Inhaltsverzeichnis Elektrostatik

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1 Inhaltsverzeichnis 1 Elektrostatik Grundbegriffe Elektrische Ladung, Coulomb-Gesetz Das elektrische Feld Der Gauß sche Satz Das elektrische Potential Der elektrische Dipol Kapazität und Kondensator

2 1.1 Grundbegriffe Elektrische Ladung, Coulomb-Gesetz Definition 1 Die elektrische Ladung ist eine elementare, intrinsische Eigenschaft der sie tragenden Elementarteilchen. Sie ist quantisiert; die kleinste 1 Ladungseinheit ist die Elementarladung e = C, mit SI-Einheit C = Coulomb. (1.1) Alle frei vorkommenden Ladungen sind ganzzahlige Vielfache davon. Sie wurde erstmals gemessen von Milikan 1910 über die Fallgeschwindigkeit von geladenen Öltröpfchen in einem Kondensator. Sie ist erhalten; und kann kann nur von einem Körper zum anderen übertragen werden, nie jedoch vernichtet werden. Wir unterscheiden positive und negative Ladungen; diese stoßen sich ab, zwei gleiche ziehen sich an. Zwei Ladungen üben aufeinander die Kraft F = 1 4πε 0 q 1 q 2 r 2 e r (1.2) aus. Dies ist das Coulomb-Gesetz mit der Dielektrizitätskonstante des Vakuums ε 0 = A2 s 4 kg m 3,wobei A 2 s 4 kg m 3 = C2 N m 2. (1.3) Das Coulomb-Gesetz ähnelt strukturell dem Gravitationsgesetz und teilt mit diesem auch zwei wesentlich Eigenschaften: Eine homogen geladene Kugel übt dieselbe Kraft aus wie eine sich in ihrer Mitte befindende Punktladung. Im Inneren einer homogen geladenen Kugelschale ist die Gesamtkraft = Das elektrische Feld Definition 2 Ganz analog zu einer Masse baut auch eine Ladung ein Feld auf, das auf andere Ladungen wirkt. Man definiert dieses über die Kraft, die auf eine Testladung q wirkt: E = F q, [ E] = N C 1 = V m 1. (1.4) 1 Abgesehen von den konstituierenden Teilchen der Nukleonen, den Quarks, die drittelzahlige Werte von e besitzen, jedoch nicht frei in der Natur vorkommen. 1

3 Abbildung 1.1: Feldlinien als Visualisierungshilfen. Als Visualisierungshilfe dienen die Feldlinien (Abb.1.1), die aus positiven Ladungen austreten und in negative Ladungen münden. Die Dichte der Feldlinien repräsentiert die Stärke des Feldes. Da sowohl die elektrische Kraft als auch das elektrische Feld Vektorgrößen sind, gilt das lineare Additionsgesetz: F = F 1 + F 2, E = E1 + E 2. (1.5) Das E-Feld einer Punktladung der Größe q 2 folgt unmittelbar aus dem Coulomb schen Gesetz: E = F q 1 = 1 4πε 0 q 2 r 2 e r. (1.6) Jede Ladungsverteilung lässt sich als Ansammlung von Punktladungen ansehen, wobei aus der Linearität der Feldgleichungen (i.a. der Maxwellgleichungen) die Möglichkeit der Superposition folgt: E = 1 dv ( r r ) 4πε 0 V r r 3 ρ( r ). (1.7) Abbildung 1.2: Zu Superposition von Punktladungen. Dies entspricht einer Überlagerung der Felder aller Punktladungen im Volumen V am Punkt r. ρ( r) (mit Einheit C m 3 ) ist die Ladungsdichte am Ort r. Dies ist eine Volumenladungsdichte. Analog: λ mit Einheit C m 1 ist Längenladungsdichte. σ mit Einheit C m 2 ist Flächenladungsdichte. 2

