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1 Mathemati für Physier I, WS 203/204 Montag. $Id: reell.tex,v // 2:32:08 h Exp $ Die reellen Zahlen.5 Potenzen mit rationalen Exponenten Wir behandeln gerade die Bernoulli-Ungleichung +x) n +nx gültig für alle n N und alle x R mit x. Für n 0,, 2, 3, 4 haben wir die Ungleichung bereits nachgewiesen, wir hatten auch eingesehen das die Bernoullische Ungleichung für n 4 aus derjenigen für n 3 folgt welche sich wiederum aus dem Fall n 2 herleiten läßt. Schreiben wir bei weiterhin fixierten x An) : + x) n + nx für die Bernoullische Ungleichung für n N, so önnen wir unsere Überlegungen der letzten Sitzung auch in der Form A2) A3) A4) A5) A6) A7) schreiben. Wir behaupten das sich diese Impliationsette immer weiter fortsetzt, dass also ganz allgemein An) An + ) für jedes n N mit n 2 ist. Dies ist im wesentlichen dieselbe Rechnung wie im Fall n 2. Sei etwa ein n N mit n 2 gegeben. Um die Impliation An) An + ) einzusehen, önnen wir, wie schon im vorigen Abschnitt festgehalten, die Aussage An) als wahr annehmen, es gelte also bereits + x) n + nx. Multiplizieren wir diese Ungleichung mit + x 0, so folgt weiter + x) n+ + x) + nx) + n + )x + nx 2 + n + )x, es gilt also auch An + ) und die Impliation An) An + ) ist bewiesen. Unsere obige Impliationsette setzt sich also endlos fort A0) A) A2) A3) A4) A5), wobei wir diesmal bei A0) anfangen da die ersten beiden Impliationen sowieso gelten. Unsere Folgerungsette ann also zu jedem n N verlängert werden und An), d.h. die Bernoullische Ungleichung, gilt damit allgemein für n N. Das Vorgehen im eben durchgeführten Beweis ist streng genommen weder ein direter noch ein indireter Beweis, da das ann also zu jedem n N verlängert werden zwar plausibel aber ein direter Beweis ist. Es handelt hier um eine sogenannte vollständige Indution, diese ist ein eigenständiger Beweistyp, den wir nun auch allgemein besprechen wollen. Die vollständige Indution ist ein Beweisverfahren, um 5-

2 Mathemati für Physier I, WS 203/204 Montag. Aussagen über alle natürlichen Zahlen zu beweisen, genauer geht es um Allaussagen der Form n N) : An), wobei An) eine Aussage über natürliche Zahlen n ist, beispielsweise das obige An) aus der Bernoulli-Ungleichung. Ein Indutionsbeweis erfolgt in zwei Schritten:. Indutionsanfang: Zeige das die Aussage A0) gilt. 2. Indutionsschritt: Hier ist zu zeigen, dass aus An) für n N auch An + ) folgt, d.h es ist die Allaussage n N) : An) An + ) zu beweisen. Den Indutionsschritt unterteilt man meistens in zwei Teile: a) Indutionsannahme: Sei n N mit An) gegeben. b) Indutionsschritt: Zeige, dass auch An + ) gilt. Haben wir Indutionsanfang und Indutionsschritt erfolgreich durchgeführt, so besagt das Prinzip der vollständigen Indution, dass die Aussage An) für jedes n N wahr ist. Hieraus folgt dann beispielsweise die allgemeine Gültigeit der Bernoullischen Ungleichung, wir werden diese etwas weiter unten auch noch einmal explizit als ein Lemma festhalten. Ein häufiges Mißverständnis besteht darin zu glauben, dass man beim Indutionsschritt bereits weiss das An) wahr ist. Dies ist aber nicht der Fall, alles was gezeigt wird ist die Impliation An) An + ) und wie immer beim Beweis einer Impliation ann man annehmen das die Voraussetzung der Impliation, also An), wahr ist denn andernfalls ist die Impliation sowieso wahr. Überlegen wir uns urz noch einmal in der allgemeinen Situation warum ein Indutionsbeweis funtioniert. Im Indutionsanfang wird A0) nachgewiesen und im Indutionsschritt wird weiter An) An + ) für alle n N gezeigt. Mit n 0 wissen wir insbesondere A0) A0 + ) A), d.h. A0) und die Impliation A0) A) sind wahr und somit ist auch A) wahr. Mit n haben wir dann auch A) A+) A2) und da wir A) bereits eingesehen haben, ist auch A2) wahr. So fortfahrend sind dann auch A3), A4),..., und immer so weiter, wahr. Da wir so bei jeder natürlichen Zahl n N vorbeiommen ist An) für jedes n N wahr. Dies sollte Sie von der Gültigeit der Methode der vollständigen Indution überzeugen. Es ist allerdings wieder ein exates Argument für diese, da wir das Problem in dem harmlos aussehenden und so weiter verstect haben. Tatsächlich werden viele einfache Indutionsbeweise gar nicht explizit als solche benannt sondern mit Formulierungen wie so fortfahrend verschleiert, wir sind beispielsweise im vorigen Abschnitt beim Nachweis der Kettenform des Transitivitätsgesetzes der Anordnung auf diese Weise vorgegangen. In den allermeisten Fällen ist der Indutionsanfang eine recht banale Angelegenheit. Trotzdem ist er unverzichtbar, der Indutionsschluß ann auch bei falschen Aussagen funtionieren. Nehmen wir einmal die offensichtlich unsinnige Aussage n > n + als unser An). Ist dann n N mit An), also n > n +, so folgt durch Addition mit Eins auch n + > n + ) +, also An + ). Der Indutionsschluß ist hier also problemlos 5-2

