{ } Menge der natürlichen Zahlen { } Menge der natürlichen Zahlen mit Null { } Menge der ganzen Zahlen

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1 Themen Ntürliche und gnze gerde Eigenschften Besonderheiten - Beispiele { } Menge der ntürlichen { } Menge der ntürlichen mit Null { } Menge der gnzen IN = 1;2;3;4;... IN 0 = 0;1;2;3;4;... Z =...; 3; 2; 1;0;1;2;3;... Eine Menge besteht us Elementen: 0 IN ; 3 IN ; 3 IN Ntürliche und gnze lssen sich uf der gerde drstellen: Liegt eine Zhl uf der gerde weiter links ls eine ndere Zhl, so ist diese die kleinere Zhl: 8 < 1 1 < 0 0 < 5 Betrg einer Zhl Anschulich versteht mn unter dem Betrg einer Zhl ihren Abstnd zur Null uf der gerden. Schreibweise: Sprechweise: Betrg von Eine Zhl und ihre Gegenzhl (z.b. 5 und 5) hben somit den gleichen Betrg, d sie spiegelbildlich zur Null liegen. Beispiele: 4 = 4, 4 = 4, 0 =0 Primzhlen Runden von Addition von gnzen Subtrktion gnzer Eine ntürliche Zhl ist eine Primzhl, wenn sie genu zwei Teiler ht, nämlich die 1 und sich selbst. Die 1 ist deshlb keine Primzhl! Die ersten Primzhlen sind: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29;.. Es gelten die folgenden Rundungsregeln: Abgerundet wird, wenn uf die Dezimlstelle, uf die gerundet wird, eine der Ziffern 0, 1, 2, 3, 4 folgt. Aufgerundet wird, wenn n dieser Stelle eine der Ziffern 5, 6, 7, 8 oder 9 folgt. Eine Überschlgsrechnung ist eine Rechnung mit gerundeten Werten, mit der mn bschätzen knn, in welchem Bereich der ttsächliche Wert in etw liegen wird. Beispiel: = Ü: = Zwei gnze mit gleichem Vorzeichen werden ddiert, indem mn ihre Beträge ddiert und dem Ergebnis ds gemeinsme Vorzeichen gibt: (+14) + (+27) = +41 ( 14) + ( 27) = 41 Zwei gnze mit verschiedenem Vorzeichen werden ddiert, indem mn den kleineren Betrg vom größeren subtrhiert und dem Ergebnis ds Vorzeichen der Zhl gibt, die den größeren Betrg ht: (+14) + ( 27) = (27 14) = 13 ( 14) + (+27) = +(27 14) = +13 Eine gnze Zhl wird subtrhiert, indem mn ihre Gegenzhl ddiert: (+14) (+27) = (+14) + ( 27) = 13 (+14) ( 27) = (+14) + (+27) = +41

2 Auflösen von Klmmern Steht vor der Klmmer ein Pluszeichen, so knn mn die Klmmer weglssen, ds Vorzeichen des Terms in der Klmmer ändert sich nicht! Steht vor der Klmmer ein Minuszeichen, so knn mn die Klmmer weglssen, wenn mn ds Vorzeichen des Terms in der Klmmer ändert! (+14) + (+27) = = +41 (+14) (+27) = = 13 (+14) + ( 27) = = 13 (+14) ( 27) = = +41 ( 14) + (+27) = = +13 ( 14) (+27) = = 41 ( 14) + ( 27) = = 41 ( 14) ( 27) = = +13 Multipliktion und Division gnzer Zwei gnze werden multipliziert bzw. dividiert, indem mn ihre Beträge multipliziert bzw. dividiert. Ds Ergebnis erhält ls Vorzeichen ein Pluszeichen, wenn beide ds gleiche Vorzeichen hben; ein Minuszeichen, wenn beide verschiedenes Vorzeichen hben; (+2) (+4) = +8 ( 2) ( 4) = +8 (+6) : (+2) = +3 ( 6) : ( 2) = +3 (+3) ( 5) = 15 ( 8) : (+2) = 4 Vorsicht: 13 0 = 0, ber: 13 : 0 ist nicht definiert!!! Die vier Grundrechenrten Rechenrt Rechnung Termnme 1. Zhl 2.Zhl Addition Summe 1.Summnd 2. Summnd Subtrktion 15 5 Differenz Minuend Subtrhend Multipliktion 15 5 Produkt 1. Fktor 2. Fktor Division 15 : 5 Quotient Dividend Divisor Potenzen Verbindung der vier Grundrechenrten Für ein Produkt mit gleichen Fktoren gibt es die Potenzschreibweise: = 3 4 Die Zhl 3 heißt Bsis, die Zhl 4 heißt Exponent. Besondere Potenzen: Qudrtzhlen (Potenzen mit 2 ls Exponent): 3 2 = 9 Zehnerpotenzen: 10 2 = 100, 10 3 = 1000, 10 4 = Große können mit Zehnerpotenzen übersichtlich geschrieben werden: = = ; = Klmmern hben Vorrng! Mn löst sie von innen nch ußen uf! Bechte die Vorfhrtsregeln: Potenz vor Punkt vor Strich! Bei gleichrtigen Rechenrten (nur Strich- oder nur Punktrechnungen) rechnet mn von links nch rechts!

