Das Beweisverfahren der vollständigen Induktion

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1 Das Bewesverfahre der vollstädge Iduto Facharbet m Lestugsurs Mathemat Erarbetet vo Torbe Greulch Bewertugsote: 0 Pute

2 Ihaltsverzechs Thema Sete. Eletug. Grudlegede Erläruge 3. Das Bewesverfahre der vollstädge Iduto 4. Peao-Axome 7 5. Awedugsbespele der vollstädge Iduto 9 I. Bespel : Summer der atürlche Zahle 9 II. Bespel : Soce Koffer 0 III. Bespel 3: Summer der Poteze IV. Bespel 4: Abletug der Potezfuto V. Bespel 5: Beroullsche Uglechug 3 6. Schlusswort 5 7. Lteraturverzechs 6

3 Schülererlärug Hermt erläre ch, dass ch de vorlegede Facharbet selbststädg agefertgt, ee adere als de agegebee Hlfsmttel beutzt ud de Stelle der Facharbet, de m Wortlaut oder m wesetlche Ihalt aus adere Were etomme wurde, mt geauer Quelleagabe etlch gemacht habe. Verfasser

4 . Eletug Das Thema deser Facharbet st das Bewesverfahre der vollstädge Iduto. Hermt lasse sch Sätze, Formel, Behauptuge, etc. eer bestmmte Vorgeheswese bewese. Allerdgs st deses Verfahre auf de Zahleberech der atürlche Zahle begrezt. Im zwete Kaptel habe ch grudlegede Erläruge gegebe, de für de wetere Verlauf als Vorraussetzug gelte. Im drtte Kaptel wrd da de vollstädge Iduto m allgemee ud uter Awedug eger Bespele erlärt. Im verte Kaptel gehe ch auf de Egeschafte der atürlche Zahle e, de das Przp der vollstädge Iduto erst ermöglche. Im füfte Kaptel habe ch als Bespel für de Awedug der vollstädge Iduto füf Bespele gegebe. Quelleagabe sd m Lteraturverzechs verfügbar, Ztate sd dret als Fußote agegebe. De Quelle aus dem Iteret sd m Ahag dret als Ausdruc vorhade.

5 . Grudlegede Erläruge I der Mathemat gbt es verschedee Arte des Schleßes. Schleße bedeutet, durch vorhadees Wsse eues zu erlage. Ee Art des Schleßes st de Iduto. Se bedeutet, dass ma vom Ezelfall auf das Allgemee, Gesetzmäßge schleßt. Grudlage der Iduto st, dass, we sch etwas be eer Rehe vo beobachtete Eregsse als wahr erwest, es sch be alle glechartge Eregsse als wahr erwese wrd. De Rchtget deses Schlusses hat, abhägg vo der Mege der beobachtete Eregsse, ee bestmmte Wahrschelchet. Edeutg st er allerdgs och cht bewese. Ees der efachste Bespele für e dutves Vorgehe st de Auswertug vo Meugsumfrage, be dee de Atworte ees relatv gerge Prozetsatzes der Gesamtbevölerug auf dese hochgerechet werde. Ma geht also davo aus, dass dese lee Gruppe repräsetatv für de Gesamtbevölerug st. Axom: Als Axom oder Grudsatz bezechet ma ee ursprüglche, ubewesbare Satz. Das Axom st de Grudlage der Bewese ees Gebetes Das Bewesverfahre der vollstädge Iduto Das Bewesverfahre der vollstädge Iduto wrd beutzt, we ch bewese wll, dass ee durch Iduto gewoee Aussage für alle wahr wrd. Der Bewes erfolgt u zwe Schrtte. N. Idutosafag: Er besagt, dass ch ee belebge atürlche Zahl fde muss, für de A () wahr wrd. Der Efachhet halber mmt ma möglchst ee lee Zahl, allerdgs st des cht zwged.. Idutosschrtt: Durch de Idutosschrtt wrd de Allgemegültget der Aussageform A () bewese. Es wrd e vorrausgesetzt, für "Iduto (Log)", Mcrosoft Ecarta 98 Ezylopäde Mcrosoft Corporato. Alle Rechte vorbehalte. 3

