3 Die natürlichen, die ganzen und die rationalen

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1 3 Die natürlichen, die ganzen und die rationalen Zahlen 3.2 Die Menge N der natürlichen Zahlen 3.3 Induktionsprinzip 3.5 N ist abgeschlossen bzgl. Addition und Multiplikation 3.6 N ist wohlgeordnet 3.7 Vollständige Induktion 3.9 Bernoullische Ungleichung 3.0 Geometrische Summenformel 3.2 N 0 und die ganzen Zahlen Z 3.3 Die rationalen Zahlen Q 3.4 Rechenregeln für Potenzen 3.8 Rechenregeln für Binomialkoeffizienten 3.9 Binomischer Lehrsatz 3.24 Gleichmächtigkeit 3.26 Endlichkeit und Kardinalzahl von endlichen Mengen 3.36 Charakterisierung der endlichen und unendlichen Mengen ist keine rationale Zahl In den Axiomen für den angeordneten, vollständigen Körper R taucht der Begriff oder auch nur das Wort natürliche Zahl nicht auf. Man steht daher vor der Aufgabe, die natürlichen Zahlen mit den Mitteln dieses Axiomensystems zu definieren. Man nennt hierzu die Zahl eine natürliche Zahl und definiert die anderen natürlichen Zahlen durch 2 : +, 3 : 2 +, 4 : 3 +, 5 : 4+, 6 : 5+, 7 : 6+, 8 : 7+, 9 : 8+, 0 : 9+ und so weiter. Etwas genauer sollen die natürlichen Zahlen beschrieben werden durch: I II a ist eine natürliche Zahl, b ist n eine natürliche Zahl, so ist auch n + eine natürliche Zahl. Nur die aus durch endliche Anwendung der Schlußregel Ib entstehenden reellen Zahlen sollen natürliche Zahlen heißen. Die Präzisierung dieser Vorstellung führt zu folgenden Definitionen: C [3]

2 Kapitel I Reelle Zahlen 3. Induktive Mengen Eine Menge I heißt induktiv, wenn I R ist, und die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind: i I; ii a I a + I. Es gibt viele induktive Mengen, z.b. I : R, I : R +. Nach Vorstellung I muß die noch zu definierende Menge der natürlichen Zahlen eine induktive Menge sein. Vorstellung II legt nahe, die Menge der natürlichen Zahlen als möglichst kleine induktive Menge einzuführen. Betrachtet man hierzu die Menge T M : PR aller induktiven Mengen, so wird man versuchen nachzuweisen, daß T ein Minimum besitzt. Nach den Überlegungen des nach.7 ist das Minimum von T bzgl., wenn es überhaupt existiert, durch I T I gegeben. Dies führt zu folgender Definition: 3.2 Die Menge N der natürlichen Zahlen Sei T die Menge aller induktiven Mengen. Die Menge der natürlichen Zahlen wird definiert durch N : I T I, also als Durchschnitt aller induktiven Mengen. Es ist N das kleinste Element von T bzgl., d.h. siehe Definition.4 i N ist eine induktive Menge; ii N I für jede induktive Menge I. Beweis. i Es ist I für jedes I T siehe 3.i. Also ist I T I N. Sei a N, d.h. a I für jedes I T. Dann ist a + I für jedes I T siehe 3.ii. Also ist a + I T I N. Nach Definition 3. ist daher N eine induktive Menge. ii Ist I eine induktive Menge, dann gilt I T und somit N I T I I. Aus der Definition von N folgt unmittelbar das folgende wichtige Induktionsprinzip: 3.3 Induktionsprinzip Sei I eine Menge natürlicher Zahlen mit A I; S n I n + I. Dann ist I N. [3] 2 C

3 Die natürlichen, die ganzen und die rationalen Zahlen Beweis. Wegen A, S und I N R ist I eine induktive Menge. Somit gilt N I nach 3.2ii und damit wegen I N auch I N. Es heißt A auch der Induktionsanfang und S der Induktionsschluß. Die folgenden drei Sätze beweisen wir mit dem Induktionsprinzip. 3.4 Positivität der natürlichen Zahlen Jede natürliche Zahl ist und somit insbesondere positiv. Beweis. Es ist I : {n N : n } eine Menge natürlicher Zahlen. A Es ist N und, also I. S n I n N n n+ 3.2i N n+ 2.3viii n n+ I. Nach 3.3 ist also I N, d.h. jede natürliche Zahl ist. Wegen > 0 siehe 2.3viii ist damit jede natürliche Zahl insbesondere positiv. 3.5 N ist abgeschlossen bzgl. Addition und Multiplikation i m, n N m + n, m n N; ii m, n N m < n n m N; iii m, n N m < n m+ n; d.h. ist m eine natürliche Zahl, so liegt zwischen m und m + keine weitere natürliche Zahl. Beweis. i Sei m N. Um m + n N zu zeigen, setze I : {n N : m + n N} N. A Es ist I, da N ist und wegen m N auch m + N ist. S Ist nun n I, so gilt n N und m + n N nach Definition von I. Damit sind n + und m + n + m + n + aus N, d.h. n + I. Nach 3.3 gilt somit I N. Also ist mit m N und n N auch m + n N. Um m n N zu zeigen, setze I : {n N : m n N} N. A Es ist I, da und m m N sind. S Sei n I, dann sind n und m n N. Also ist auch n + N, und nach dem gerade Bewiesenen auch m n+ m n+m N. Also ist n+ I. Daher gilt I N nach 3.3. ii Wir zeigen zunächst: N {} {n N : n N} : I. Nun ist I N und es gilt: C [3] 3

4 Kapitel I Reelle Zahlen A I. S Sei n I. Dann ist n N und somit sind n + und n + n Elemente von N. Also ist n + I. Aus A und S folgt nach 3.3, daß N I ist, d.h. es gilt. Wir zeigen jetzt: 2 N {n N : m N m < n n m N} : I. Es ist I N, und es gilt: A I, denn es ist N, und es gibt nach 3.4 gar kein m N mit m <. S Sei n I. Zu zeigen ist n + I. Nun ist mit n auch n + N. Zu zeigen bleibt daher, daß für m N mit m < n + auch n + m N ist. Für m ist dieses wegen n N klar. Sei nun m >. Dann ist nach auch m N und wegen n I und m < n folgt daher n + m n m N. Aus A und S folgt nach 3.3, daß N I ist, d.h. es gilt 2 und somit ii. iii Aus m < n für m, n N folgt n m N nach ii und somit n m nach 3.4. Also ist m + n. Man nennt eine totalgeordnete Menge M wohlgeordnet, wenn jede nicht-leere Teilmenge von M ein kleinstes Element besitzt. 3.6 N ist wohlgeordnet Jede nicht-leere Teilmenge von N besitzt ein kleinstes Element. Beweis. Angenommen, L sei eine nicht-leere Teilmenge von N ohne kleinstes Element. Setze dann I : {n N : n < t für alle t L}. Wir zeigen: I N ist induktiv. Dann gilt I N und somit t < t für jedes t L. Da L ist, erhalten wir den gewünschten Widerspruch. Zur Induktivität von I: A Nach 3.4 ist t für alle t L. Somit ist L, da L kein kleinstes Element enthält. Also gilt < t für alle t L, d.h. I. S Sei n I. Dann gilt n N, und n < t für alle t L. Somit ist n + t für alle t L benutze 3.5iii. Da L kein kleinstes Element enthält, ist n + t für alle t L, und somit n + < t für alle t L. Also ist n + I. Für jedes n N sei eine Aussage An gegeben, d.h. für jedes n N ist An gültig oder nicht gültig. Es soll nun bewiesen werden, daß An für alle n N gültig ist. Die Gültigkeit dieser unendlich vielen Aussagen An kann man nun nicht für jedes n einzeln nachprüfen. Als Beweisprinzip bietet sich dann die vollständige Induktion an: [3] 4 C