4 1.1 Grundbegriffe Praktische Implementierung: Auswählen der passenden Ladungsdichte und Berechnung einer infinitesimalen Ladung dq. Beispiel 1 ( E-Feld eines Rings entlang der Zentralachse) (siehe Abb.1.3) Abbildung 1.3: Zu E-Feld eines Rings entlang der Zentralachse. Ring der Gesamtladung q hat Längenladungsdichte λ dq = λds und Radius R. Damit folgt zunächst: de = 1 ( r r ) λds. (1.8) 4πε 0 r r 3 Wähle geeignete Koordinaten hier Zylinderkoordinaten ds = Rdϕ Der Ring liegt in der z = 0-Ebene: r cos ϕ r cos ϕ ( r r ) = r sin ϕ r sin ϕ z z = R cos ϕ R sin ϕ z. (1.9) r r = R 2 + z 2 damit ergibt sich: E = λr 2π dϕ 1 4πε 0 0 R2 + z 2 R cos ϕ R sin ϕ z = e z 2πλR 4πε 0 z (R 2 + z 2 ) 3/2 1 qz = e z (1.10) 4πε 0 (R 2 + z 2 ) 3/2 Man sieht: das Ausrechnen des E-Feldes ist mühsam und meistens nur mit Vereinfachungen (bei Vorhandensein von Symmetrien) möglich. In diesen Fällen ist der im nächsten Abschnitt behandelte Satz sehr hilfreich. 3

5 1.2 Der Gauß sche Satz Bemerkung 1 (Integralschreibweise) Im Folgenden werden immer nur einfache Integralsymbole verwendet. Die Interpretation dieser sollte im Kontext allerdings ersichtlich sein. Allgemein lautet der Gauß sche Satz für ein Vektorfeld v innerhalb eines Gebietes V mit Rand V : In Worten: V v da = V dv div v (1.11) Der Fluss durch eine geschlossene Oberfläche entspricht der Summe der Quellen innerhalb der Oberfläche. Dies lässt sich hier auf das elektrische Feld anwenden. Dafür benutzen wir die folgende Abbildung 1.4: (siehe Text) Definition 3 (Elektrischer Fluss) φ E = A E d A, (1.12) wobei die Orientierung der Fläche das Vorzeichen bestimmt. Für die folgenden geschlossenen Oberflächenintegrale zeigt der entsprechende Normalenvektor stets vom umschlossenen Volumen nach außen. Benutzt man nun eine der Maxwellgleichungen, so findet man: In Worten: A div E = ρ ε 0, (1.13) E d A = Q ε 0, Satz von Gauß. (1.14) Das Volumenintegral über die Ladungsdichte entspricht gerade der im Volumen enthaltenen Gesamtladung. Der wesentliche Trick besteht darin, passende Oberflächen zu wählen, so dass sich das Flussintegral leicht auswerten lässt. Beispiel 2 (Zylindersymmetrie) Zur Berechnung des E-Feldes eines unendlich langen, dünnen Drahtes mit Längenladungsdichte λ legt man eine Zylinderoberfläche um den Draht (siehe Abb.1.5). 4

6 1.2 Der Gauß sche Satz Abbildung 1.5: (siehe Text) Die Deckel tragen nichts bei, da hier E d A. E steht stets senkrecht auf den Mantelflächen, d.h. E d A = E da. Dann geht s schnell: E da = E da = E2πrh = Q ε 0 = λh ε 0 (1.15) Für einen unendlich langen Draht folgt somit: = E = λ 2π r ε 0. (1.16) Beispiel 3 (planare Symmetrie) Unendlich ausgedehnte Ebene mit Flächenladungsdichte σ. Abbildung 1.6: (siehe Text) E kann nur eine Normalkomponente haben, denn Parallelkomponenten würden die Ladungen so lange verschieben, bis das Feld verschwindet. E ist also parallel zu den Normalenvektoren der Deckelflächen, davon gibt es zwei. Es folgt zunächst: E d A = 2E A = Q ε 0 = σ A ε 0 (1.17) und somit für eine unendlich ausgedehnte Fläche = E = σ 2ε 0. (1.18) 5