6 das A() wahr wrd. Des habe wr durch de Idutosafag gemacht, es st also ur ee allgemee Formulerug des Idutosafags. Folglch: A() st wahr. Nu st zu zege, dass, we A () wahr st, auch A ( ) wahr wrd, urz A ( ) A( ). De so a ma u jewels vo auf das Folgegled schleße ud A() wrd für alle N wahr. E Bespel herfür st, we ma de Summe der erste dre oder ver ugerade Zahle berechet ( ) ² ²= +3=4 ²= =9 3²= =6 4²=6 Ma gelagt aufgrud deser Ergebsse zur Vermutug, dass sch de Summe der ugerade Zahle, wobe de -te ugerade Zahl st, durch ² bereche lässt. Dese Vermutug habe wr durch ee Iduto erlagt ud deshalb st se och cht bewese. Usere Vermutug lautet also: A( ) ( ) ² glt für alle N. Idutosafag: Ich suche e für das A () wahr wrd. Des habe ch durch de Wertetabelle scho mehrmals durchgeführt. So z.b. mt. A () (*) ² st wahr Also öe wr sage: A () st wahr.

7 Idutosschrtt: Das es e gbt, für das A () wahr wrd, habe wr durch de Idutosafag gezegt. A ( ) A( ) Das bedeutet u A( ) ( ) ² st wahr zu zege st, dass, we A() wahr st, auch A( ) wahr wrd ( ) ( ) (( ) ) ( ( ) ² ) ( ) ² ( ) ( )² Also A ( ) st wahr. Somt habe wr gezegt, dass de Aussage, we se für, auch für glt. Im Idutosafag habe wr gezegt, dass de Aussage für ege Bespelzahle wahr wrd. Aus dem Idutosschrtt öe wr u folger, dass de Aussage auch für de Nachfolger eer belebge Zahl wahr wrd. De Allgemegültget st bewese. Schlusssatz: A() glt für alle N A userem Bespel st gut zu eree, dass bede Schrtte erfüllt se müsse. Auf der ee Sete muss der Idutosafag gegebe se, de aus hm resultert alles wetere ud ohe h wäre der Idutosschrtt, also der

8 Bewes der Aussage A (), slos. De we userem Fall A () cht wahr wäre, öte ch cht auf de Folgegleder schleße ud de Allgemegültget der Aussage A () cht bewese. Auf der adere Sete muss auch der Idutosschrtt futoere, de we ch rgedwa cht mehr auf e Folgegled schleße a, gbt es e Ede der Rehe ud se st cht mehr Allgemegültg. E Bespel dafür, dass der Idutosafag gegebe se muss st folgedes: Ich habe de Aussage, de besagt, ch a ee ugerade Zahl durch tele, ohe ee Rest zu erhalte. A ( ) st N Idutosschrtt: N st wahr Zu zege st, dass, we A() wahr st auch A( ) wahr wrd. ( ) etsprcht A (), also st N. ud st N. Demach st auch ( ) N Der Idutosschrtt wäre desem Fall also rchtg. Das Problem st u aber, dass ch de Idutosafag als Vorraussetzug für de Idutosschrtt brauche. Demach müsste de Aussage A wahr se, was se aber cht st. De ch a ee ugerade Zahl cht durch tele, ohe ee Rest zu erhalte. Somt habe ch zwar bewese, dass de Aussage allgemegültg wäre, aber da ch de Idutosafag cht mache a, st des slos.

9 E Bespel für geau de adere Fall, dem ch de Idutosafag, aber cht de Idutosschrtt durchführe a st de Aussage: Ich a durch alle atürlche Zahle tele, ohe ee Rest zu erhalte. Ich bege damt, dese Aussage durch ege Bespele stchprobeartg zu prüfe Ich habe ege atürlche Zahle probert ud de Aussage st für dese mmer wahr. Ich vermute demach, dass de Aussage A( ) N wahr st. Idutosafag: Das es ege Zahle gbt, für de usere Aussage wahr wrd, habe wr scho a de Bespele gezegt. Z.B. A () st wahr. Idutosschrtt: A( ) N st wahr zu zege st, dass, we A () wahr st, auch A ( ) wahr wrd * Ma eret, dass es abhägg vo e bestmmtes allgemees. Folglch st A () cht allgemegültg. gbt. Es gbt also e