5 Die natürlichen, die ganzen und die rationalen Zahlen 3.7 Vollständige Induktion Es sei An für jedes n N eine Aussage. Es sei folgendes bekannt: A S A ist gültig. Für jedes n N haben wir: An An +, d.h. ist An gültig, so ist auch An + gültig. Dann sind die Aussagen An für alle n N gültig. Beweis. Setze I : {n N : An ist gültig} N. Es ist I, da N und A nach A gültig ist. Ist n I, dann ist n N und die Aussage An ist gültig. Also ist n + N und nach S ist auch An + gültig, d.h. n + I. Nach 3.3 ist somit I N, d.h. An ist für alle n N gültig. A nennt man wieder den Induktionsanfang. An nennt man Induktionsannahme oder Induktionsvoraussetzung kurz V genannt und den Schluß S von An auf An + den Induktionsschluß. Die vollständige Induktion dient nicht nur dazu, Aussagen zu beweisen, sondern auch dazu, einen Begriff für alle natürlichen Zahlen zu definieren. Man definiert den Begriff zunächst für die Zahl. Hat man ihn dann für eine natürliche Zahl n definiert, so definiert man ihn für n+ unter Zuhilfenahme der Definition für n. Diese Form der Definition wird auch rekursive Definition genannt. Man spricht auch von einer Definition durch vollständige Induktion, da man die vollständige Induktion benötigt, um sich klar zu werden, daß der Begriff wirklich für alle natürlichen Zahlen definiert ist. So wird man eine formale Definiton von n k a k, d.h. der Summe von n-vielen Summanden a,..., a n folgendermaßen geben: A k a k : a, S n+ k a k : n k a k + a n+. Man setzt noch 0 k a k : 0. Es ist also 2 k a k S k a k + a 2 A a + a 2, 3 k a k S 2 k a k + a 3 a + a 2 + a 3. Für den Summationsindex k im Summenzeichen kann man statt k auch einen anderen Buchstaben, z.b. i, j, m wählen. Es ist also n k a k n i a i n j a j n m a m. Eine formale Definition von n k a k, d.h. des Produktes von n-vielen Faktoren a,..., a n sieht folgendermaßen aus: A k a k : a, S n+ k a k : n k a k a n+. Man setzt noch 0 k a k :. C [3] 5

6 Kapitel I Reelle Zahlen Entsprechend definiert man a n für a R: A a : a, S a n+ : a n a. Man setzt noch a 0 :. Für eine exaktere Untersuchung der rekursiven Definition siehe 2.8 in Walter, Analysis I. In den folgenden drei Sätzen benutzen wir die vollständige Induktion zum Beweis. 3.8 Summe der ersten n natürlichen bzw. der ersten n Quadratzahlen Für jedes n N gilt: i ii n k k nn + /2; n k k2 nn + 2n + /6. Beweis. Beide Beweise werden mit vollständiger Induktion siehe 3.7 geführt. i Es bezeichne An also die Aussage: n k k nn+ 2. Induktionsanfang A: A lautet: k k 2 2, dies ist aber gültig. Induktionsschluß S: Sei für ein n N nun An gültig Induktionsvorausetzung V. Dann gilt An + wegen: n+ k k n k Def. k + n + V nn+ 2 + n + n + n n+n Also gilt An für alle n N nach 3.7. ii Bezeichne An die Aussage: n k k2 nn + 2n + /6. A A ist gültig, weil k k2 2 3/6. S n+ k k2 n k k2 + n + 2 [nn + 2n + + 6n + 2 ]/6 Def. V [n + 2n 2 + n + 6n + 6]/6 [n + n + 22n + + ]/6. Also haben wir An An + gezeigt. Die Ungleichung in 3.9, die vielfach in der Analysis verwandt wird, stammt von Jacob Bernoulli Bernoullische Ungleichung 689 Für alle n N und alle t R mit t gilt: + t n + nt. [3] 6 C

7 Beweis. A + t + t + t für t. S Die natürlichen, die ganzen und die rationalen Zahlen Sei nun die Aussage für n gültig, d.h. es gelte V + t n + nt für alle t. Wegen t ist + t 0. Daher folgt durch Multiplikation von V mit 0 + t: + t n+ + t n + t + nt + t + nt + t + nt 2 + n + t. V 2.3vii Damit haben wir die Aussage für n + gezeigt. Insbesondere gilt also 2 n > n für alle n N, denn + n + n > n Geometrische Summenformel Für alle reellen q und alle n N gilt: + q q n qn+. q Beweis. A + q +q q q S + q q n + q n+ q2 q n+ q q V + q n+ qn++ q Will man in der geometrischen Summenformel die Pünktchenschreibweise vermeiden, so kann man die Formel auch folgendermaßen schreiben: n+ k qk qn+ q Umgekehrt lautet 3.8 in Pünktchenschreibweise n nn+ 2 ; n 2 nn+2n+ 6. Die Induktionsmethode, die wir in und angewandt haben, ist eine Methode, den Beweis von unendlich vielen Aussagen, nämlich Aussagen für alle natürlichen Zahlen, durch den Beweis von zwei Aussagen nämlich den Beweis von A und den Beweis von S zu erledigen. Die Induktionsmethode ist aber eine Methode, die nur lehrt, Aussagen zu beweisen; sie ist keine Methode, die lehrt, gültige Aussagen zu finden. Für letzteres gibt es keine sichere Methode. Oftmals wird man empirisch vorgehen. Man wird z.b. von einigen Spezialfällen ausgehend eine Aussage vermuten, und diese Aussage erst danach mit Hilfe von vollständiger Induktion, d.h. mit einer speziellen Form der Deduktion, zu beweisen versuchen. Der vollständigen Induktion geht also oft eine unvollständige Induktion voraus. C [3] 7

