Lösungen der Übungsaufgaben II

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1 Mathemati für die erste Semester (. Auflage): Lösuge der Übugsaufgabe II C. Zerbe, E. Osser, W. Müceheim

2 Ma bereche die Biomialoeffiziete,,, ! 74 7!(7 )! ; 4; Ma beweise die Beroullische Ugleichug: ( + x) + x für x 0 ud N a) mit Hilfe des biomische Satzes, b) durch vollstädige Idutio. a) ( ) i i ( ) + x x + x+ x + + x i 0 i b) Idutiosafag (Behauptug stimmt für ): + x + x Idutiosaahme: ( + x) + x Schluss vo auf + (zu zeige: ( + x) + + ( + ) x): ( + x) + ( + x) ( + x) ( + x) ( + x) + x + x + x + x + x + ( + ) x. 4. Ma beweise die folgede Formel für alle N mit vollstädiger Idutio: a) ( + )(+ ) Idutiosafag (Behauptug stimmt für ): Idutiosaahme: + ( + )( + )(+ ) Schluss vo auf + (zu zeige: ): ( + )(+ ) + ( + ) (+ ) + ( + ) + ( + ) ( + )[ (+ ) + ( + )] ( + )[ )] ( + )[( + )(+ )] Der letzte Schritt wird durch Ausmultipliziere der ecige Klammer bewiese. b) ( + ) Idutiosafag (Behauptug stimmt für ): Idutiosaahme: ( )( ) Schluss vo auf + (zu zeige: ): ( + )

3 + ( + ) + ( + ) + ( + ) ( + ) [ + 4( + )] 4 ( + ) [ ] ( + ) ( + ) 4 4 c) ; Idutiosafag (Behauptug stimmt für ): 0 Idutiosaahme: + + Schluss vo auf + (zu zeige: ): + + ( ) ( + ) Ma beweise, dass eie ratioale Zahl ist. [Hiweis: Es wäre sost p /.] Aahme: p, p ud gaze Zahle ud teilerfremd Aus Aahme folgt: p p Lis steht eie ugerade Zahl vo Fatore, rechts steht eie gerade Zahl vo Fatore, im Widerspruch zur Eideutigeit der Primfatorzerlegug. 4. Ma beweise: Sid p ud teilerfremd, so ist p / mit N eie gaze Zahl. ethält midestes eie Primfator, der icht i p ethalte ist. Nach dem Fudametalsatz der Zahletheorie ist dieser Primfator auch icht i p ethalte. 4. Ist 0 - durch teilbar? Ohe Rechug ergibt sich die Atwort "ja" aus dem leie Fermatsche Satz, da Primzahl ist. 0/ 9.. Sizziere Sie alle mögliche bijetive Abbilduge der Mege { a, b, c } auf sich selbst durch Ziehe vo Verbidugsliie zwische Urbild ud Bild. a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c (III) (W) (M) (*) (IX) (XI)

4 Weise Sie ach, dass diese Abbilduge eie ichtabelsche Gruppe bilde. Die Abbilduge sid abgeschlosse, de mehr als! gibt es icht ud jede Verüpfug vo Abbilduge ist wieder eie Abbildug. Die Assoziativität ergibt sich aus der Uuterscheidbareit der Klammerug i eier Zeichug, die drei Abbilduge hitereiadergeschaltet ethält. (III) ist das eutrale Elemet. Zu jedem Elemet existiert das iverse Elemet. (III), (*), (IX), (XI) sid zu sich selbst ivers, (W) ud (M) zueiader. (W) (*) {a b b; b c a; c a c} (XI) (*) (W) {a c a; b b c; c a b} (IX) Da (W) (*) (*) (W), ist die Gruppe icht ommutativ. Also hadelt es sich um eie ichtabelsche Gruppe.. Stelle Sie die Dezimalzahle, 7, 4, /, 7/4 als Biärzahle dar. d 0 b (d: Dezimaldarstellug, b: Biärdarstellug) 7 d b ; 4 d 00 b ; 0, d 0, b ; (7/4) d 00,0 b. Wadel Sie die Biärzahle 00; 0; 00,00 i Dezimalzahle um. 00 b d ; 0 b d ; 00,00 b 4, d.4 Ma beweise mit Hilfe der Axiome der reelle Zahle ud der Ugleichug a a ahad vo Falluterscheiduge die Cauchy Schwarzsche Ugleichug x + y x + y.. Fall (x + y) 0 fl x + y (x + y) x + y x + y x + y. Fall (x + y) < 0 fl x + y -(x + y) -x - y -x + -y -x + -y x + y. Ma beweise mit Hilfe der Axiome der reelle Zahle ud der Ugleichug a a ahad vo Falluterscheiduge die Ugleichug x y x y. Nach Übug.4 gilt: x y + y x y + y x fl x y x - y Nach Übug.4 gilt: y x + x y x + x y fl y x y - x -( x - y ) oder x y -( x - y ) Aus x y x - y ud x y -( x - y ) folgt x y x - y. Schreibe Sie de leie Fermatsche Satz i der Form a ª b (mod c). p- p (mit ) p- (mod p).7 Bereche Sie:.9 Bereche Sie die Beträge der Zahle aus.7.

5 a) ( + 4i) + (7 + i) 0 + i 0 + i b) ( + i) + ( i) + i + i 4 c) ( + 4i) ( i) i i d) ( 4i) ( i) i i e) ( + 4i) ÿ ( + i) + i + i 0 f) ( 4i) ÿ ( i) 8i 8i 00 g) ( + i) / ( + i) ( i )/ ( i )/ h) ( + i) / ( i) ( + i)/ ( + i)/ Stelle Sie die Zahle aus.7 i Polarform dar ud führe Sie die Multipliatioe ud Divisioe dari aus. i, + 4i e i i,4 e 7 + i + i i,9 e + 4i i9,0 4 e + i 0 e i,4 e i,7 i,7 e i + i 4 e i9,0 4i 0,4 e i + i e i,4 ( + 4i) ÿ ( + i) ( 4i) ÿ ( i) ( + i) / ( + i) i,4 i,7 i 97, 0e e 0e,8 0 i e 4 i4,4 e ( + i) / ( i) 4 e i9,7. Bereche Sie die drei dritte Eiheitswurzel aus ( ), stelle Sie sie i Kompoeteform dar ud prüfe Sie die Ergebisse durch dreimalige Multipliatio jeder Wurzel mit sich selbst i Kompoeteform. i( π+ π) z e, 0,, iπ i e π 0: z 0 e : z : z e iπ iπ π π Kompoeteform: z 0 e cos( ) + isi( ) 0, + i iπ z e cos( π) + isi( π) iπ π π z e cos( ) + isi( ) 0, i Probe: ( z0) 0,+ i 0, + 0, i + 0, i + i

6 ( z ) ( z) 0, i. Bereche Sie die füf füfte Eiheitswurzel aus ud stelle Sie sie i Kompoeteform dar. z 0 0 e iπ z e 0,09 + i0,9 i4π z e 0,809 + i0,88 iπ z e 0,809 i0,88 i8π z4 e 0,09 i0,9