3 Mathemati für Physier I, WS 203/204 Montag. möglich, der Anfang natürlich nicht. Dies ist ein seltenes Phänomen, nehmen Sie einmal an die Aussage An) ist für jedes n N falsch. Da aus falschem alles folgt, gilt dann An) An + ) für jedes n N, der Indutionsschluß funtioniert also immer wenn die Aussage An) niemals richtig ist. Es spielt eine Rolle das als Startpunt der Indution n 0 verwendet wird, man ann einen Indutionsbeweis auch bei einem beliebigen n n 0 N starten. Sehr häufig wird n als Start verwendet da n 0 oft ein Sonderfall ist. Als ein vollständiges Beispiel eines Indutionsbeweises, wollen wir jetzt die Bernoulli-Ungleichung, sogar in einer etwas erweiterten Form, explizit formulieren und beweisen. Lemma.6 Die Bernoulli-Ungleichung) Für alle x R mit x und alle n N gilt die Ungleichung + x) n + nx und genau dann ist + x) n + nx wenn n oder x 0 ist. Beweis: Sei x R mit x. Dann gelten sofort + x) x sowie + x) + x und im Fall x 0 ist auch + x) n n + n x für jedes n N. Wir önnen daher im Folgenden x 0 annehmen und wollen + x) n > + nx für alle n N mit n 2 zeigen. Dies geschieht nun durch vollständige Indution nach n. Zunächst ist + x) 2 + 2x + x 2 > + 2x, unsere Behauptung gilt also im Fall n 2 und der Indutionsanfang ist durchgeführt. Nun sei ein n N mit n 2 und + x) n > + nx gegeben. Wegen + x 0 folgt dann auch + x) n+ + x) + nx) + n + )x + nx 2 > + n + )x, und unsere Behauptung gilt auch für n +. Per vollständiger Indution ist damit + x) n > + nx für alle n N mit n 2. Wir wollen auch noch einen zweiten Indutionsbeweis vorführen und die sogenannte allgemeine binomische Formel herleiten. Dies ist eine Formel für die Potenzen einer Summe, also für x + y) n mit x, y R, n N. Um diese hinzuschreiben benötigen wir allerdings zwei leine Vorbereitungen, zunächst einmal wollen wir das sogenannte Summenzeichen einführen. Man schreibt beispielsweise für n N n. Das große Sigma ist hier das Summenzeichen und der sogenannte Summationsindex. Das Summenzeichen n a wird so interpretiert das die Werte von bis n durchläuft, für jedes solche die Zahl a gebildet wird und alle diese Zahlen aufsummiert werden. Beispielsweise sind oder