8 Kapitel I Reelle Zahlen So kann man z.b. wegen vermuten, daß n n 2 ist. Dieses gilt dann in der Tat, wie man mit vollständiger Induktion sofort sieht. Für die Vermutung darüber, was für eine Aussage gilt, ist die Betrachtung von Spezialfällen, die Intuition und die Phantasie zuständig. Gleiches gilt bei schwierigen Beweisen auch für das Finden der Beweise. Nur das Nachvollziehen des Beweises ist alleine eine Sache des logischen Denkens. Hilbert soll in diesem Zusammenhang auf die Frage, was aus einem seiner Assistenten geworden sei, geantwortet haben: Er hatte nicht genug Phantasie, er ist Dichter geworden. In der linearen Algebra beweist man, daß da + und kommutative und assoziative Operationen sind für jede Umordnung b,..., b n von a,..., a n gilt: n a b k n k a n k, k b k n k a k. b,..., b n heißt dabei eine Umordnung von a,..., a n, wenn es eine bijektive Abbildung ϕ von {k N : k n} auf sich gibt mit b k a ϕk für k,..., n. Die in 3. notierten Rechenregeln i vii beweist man wieder mit vollständiger Induktion. Für den Fall n 2 sind jedenfalls iii vii schon bewiesen. Der Fall n 2 kann daher für iii vii beim Beweis des Induktionsschrittes verwandt werden. 3. Rechenregeln für Summen und Produkte Seien a,..., a n und b,..., b n R. Seien ferner a, b R. Dann gilt für alle n N: i n k a k + b k n k a k + n k b k; ii n k ba k b n k a k; iii a k b k für k,..., n n k a k n k b k; iv a k b k für k,..., n und a j < b j für wenigstens ein j n k a k < n k b k; v 0 a k b k für k,..., n n k a k n k b k; vi 0 < a k b k für k,..., n und a j < b j für wenigstens ein j n k a k < n k b k; vii a a n a a n ; viii a n+ b n+ a ba n + a n b + a n 2 b ab n + b n. [3] 8 C

9 Die natürlichen, die ganzen und die rationalen Zahlen Beweis. Etwa von iii: Für n ist nichts zu beweisen. Sei die Aussage für n bewiesen. Dann gilt: n+ k a k n k a k + a n+ n k b k + b n+ n+ k b k. Def. V,2.3i Def. iv folgt entsprechend mit Hilfe von 2.3ii. v folgt mit Hilfe von 2.3iii. vi folgt mit Hilfe von 2.3iv. vii folgt mit Hilfe von 2.7iii. viii Für a b oder a 0 ist die Behauptung trivial. Sei also a 0 und q : a b. Dann ist die Behauptung äquivalent zu dividiere die Gleichung durch a n+ : q n+ q + q q n. Diese Aussage gilt nach 3.0. Die Gleichung a + t b hat für feste a, b N i.a. keine Lösung t in N. Will man immer eine Lösung solcher Gleichungen haben, so benötigt man also eine Menge L mit R L N und a, b L a b L. Die ganzen Zahlen Z werden nun als kleinste Menge mit dieser Eigenschaft eingeführt. 3.2 N 0 und die ganzen Zahlen Z Setze N 0 : N {0} und bezeichne mit Z die kleinste Menge L, die N L R a, b L a b L erfüllt. Dann gilt: i Z N 0 { n : n N} {n m : n, m N}. ii N 0 {m Z : m 0} und somit N {m Z : m > 0}; iii N N 0 Z; iv Es ist 0 Z, und es gilt: a, b Z a + b, a b, a b Z. Beweis. i R N 0 { n : n N} : L N. Somit bleibt zu zeigen: 2 Erfüllt L die Bedingung, so gilt: L L. 3 a, b L a b L. 4 L {n m : n, m N} : L 2. Zu 2: Es ist N L L. L und 0 L. Also ist n 0 n L. Daher gilt C [3] 9

10 Kapitel I Reelle Zahlen Zu 4: : Sei k L. Ist k N, so ist k L 2 wegen k k + sowie k +, N. Ist k 0, so ist k L 2. Ist k n mit n N, so ist k + n L 2. : Sei k L 2, d.h. k n m mit n, m N. Ist m < n, so ist k n m N siehe 3.5ii. Ist m n, so ist k 0 N 0 L. Ist m > n, so ist k m n mit m n N siehe 3.5ii. Also ist auch in diesem Fall k L. Also gilt 4. Zu 3: Seien a, b L L 2. Dann gilt a n m, b n 2 m 2 mit 4 n, n 2, m, m 2 N. Da n + m 2, m + n 2 N sind siehe 3.5i, folgt: a b n + m 2 m + n 2 L 2 L. ii Es ist N 0 Z und m 0 für m N 0 siehe 3.4. Also gilt N 0 {m Z : m 0}. Ist nun m Z und m 0, so gilt m { n : n N}, da jedes Element der letzten Menge nach 3.4 negativ ist. Also ist m N 0. iii N N 0 nach Definition und 0 N nach 3.4. Also N N 0. N 0 Z gilt nach i. Ferner gehört n für n N zu Z, aber nicht zu N 0 nach ii. iv Nach ist 0 Z. Seien a, b Z. Zu zeigen ist Wegen i gilt: a + b, a b, a b Z. a n m, b n 2 m 2 mit n, n 2, m, m 2 N. Wegen n + n 2, m + m 2 N siehe 3.5i gilt: a + b n + n 2 m + m 2 Z. i Wegen n n 2 + m m 2, m n 2 + n m 2 N siehe 3.5i gilt: a b n n 2 + m m 2 m n 2 + n m 2 Z. i Wegen Z und a b a + b a + b folgt aus dem schon Bewiesenen auch a b Z. Für 3.2iv sagt man in der Algebra auch: Z ist ein Unterring von R. Die Gleichung a t b hat für feste a Z, a 0 und b Z i.a. keine Lösung t in Z. Will man immer eine Lösung solcher Gleichungen, so benötigt man also eine Menge L mit R L Z und a, b L mit a 0 b/a L. Die rationalen Zahlen werden nun als kleinste Menge mit dieser Eigenschaft eingeführt. [3] 0 C

11 Die natürlichen, die ganzen und die rationalen Zahlen 3.3 Die rationalen Zahlen Q Setze i ii Q : { m n : m, n Z, n 0}. Dann ist Q die kleinste Teilmenge von R, die Z umfaßt und mit a, b und a 0 auch b/a enthält. Es gilt Z Q. 0, Q, und für a, b Q gilt: a + b, a b, a b Q, und für a 0 ist auch b/a Q. iii Q ist der kleinste Teilkörper von R. Beweis. i Sei m Z. Dann ist m m Q. Es ist /2 Q. Wäre /2 Z, dann wäre /2 N nach 3.2ii, wegen 0 < /2. Also ist /2 Q Z. Daher ist insgesamt Z Q. Seien a m n Q und b m 2 n 2 Q mit a 0, und m, n, m 2, n 2 Z. Dann sind m, n, n 2 0 und somit n 2 m 0. Daher gilt: b a m 2 n n 2 m Q. 3.2iv Jede Teilmenge von R, die Z umfaßt und mit a 0 und b auch b/a enthält, muß Q nach Definition von Q umfassen. ii Nach i sind 0, Q. Seien a m n, b m 2 n 2 n, n 2 0. Zu zeigen bleibt wegen i: a + b, a b, a b Q. Dies folgt mit 3.2iv und n n 2 0 wegen mit m, m 2, n, n 2 Z und a + b m n 2 +m 2 n n n 2, a b m n 2 m 2 n n n 2, a b m m 2 n n 2. iii ii besagt, daß Q Teilkörper von R ist. Ist T ein Teilkörper von R, so enthält er 0 und und mit a, b T und a 0 auch b/a. Wegen i bleibt Z T zu zeigen. Nach 3.2i reicht es hierzu, N T zu zeigen. Dies folgt daraus, daß T als Teilkörper von R insbesondere eine induktive Menge ist. Daß Q R ist, werden wir erst im nächsten Paragraphen mit Hilfe der Vollständigkeit von R beweisen können. Mit vollständiger Induktion beweist man die folgenden Potenzrechenregeln. 3.4 Rechenregeln für Potenzen i Seien a, b R. Dann gilt für n, m N 0 a m+n a m a n, a n b n a b n, a m n a m n. C [3]

