Versuch 25 Der Transformator

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1 1 Versuch 25 Der Transformator Sascha Hankele Kathrin Alpert durchgefuhrt am 4. Mai 2007 (Korrigierte Version)

2 INHALTSVERZEICHNIS 2 Inhaltsverzeichnis 1 Theoretische Grundlagen Grundlegendes Maxwellgleichungen Regeln von Kirchho Weitere Gesetze Magnetische Eigenschaften der Materie Diamagnetismus Paramagnetismus Ferromagnetismus Gegeninduktivitat Transformator Versuchsbeschreibung Bestimmung von Impedanzen Kopplungsgrad des Transformators Versuchsauswertung Verizierung der Ubersetzungsverhaltnisse Leerlaufmessung Kurzschlussmessung Transformator unter Last Induktivitaten Frequenz 130 Hz Frequenz 320 Hz Kopplungsgrad Frequenz 130 Hz Frequenz 320 Hz Bestimmung der Ausgangsimpedanz bei maximaler Leistung Zusammenhang zwischen Spannungsubersetzungsverhaltnis und Windungszahl Fehlerbetrachtung

3 1 THEORETISCHE GRUNDLAGEN 3 1 Theoretische Grundlagen 1.1 Grundlegendes Maxwellgleichungen Gauss'sches Gesetz Die Quellen des elektrischen Feldes sind Ladungen. div ~ D = % el (1) Faradaysches Induktionsgesetz rot E ~ Zeitlich veranderliche Magnetfelder erzeugen elektrische Felder. Quellenfreiheit des Magnetfeldes (2) div ~ B = 0 (3) Es gibt nur geschlossene Magnetfeldlinien, es existieren keine magnetischen Monopole (was allerdings nicht sicher ist) Verallgemeinertes Durchutungsgesetz rot ~ H =~i ~ Strome oder zeitlich veranderliche elektrische Felder erzeugen Magnetfelder. (4) Regeln von Kirchho Verzweigen sich mehrere Leiter in einem Punkte P, so muss die Summe der einlaufenden Strome gleich der Summe der auslaufenden Strome sein: X I k = 0 (5) k In jedem geschlossenem Stromkreis ist die Summe aller Verbraucherspannungen gleich der Generatorspannung: X U k = X U ind;l (6) k l

4 1 THEORETISCHE GRUNDLAGEN Weitere Gesetze Regel von Lenz: Magnetischer Fluss Induktionsgesetz Der induzierte Strom wirkt seiner Ursache entgegen. = BA (7) U ind = N _ (8) Wechselstromwiderstande Die Impedanzen von Spule L und Kondensator C sind: Z := U (9) I Z C = 1 (10) i!c Z L = i!l (11) Elektromagnetische Kraft Ohmsches Gesetz ~F el = q ~ E + q~v ~ B (12) U = RI (13) 1.2 Magnetische Eigenschaften der Materie Zur Unterteilung der Materie in verschiedene Klassen bzgl. ihrer magnetischen Eigenschaften dient eine Funktion! B (! H ). Diamagnetika, Paramagnetika und Ferromagnetika stellen dabei die wichtigsten Klassen dar, wobei allgemein gilt: m heit magnetische Suszeptibilitat. ~B = 0 ~ H = (1 + m ) 0 ~ H (14) Diamagnetismus Fur m < 0 heien Substanzen diamagnetisch. Wird eine Probe einer diamagnetischen Substanz in ein inhomogenes Magnetfeld gebracht, so wird diese aus dem Feld herausgedrangt.

