlen ablesen Zeichne eine Zahlengerade mit der Einheit cm und trage folgende Zahlen ein: ;,5; 8; 6,5; 5,; ; ;,8;,9; 6,. Wie heißen die markierten Zahlen? Notiere sie von links nach rechts. 0. Welche rationalen Zahlen liegen zwischen und? Streiche die falschen durch.,,98,9 0,5 0,99,. Bestimme den Abstand zwischen den Zahlen. a) bis 0, b),5 bis,5 c) 6,5 bis,5 d),5 bis 8,7. Berechne den Temperaturunterschied. Temperatur morgens Temperatur abends Temperaturunterschied ºC 7 ºC +, ºC 6,7 ºC +9, ºC, ºC +8,8 ºC +6, ºC,8 ºC,6 ºC + ºC +,9 ºC 0,6 ºC, C 8, ºC 6

15 Rationale Zahlen Addieren und Subtrahieren Wird eine positive Zahl addiert, gehst du auf der Zahlengeraden nach rechts. Wird eine negative Zahl addiert, gehst du auf der Zahlengeraden nach links. + ( ) + (+6) 7 0 Addition bei gleichen Vorzeichen: Die Beträge werden addiert, das gemeinsame Vorzeichen wird gesetzt. + ( ) = 7 Addition bei verschiedenen Vorzeichen: Die Beträge werden subtrahiert, das Vorzeichen der Zahl mit dem größeren Betrag wird gesetzt. + (+ 6) = + Wird eine positive Zahl subtrahiert, gehst du auf der Zahlengeraden nach links. Wird eine negative Zahl subtrahiert, geht man auf der Zahlengeraden nach rechts. (+5) ( ) 0 5 Bei der Subtraktion wird die Gegenzahl addiert. Die Gegenzahl hat den gleichen Betrag, aber das andere Vorzeichen (Gegenzahl von 5 ist +5). + (+5) = + + ( 5) = + ( ) = + + (+) = +5 (+,) + (,6) = (,) ( 8) (+5) = ( 8) + ( 5) = ( ) (+ ) ( ) = (+ ) + (+) = (+ 6) ( ) ( 6) = ( ) + (+6) = (+) Treffen unterschiedliche Vorzeichen aufeinander, rechnest du minus, sind es gleiche Vorzeichen, rechnest du plus. Tipp So rechnest du mit dem Taschenrechner: Um negative Zahlen einzugeben, musst du zuerst die Zahl drücken und dann (je nach Taschenrechner) die Taste + oder. Wenn du eine positive Zahl addierst oder eine negative Zahl subtrahierst, also das Rechenzeichen das gleiche wie das Vorzeichen ist, kannst du einfach addieren. + (+) du tippst ein: + = 6 + und + wird zu + ( ) du tippst ein: + + = und wird zu + Wenn du eine positive Zahl subtrahierst oder eine negative Zahl addierst, also das Rechenzeichen nicht das gleiche wie das Vorzeichen ist, musst du subtrahieren. (+) du tippst ein: = und + wird zu 7

16 A Grundrechenarten 5. Berechne mündlich, addiere zuerst und subtrahiere dann. Beginne immer mit der Zahl in der ersten Spalte. ( ) + ( ) = 7 und ( ) ( ) = + +/ Vereinfache zuerst und rechne dann aus. Beispiel: 7,5 + (,) = 7,5, =, a) 9,7 + (,6) b) 6,8 ( 5,) c) 8, + ( 0,6) d),9, e),6 (+7,) + ( 6) f),06 ( 6,8) 00 g) 0,9 0,07 h) 5,5, ( 0,0) i) 5,8 (+7,) j) + ( ) k) 0,5 + ( ) + l) ( ),75 ( ) 7. Setze die fehlenden Rechenzeichen + und ein. a) 7 ( 8) = b) 8 ( 56) 0 = 0 c) 7 86 = 0 d) = e) ( 9) 9 = f) = 8 8. Berechne und denke an die Rechenregeln. a) + (58 6) = b) 5 (68 7) = c) 0 + ( + 7) = d) 8 (9 7) = e),9 (,8 7, + 0,9) = f) ( 0,7 8,) + (, + ) = g) (,5 + ) 9 0 = h) 7, (5, + 8 ) = i) ( 6 + ) ( 8 ) = 9. Familie Ruf macht eine Mountainbiketour. Sie starten in einem Ort in 95 m Höhe und radeln zuerst 75 m bergauf, dann 5 m bergab. Nach einer Pause radeln sie 6 m aufwärts. Auf welcher Höhe machen sie die Pause? Wie viel Meter müssen sie wieder herunterfahren, um zum Ausgangspunkt zu kommen? 8

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