12 Kapitel I Reelle Zahlen Sei a 0. Setze für n N: a n : /a n. ii Damit ist a m für alle m Z erklärt, falls a 0 ist. Sind nun a, b R mit a, b 0, so gilt für n, m Z a m+n a m a n, a n b n a b n, a m n a m n. Schon beim Induktionsbeweis von i ist es vorteilhaft, die Induktion mit 0 zu beginnen, um den Fall, daß n oder m Null ist, nicht separat behandeln zu müssen. In anderen Fällen ist es sogar zwingend erforderlich, die Induktion mit einer von verschiedenen ganzen Zahl zu starten. Betrachtet man z.b. die Aussage 2 n > n 2, so gilt diese Aussage für n 4 nicht, wohl aber für n 0 : 5. Gilt sie für n 5, dann gilt sie auch für n + : 2 n+ 2 n 2 > 2n 2 > n + 2. Hierbei folgt die letzte Ungleichung aus: 2n 2 > n+ 2 2n 2 > n 2 +2n+ n 2 2n+ > 2 n 2 > 2. Daß damit 2 n > n 2 für alle n n 0 bewiesen ist, folgt durch eine leichte Modifikation der vollständigen Induktion aus 3.7, die in 3.6 angegeben wird. Zunächst eine Vorüberlegung: 3.5 Für n 0 Z gilt: {m Z : m n 0 } {n 0 + n : n N}. Beweis. Sei m Z, m n 0 m n 0 0 m n 0 N 0 3.2ii n : m n 0 + N m n 0 + n mit n N. Sei m : n 0 + n mit n N. Dann ist m Z siehe 3.2iv. Ferner ist n 0 und somit auch m n Vollständige Induktion für n n 0 Sei n 0 Z und An für jedes n Z mit n n 0 eine Aussage. Es sei folgendes bekannt: A An 0 ist gültig und entweder S Für jedes n Z mit n n 0 haben wir: An An +, oder S 2 Für jedes n Z mit n n 0 haben wir: An 0... An An +. Dann sind die Aussagen An für alle n Z mit n n 0 gültig. [3] 2 C

13 Die natürlichen, die ganzen und die rationalen Zahlen Beweis. Da, wenn A S gilt, auch A S 2 gilt, reicht es, den Satz unter der Bedingung A S 2 zu beweisen. Sei also A S 2 erfüllt. Wegen 3.5 ist zunächst An 0 +k für jedes k N eine Aussage. Wir können daher definieren I : {n N : An 0 + k ist gültig für k N mit k n} N. Wir wenden das Induktionsprinzip 3.3 an: I, denn für k N mit k, d.h. für k gilt An 0 + An 0 nach A. Sei n I. Dann ist n N und An 0 + k ist für k N mit k n gültig. Wir zeigen n + I, d.h. An 0 + k ist für k n + gültig. Wegen bleibt zu zeigen: 2 An 0 + n + An 0 + n ist gültig. Wegen S 2 reicht es zu zeigen: 3 Am für n 0 m n 0 + n, m Z sind gültig. Es folgt aber 3 aus wegen: n 0 m n 0 + n, m Z k : m n 0 + n, k N m n 0 + k. Mit Hilfe dieses Satzes können wir nun auch rekursive Definitionen geben, die mit n 0 Z starten. Daher sind z.b. auch n k0 a k oder allgemeiner, für n n 0, auch n kn 0 a k mittels rekursiver Definition definierbar. Es gilt dann n k a k n k0 a k+ oder auch n k0 a k n+j kj a k j für j Z. Im folgenden denke man an die Vereinbarung 0 k a k 0 und 0 k a k oder allgemeiner: m km a k : 0, m km a k :. Die Binomialkoeffizienten spielen sowohl für die Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitstheorie als auch für die Analysis eine Rolle. Sie werden hier das erste Mal beim binomischen Lehrsatz verwandt werden. 3.7 Binomialkoeffizienten und Fakultäten Definiere für α R induktiv für n N 0 : Setze ferner für n N 0 : α 0 :, α n+ : α nα n. n! : n n und α n : α n. n! C [3] 3

14 Kapitel I Reelle Zahlen Dann gilt für alle n N 0 : i α n n k0 α k α α α n. Für m N 0 mit m < n ist m n 0. ii 0!, n +! n + n!, n! n k k. iii α 0, α n+ α α n n n+, α n αα α n 2 n, α α. Beweis. i Es wird α n n i0 α i für n N 0 induktiv gezeigt: A Es ist α 0 0 i0 α i. Def. S α n+ α nα n α n n i0 α i n i0 α i. Def. Für m N 0 mit m < n folgt hieraus m n n k0 m k 0, da wegen m n der Faktor 0 auftritt. ii 0! 0 0. Nun ist n! n n n k0 n k n k k, Def. i n +! n+ k k n + n k k n + n!. iii α 0 α 0 0!, α n+ α n+ α α α n n+! i,ii 2 n+ α n α n+ n, α α 0 α α. α 3.8 Rechenregeln für Binomialkoeffizienten Sei α R und k, n N 0. Dann gilt: i α k + α k+ α+ k+ ; ii α 0 + α α+k k iii iv v α+k+ k { n! n k k!n k! n n k, falls k n, 0 falls k > n; n n + n+ n k n N0. + n+2 n Beweis. i α k + α k+ α+ k+ k+! Def. α+ k n+k n 3.7iii α k + α k ; n+k+ n+ ; α k k+ α α+ k k+ α k Def. k! α+ k+ 3.7i,ii α+ siehe 3.7iii. ii A Für k 0 folgt die Behauptung aus α 0 0 S Aus der Gültigkeit der Gleichung für k folgt, wenn man auf beiden Seiten α+k+ k+ α 0 + α+ addiert: α+k k + α+k+ k+ α+k+ k V + α+k+ k+ i α+k+2 k+ [3] 4 C.