5 1 THEORETISCHE GRUNDLAGEN 5 Der Grund hierfur sind induzierte Wirbelstrome, die durch die Rotation der Atome zustande kommen. Dabei werden magnetische Momente erzeugt, die dem anliegenden Magnetfeld entgegengerichtet sind (Regel von Lenz). Daher ergibt sich eine negative Suszeptibilitat. Der Diamagnetismus ist temperaturabhangig. Insgesamt ist die Starke sehr gering: j m j Edelgase und Alkalikationen sind z.b. diamagnetisch Paramagnetismus Paramagnetisches Verhalten ndet man bei Substanzen mit ungepaarten Elektronen, die permanente magnetische Momente erzeugen. Solche Stoe werden in ein inhomogenes Magnetfeld hineingezogen. So lange kein aueres Magnetfeld anliegt, sind die Momente statistisch verteilt und heben sich gegenseitig auf. Erst durch Anlegen eines aueren Feldes richten sich die Momente aus und verstarken das Feld. m ist also positiv. Bei steigender Temperatur bewegen sich die Teilchen immer starker, was den Paramagnetismus abschwacht. Das Gesetz von Curie beschreibt die Temperaturabhangigkeit des Paramagnetismus: m = const T (15) Flussiger Sauersto und viele Metalle sind paramagnetisch Ferromagnetismus Beim Diamagnetismus und Paramagnetismus treten die magnetischen Momente nicht in Wechselwirkung. Treten in Feststoen Wechselwirkungen zwischen den Spins paramagnetischer Teilchen auf, so spricht man von kooperativem Magnetismus. Unterhalb einer stoabhangigen Temperatur, der Curie-Temperatur, erfolgt eine spontane Magnetisierung. Diese wird durch Spin-Spin Wechselwirkungen hervorgerufen. Unterhalb dieser Curie-Temperatur spricht man von ferromagnetischem Verhalten. Die Kopplung der Spins benachbarter Teilchen ist auf kleine Bezirke begrenzt, die sog. Weissschen Bezirke. Diese Bezirke richten sich durch Anlegen eines aueren Magnetfeldes jeweils schlagartig aus. Vorher ist der Sto magnetisch neutral, da auch die Ausrichtung der Bezirke statistisch verteilt ist. Bei ferromagnetischen Stoen ist die magnetische Suszeptibilitat um bis zu mal groer als bei paramagnetischen Stoen. Wird ein aueres! H -Feld angelegt, dessen Starke langsam erhoht wird, so richten sich die Weisschen Bezirke nach und nach aus, was die Magnetisierung verstarkt. Es entsteht eine Hysteresekurve.

6 1 THEORETISCHE GRUNDLAGEN 6 Hysterese-Kurve Mit Erhohung des aueren Feldes steigt die Magnetisierung des Stoes an, bis ein Sattigungswert erreicht ist. Wird das auere Feld abgeschaltet, so bleibt der Sto magnetisch (Remanenz). Verringert man das auere Feld weiter und schaltet es danach wieder ab, so erhalt man eine Hystereseschleife. Will man die Probe wieder entmagnetisieren, so kann man ein hochfrequentes! H -Feld anlegen, dessen Amplitude man langsam zuruckdreht. Oberhalb der Curie-Temperatur geht die Magnetisierung auch verloren. Die von der Hysteresekurve umschlossene Flache entspricht gerade der Verlustenergie: E = 1 I ~B d H 2 ~ (16) Ferromagnetismus tritt z.b. bei Eisen, Nickel und Cobalt auf. 1.3 Gegeninduktivitat Jeder Strom bildet ein Magnetfeld aus, welches in einem anderen Leiter eine Spannung induziert. So induziert auch beim Transformator die Sekundarspule in der Primarspule eine Spannung. Der zusatzlich Fluss in den Spulen ist: B1 = N 1 B 2 A = L 21 I 2 B2 = N 2 B 1 A = L 12 I 1

7 1 THEORETISCHE GRUNDLAGEN 7 Das Magnetfeld einer langen Spule ist B i = 0 N i l I i, womit fur die Gegeninduktivitaten gilt: N 1 N 2 L 12 = L 21 = 0 A l Uber das Gesetz von Biot-Savart lasst sich die Gegeninduktivitat herleiten: 1.4 Transformator L 12 = 0 4 ZZ ds 1 ds 2 s 1 s 2 r 12 Transformator Ein Transformator wandelt hohe Spannungen in niedrige Spannungen um und umgekehrt. Er besteht aus zwei Spulen, der Primar- und der Sekundarspule, welche beide vom gleichen magnetischen Fluss durchsetzt werden. An der Primarspule liegt die zu transformierende Spannung an, wohingegen an der Sekundarspule die Spannung abgegrien wird. Reale Transformatoren haben im Gegensatz zu idealen Transformatoren Leistungsverluste. Bei guten Geraten liegt der Wirkungsgrad uber 95%. Die beiden Spulen des Transformators sind uber einen Metallkern gekoppelt. Wird an die Primarspule eine Wechselspannung U 1 angelegt, so baut sich ein magnetsiches Feld! H und damit das! B -Feld! N B = 2 A 0 auf. Im Idealfall durchsetzt der daraus resultierende l magnetische Fluss Primar- und Sekundarspule des Transformators gleichermaen, so dass gilt: 1 = 2. Dies ware der Fall wenn das Magnetfeld innerhalb des Metallkerns bliebe und es keine Abschwachung des Felds duch Wirbelstrome gabe. Eine hohe Permeabilitat ist hier also von Nutzen. Durch voneinander isolierte Trafobleche lassen sich auch Wirbelstrome vermeiden.