7 Aus dem Gauß schen Satz folgt auch sofort: Eine homogen geladene Kugel sieht nach außen aus wie eine in ihrer Mitte befindliche Punktladung. Im Innern eines geladenen Leiters existiert kein elektrisches Feld. Wäre dies nicht der Fall, so würde ein Strom im Innern des Leiters fließen; dies widerspricht unserer Erfahrung, d.h. = Die Überschussladungen auf einem Leiter befinden sich auf dessen Oberfläche. Abbildung 1.7: (siehe Text) Daraus folgt für das E-Feld auf der Oberfläche eines Leiters: E d A = E A = σa ε 0, = E = σ ε 0 auf der Oberfläche eines Leiters. (1.19) 1.3 Das elektrische Potential Über rot E = 0 zeigt man, dass das E-Feld konservativ ist. Daher muss es ein Gradientenfeld sein und ein Potential besitzen. Zur Herleitung überlegt man sich folgendes: Die Arbeit in einem konservativen Kraftfeld ist gerade W = rf und das Potential ist dadurch definiert als r i F d s dw = { > 0 F d s, < 0 F d s, (1.20) rf ϕ = ϕ rf ϕ ri = W = F d s. (1.21) r i Dies ist die Potentialänderung, die an einer Ladung über die durch die Coulombkraft verrichtete Arbeit hervorgerufen wird. Wir wählen einen festen Referenzpunkt r i und setzen das Potential dort = 0; damit kann jedem Punkt im Raum eine potentielle Energie zugeordnet werden: rf ϕ( r) = ϕ rf ϕ }{{} ri = F d s. (1.22) r i =0 Analog zur Definition des elektrischen Feldes als Kraft pro Ladung definiert man nun das elektrostatische Potential als Potential pro Ladung : 6

8 1.3 Das elektrische Potential φ( r) = ϕ( r) q = 1 q rf rf F d s = E d s Elektrisches Potential. (1.23) r i r i Daraus folgt: = E = φ Das E-Feld ist das Gradientenfeld Die elektrische Spannung entspricht dann gerade einer Potentialdifferenz: des elektrischen Potentials. (1.24) U = φ rf φ ri = ϕ r f ϕ ri q = W q, [U] = J C V (1.25) also die Arbeit pro Ladung, die benötigt wird, um eine Ladung q von einem Ort an den anderen zu verschieben. Umgekehrt erhält man die Energie, die ein Teilchen bekommt, wenn es eine Potentialänderung durchläuft, also in einem elektrischen Feld beschleunigt wird: W = q U (= 12 mv2 ). (1.26) Äquipotentialflächen Punkte mit gleichem Potential bilden zusammen eine Äquipotentialfläche. Daher benötigt das Verschieben einer Ladung auf einer Äquipotentialfläche keine Arbeit. Gleichermaßen ist jedes Integral über einen Weg in einem E-Feld, dessen Anfangs- und Endpunkt auf der gleichen Äquipotentialfläche liegen, gleich Null. Abbildung 1.8: Äquipotentialflächen eines Monopols und eines Dipols (Definition weiter unten). Wichtig: Das E-Feld steht immer senkrecht auf den Äquipotentialflächen! Die Oberfläche eines Leiters ist immer eine Äquipotentialfläche! Das Potential einer Punktladung Zur Berechnung des Potentials einer Punktladung verschiebt man eine Testladung aus dem Feld einer Punktladung ins Unendliche (der umgekehrte Weg würde ein negatives Potential ergeben!): 7