15 Die natürlichen, die ganzen und die rationalen Zahlen iii Ist k {0, n}, so folgt iii aus n 0 n! 3.7iii 0!n 0! n! n! nn n! n n. Sei k n, dann gilt: n k 3.7iii n n n k 2 k Daher ist auch für k n : n! n n k n n k n k k!n k! n! k!n k!. n k!n n k! n! k!n k!. Sei nun k > n, dann ist n k 0 für k > n siehe 3.7i. Also folgt: n k n k k! 0. iv Setze in ii für α : n und benutze für n, j N 0, daß gilt: n+j j n+j n. iii v Nach iii ist n k n! iii k!n k! N für 0 k n und n k 0 für k > n. Also insgesamt n k N0 für alle k N 0. Aus der Formel 3.8i ergibt sich für n, k N 0 eine sukzessive Berechnungsmöglichkeit für n k : Es ist n+ n+ n+ 0 und für k n: n+ k n k + n k. 0 0 n+ 0 n n n n + k k+ n n + n+ n+ k+ + n+ n n n n+ n+ Also bis n6: 0 k k 2 2 k k k k k Dieses Berechnungsschema heißt das Pascalsche Dreieck, benannt nach Blaise Pascal C [3] 5

16 Kapitel I Reelle Zahlen 3.9 Binomischer Lehrsatz Seien a, b R und n N 0. Dann gilt: a + b n n k0 n k a k b n k. Insbesondere gilt für alle t R: + t n n n k0 k t n k n n k0 k t k. Beweis. Für den folgenden Induktionsbeweis seien a, b zwei reelle Zahlen. A a + b 0 0 Def a 0 b k0 k a k b 0 k S a + b n+ a + b n a + b n n k0 Def. V k a k b n k a + b n n k0 k a k+ b n k + n n k0 k a k b n+ k 3.ii n k0 k a k+ b n k + n n k k a k b n+ k + b n+ 3.7iii an+ + n 3.7iii n+ n+ n+ 0 n+ k0 3.8i a n+ b 0 + n k a 0 b n+ + n n+ k a k b n+ k. n k a k b n k + n n k k a k b n+ k + n+ 0 a 0 b n+ k + n k ]a k b n+ k + n+ n+ a n+ b 0 k [ n Setzt man in der bewiesenen Formel a :, b : t bzw. a : t, b :, so erhält man die Gleichung für + t n. Speziell folgen für t bzw. t aus 3.9: 3.20 n 0 + n n n 2 n für n N n 0 n + n n n n 0 für n N Abschätzungen für Binomialkoeffizienten Seien m, n N und m < n. Dann gilt: i m k < n k für k,..., n; ii m m k k < n n k k < k! für k 2,..., n; 2 k iii m m k k n n k k k! für k 0,..., n; 2 k iv + m m < + n n ; v 2 + n n < 3. [3] 6 C

17 Die natürlichen, die ganzen und die rationalen Zahlen Beweis. i Die Ungleichung folgt für k aus: m m < n n. 3.7iii Für k 2,..., n ergibt sich die Ungleichung aus der ersten Ungleichung in ii. ii Wir beweisen zunächst die erste Ungleichung. Für m < k n folgt die erste Ungleichung in ii, da m k 0 und n k > 0 nach 3.8iii sind. Sei daher 2 k m. Dann ist: m mm m k m k k m k 2 k k! m k m 3.7iii Aus 0 < m < n folgt nun j/n < j/m für j N benutze 2.3x, 2.iiiM und 3.4 und daher j/m < j/n siehe 2.2iv. Ist nun j < m, so ist auch j/m < siehe 2.3xi und daher 0 < j/m. Insgesamt erhalten wir: 2 0 < j/m < j/n für j,..., m. Aus, 2 und 3.vi folgt: m k m k k! m. n k n k k m < 2,3.vi k! n k n Für die weiteren Ungleichungen sei nun ein beliebiges k 2,..., n gewählt. < k! folgt nun aus, angewandt auf m : n. Ferner gilt Beweis z.b. n k n k mit vollständiger Induktion, daß 2 k k! und somit k! 2 k. iii folgt für k 2,..., n direkt aus ii. Für k 0, ist die Behauptung wegen m m 0 0 n n 0 0 0! und m 2 m m m n n! 2 trivial. iv + m m 3.9 m k0 m k v Für alle n N gilt: 2 + iv m k m n k0 k < n n n iii k k0 k + n k 3.9 n n. + n n n n 3.9 k0 k n k + n k 2 k + /2n iii 3.0 /2 < + / n n k k n k Im folgenden sollen n! und die Binomialkoeffizienten anschaulich interpretiert werden. Hierzu benötigt man die Begriffe der Endlichkeit und der Elementeanzahl einer endlichen Menge. Man rufe sich die folgenden Begriffe der linearen Algebra in Erinnerung: 3.23 Injektivität, Surjektivität und Bijektivität Sei f : A B eine Abbildung. Dann heißt i f injektiv, wenn für alle a, a 2 A gilt: fa fa 2 a a 2 ; C [3] 7

18 Kapitel I Reelle Zahlen ii iii f surjektiv, wenn es zu jedem b B ein a A mit fa b gibt; f bijektiv, wenn f injektiv und surjektiv ist. Die Gesamtheit aller Abbildungen von A in B bezeichnet man mit B A. Ist A, so gibt es genau eine Abbildung in die Menge B, nämlich die leere Abbildung. Also ist B { }. Sie ist nach der Definition in 3.23i dann auch injektiv. Insbesondere wird daher bijektiv auf abgebildet. Also ist im Sinne der folgenden Definition. Definition 3.24 geht für den Fall unendlicher Mengen auf Cantor , den Begründer der Mengenlehre, zurück Gleichmächtigkeit Seien A, B zwei Mengen. Dann heißen A und B gleichmächtig oder äquivalent, in Zeichen A B, wenn es eine bijektive Abbildung von A auf B gibt. Es gilt: i A A; ii A B B A; iii A B B C A C. Beweis. i Es gilt A A, da die identische Abbildung eine bijektive Abbildung von A auf sich ist. ii Sei A B und bezeichne f die bijektive Abbildung von A auf B. Dann ist die inverse Abbildung f eine bijektive Abbildung von B auf A. Also ist B A. f b : a fa b. iii Ist f eine bijektive Abbildung von A auf B und g eine bijektive Abbildung von B auf C, dann ist g f eine bijektive Abbildung von A auf C, d.h. A C. g fa : gfa Spezielle endliche Mengen Setze für n N 0 : N n : {k N : k n} Für N n schreibt man auch {,..., n}. Speziell ist N Endlichkeit und Kardinalzahl von endlichen Mengen Sei A eine Menge. Gibt es ein n N 0 mit A N n, so heißt A eine endliche Menge. Man nennt dann n die Mächtigkeit oder Kardinalzahl von A und schreibt karda n. A heißt dann auch eine Menge mit n Elementen oder eine n-elementige Menge. [3] 8 C