10 Deses Ergebs hatte wr erwartet, da, we wr wsse, cht durch alle atürlche Zahle telbar st, ohe ee Rest zu beomme. I desem Fall ote ch zwar ohe Probleme ee Idutosafag blde, ur beomme ch durch de Idutosschrtt de Lösug, dass A () cht allgemegültg st. Dadurch st auch der Bewes für de Allgemegültget der Aussage fehlgeschlage. Ee wetere Veraschaulchug st das Przp der Kettereato be eer Rehe vo Domostee. Her muss zuerst e Domoste agestoße werde, bevor de achfolgede alle falle. Des spegelt u das Przp der vollstädge Iduto weder, da ch be hr zuerst ee belebge atürlche Zahl fde muss, für de A () wahr wrd, also ch ee belebge Ste astoße muss. Gescheht des cht, ommt de Kettereato cht Gag, Abbldug ch a also de vollstädge Iduto cht awede. Des wetere muss u jeder Ste de Kppbewegug a de ächste wetergebe, bezoge auf de vollstädge Iduto, muss gezegt werde dass, we A () wahr st, auch A ( ) wahr wrd. Gbt emal e Ste de Kppbewegug cht weter oder es gbt e für das A ( ) cht wahr wrd, da wrd de gaze Kettereato uterbroche oder de vollstädge Iduto lässt sch cht awede Peao-Axome Das Przp der Vollstädge Iduto lässt sch dem Axomesystem vo dem talesche Mathemater Guseppe Peao(gebore ; 4 Abbldug ud das Bespel aus Hah/Dzewas, Aalyss Lestugsurs, S. 373

11 gestorbe ) 5 wederfde. Er hat desem, ach hm beate Peao-Axomesystem de Egeschafte der atürlche Zahle festgelegt. De Axome der atürlche Zahle ach Peao laute:.) st ee atürlche Zahl..) Zu jeder Zahl gbt es ee edeutg bestmmte atürlche Zahl *, geat der Nachfolger vo. 3.) st cht der Nachfolger rgedeer atürlche Zahl. 4.) Zwe atürlche Zahle ud m, dere Nachfolger glech sd (d.h. m* = *), sd selbst glech (d.h. m = ). 5.) Es se T ee Telmege der atürlche Zahle mt folgede Egeschafte: a) gehört zu T; b) gehört zu T, da st auch der Nachfolger * vo e Elemet vo T. Da stmmt T mt N übere. 6 Das Axom 5 besagt, dass, we, ud der Nachfolger vo zu eer Mege T der atürlche Zahle gehöre, da gehöre alle atürlche Zahle zu der Mege T. T st demach glech der Mege der atürlche Zahle. Aders formulert bedeutet des, dass, we, ud der Nachfolger vo ee Egeschaft habe, da habe alle atürlche Zahle dese Egeschaft. Des st sozusage der Grudste für das Przp der vollstädge Iduto, da es de Regel für das Awede der vollstädge Iduto festlegt. Es müsse de bede Schrtte Idutosafag ud Idutosschrtt durchgeführt werde. Es muss der Mege se oder muss de Egeschaft habe (Idutosafag) ud es muss der Nachfolger vo, uter der Vorraussetzug, dass des für zutrfft, der Mege se oder de Egeschaft habe (Idutosschrtt)

12 5. Awedugsbespele der vollstädge Iduto I. Bespel : Wr ehme de Summe aller atürlche Zahle ud behaupte, dass ma se ebefalls durch ( ) bereche a. Behauptug: A( ) ( ) für alle N. Idutosafag: Ich suche ee atürlche Zahl, für de A() wahr wrd. Ich setzte e ud erhalte 3 * (3) 3 A () st also wahr. Idutosschrtt: A ( ) A( ) A( ) ( ) st wahr. ( ) Zu zege: ( )(( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ²

