5.7. Aufgaben zu Folgen

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1 5.7. Aufgabe zu Folge Aufgabe : Lieares ud beschräktes Wachstum Aus eiem Quadrat mit der Seiteläge dm gehe auf die rechts agedeutete Weise eue Figure hervor. Die im -te Schritt agefügte Quadrate sid jeweils ur so breit wie die im ( )-te Schritt agefügte Quadrate. a) Bereche de Umfag U ach 0,,, ud 4 Schritte. b) Wie groß ist der Zuwachs U U des Umfags im -te Schritt? c) Stelle eie Formel auf, mit der sich U aus U bereche lässt. d) Stelle eie Formel auf, mit der sich U direkt aus bereche lässt. e) Bereche de Flächeihalt A der Figur ach,, ud 4 Schritte f) Wie groß ist der Zuwachs A A der Fläche im -te Schritt? g) Stelle eie Formel auf, mit der sich A aus A bereche lässt. h) Stelle eie Formel auf, mit der sich A direkt aus bereche lässt. Hiweis:.... i) Bereche A 00 ud U 00 ud vergleiche. Welche Aussage lässt sich aus diesem Beispiel über de Umfag ud die Fläche atürlicher Gebilde wie z. B. des Lades Bade-Württemberg ableite? j) Bereche de Grezwert A. Aufgabe : Berechug vo Folgeglieder aus gegebee eplizite ud rekursive Formel Bereche die erste 5 Folgeglieder a 0,..., a 4 : a) a 00 e) a a mit a 0 b) a f) a a a mit a 0 c) a d) a ( )( ) h) a a g) a a (5 a ) mit a 0 0 a (5 a ) mit a 0 Aufgabe : Bestimmug vo eplizite ud rekursive Formel aus gegebee Folgeglieder Stelle die eplizite ud die rekursive Formel für die gegebee Folgeglieder auf: a) a 0 ; a ; a 5; a 7; a 4 9 e) a 0 0; a ; a ; a 4 ; a b) a 0 ; a ; a ; a 4; a 4 48 f) a 0 ; a ; a 4 9 ; a 8 7 ; a 4 8 c) a 0 ; a ; a 8; a 54; a 4 g) a 0 ; a ; a 7 5 ; a 7 ; a 4 5 d) a 0 ; a 5; a 0; a 7; a 4 h) a 0 0; a ; a 4 9 ; a ; a 4 8 Aufgabe 4: Bestimmug vo rekursive Darstelluge aus eplizite Formel Gib eie rekursive Beschreibug für die folgede Folge a: a) a b) a c) a d) a Aufgabe 5: Bestimmug vo eplizite Formel aus rekursive Darstelluge Gib eie eplizite Beschreibug für die folgede Folge a: a) a a mit a 0 c) a a mit a 0 0 b) a 0,8 a mit a 0 0 d) a a mit a 0 0 Aufgabe : Mootoie eier Folge Utersuche die folgede Folge auf Mootoie ud begrüde ahad der Defiitio.

2 a) a b) a c) a d) a Aufgabe 7: Beschräktheit eier Folge Utersuche die folgede Folge auf Beschräktheit ud begrüde ahad der Defiitio. a) a b) a c) a d) a Aufgabe 8: Grezwert eier Folge Gib de Grezwert a a a ud begrüde ahad der Defiitio. a) a b) a c) a si d) a Aufgabe 9: Grezwert eier Folge Utersuche die Folge (a ) mit Hilfe vo Beschräktheit ud Mootoie auf Kovergez a) a... c) a... b) a... d) a 5 ( )... Aufgabe 0: Vollstädige Iduktio Beweise mit Hilfe der vollstädige Iduktio: a) 4... ( ) für b)... ( )( ) für c) 0... d) 7 teilt 8 für e) teilt für für f) ( ) > für, > ud 0 (Beroulli-Ugleichug)

3 5.7. Lösuge zu de Aufgabe zu Folge Aufgabe : Lieares ud beschräktes Wachstum Alle Strecke i dm, alle Fläche i dm : a) U 0 4, U, U 8, U 0 ud U 4 b) U U (lieares Wachstum c) U U (rekursive Formel) d) U 4 (eplizite Formel) e) A 0, A,, A,44, A,48 ud A ,49 f) A A (beschräktes Wachstum) g) A A (rekursive Formel) h) A... / /.(eplizite Formel) i) U ud A 00,5 Der Umfag wächst ubeschräkt aber die Fläche ähert sich eiem Grezwert. j) A Aufgabe : Berechug vo Folgeglieder aus eplizite ud rekursive Formel a) a 0 00; a 50; a 5; a,5; a 4,5 e) a 0 ; a,5; a 4; a 4,5; a 4 5 b) a 0 50; a 75; a 87,5; a 9,75; a 4 9,875 f) a 0 ; a 4,5; a,75; a 0,5; a 4 5,875 c) a 0 ; a ; a ; a 4 ; a 4 5 g) a 0 ; a 4; a 4,5; a 4,75; a 4 4,875 d) a 0 ; a ; a ; a 0; a 4 0 h) a 0 ; a,; a,74; a,98; a 4 4,8 Aufgabe : Bestimmug vo eplizite ud rekursive Formel aus Folgeglieder a) a a mit a 0 a e) a a mit a 0 0 a ( )( ) b) a a mit a 0 a f) a a mit a 0 a c) a a mit a 0 a g) a a ( )( ) mit a 0 a 4 d) a a mit a 0 a h) a a für mit a ud a 0 0 a Aufgabe 4: Bestimmug vo rekursive Formel aus eplizite Formel a) a a mit a 0 c) a a mit a 0 b) a a mit a 0 0 d) a a ( )( ) mit a 0 0 Aufgabe 5: Bestimmug vo eplizite Formel aus rekursive Darstelluge a) a b) a 0 0,8 c) a ( ) d) a