19 Die natürlichen, die ganzen und die rationalen Zahlen Wegen N 0 ist die leere Menge eine endliche Menge mit Null Elementen. Sei A eine nicht-leere Menge mit n Elementen. Man bezeichne die Bijektion von N n auf A mit f. Setzt man dann a k : fk, so gilt: A {a,..., a n } mit a i a j für i j. Der folgende Satz erscheint unmittelbar evident. Sein exakter induktiver Beweis ist jedoch ziemlich aufwendig Satz über endliche Mengen i Ist A eine Menge und A N n sowie A N m, so folgt n m. Somit ist karda eindeutig bestimmt. ii Teilmengen endlicher Mengen sind endlich. Ist A B und B eine endliche Menge, so gilt: karda < kardb. iii Sind A, B endliche Mengen, so ist auch A B eine endliche Menge. Sind zusätzlich A und B disjunkt, so gilt: karda B karda + kardb. Ist A B und B eine endliche Menge, so gilt: kardb \ A kardb karda. Beweis. i Nach Satz 3.24 ist zunächst N n N m. Es reicht also zu zeigen: Es sei An für n N 0 die Aussage: N n N m n m. Ist N n N m für ein m N 0, so gilt n m. A A0 und auch A sind trivial. S Sei nun An für ein n gültig. Sei N n+ N m für ein m N 0. Dann ist m 2, also ist m : m N und N n+ N m+. Daher gibt es eine bijektive Abbildung f von N n+ auf N m+ mit fn + m + ; ist nämlich f eine bijektive Abbildung von N n+ auf N m+ mit fn+ m+ und somit fi m + für ein i n +, so setze fj : fj für j i, n + und fi : fn +, fn + : fi m + kurz: Man vertausche zwei Bildelemente. Mit dieser Abbildung f ist dann f N n eine Bijektion von N n auf N m. Also ist N n N m und es folgt n m nach Induktionsannahme. Daher ist n + m + m. ii Sei o.b.d.a. A B. Wir beweisen induktiv die folgende Aussage An: A A B kardb n A endlich und karda < kardb. A ist trivial, da A B und kardb liefert, daß A ist. S Sei A B und kardb n +. Dann gibt es ein b B mit A B \ {b}. Es reicht nun zu zeigen: B \ {b} ist endlich und kardb \ {b} n. C [3] 9

20 Kapitel I Reelle Zahlen Denn ist dann A B\{b}, so folgt An+ unmittelbar aus. Ist A B \ {b}, so folgt An + aus An. Zu : Da kardb n + ist, gibt es eine bijektive Abbildung von N n+ auf B mit o.b.d.a. fn + b vertausche notfalls zwei Bildelemente. Dann ist f N n eine bijektive Abbildung von N n auf B \ {b}. Also ist B \ {b} eine endliche Menge und kardb \ {b} n. iii Zum Nachweis der ersten Formel seien zunächst A, B disjunkte und o.b.d.a. nicht-leere endliche Mengen. Dann ist A N n und B N m für n, m N. Setzt man fi : i + n für i,..., m, dann wird N m bijektiv auf {n +,..., n + m} : C abgebildet. Somit gilt B C. Wegen der Disjunktheit von A und B sowie von N n und C ist dann auch: A B N n C N m+n. Also ist dann A B endlich mit karda B m + n karda + kardb. Sind A, B endliche Mengen, so ist zu zeigen: A B ist eine endliche Menge. Nun ist B\A nach ii eine endliche Menge. Daher ist A B, als disjunkte Vereinigung der beiden endlichen Mengen A und B \A, nach dem gerade Bewiesenen ebenfalls eine endliche Menge. Ist schließlich A B und B endlich, so sind A und B \ A endliche Mengen nach ii. Also gilt: kardb karda B \ A karda + kardb \ A Vergleich endlicher Mengen Es seien A und B zwei endliche Mengen. Dann gilt: i Gibt es eine injektive Abbildung von A in B und eine injektive Abbildung von B in A, so ist A B. ii Es gibt eine injektive Abbildung von A in B oder eine injektive Abbildung von B in A. iii Es gibt genau dann eine injektive Abbildung von A in B, wenn karda kardb ist. iv Es gibt genau dann eine bijektive Abbildung von A auf B, wenn karda kardb ist. v Jede injektive Abbildung von A in A ist surjektiv. vi Jede surjektive Abbildung von A auf A ist injektiv. Beweis. iii : Sei f eine bijektive Abbildung von N n auf A und g eine injektive Abbildung von A in B. Dann ist g f eine injektive Abbildung von N n in B mit Wertebereich g fn n. Also gilt: karda n kardg fn n 3.27ii kardb. : Sei n : karda kardb : m. Dann ist N n injektiv in N m abbildbar, und es gilt: A N n inj. N m B. [3] 20 C

21 Also ist A injektiv in B abbildbar. Die natürlichen, die ganzen und die rationalen Zahlen ii folgt aus iii, da karda kardb oder kardb karda ist. iv Ist A B und A N n, so gilt B N n, d.h. karda kardb. Ist karda kardb n, so gilt A N n und B N n, also auch A B. i Aus iii folgt karda kardb und kardb karda, also ist karda kardb. Daher ist A B nach iv. v Sei f eine injektive Abbildung von A in A. Dann ist karda kardfa, da f eine bijektive Abbildung von A auf fa ist. Aus fa A folgte aber nach 3.27ii, daß kardfa < karda wäre. vi Sei f eine Abbildung von A auf A. Wähle für jedes a A genau ein a A mit fa a. Dann ist A : {a : a A} A und f A eine bijektive Abbildung von A auf A. Daher ist karda karda siehe iv, und somit gilt A A nach 3.27ii. Sei J eine n-elementige Menge und seien a j für j J reelle Zahlen. Ist dann ϕ eine Bijektion von N n auf J, so setzt man: j J a j : n i a ϕi, j J a j : n i a ϕi, j a j : 0, j a j :. Da eine Summe bzw. ein Produkt nicht von der Anordnung der Summanden bzw. Faktoren abhängt, hängt die obige Definition nicht von der speziellen Bijektion ϕ von N n auf J ab. Sind nun J, J 2 zwei disjunkte endliche Mengen, so gilt: j J J 2 a j j J a j + j J 2 a j, j J J 2 a j j J a j j J 2 a j Rechenregeln für endliche Mengen i ii Es sei J eine endliche Menge. Ferner seien A j für alle j J endliche Mengen. Dann ist j J A j eine endliche Menge. Sind zusätzlich die A j, j J, paarweise disjunkt, so gilt: kard A j karda j. j J j J Es seien A, B zwei endliche Mengen. Dann ist A B : {a, b : a A, b B} eine endliche Menge und karda B karda kardb. Ist also m bzw. n die Elementeanzahl von A bzw. B, so ist m n die Elementeanzahl von A B. C [3] 2

