Aus der "normalen" Mathematik kennen wir die Darstellung vorzeichenbehafteter

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1 .3. Darstellug egativer Zahle Aus der "ormale" Mathematik kee wir die Darstellug vorzeichebehafteter Zahle als Kettug aus "Vorzeiche" ud "etrag". Diese Form der Zahledarstellug wird i Recher eher selte verwedet. Der Hauptgrud dafür ist, daß ma bei arithmetische Operatioe (Additio, Subtraktio,...) mit so dargestellte Zahle "Vorzeiche" ud "etrag" getret voeiader ud auf uterschiedliche Weise behadel muß. Das führt zu erhöhtem Aufwad bei der techische Realisierug arithmetischer Operatioe. Dieser Nachteil ud die Tatsache, daß der Darstellugsraum eies Rechers stets edlich ist, hat zur Kosequez, daß i der Festkommaarithmetik (s. u.) fast ausschließlich die sog. Komplemetdarstellug Awedug fidet. Aus Abschitt 1 der Vorlesug folgt, daß i eiem Positiossystem der asis mit eier -stellige Zahl geau Zahle darstellbar sid. isher habe wir ausschließlich positive (vorzeichelose) Zahle betrachtet. Der im Uterschied zur "ormale" Mathematik edliche Darstellugsraum 0, 1,..., -1 legt ahe, astelle des (ach liks ud rechts ubegrezte) Zahlestrahls < > de Zahlekreis zur Verdeutlichug der Zusammehäge herazuziehe. 1

2 ei = 3 folgt z.. für das Dezimalsystem der Darstellugsraum 000, 001,..., 999 ud für das iärsystem der Darstellugsraum 000, 001,..., 111. Die Additio ist im Zahlekreis als ewegug i Uhrzeigerrichtug, die Subtraktio als ewegug etgege der Uhrzeigerrichtug darstellbar. Zu beachte ist, daß aus der Edlichkeit des Darstellugsraums folgt => 0. Mathematisch formuliert hadelt es sich bei dieser Operatio um eie Additio mod (s. u.). We bei gleicher Mächtigkeit des Darstellugsraums positive ud egative Zahle dargestellt werde solle, da liegt ahe, de Darstellugraum möglichst symmetrisch auf die positive ud egative Zahle aufzuteile, d. h. ma möchte erreiche, daß jede darstellbare Zahl sowohl als positive als auch als egative Zahl darstellbar ist. Ma teilt also de Zahlekreis i zwei (gleichgroße) Hälfte: Iteressat ist der utere Scheitelpukt! I eiem Stellewertsystem mit gerader asis (ur mit solche System habe wir es zuküftig zu tu: =, 4, 8, 10, 16) ergibt sich der Darstellugsraum -, - ( - 1),..., - 1, 0, + 1,..., + ( - ), + ( - 1) / egative Zahle / positive Zahle 13

3 Mit all diese Überleguge ist u immer och icht klar geworde, warum ma i diesem Zusammehag vo Komplemetdarstellug spricht. Die Sache wird klar, we ma die beide Darstellugsräume R = {0, 1,..., -1} ud vorzeichelos R vorzeichebehaftet = {-,..., -1, 0, +1,..., -1} miteiader vergleicht. Für eie 3-stellige Dezimalzahl ergibt sich der Zahlekreis d. h. die Zahl -1 wird als 999 dargestellt, die Zahl - als 998, die Zahl -499 als 501, die Zahl -500 als 500 usw. 14

4 Allgemei köte ma zuächst schreibe Eie Zahl -z 1 wird als eie Zahl +z dargestellt. eim geauere Hischaue sieht ma aber, daß stets gilt z 1 + z = 1000 = 10 3 oder z = z 1 ud es gilt tatsächlich allgemei: I eiem -stellige Stellewertsystem der asis wird die egative Zahl -z als positive Zahl - -z dargestellt. Damit wird da auch der egriff Komplemet (= Ergäzug zu ) klar. Geauer uterscheidet ma zwische - ud -1-Komplemet ud versteht uter -1-Komplemet die Differez z. eide Komplemete ist eige, daß - wie bei dem übliche (uäre) Miusoperator - die zweifache Awedug auf eie Zahl wieder diese Zahl liefert: - ( - z) = z ( z) = z Das Komplemet eier positive Zahl ist die betragsgleiche egative Zahl, das Komplemet eier egative Zahl ist die betragsgleiche positive Zahl. --- Im iärsystem ( = ) geht die Halbierug / über i -1, ud die Darstellugsräume ehme da die Form R = {0, 1,..., -1} ud vorzeichelos -1-1 R = {-,..., -1, 0, +1,..., -1} vorzeichebeh. a. eispiel.17 Mit 3 it lasse sich die Werte 0,..., 3-1 = oder -,..., -1 = darstelle. Am Zahlekreis stellt sich das Ergebis wie folgt dar: 15