4 Mathemati für Physier I, WS 203/204 Montag. Oftmals läßt man den Summationsindex auch über eine ompliziertere Menge laufen, die dann in der Regel unterhalb des Summenzeichens beschrieben wird, beispielsweise 0 Primzahl Der Summationsindex ist eine der in der ersten Sitzung erwähnten formalen Variablen, insbesondere gibt es ihn nur innerhalb der Summe und nicht außerhalb. Bei omplexeren Summen dürfen auch mehrere Summationsindizes gleichzeitig verwendet werden, beispielsweise i<j 3 i + j Hier durchlaufen die Summationsindizes i, j die möglichen Werte i, j), 2),, 3) und 2, 3). Sind a,..., a n, b,..., b n und c beliebige Zahlen, so gelten offenbar a + b ) a + ca ) c a. b und Entsprechende Formeln gelten dann natürlich auch für die Summation über ompliziertere Indexbereiche. Analog zum Summenzeichen gibt es dauch ein Produtzeichen, hierfür verwendet man ein großes Pi, also beispielsweise 5 2 ) Die beiden obigen Formeln nehmen für das Produtzeichen die Form n a b ) n ) m a n a n a m n b, an, wobei n, m N, a,..., a n, b,..., b n R sind. Die Potenzformel gilt dann auch für Potenzen mit rationalen oder reellen Exponenten, sobald diese definiert sind. Genau wie beim Summenzeichen werden auch Produte über ompliziertere Indexbereiche oder mit mehreren Indizes notiert, etwa oder j i ist Primzahl 5-4 i<j 3

5 Mathemati für Physier I, WS 203/204 Montag. Einen Randfall wollen wir noch erwähnen, wenn der Indexbereich einer Summe oder eines Produtes überhaupt eine Elemente enthält, wir also eine leere Summe beziehungsweise ein leeres Produt haben, so wird die leere Summe per Konvention als 0 interpretiert und das leere Produt ist per Konvention gleich. Als zweite Vorbereitung für die allgemeine binomische Formel wollen wir die sogenannten Binomialoeffizienten einführen. Definition.8 Faultäten und Binomialoeffizienten) Sei n N. Dann heißt die Zahl n n! : 2... n die Faultät von n. Für n 0 wird dieses leere Produt wie gerade beschrieben als 0! interpretiert. Weiter definieren wir für jedes N mit 0 n den Binomialoeffizienten von n über als n ) : n!!n )! n n )... n + ).! Man ann die Binomialoeffizienten beuem über das sogenannte Pascalsche Dreiec berechnen. Denen wir uns die Binomialoeffizienten n ) zu festen n zeilenweise angeordnet ) 0 0 ) ) 0 ) 2 ) 2 ) ) 3 ) 3 ) 3 ) so ergibt sich der -te Binomialoeffizient in Zeile n als die Summe des )-ten und des -ten Binomialoeffizienten in Zeile n, d.h. als die Summe der lins und rechts über ihm stehenden Einträge. Beispielsweise erhalten wir für n, 2, 3, 4, 5, 6 die Werte

6 Mathemati für Physier I, WS 203/204 Montag. Als Formel geschrieben bedeutet das Pascalsche Dreiec das für alle n, N mit n stets ) ) ) n + n n + gilt. Dies läßt sich leicht nachrechnen + n! )!n + )! + n!!n )! n! n + )!n )! n! + n + )!n )! n + )! n +!n )! Damit haben wir alle notwendigen Hilfsmittel bereitgestellt um nun die allgemeine binomische Formel zu behandeln. Lemma.7 Allgemeine binomische Formel) Für alle x, y R, n N gilt x + y) n 0 x y n. ). Beweis: Seien x, y R gegeben. Wir beweisen die binomische Formel durch Indution nach n. Wegen ) 0 x + y) 0 x 0 y 0 0 gilt die binomische Formel für n 0 und der Indutionsanfang ist nachgewiesen. Nun sei ein n N mit x + y) n x y n gegeben. Multiplizieren wir diese Gleichung mit x + y, so folgt weiter 0 x + y) n+ x + y) x y n x n+ y + x n y n+ x n+ y + x n+ y 0 [ ) )] n n x n+ + + x n+ y + y n+ + n+ + x n+ + x n+ y + y n+ x n+ y, 5-6 0