22 Kapitel I Reelle Zahlen iii Seien A und B zwei endliche Mengen. Dann ist die Menge B A aller Abbildungen von A in B eine endliche Menge, und es gilt kardb A kardb karda. Ist also m bzw. n die Elementeanzahl von A bzw. B, so ist n m die Elementeanzahl von B A. Beweis. i Ist J, so ist j J A j und i karda i 0. Also ist die Aussage für diesen Fall trivial. Wir beweisen die Aussage induktiv nach n kardj N. Für n ist die Aussage trivial. S Sei kardj n +. Dann ist J J \ {j 0 } {j 0 } mit j 0 J und kardj \ {j 0 } n benutze 3.27iii. Also ist nach Induktionsannahme zunächst j J\{j0 } A j und dann nach 3.27iii auch j J A j eine endliche Menge. Sind die A j, j J, zusätzlich noch paarweise disjunkt, so ist j J\{j0 }A j eine endliche, zu A j0 disjunkte Menge. Also gilt: kard j J A j 3.27iii V ii Es gilt nun nach i: kard j J\{j0 } A j + karda j0 j J\{j 0 } karda j + karda j0 j J karda j. A B a A {a} B ist eine endliche Menge. Da die Mengen A a : {a} B für a A paarweise disjunkt sind und A a B ist, folgt somit wiederum aus i: karda B kard{a} B kardb i a A kardb karda. iii Ist A, so ist B A { }, und die Behauptung ist trivial. Ist A und B, so ist die Behauptung wegen B A ebenfalls trivial. Seien also A und B. Wir beweisen nun die Aussage induktiv nach n karda N. Für n ist die Aussage wegen B {a} B trivial. Sei karda n +. Dann ist A A \ {a} {a} mit a A und karda \ {a} n siehe 3.27iii. Nun ist B A {g B A : g A \ {a} f} f B A\{a} a A eine disjunkte Vereinigung von endlichen Mengen mit Kardinalzahl kard{g B A : g A \ {a} f} kardb. Also gilt: kardb A kard{g B A : g A \ {a} f} kardb A\{a} kardb i f B A\{a} kardb karda\{a} kardb V 3.27iii kardbkarda. [3] 22 C

23 Die natürlichen, die ganzen und die rationalen Zahlen Eine bijektive Abbildung einer endlichen Menge B auf sich nennt man auch eine Permutation Interpretation von n!, n k und n k Sei A eine k-elementige und B eine n-elementige Menge. i ii Die Anzahl aller injektiven Abbildungen der k-elementigen Menge A in die n-elementige Menge B ist n k. Die Menge aller Permutationen der n-elementigen Menge B ist n!. iii Die Anzahl aller k-elementigen Teilmengen der n-elementigen Menge B ist n k. Beweis. i Nach 3.7 gilt für k, n N 0 : 0 0, 0 k 0 für k N; n 0 und n k 0 für k > n. Da die Anzahl der injektiven Abbildungen von A in B gleich und von A in B gleich 0 ist, folgt die Behauptung für B aus. Ist B und A, so ist die einzige injektive Abbildung von A in B. Die Behauptung folgt aus n 0. Seien also nun k, n N. Ist k > n, so gibt es keine injektive Abbildung von A in B siehe 3.28iii und die Behauptung folgt aus n k 0. Wir beweisen nun für eine feste Menge B, mit 2 kardb n N, induktiv für k N, und dieses reicht nach den Vorüberlegungen zum Beweis von i: Ist 3 karda k mit k n, so gilt: 4 Es existieren genau n k -viele injektive Abbildungen von A in B. A Für k ist die Behauptung 4 wegen n n trivial. S Sei die Aussage 4 für k n mit k N bewiesen. Zu zeigen ist: Die Aussage gilt für k +. Sei also karda k +. Wähle a A, dann ist karda \ {a} k. Bezeichne F injc, B : {g B C : g injektiv}. 3.27iii Dann gilt: F inj A, B f Finj A\{a},BA f mit A f : {g B A : g A \ {a} f, ga fa \ {a}}. Die Mengen A f sind paarweise disjunkt und nach Induktionsannahme gilt: 5 kardf inj A \ {a}, B 4 n k. Ferner ist für f F inj A \ {a}, B: 6 karda f kardb \ fa \ {a} n kardfa \ {a} n k. 3.27iii C [3] 23

24 Kapitel I Reelle Zahlen Somit erhalten wir nach 3.29i: kardf inj A, B f F inj A\{a},B karda f 5,6 n k n k n k+. ii Nach 3.28v ist die Anzahl aller Permutationen von B die Anzahl aller injektiven Abbildungen von B in sich, also nach i gleich n n n!. iii Bezeichne a k die Anzahl aller k-elementigen Teilmengen von B. Da n k n k 3.7 k! ist, reicht es zu zeigen: 7 n k k! a k. Nun ist: 8 F inj {,..., k}, B C B ist k-elem. A C mit paarweise disjunkten Mengen A C : {g F inj {,..., k}, B : g hat Bildmenge C}. Da A C genau die Menge der injektiven Abbildungen von {,..., k} in C ist benutze 3.27ii, gilt: 9 karda C i k k k!. Daher folgt: n k F inj {,..., k}, B i 8,3.29i a k karda C a k k! 9 C B ist k-elem. karda C Ist A eine Menge mit 49 Elementen, z.b. 49 Kugeln, so gibt es verschiedene 6-elementige Teilmengen. Die Chance, beim Lotto 6 aus 49 sechs Richtige zu erzielen, ist daher etwa : 4 Millionen. 3.3 Korollar Ist A eine endliche Menge, so ist PA eine endliche Menge, und es gilt: kardpa 2 karda. Eine n-elementige Menge hat also genau 2 n Teilmengen. Beweis. Sei n : karda N 0. Eine Teilmenge von A hat k Elemente mit 0 k n siehe 3.27ii. Die Anzahl aller verschiedenen k-elementigen Teilmengen ist n k siehe 3.30iii. Daher folgt nach 3.29i, daß die Gesamtzahl aller Teilmengen durch n 0 + n n n 2 n 3.20 gegeben ist. Eine andere Möglichkeit, 3.3 zu beweisen, besteht darin nachzuweisen, daß PA {0, } A ist, und dann 3.29iii zu benutzen. [3] 24 C

25 Die natürlichen, die ganzen und die rationalen Zahlen Die folgenden beiden Sätze geben hinreichende Bedingungen dafür an, wann nicht-leere Mengen Maxima oder Minima besitzen Jede nicht-leere endliche Menge reeller Zahlen besitzt ein Minimum und ein Maximum. Beweis. Wir zeigen mit vollständiger Induktion für n N: An: Hat eine Menge reeller Zahlen n Elemente, so besitzt sie ein Minimum. A S Ist M eine einelementige Menge, so ist dieses eine Element Minimum von M. Sei M {a,..., a n, a n+ } eine n + -elementige Menge. Nach Induktionsannahme besitzt dann {a,..., a n } ein Minimum c. Ist c < a n+, so ist c das Minimum von M, andernfalls ist c a n+ und daher a n+ das Minimum von M. Der Beweis für die Existenz des Maximums verläuft entsprechend Korollar i ii Ist M {m Z : m m 0 } : Z m 0 für ein m 0 Z, so besitzt M ein Minimum. Ist M {m Z : m m 0 } : Z m 0 für ein m 0 Z, so besitzt M ein Maximum. Beweis. i Sei n M. Dann ist {k Z : m 0 k n } : M eine endliche Menge. Nun ist M M M und daher eine nicht-leere endliche Menge siehe 3.27ii. Somit existiert minm M nach Wegen M minm M m für m M M und minm M n < m für m M \ M, ist minm M das Minimum von M. ii verläuft analog Unendliche Mengen Eine Menge A heißt unendliche Menge, wenn sie keine endliche Menge ist. i Eine unendliche Menge ist zu keiner endlichen Menge äquivalent. ii Jede Obermenge einer unendlichen Menge ist unendlich. iii N ist eine unendliche Menge. Beweis. i Sei A eine unendliche, B eine endliche Menge. Dann gilt für ein n N 0 : B N n. Wäre A B, so wäre A N n und somit A eine endliche Menge. C [3] 25