8 1 THEORETISCHE GRUNDLAGEN 8 Die Sekundarspannung U 2 wird durch die Anderung des Flusses induziert. Aus diesem Grund funktioniert ein Transformator auch nur bei Wechselspannung. Ein Aufbau wie in obiger Abbildung ist nur zur Veranschaulichung sinnvoll, da auf Grund der Kanten und der Form kein hoher Wirkungsgrad zu erwarten ist. Sinnvoller sind Ringkerntransformatoren, bei denen beide Spulen ubereinander auf einen Torus gewickelt sind. Streufelder werden dadurch sehr gut vermieden. Fur den idealen Transformator gilt: P 1 = P 2, d.h. Leistungserhaltung. Insgesamt konnen am Transformator, je nach Ubersetzungsverhaltnis, beliebige Spannungen und Stromstarken realisiert werden. Mit Hilfe der Maschenregel und unter Berucksichtigung der Selbstinduktivitat (N 1 A B _ 2 = N N 1 A 0 2 r I2 _ l = 0 r A N 1N 2 I_ l 2 = L 12 I2 _ ) erhalt man: U 1 = R 1 I 1 U ind, 1 = R 1 I 1 + N 1 A( _ B 1 + _ B 2 ) = R 1 I 1 + L 1 _ I1 + L 12 _ I2 (17) Analog erhalt man die Sekundarspannung. Mit Wechselstrom I(t) = I 0 e i!t I(t) _ = i!i(t) Damit erhalt man fur die beiden Spannungen: ergibt sich U 1 = (R 1 + i!l 1 )I 1 + i!l 12 I 2 (18) U 2 = i!l 12 I 1 + (R 2 + i!l 2 )I 2 (19) Unter Annahme eine idealen, unbelasteten Transformators folgt mit dem Induktionsgesetz: U 1 = U ind;1 = ( N 1 _ ) (20) U 2 = N 2 _ = N2 U 1 N 1 (21) Dividiert man beide Gleichungen, so erhalt man das Ubersetzungsverhaltnis: U 1 U 2 = N 1 N 2 (22) Bei der Transformation betragt die Phasenverschiebung der Spannung, was das Minuszeichen angibt. Auerdem erhalt man: I 1 I 2 = N 2 N 1 (23) Ein Gleichspannungsanteil wird - wie oben erwahnt - nicht mittransformiert. Auf der Sekundarseite erhalt man also eine Wechselspannung.

9 2 VERSUCHSBESCHREIBUNG 9 2 Versuchsbeschreibung Schaltplan des Versuchsaufbaus 2.1 Bestimmung von Impedanzen Ein Transformator mit Primarwindungszahl N 1 = 50 und veranderlicher Sekundarwindungszahl N 2 wurde mit unterschiedlichen Widerstanden R 2 betrieben. Bei R 21 = 10, R 22 = 100, R 23 = 0 und R 24 = 1 wurden Strom und Spannung auf Primar- und Sekundarseite gemessen. Auf der Sekundarseite erubrigt sich allerdings in einigen Fallen die Strom- bzw Spannungsmessung, da der Widerstand R 2 bekannt ist. Aus Gl. 18 und Gl. 19 erhalt man fur den Leerlauf (I 2 = 0): U 1 = (R 1 + i!l 1 )I 1 U 2 = i!l 12 I 1 und fur den Kurzschluss (U 2 = 0): U 1 = (R 1 + i!l 1 )I 1 + i!l 12 I 2 0 = i!l 12 I 1 + (R 2 + i!l 2 )I 2 Bei einer idealen Spule ist R 1 = 0. Nach kurzer Umformung erhalt man fur die Impedanzbetrage im Leerlauf:

10 3 VERSUCHSAUSWERTUNG 10 beim Kurzschluss: L 1 = U 1!I 1 (24) L 12 = U 2!I 1 (25) U 1 = i!l 1 I 1 + i!l 12 I 2 (26) L 12 = L 2 I 2 I 1 (27) 2.2 Kopplungsgrad des Transformators Der Kopplungsgrad ist deniert als: = L 12 p L1 L 2 3 Versuchsauswertung Der Versuch wurde bei den Frequenzen 1 = 130Hz und 1 = 320Hz durchgefuhrt. Die Tabellen benden sich im Anhang. 3.1 Verizierung der Ubersetzungsverhaltnisse Leerlaufmessung Bei der Leerlaufmessung wurden die Ubersetzungsverhaltnisse von n s n p zu U s U p uberpruft. Laut Theorie sollte eine Ursprungsgerade entstehen. Die von Excel druchgefuhrte lineare Regression ist im Diagramm mit angegeben.

11 3 VERSUCHSAUSWERTUNG 11 Ubersetzungsverhaltnis Leerlaufmessung 130Hz Ubersetzungsverhaltnis Leerlaufmessung 320Hz

12 3 VERSUCHSAUSWERTUNG 12 Abbildung 1: Ubersetzungsverhaltnis Kurzschlussmessung 130Hz Die Ergebnisse der Leerlaufmessung sind zufriedenstellend. Die Regression bei 320Hz liefert eine Ursprungsgerade und stimmt so sehr gut mit der Theorie uberein (Anm: Excel rechnet hier mit drei Nachkommastellen) Kurzschlussmessung Bei der Leerlaufmessung wurden die Ubersetzungsverhaltnisse von n s n p zu I p I s uberpruft. Laut Theorie sollte eine winkelhalbierende Ursprungsgerade entstehen. Die von Excel druchgefuhrte lineare Regression ist im Diagramm mit angegeben.

13 3 VERSUCHSAUSWERTUNG 13 Ubersetzungsverhaltnis Kurzschlussmessung 320Hz Auch hier ergeben die Messwerte annahernd eine winkelhalbierende Ursprungsgerade. Allerdings liegen bei der Messung mit 130Hz die ersten drei Werte etwas unterhalb der Geraden. Die Ursache konnte die Messbereichumschaltung sein. 3.2 Transformator unter Last Bringt man in den Sekundarkreis bei beiden Frequenzen jeweils Widerstande R 1 = 10 und R 2 = 100, so ergeben sich fur das Verhaltnis von Leistung zu Windungszahl folgende Kurven:

14 3 VERSUCHSAUSWERTUNG 14 Widerstand 10 Ohm bei 130 Hz Widerstand 10 Ohm bei 320 Hz

15 3 VERSUCHSAUSWERTUNG 15 Widerstand 100 Ohm bei 130 Hz Widerstand 100 Ohm bei 320 Hz Man sieht, dass die Kurve ein Maximum besitzt. Bei kleinerem Widerstand und groer werdender Frequenz verschiebt sich dieses Maximum in Richtung kleinerer Windungszahlen.

16 3 VERSUCHSAUSWERTUNG Induktivitaten Zur spateren Bestimmung des Kopplungsgrades werden die Induktivitaten benotigt. Bestimmt werden die Eigeninduktivitaten der beiden Spulen L 1 und L 2 sowie die gegenseitige Induktivitat L 12 mit den im Theorieteil hergeileiteten Formeln. Die Tabellen benden sich im Anhang 5-8 (Anm: Im Anhang gilt: L 1 = L p ; L 2 = L s ; L 12 = L ps ). Aus der Leerlaufmessung lasst sich L 1 und L 12 bestimmen. Aus der Kurzschlussmessung erhalt man L Frequenz 130 Hz L 1 [H] L 1 [H 10 7 ] L 12 [H] L 12 [H 10 7 ] L 2 [H] L 2 [H 10 3 ] n s 0, ,59 0, ,840 0, , , ,59 0, ,308 0, , , ,59 0, ,964 0, , , ,59 0, ,640 0, , , ,59 0, ,351 0, , , ,59 0, ,084 0, , , ,59 0, ,829 0,1131 4, , ,59 0, ,016 0,1639 7, , ,59 0, ,216 0, , , ,59 0, ,755 0, , , ,59 0, ,174 0, , , ,59 0, ,396 0, , , ,59 0, ,685 0, , , ,59 0, ,997 1, , Die Fehler wurden per Gauscher Fehlerfortpanzung berechnet.