9 φ( r) = = 0 E d r E d r = q 4πε dr r 2 q 4πε 0 Potential einer Punktladung. (1.27) Das Potential ist eine skalare Größe und lässt sich einfach addieren. Für eine kontinuierliche Ladungsverteilung ergibt sich φ( r) = 1 4πε 0 V ρ( r ) dv. (1.28) r r Die Berechnung hierfür ist analog zum E-Feld (siehe Beispiel dazu), nur kann hier der Satz von Gauß nicht angewendet werden. 1.4 Der elektrische Dipol Definition 4 Zwei entgegengesetzt geladene Teilchen im Abstand d bilden einen elektrischen Dipol. Der Abstandsvektor d zeigt hier entgegen der Feldlinienrichtung, also von nach +. Der elektrische Dipol ist ein wichtiges Modell zur Beschreibung und Untersuchung von Molekülen, die Dipolverhalten zeigen, z.b. H 2 O (siehe Abb.1.9). Abbildung 1.9: Das Wassermolekül als elektrischer Dipol. Wir wollen das Fernfeld des elektrischen Dipols berechnen, also eine Näherung für große Abstände r d finden. Das Potential des Dipols (siehe Abb.1.10) ergibt sich mit den Näherungen 2 r d cos θ und r 2 0 zu: ( ) q 1 φ( r) = 4πε 0 r r 1 = q 2 r r + r 4πε 0 r 2 r 2 q d cos θ =. (1.29) 4πε 0 r 2 Beachtenswert ist, dass das Dipolfeld mit 1 r 2 abfällt, nicht wie bei einer Punktladung mit 1 r. Einem Dipol wird das Dipolmoment p zugewiesen: p = q d Dipolmoment. (1.30) 8

10 1.4 Der elektrische Dipol Abbildung 1.10: (siehe Text) Mit p r = qdr cos θ schreibt sich dann das Dipolpotential als: φ( r) = 1 4πε 0 p r r 3 Dipolpotential. (1.31) Das E-Feld des Dipols ist dann: E = φ( r) = 1 ( 1 ( p 4πε 0 r r) + p r 1 ) 3 r ( 3 1 3( p r) r = p ) Dipolfeld. (1.32) 4πε 0 r 5 r 3 Das Dipolfeld fällt mich 1 r 3 ab; Punktladungsfeld war 1 r 2. Das zeigt: Im Fernfeld kompensieren sich die Ladungen teilweise und das Feld und Potential sind dadurch schwächer. Entlang der z-achse ist das Feld wesentlich stärker als entlang der x- oder y-achse, wo sich die Wirkungen stärker aufheben. Dipol im homogenen elektrischen Feld Wird ein Dipol in einem homogenen E-Feld platziert (z.b. Plattenkondensator), so wirkt auf die beiden Punktladungen eine entgegengesetzt gerichtete, gleich große Kraft, die ein Drehmoment um den Schwerpunkt bewirkt (siehe Abb.1.11). Für den Fall des perfekten Dipols ergibt sich (Schwerpunkt bei d 2 ): M = d 2 F + d 2 F = qd E cos(θ 90 ) = p E sin θ = p E (1.33) also vektoriell: = M = p E Drehmoment auf einen Dipol im E-Feld. (1.34) 9

11 Abbildung 1.11: Zum Drehmoment auf einen Dipol im E-Feld. Aufgrund dieser Fähigkeit, Arbeit verrichten zu lassen, weist man dem Dipol im E-Feld ein Potential zu. Der Nullpunkt wird auf θ = 90 gesetzt (Grund wird unten klar). Die Arbeit ist dann: W = Da U pot = W folgt 90 θ M d θ = pe 90 θ sin θ dθ = pe cos θ = p E. (1.35) = U pot = p E Potentielle Energie des Dipols im E-Feld. (1.36) Diese Betrachtungen gelten auch für Dipole, deren Schwerpunkt nicht bei d 2 liegt. 1.5 Kapazität und Kondensator Idee des Kondensators: Strom und damit Energie schneller und bei größerer Stärke zu liefern als eine Batterie, mithin also mehr Leistung: Kamerablitz, etc., oder einfach nur die Speicherung von Energie. Ein Kondensator besteht immer aus zwei Platten, unabhängig von der Geometrie. Diese werden entgegengesetzt gleich aufgeladen, wenn eine Spannung angelegt wird. Die Ladung auf den Platten ist dann gegeben durch den linearen Zusammenhang der Spannung und einer Konstanten, in die die Geometrie des Kondensators einfließt; die Kapazität. q = C U Ladung am Kondensator, [C] = C V 1 = F Farad (1F ist ziemlich viel!) (1.37) Der Plattenkondensator (Standard-Beispiel und bekanntester Vertreter.) Wir stellen uns einen Plattenkondensator vor. beide Platten tragen die Ladung q mit unterschiedlichem Vorzeichen. Unter Vernachlässigung von Randeffekten nehmen wir an, dass das Feld im Kondensator vollständig homogen ist und außerhalb verschwindet. Zur Bestimmung der Kapazität nach C = q/u bestimmen wir zunächst die Ladung über den Gauß schen Satz: Wir legen eine Gauß sche Fläche um die positiv geladene Platte und integrieren. 10