26 Kapitel I Reelle Zahlen ii Sei A eine unendliche Menge und A B. Dann ist B unendlich nach 3.27ii. iii Angenommen, N ist endlich. Dann gibt es ein n N 0 und eine bijektive Abbildung f von N auf N n. Dann wäre f N n+ eine bijektive Abbildung von N n+ auf fn n+ N n. Dann liefert n + kardfn n+ kardn n n einen Widerspruch. Der folgende Satz zeigt, daß die Menge der natürlichen Zahlen N in einem später noch zu präzisierenden Sinne die kleinste unendliche Menge ist N als kleinste unendliche Menge Sei A eine unendliche Menge. Dann gibt es eine injektive Abbildung von N in A. Eine solche Abbildung heißt auch Folge mit Werten in A. Beweis. Wir definieren eine Abbildung f von N in A induktiv. Sei a A und setze f : a. Nun sei f,..., fk definiert mit: fi fj für i, j k und i j; 2 fi A für i,..., k. Dann ist {f,..., fk} wegen eine k-elementige und somit, wegen 2, eine endliche Teilmenge von A. Daher ist B k : A \ {f,..., fk} keine endliche Menge siehe 3.27iii und somit insbesondere nicht-leer. Wähle nun fk + B k. Dann gilt fk + fi für i k +. Da für k gilt, gilt somit auch für k +. Da 2 nach Konstruktion auch für k + gilt, sind somit nach vollständiger Induktion fn für n N definiert mit fn fm für n m und fn A für n N. Satz 3.36 ermöglicht nun eine Charakterisierung der endlichen Mengen, die auf Dedekind zurückgeht. Diese Definition charakterisiert die endlichen Mengen, ohne auf die Menge der natürlichen Zahlen Bezug zu nehmen Charakterisierung der endlichen und der unendlichen Mengen i ii Eine Menge A ist genau dann endlich, wenn jede injektive Abbildung von A in sich surjektiv ist. Eine Menge A ist genau dann unendlich, wenn es eine injektive Abbildung von A in sich gibt, die nicht surjektiv ist. Beweis. Zu zeigen ist: A endlich f : A A injektiv f surjektiv; 2 A unendlich f : A A injektiv mit fa A. [3] 26 C

27 Die natürlichen, die ganzen und die rationalen Zahlen Zu : Dies ist Aussage 3.28v. Zu 2: Sei g : N A eine nach 3.35 existierende injektive Abbildung. Setzt man a n : gn, so gilt also a i a j für i j. Ferner gilt A {a n : n N} B mit zu {a n : n N} disjunkter Menge B : A \ {a n : n N}. Setze nun fa n : a n+ für n N, fb : b für b B. Dann ist f : A A injektiv. Wegen a fa B {a n+ : n N} ist f nicht surjektiv. Gleichungen der Form haben für a, b Z eine Lösung in Z. Gleichungen der Form a + t b a t b haben für a, b Q mit a 0 eine Lösung in Q. Die quadratische Gleichung t 2 2 hat keine Lösung in Q, wohl aber wie wir in 4 sehen werden in R ist keine rationale Zahl Es gibt kein c Q mit c 2 2. Beweis. Angenommen, es gäbe c Q mit c 2 2. Dann gäbe es m Z, n N mit 2 c m/n, m und n teilerfremd. Zur Definition sowie einfacher Eigenschaften der Teilerfremdheit sei auf die Schule oder die Ergänzungsstunde verwiesen. Aus und 2 folgt m 2 2n 2. Also ist m 2 und damit auch m gerade. Somit ist m 2k mit k Z und daher 4k 2 2n 2, d.h. n 2 2k 2. Daher ist wieder n 2 und somit n gerade. Also sind m und n nicht teilerfremd im Widerspruch zu 2. Daß 2 keine rationale Zahl ist, hat die erste Grundlagenkrise der Mathematik um ca. 500 v.chr. ausgelöst. Nach der philosophischen Grundüberzeugung des Pythagoras ist alles Zahl, d.h. für die Griechen der damaligen Zeit: Natürliche Zahl. Hat man zwei Strecken A bzw. B der Längen a bzw. b, so sind sie nach dieser Überzeugung stets kommensurabel, d.h. es muß eine weitere von A und B in der Regel abhängende Strecke C der Länge c geben, so daß die Strecke C m-mal in A und n-mal in B aufgeht. Also muß für die Längen gelten: C [3] 27

28 Kapitel I Reelle Zahlen a mc und b nc. Daher ist a : b m : n eine rationale Zahl. Betrachtet man nun ein Quadrat mit der Seitenlänge b, so hat seine Diagonale nach dem mathematischen Satz des Pythagoras die Länge a 2. Sind also die Diagonale und die Seitenlänge des Quadrates kommensurabel, wie es die philosophische Lehre des Pythagoras vorschreibt, so müßte a : b 2 rational sein. Dies widerspricht aber Für die gesamte Mathematik der damaligen Zeit war dies deshalb so entsetzlich, weil einerseits alle Beweise unter der Annahme der Kommensurabilität von Strecken, Flächen, Raumkörpern und Winkeln geführt worden waren. Andererseits hatten die Griechen aber als erste das Prinzip vertreten, daß alle mathematischen Aussagen bewiesen werden müßten. Die Griechen lösten dieses Problem etwa ein Jahrhundert später, indem Eudoxos v.chr. die Lehre von den sogenannten Proportionen von Größen Strecken usw. entwikkelte. Die Lösung, irrationale Zahlen einzuführen, ist erst in der zweiten Hälfte des 9. Jahrhunderts in vollständiger Strenge gelungen. Als Bücher für die Analysis I seien insbesondere empfohlen: I Das rund 650 Seiten umfassende Buch von H. Heuser: Lehrbuch der Analysis, Teil, B.G. Teubner Stuttgart, 0. Auflage. Dieses Buch ist sehr ausführlich geschrieben und gut motiviert, ist sehr verständlich, enthält viele interessante Übungsaufgaben mit Anleitungen, bringt historische Bezüge und am Ende des Teils 2 einen historischen Gesamtüberblick über die Analysis, stellt Anwendungen aus den Bereichen Physik, Chemie, Biologie, Psychologie, Medizin und Wirtschaftswissenschaften und Technik vor; II Das rund 380 Seiten umfassende Buch von W. Walter: Analysis, Grundwissen Mathematik 3, Springer Verlag, 2. Auflage. Dieses Buch ist ausführlich geschrieben und gut motiviert, ist verständlich, enthält interessante Übungsaufgaben mit Anleitungen, bringt, in den Text integriert, viele historische Bezüge, stellt ebenfalls Anwendungen aus vielen Bereichen vor, läßt dadurch, daß es knapper als das Buch von Heuser geschrieben ist, Beweisideen gelegentlich klarer hervortreten, ist dafür aber schwieriger zu verstehen. [3] 28 C

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