5 Es ist zu erkee, daß das höchstwertige it (MS) bei positive Zahle stets de Wert 0 ud bei egative Zahle stets de Wert 1 hat. Das gilt allgemei für vorzeichebehaftete iärzahle!!! Das MS ist aber icht das Vorzeiche, es hat eie umerische Wert, wie aus de allgemeie etrachtuge zum Komplemet deutlich geworde ist. Für gägige Verarbeitugsbreite ergibt sich also z.. vorzeichelos vorzeichebehaftet Die häufig azutreffede, umgekehrte Fragestellug "Wieviele its beötige ich zur Darstellug eier bestimmte Zahl?" ist also für positive Zahle ohe eie Aussage dazu, i welchem Darstellugsraum wir us bewege, icht eideutig beatwortbar. eispiel.18 Wieviele its sid zur Darstellug der Dezimalzahl 6 erforderlich? Für de Darstellugsraum der vorzeichelose Zahle ergibt sich ld 7, gaz = = 110 Für de Darstellugsraum der vorzeichebehaftete Zahle folgt ld 7, gaz ld 7 + 1, gaz = =

6 Um Ihe de egriff des Komplemets ahezubrige, habe ich alle erechuge im Dezimalsystem ausgeführt. Praktisch bildet ma das Eier- ud das Zweierkomplemet vo iärzahle aber meist biär. Zwei Verfahre sid gleichermaße gut geeiget: Verfahre 1: Verfahre : - itweises Negiere der Quellzahl - Additio vo 1 i der iederwertigste Stelle - vo rechts begied alle its bis eischließlich der erste 1 uverädert überehme - alle liks vo der erste 1 liegede its egiert überehme eispiel.19 Gegebe sei die Darstellug der Zahl + 6 im 8-it-Format, Gesucht die Darstellug der Zahl - 6 im gleiche Format. Verfahre 1 itweises Negiere ud Additio vo 1 i der iederwertigste Stelle bitweise Negatio Additio vo 1 i der iederwertigste Stelle Die bitweise Negatio liefert zuächst = C1 16 = = ist das sog. Eierkomplemet, d. h. das Komplemet zu 8-1 = 55. Die aschließede Additio vo 1 i der iederwertigste Stelle liefert da = C 16 = , wobei = das Zweierkomplemet ist, d. h. das Komplemet zu 8 = 56. Verfahre Vo rechts ach liks jede iärziffer bis eischließlich der erste gefudee 1 ichtegiert ud daach jede iärziffer egiert überehme. < Wir wolle us och davo überzeuge, daß die ereute Awedug dieser Verfahre auf das Ergebis wieder die Zahl + 6 liefert: Verfahre

7 Verfahre Festkommarithmetik Festkommadarstellug heißt zuächst: Das Komma steht immer a der gleiche Stelle. Wir vereibare hier aber eischräked, daß wir uter Festkommadarstellug eie m-stellige gaze iärzahl verstehe wolle: b =, d p {0,1}, p {0,1,...,m-,m-1}, z = d m-1 d m-...d 1 d 0. d. h. recheriter arbeite wir ausschließlich mit gaze Zahle. (Kosequez für die Vearbeitug ichtgazer Zahle? > Sache des Programmierers!) Wege der Edlichkeit des Darstellugsraums verdeutliche wir us die Verhältisse wieder mit Hilfe des Zahlekreises Additio Für die Additio zweier eistelliger iärzahle x ud y zur Summe s gilt x + y c s = = = = 1 0 (1 + 1 = 0 merke 1) Da die Summe drei uterschiedliche Werte aehme ka, sid zu ihrer Darstellug its ötig. Da it mit dem Gewicht 1 ist i Aalogie zur dezimale schriftliche Additio der Übertrag (Carry) i die ächsthöhere Stelle ("auslaufeder" Übertrag). Im allgemeie Fall ka aber auch ei Übertrag aus der ächstiedrige Stelle auftrete ("eilaufeder" Übertrag), so daß die Additio i eier iärstelle vollstädig so zu beschreibe ist: a b c ei c aus s = = 0 1 Vorschau auf de RC-Adder: = = 1 0 a b = = = c aus < + < c ei = 1 1 s Mehrstellige iärzahle werde aalog zur dezimale schriftliche Additio addiert. Wir wolle zuächst de Fall der vorzeichelose 4-stellige iärzahle betrachte. Der Darstellugsraum ergibt sich zu R = {0,1,...,14,15}. 18