12 Das Feld geht nur durch die innere Fläche und ist dort parallel zu d A, wir erhalten: q = ε 0 A 1.5 Kapazität und Kondensator E d A = ε 0 E A. (1.38) Zur Bestimmung der Spannung integrieren wir entlang der Feldlinien von der negativen zur positiven Platte - also entgegen der Feldrichtung: U = + E d s = E d. (1.39) Somit folgt einfach: Wichtige Eigenschaften: C = q U = ε A 0 d Außerhalb eines Kondensators ist kein E-Feld. Die Kapazität ist nur von der Geometrie abhängig. Die Platten eines Kondensators sind Äquipotentialflächen. Kapazität eines Plattenkondensators. (1.40) Wird bei gleicher Spannung die Kapazität vergrößert oder verkleinert (z.b. beim Plattenkondensator: Abstand kleiner bzw. größer), so steigt oder sinkt auch die gespeicherte Ladung. Wird umgekehrt bei gleicher Ladung (Spannungsquelle abgetrennt) die Kapazität vergrößert oder verkleinert, so sinkt bzw. steigt die Spannung. Reihen- und Parallelschaltung von Kondensatoren Parallelschaltung: In einer Parallelschaltung fällt über jeden Kondensator dieselbe Spannung ab, also ist die Summe der Kapazitäten gleich der Gesamtkapazität. Dementsprechend gilt: ( ) q ges = q 1 + q 2 + q = C 1 U + C 2 U + C 3 U +... = U C i, (1.41) i und somit C ges = q ges U = i C i Parallelschaltung (1.42) Reihenschaltung: Bei einer Reihenschaltung müssen alle Kondensatoren dieselbe Ladung tragen, da Elektronen, die von einer Platte abfließen zur Platte des nächsten Kondensators fließen. Die Gesamtspannung ist dann die Summe aller Spannungen: ( ) U ges = U 1 + U 2 + U = q + q + q 1... = q, (1.43) C 1 C 2 C 2 i C i 11

13 sodass für die Kapazität gilt: 1 C ges = i C ges = ( q = U ges i ) 1 1, C i 1 C i Reihenschaltung (1.44) Energie des E-Feldes im Kondensator Beim Aufladen eines Kondensators wird Arbeit aufgewandt, um die Ladungen voneinander zu trennen. Dies macht sich in der Spannung bemerkbar, die zugehörige potentielle Energie ist im elektrischen Feld gespeichert. Zur Berechnung überlegt man sich die Arbeit, die benötigt wird, um einen Ladungsträger von einer Kondensatorplatte zur anderen zu bringen, nämlich dw = U dq = q dq. (1.45) C Um die Gesamtarbeit zu erhalten, integriert man diesen Ausdruck bis zur Endladung Q: W = Q 0 q Q2 dq = = 1CU 2 C 2C 2 Energie des E-Feldes (im Kondensator) (1.46) Die Energiedichte ist einfach die Energie geteilt durch das Volumen des Kondensators; hier am Bsp. des Plattenkondensators, aber für alle gültig: w = 1 2V CU 2 = 1 2 ε 0 A d E2 d 2 Ad = 1 2 ε 0E 2 Energiedichte des E-Feldes (allgemein) (1.47) 12

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