17 3 VERSUCHSAUSWERTUNG Frequenz 320 Hz L 1 [H] L 1 [H 10 7 ] L 12 [H] L 12 [H 10 7 ] L 2 [H] L 2 [H 10 3 ] n s 0, ,01 0, ,027 0, , , ,01 0, ,634 0, , , ,01 0, ,343 0, , , ,01 0, ,028 0, , , ,01 0, ,723 0, , , ,01 0, ,422 0, , , ,01 0, ,125 0, , , ,01 0, ,232 0, , , ,01 0, ,343 0, , , ,01 0, ,758 0, , , ,01 0, ,068 0, , , ,01 0, ,271 0, , , ,01 0, ,524 0, , , ,01 0, ,828 1, , Die Fehler wurden per Gauscher Fehlerfortpanzung berechnet. 3.4 Kopplungsgrad Mit Hilfer der oben bestimmten Induktivitaten lasst sich der Kopplungsgrad wie im Theorieteil hergeleitet berechnen.

18 3 VERSUCHSAUSWERTUNG Frequenz 130 Hz n s 15 0,923 0, ,966 0, ,999 0, ,012 0, ,006 0, ,011 0, ,013 0, ,027 0, ,018 0, ,056 0, ,024 0, ,991 0, ,039 0, ,013 0,064 Das Ergebnis liegt im Bereich des erwarteten Fehlers, welcher per Gauscher Fehlerfortpanzung berechnet wurde Frequenz 320 Hz n s 15 0,960 0, ,983 0, ,997 0, ,996 0, ,993 0, ,000 0, ,996 0, ,001 0, ,993 0, ,000 0, ,003 0, ,013 0, ,013 0, ,993 0,062 Das Ergebnis liegt im Bereich des erwarteten Fehlers, welcher per Gauscher Fehlerfortpanzung berechnet wurde.

19 3 VERSUCHSAUSWERTUNG Bestimmung der Ausgangsimpedanz bei maximaler Leistung Die Ausgangsimpedanz berechnet sich mit jzj = R 2 +($L) 2, wobei der Fehler per Gauscher Fehlerfortpanzung berechnet wurde. Bei maximaler Leistung erhalt man folgende Impedanzen: n f [Hz] R [] jzj [] jzj [] ,08 0, ,04 0, ,47 1, ,28 3, Zusammenhang zwischen Spannungsubersetzungsverhaltnis und Windungszahl Die Auftragung der Ubersetzungsverhaltnisse bei 10 und 100 liefert folgende Diagramme (siehe auch: Anhang 11 und 12) Ubersetzungsverhaltnis bei 10 Ohm

20 3 VERSUCHSAUSWERTUNG 20 Ubersetzungsverhaltnis bei 100 Ohm Wie man erkennt, verringert sich das Ubersetzungsverhaltnis bei eingebauten Widerstanden. Dabei sinkt dieses bei steigendem Windungszahlenverhaltnis. Bei 10 sinkt das Spannungsverhaltnis wesentlich starker als bei Fehlerbetrachtung Bei den qualitativen Versuchsteilen stimmen die Werte und Diagramme gut mit der Theorie uberein. Auch die Bestimmung des Kopplungsgrades liefert sinnvolle Ergebnisse, die sich im Rahmen des berechneten Fehlers benden. Eine Bewertung der Induktivitaten ist schwierig, da hier keine weiteren Vergleichsdaten vorliegen. Es zeigt sich allerdings (Anhang 5 bis 8), dass L 2 N2 2 und L 12 N 2 ist. Die Induktivitaten sind auerdem im Bereich sinnvoller Groenordnungen.

21 3 VERSUCHSAUSWERTUNG 21 Quellen [1] W. Demtroder, Experimentalphysik 2, Elektrizitat und Optik, Axel Springer Verlag, 2006 [2] W.Walcher, Praktikum der Physik, Stuttgart, 1989 [3] David R. Lide, CRC Handbook of Chemistry and Physics, 84. Auage, 2003 [4] J. Krause, J.Grehn, Metzler Physik, Schroedel Verlag GmbH, Hannover 2004 Anmerkung: Alle Vergleichswerte stammen von [3]