8 eispiel.0 Additio vorzeicheloser iärzahle (Ü) (Ü) > kei Übertrag, korrekt > Übertrag, falsch Mathematisch korrekt wird hier eie Additio MODULO 16 ausgeführt. Ma versteht daruter de gazzahlige Rest ach gazzahliger Divisio durch 16 (9 + 4) MOD 16 = 13 MOD 16 => 0 Rest 13 (9 + 11) MOD 16 = 0 MOD 16 => 1 Rest 4 Am.: Für m-stellige gaze iärzahle gilt allgemei Additio MODULO m. Falsch wird ei Ergebis immer da, we bei Additio (oder Subtraktio) der Übergag vo m -1 ach 0 (oder vo 0 ach m -1) überschritte wird. Am auslaufede Übertrag ist erkebar, daß das Ergebis falsch ist. Wir wolle u de Fall der vorzeichebehaftete 4-stellige iärzahle beleuchte. Der Darstellugsraum ergibt sich zu R = {-8,-7,...,-1,0,+1,...,+6,+7} eispiel.1 Additio vorzeichebehafteter iärzahle Negative Zahle werde i Form des er-komplemets der betragsgleiche positive Zahl dargestellt. Die Additio erfolgt i der gleiche Weise, wie für vorzeichelose iärzahle gezeigt. Der Vorteil des Zweierkomplemets ist es, daß das MS keier Soderbehadlug uterzoge werde muß (s. obe; das MS ist icht das Vorzeiche, es hat eie umerische Wert!). 19

9 (+4) (+4) (+) (-) (Ü) (Ü) (+6) (+) > beide Überträge gleich, > beide Überträge gleich, kei Überlauf, korrekt kei Überlauf, korrekt (+4) (-4) (+5) (-5) (Ü) (Ü) (-7) (+7) > Überträge ugleich, > Überträge ugleich, Überlauf, falsch Überlauf, falsch Wa ist das Ergebis falsch? Wora ist erkebar, daß das Ergebis falsch ist? Am Übertrag (Carry) offesichtlich icht! 0

10 Es gibt 4 Fälle, bei dee das Ergebis falsch wird: a b c Additio a + b = c positiv positiv egativ egativ egativ positiv Subtraktio a - b = c positiv egativ egativ egativ positiv positiv Falsch wird ei Ergebis immer da, we bei Additio (oder Subtraktio) der Übergag + m-1-1 ach - m-1 (oder vo - m-1 ach + m-1-1 überschritte wird. Zur Erkeug dieser Fälle wird ei spezielles Sigal - Überlauf (Overflow) - gebildet. Die ildugsvorschrift ka aus der o. a. Tabelle abgeleitet werde. OF = ADD (/a m-1 /b m-1 c m-1 a m-1 b m-1 /c m-1 ) SU (/a m-1 b m-1 c m-1 a m-1 /b m-1 /c m-1 ) Eifacher ist die Auswertug der beide höchstwertige Übertragsbits, des Übertrags i die höchstwertige Stelle hiei ud des Übertrags aus der höchstwertige Stelle heraus. Ei Überlauf tritt immer da auf, we diese beide Übertragsbits ugleich sid (uabhägig davo, ob addiert oder subtrahiert wird: OF = ü ü ü ü m-1 m m-1 m.4.. Subtraktio Die Subtraktio wird üblicherweise auf die Additio des er- Komplemets zurückgeführt. Auf die Demostratio ahad des Zahlekreises verzichte ich hier. eispiel. Subtraktio vorzeicheloser iärzahle 0100 (+4) (+4) (+) > (-) (Ü) (+) > Übertrag, korrekt 0010 (+) (+) (+4) > (-4) (Ü) (+14) > kei Übertrag, falsch ei der Subtraktio vorzeicheloser Zahle ist ei falsches Ergebis dara erkebar, daß kei auslaufeder Übertrag auftritt! Am.: Diese Aussage ka zu Mißverstädisse führe. ei übliche Prozessore ist ach eier arithmetische Operatio (Additio, Subtraktio) am sog. Carry-Flag (CF) der Wert des Übertrags ablesbar. Um uabhägig vo der Operatio aus CF = 1 auf 1

11 ei falsches Ergebis schließe zu köe, wird im Falle der Additio der "echte" (ichtegierte) Wert des Übertrags ud im Falle der Subtraktio der egierte Wert des Übertrags i das Carry-Flag eigetrage! eispiel.3 Subtraktio vorzeichebehafteter iärzahle 0100 (+4) (+4) (+) > (-) (Ü) (+) > beide Überträge gleich, kei Überlauf, korrekt 0010 (+) (+) (+4) > (-4) (Ü) (-) > beide Überträge gleich, kei Überlauf, korrekt 0101 (+5) (+5) (-6) > (+6) (Ü) (-5) > Überträge ugleich, Überlauf, falsch 1011 (-5) (-5) (+6) > (-6) (Ü) (+5) > Überträge ugleich, Überlauf, falsch Für die Subtraktio vorzeichebehafteter iärzahle gilt wieder - wie bei der Additio - daß das Ergebis immer da falsch wird, we der utere Scheitel des Zahlekreises überspruge wird, d. h. we ei Überlauf (Overflow) auftritt. Erkebar ist das Auftrete eies Überlaufs dara, daß - wie bei der Additio - die beide höchstwertige Übertragsbits ugleich sid.