7 Mathemati für Physier I, WS 203/204 Montag. und wir haben den Indutionsschritt durchgeführt. Per vollständiger Indution ist das Lemma damit bewiesen. Beispielsweise sind damit + ) n 2 n und 0 ) ) n 0, letzteres für n. Konret haben wir für einige leine Werte des Exponenten n die Gleichungen x + y) 2 x 2 + 2xy + y 2, 0 x + y) 3 x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3, x + y) 4 x 4 + 4x 3 y + 6x 2 y 2 + 4xy 3 + y 4, x + y) 5 x 5 + 5x 4 y + 0x 3 y 2 + 0x 2 y 3 + 5xy 4 + y 5, x + y) 6 x 6 + 6x 5 y + 5x 4 y x 3 y 3 + 5x 2 y 4 + 6xy 5 + y 6. Wir wollen noch eine erste Anwendung der binomischen Formel vorführen und den Beweis der Bernoullischen Ungleichung im Hauptfall x 0 vereinfachen. Sind n N und x R mit x 0, so ist auch x 0 für jedes N und damit folgt sofort + x) n 0 x + nx + 2 x + nx. Andere Abschätzungen für Potenzen von + x ann man jetzt ganz analog durch weitere Anwendungen der binomischen Formel erhalten. Sind beispielsweise n N und n gegeben, so folgt für jedes x R mit x 0 auch + x) n l0 n l ) x l + n ) x. Hier haben wir einfach alle Terme bis auf zwei in der binomischen Formel weggelassen, was den Ausdruc wegen x 0 leiner macht. Als nächsten Schritt definiert man dann Potenzen mit negativen, ganzzahligen Exponenten. Diese ann man aber nur noch für eine von Null verschiedene Basis einführen. Bereits im Axiom M4) haben wir für 0 x R die Schreibweise x eingeführt, und nach unserer Bruchdefinition ist x x x. Für n N mit n und 0 x R setzen wir allgemein x n : x n x) n. 5-7

8 Mathemati für Physier I, WS 203/204 Montag. Auch für diesen allgemeineren Potenzbegriff gelten dann die Potenzrechenregeln x xy) n x n y n, xn y y, n xn x m x n+m und x n ) m x nm für alle x, y R\{0}, n, m Z. Auch dies müsste man eigentlich beweisen, aber wir wollen uns dies an dieser Stelle ersparen. Eine vernünftige Formel für Potenzen von Summen bei negativen Exponenten gibt es leider nicht. Ordnungsbeziehungen drehen sich bei negativen Exponenten um, für x, y R mit x, y > 0 haben wir zunächst und für jedes n N mit n folgt weiter also haben wir insgesamt x < y y < x y < x y ) n <, x x, y R, x, y > 0) n Z, n < 0) : x < y y n < x n. Die nächste Ausdehnung des Potenzbegriffs erfolgt auf rationale Exponenten, d.h. wir wollen Potenzen x a für reelles x R mit x > 0 und rationales a Q definieren. Dies erfolgt durch Rücgriff auf reelle Wurzeln, aber leider sagen unsere Axiome für die reellen Zahlen nicht diret das es solche Wurzeln überhaupt gibt. Wie schon bemert legen die angegebenen Axiome die reellen Zahlen vollständig fest, wir sollten die Existenz von Wurzeln also beweisen önnen. Um den Beweis übersichtlich zu halten, wollen wir zunächst einige leine Vorüberlegungen anstellen. Sind x, y R mit x < y, so folgt x x + x 2 < x + y 2 < y + y 2 also ist z : x + y)/2 eine reelle Zahl zwischen x und y, d.h. x < z < y. Weiter behaupten wir das es für je zwei reelle Zahlen x, y R mit 0 x < y stets eine reelle Zahl z R mit z > und xz < y gibt. Für x 0 ist dies etwa mit z : 2 erfült und für x > 0 haben wir y/x >, also existiert z R mit < z < y/x und durch Multipliation mit x > 0 folgt xz < y. Nun seien n N mit n und x, y R mit x > 0 und x n < y gegeben. Wir behaupten das es dann auch ein z R mit z > x und z n < y gibt. Zunächst gibt es nämlich eine reelle Zahl u > mit x n u < y. Dann ist u > 0 also ist { } u ɛ : min 2 n, eine reelle Zahl mit 0 < ɛ und + 2 n )ɛ u. Wir erhalten die reelle Zahl z : x + ɛ) > x. Wegen ɛ gilt ɛ ɛ für jedes N mit, also liefert die binomische Formel Lemma 7 + ɛ) n 0 n ) ɛ y, ɛ + 2 n )ɛ u