3 Rechengesetze Für lle gnzen, b und c gelten die folgenden Rechengesetze: Kommuttivgesetz: der Addition: der Multipliktion: + b = b + b = b = = 5 2 Assozitivgesetz: der Addition: der Multipliktion: ( + b) + c = + (b + c) ( b) c = (b c) (3 + 4) + 5 = 3 + (4 + 5) (3 4) 5 = 3 (4 5) Distributivgesetz: ( + b) c = c + b c ( b) c = c b c (4 + 5) 3 = (4 5) 3 = Rechenvorteile Zählprinzip Durch ds Anwenden der Rechengesetze werden Rechenvorteile erreicht! Beispiele: 88+ (79 +12) = 88 + (12+ 79) = (88 +12) + 79 = = = 43 (18 + 2) = = = (100 1) 28 = = = 2772 Bei Vorgängen, bei denen mn zwischen mehreren Dingen uswählen und diese miteinnder kombinieren knn, werden die verschiedenen Kombintionsmöglichkeiten in einem Bumdigrmm übersichtlich drgestellt: Die Gesmtzhl der Möglichkeiten ergibt sich, indem mn die Anzhl der Möglichkeiten der einzelnen Stufen miteinnder multipliziert (Zählprinzip). Dieses Produkt entspricht gleichzeitig der Anzhl der Bumenden. Beispiel: Auf einer Speisekrte stehen 3 Vorspeisen und 2 Huptgerichte. Wie viele Menus knn mn zusmmenstellen? Zählprinzip: 3 2 = 6 Koordintensystem Ein Koordintensystem besteht us zwei senkrechten gerden, der x- und y- Achse, mit gemeinsmem Ursprung. Ein Punkt A ist durch seine Koordinten festgelegt: A (3 / 2) x- Koordinte y-koordinte

4 Grundwissen Mthemtik 5. Klsse Achsensymmetrie Figuren, die mn durch Flten so ufeinnderlegen knn, dss sie deckungsgleich sind, heißen chsensymmetrisch. Die Fltgerde heißt Symmetriechse. Sie hlbiert die Strecke zwischen Punkt und Spiegelpunkt und steht uf ihr senkrecht. Geometrische Grundbegriffe Strecke [AB]: kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten Die Länge dieser Strecke wird mit AB bezeichnet Gerde AB: wird die Strecke über beide Enden hinus ins Unendliche verlängert, so entsteht eine Gerde. Die Gerden g und h sind prllel: g h Die Gerden g und k sowie h und k sind jeweils senkrecht: g k bzw. h k Winkel Ein Winkel ist durch zwei Hlbgerden mit gemeinsmem Anfngspunkt festgelegt. Der Anfngspunkt heißt Scheitel, die beiden Hlbgerden heißen Schenkel des Winkels. Winkel werden meist mit kleinen griechischen Buchstben bezeichnet: α (lph) β (bet) spitzer Winkel 0 < α < 90 rechter Winkel α = 90 Größen und Einheiten γ (gmm) δ (delt) stumpfer stumpfer Winkel Winkel 90 <<αα << überstumpfer Winkel 180 < α < 360 Eine Größe besteht immer us einer Mßzhl und einer Einheit. Beispiel: 15m (15: Mßzhl, m: Einheit) Geld: 1 = 100ct Längen: 10mm = 1cm, 10cm = 1dm, 10dm = 1m, 1000m = 1km Umrechnungszhl: 10 Msse: 1000mg = 1g, 1000g = 1kg, 1000kg = 1t Umrechnungszhl: 1000 Zeit: 60s = 1min, 60min = 1h, 24h = 1d

5 Rechnen mit Größen Flächeninhlt Größe : Größe = Zhl (Messen) Beispiel: us einem großen Mehlsck, der 1000kg wiegt, knn mn 200 Pckungen mit je 5kg mchen: 1000kg : 5kg = 200 Größe : Zhl = Größe (Teilen) Beispiel: wenn mn einen 1000kg Sck Mehl in 200 gleiche Teile ufteilt, ht jede neue Mehlpckung 5kg: 1000kg : 200 = 5kg Um die Größe von Figuren bschätzen zu können, vergleicht mn wie viele gleich große Qudrte in die Figur hineinpssen. Diese Größe nennt mn Flächeninhlt. Qudrt Rechteck Umfng b A Q = A R = b U Q = 4 U R = 2 ( + b) Flächeneinheiten 1km 2 = 100h (Hektr) 1h = 100 (Ar) 1 = 100m 2 1m 2 = 100dm 2 1dm 2 = 100cm 2 1cm 2 = 100mm 2 Umrechnungszhl für lle Flächeneinheiten: 100 Beispiele: 15 dm 2 = 1500 cm 2 = 0,15m 2 8 = 800m 2 = 0,08h 5 m 2 8dm 2 = 5,08m 2 = 508dm m 2 = mm 2 = 7200cm 2 = 72dm 2 = 0,72m 2 Oberfläche von Würfel und Quder Alle Flächen, die einen geometrischen Körper begrenzen, bilden zusmmen seine Oberfläche. Die Oberfläche der beiden Grundkörper Würfel und Quder besteht nur us Qudrten bzw. Rechtecken, so dss sich ergibt: h l b O W = 6 2 O Q = 2lb + 2lh + 2bh Mßstb Steht uf einer Lndkrte die Bezeichnung 1 : , so bedeutet dies: 1cm uf der Lndkrte gemessen entspricht einer Strecke von cm = 1000m = 1km in der Relität. Beispiel: zwei Ortschften sind uf einer Lndkrte im Mßstb 1 : cm voneinnder entfernt, d.h. 5cm ˆ= cm = cm = 7,5km

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