13 ( ) ( ) ( ² 3 ) ( ) ( )( ) ( ) ( )(( ) ) A ( ) st wahr. Schlusssatz: A () glt für alle N [Quelle: Schwa, Mathemat. Schuljahr, S. 7 Übug a)] II. Bespel : Deses Bespel st ee lee Spelere. Behauptug: I ee Koffer passe uedlch vele Paare Soce. Idutosafag: E paar Soce passt ee leere Koffer. Dese Aussage st wahr. Idutosschrtt: I eem Koffer sd Paar Soce. Aus Erfahrug weß ma, e Paar Soce passt mmer och re. Also sd m Koffer u Soce. Schlusssatz: I ee Koffer passe uedlch vele Paare Soce. Natürlch passe ee Koffer cht uedlch vele Paare Soce, aber wr habe ja mt Hlfe der vollstädge Iduto bewese, dass des geht. Wo legt userer Fehler? Er besteht dar, dass wr als Bewes für de Behauptug ee Vermutug ehme, de wr aufgrud vo dutvem Vorgehe erlagt habe. Dese Vermutug st demach gar cht bewese ud a deshalb

14 cht zum Bewes userer Behauptug dee. Wr dürfe de vollstädge Iduto so userem Fall also cht awede. Daher habe wr e falsches Ergebs erhalte. [Quelle: III. Bespel 3: Summe der Poteze vo. Behauptug: A ( ) ( ) für alle * N Idutosafag: A () ( ) A () st also wahr. Idutosschrtt: A ( ) A( ) A ( ) ( ) st wahr. Zu zege: ( ) ( ( ) ) ( ) (ausmultplzere)

15 * ( ) A ( ) st wahr. Schlusssatz: A () glt für alle * N IV. Bespel 4: Zu zege st, dass de Abletug der Potezfuto f : x x, x R, N * de Futo f : x * x, x R, N * st. Als beat wrd vorrausgesetzt: - de Produtregel der Dfferetalrechug - de Abletug der Futo, de ch behadle - das Potezgesetz a * a m a m Idutosafag: Für f ( x) x glt: f ( x) *. We wr wsse, st des wahr. x A () st wahr. Idutosschrtt: A ( ) A( )

16 A () bedeutet: f ( x) * x für f ( x) x A ( ) bedeutet: ( ) f ( x) ( ) * x ( ) * x Es st f ( x) x x * x x * f ( ) x (her wurde das Potezgesetz agewadt) Also st f ( x) * f ( x) x * f (her wurde de Produtregel agewadt) f ( x) * x x *( * x ) (Da ch de Abletug ach de Voraussetzuge ee) f ( x) * x * x ( ) * x Also st f ( x) ( ) * x, we f ( x) * x. Usere Behauptug st somt bewese. [Quelle: Hah/Dzewas, Aalyss Lestugsurs, S. 376] V. Bespel 5: Beroullsche Uglechug. Behauptug: Für alle N ud für alle a R mt a glt: A( ) ( a) a Idutosafag: A() ( a a) a a Dese Aussage st wahr, da das Glechhetszeche glt. A () st wahr. Idutosschrtt: A ( ) A( )

17 A( ) ( a) a für alle a R mt a st wahr. Zu zege: ( a ) ( ) a ( a) ( a) ( a) (Potezgesetz) a ( a) wege der Defto vo () st. Daraus folgt u: A ud ( a ) 0, da a ( a) ( a)( x) ( a) a a a ( a) ( ) a a² a ² 0 wege a Also glt: ( a ) ( ) a A ( ) st wahr. Schlusssatz: A () glt für alle N. [Quelle: Hah/Dzewas, Aalyss Lestugsurs, S. 376 ud Schwa, Mathemat. Schuljahr, S. 7]

18 6. Schlusswort Das Thema der Facharbet hat mr alles allem ee große Schwergete beretet. Ich fad es telwese ur etwas schwerg, das Thema Worte zu fasse, da es doch lechter durch Bespele zu erläre st. Es war für mch auch zemlch lecht verstädlch ud ch hatte somt vo Afag a ee Probleme. Vo daher ote ch de grosstel der gefudee Bespele verstehe. Aufgefalle st mr, de eue Art des Arbete mt Quelleagabe ud dere geaue Agabe, was vorher Arbete für de Schule cht aufgetaucht st. Zudem hatte ch mch vorher och cht mt dem Formeledtor beschäftgt, was das Arbete afags och etwas mühselg machte. Mttlerwele st des aber e Problem mehr.

19 7. Lteraturverzechs: Mcrosoft Ecarta 98 Ezylopäde Mcrosoft Corporato. Alle Rechte vorbehalte. Hah/Dzewas, Aalyss Lestugsurs Schwa, Mathemat. Schuljahr Lambacher-Schwezer, Aalyss