9 Mathemati für Physier I, WS 203/204 Montag. und somit ist auch z n x n + ɛ) n x n u < y. Eine analog Aussage läßt sich auch in die andere Richtung beweisen, sind n N mit n und x, y R mit x > 0 und x n > y > 0, so existiert eine weitere reelle Zahl z R mit 0 < z < x und z n > y. In der Tat, betrachten wir die positiven Zahlen /x, /y > 0 mit /x) n /x n < /y, so gibt es nach der eben bewiesenen Aussage ein z R mit z > /x und z n < /y. Damit ist auch z : z < x mit z > 0 und z n z n > y. Nach diesen Vorbereitungen ommen wir zum Beweis der Existenz von Wurzeln reeller Zahlen. Lemma.8 Existenz von Wurzeln) Sei n N mit n. Dann existiert für jede reelle Zahl a R mit a 0 genau eine reelle Zahl s R mit s 0 und s n a. Beweis: Da für x, y R mit 0 x < y stets x n < y n also insbesondere x n y n gilt, ist die Eindeutigeit der Wurzel s lar. Es ist also nur noch die Existenz zu beweisen. Wir betrachten zunächst den Fall a und setzen M : {x R x > 0 und x n a} R. Wegen M ist dann M. Weiter ist a eine obere Schrane von M, denn ist x M so gilt im Fall x sofort x a und im Fall x > haben wir ebenfalls x x n a. Damit ist die Menge M auch nach oben beschränt und das Vollständigeitsaxiom V) liefert die Existenz von s : sup M sup{x R x > 0 x n a}. Wegen M ist s, also insbesondere s > 0. Wir behaupten das s n a ist und hierzu zeigen wir das weder s n < a noch s n > a gelten ann. Angenommen es wäre s n < a. Wie eingangs gezeigt gibt es dann ein t R mit t > s und t n < a, d.h. es ist t M und somit t s, ein Widerspruch. Wäre s n > a, so gibt es wieder nach unserer Vorbemerung eine reelle Zahl t R mit 0 < t < s und t n > a. Nach Lemma 3.a) existiert ein x M mit x > t und damit ergibt sich der Widerspruch a < t n < x n a. Damit muss s n a gelten und die Existenz einer n-ten Wurzel ist im Fall a bewiesen. Für a 0 ist die Existenz einer n-ten Wurzel lar, wir müssen also nur noch den Fall 0 < a < behandeln. Dann ist /a > und wie bereits gezeigt existiert ein s R mit s 0 und s n /a. Wegen /a 0 ist auch s 0 und damit ist /s > 0 mit /s) n a. 5-9

10 Mathemati für Physier I, WS 203/204 Montag. Die Zahl s des Lemmas wird dann natürlich als die n-te Wurzel n a : s von a definiert, d.h. n a ist diejenige, nicht negative, reelle Zahl deren n-te Potenz gleich a ist. Sind jetzt x R mit x > 0 und a Q gegeben, so schreiben wir a p/ mit p, Z, und definieren x a x p : ) p > 0. Diese Zahl hängt tatsächlich nur von a und nicht von den speziell gewählten p und ab, denn sind auch t, s Z mit s und a t s p, so ist auch t sp, also haben wir ) p ) s ) ps ) ) ps x ps x t s ) s) t s ) st s ) t ) s, und somit ist auch ) p s ) t. Damit ist x a tatsächlich sinnvoll definiert. Auch für diese allgemeineren Potenzen ergeben sich jetzt wieder die Potenzrechenregeln ) a x xy) a x a y a, xa y y, a xa ) b x ab und x a x b x a+b für alle x, y R, a, b Q mit x, y > 0. Auf den Nachweis dieser Formeln wollen wir hier verzichten. Auch die Regeln für Ungleichungen gelten für die Potenzen mit rationalen Exponenten. Sind zunächst x, y R mit x, y 0 und n N mit n, so haben wir n < n y n ) n < n y) n x < y. Sind dann weiter x, y R und a Q mit x, y, a > 0, so önnen wir a p/ mit p, N, p, schreiben, und es ergibt sich x < y < y ) p < y) p x a < y a. Noch nicht definiert haben wir Potenzen x a mit beliebigen reellen Exponenten a R und positiver Basis x > 0. Eine Möglicheit diese Potenzen zu definieren ist zunächst für x > x a : sup{x Q, a} zu setzen und für 0 < x < setzt man dann x a : x ) a ) oder gleichwertig x a : inf{x Q, a}. Der Fall x ist dann ein Sonderfall und man setzt a : für alle a R. Das önnte man zwar alles so tun, und es ergibt auch den orreten Potenzbegriff, der Nachweis der Potenzrechenregeln ist dann aber unnötig aufwendig. Später in diesem Semester wird sich noch eine bessere Methode zur Definition allgemeiner Potenzen ergeben, und wir verschieben dieses Thema daher auf diesen späteren Zeitpunt. 5-0