4 Aufgabe : Mootoie eier Folge a a) mooto zuehmed, da a b) mooto zuehmed, da a ( ) ( )( ) > für alle N. ( ) ( ) > für alle N. a c) mooto zuehmed für, da a a ( ) ( ) ( ) > 0 für d) mooto abehmed für, da a a ( ) ( ) () ( ) () ( ) < 0 für Aufgabe 7: Beschräktheit eier Folge a) Obere Schrake S o, weil a 0 für alle N b) Keie obere Schrake S, da es kei S R gibt, so dass a S N erfüllt ist ud utere Schrake S u 0, weil a 0 für alle N ud utere Schrake S u 0, weil a 0 S S für alle 0 für alle N. c) Obere Schrake S o 0, weil a 0 0 ( ) 0 für alle N ud keie utere Schrake S, da es kei S R gibt, so dass a S S für alle N d) Obere Schrake S o, weil a für alle N ud utere Schrake S u 0, da 0 für alle N Aufgabe 8: Grezwert eier Folge Zu zeige ist, dass es für jedes ε > 0 ei e gibt, so dass die Ugleichug: a a < ε für alle > ε ε erfüllt ist. a) a, da a a ε ε ε ε erfüllt ist für alle ε ε. b) c) d) a, da a a ε ε ist für alle ε ε( ε ). ε ( ε ) ε ( ε) ε( ε) erfüllt a 0, da a a ε si ε ε erfüllt ist für alle ε ε. a 0, da a a ε ε ε erfüllt ist für alle 0 Aufgabe 9: Grezwert eier Folge a) a ist mooto steiged, da a a a... ( ) < d > 0 für alle N. (a ) ist ach obe beschräkt, da < für alle N. (a ) muss daher gege eie Grezwert a kovergiere. L. Euler zeigt im Jahr 7, dass a π,4 4

5 b) a ist mooto steiged, da a a a 5... ( ) ( ) > 0 für alle N. (a ) ist ach obe beschräkt, da < d ( ) alle N. (a ) muss daher gege eie Grezwert a 7, dass a π, 8 c) a ist mooto steiged, da a a a... < 0 d ( ) 0 4 < für kovergiere. L. Euler zeigte im Jahr > 0 für alle N. (a ) ist ach obe beschräkt, da l e d e l für alle N. (a ) muss daher gege eie Grezwert a Grezwert ergibt sich durch Awedug der Summeformel a / / d) a ist mooto steiged, da a a (a ) ist ach obe beschräkt, da a l l a (siehe Aufgabe!) l l < l kovergiere. Der eakte... < 0 d... > 0 für alle N. [ l( ) ] 0 l l l für alle ud a 0. (a ) muss daher gege eie Grezwert a l kovergiere Aufgabe 0: Vollstädige Iduktio a) Iduktiosafag : ( ) Iduktiosschritt : Iduktiosaahme für ei beliebiges : 4... ( ) zu zeige ist die Behauptug für : 4... ( ( )( ) Like Seite mit Eisetze der Iduktiosaahme: 4... ( ) ( ) Rechte Seite: ( )( ) qed b) Iduktiosafag : ( )( ) Iduktiosschritt : Iduktiosaahme für ei beliebiges :... ( )( ) zu zeige ist die Behauptug für :... ( ) ( )( )( ) Like Seite mit Eisetze der Iduktiosaahme:... ( ) ( )( ) ( ) Rechte Seite: ( )( )( ) ( 9 ) qed c) Iduktiosafag : ( )( ) Iduktiosschritt : Iduktiosaahme für ei beliebiges :

6 zu zeige ist die Behauptug für : 0... Like Seite mit Eisetze der Iduktiosaahme: 0... d) Iduktiosafag : 7 teilt 8 7 Iduktiosschritt : Iduktiosaahme für ei beliebiges : 7 teilt 8 zu zeige ist die Behauptug für : 7 teilt Offesichtlich ist der like Summad 7 8 durch 7 teilbar. Nach Iduktiosaahme ist auch der rechte Summad 8 durch 7 teilbar ud damit die gaze Summe. qed e) Iduktiosafag : teilt Iduktiosschritt : Iduktiosaahme für ei beliebiges : teilt zu zeige ist die Behauptug für : teilt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Nach Iduktiosaahme ist auch der like Summad durch teilbar. Da etweder oder gerade ist, ist ( ) eie gaze Zahl. Daher ist auch der rechte Summad ( ) durch teilbar ud damit die gaze Summe. qed f) Iduktiosafag : ( ) >, da > 0 Iduktiosschritt : Iduktiosaahme für ei beliebiges : ( ) > zu zeige ist die Behauptug für : ( ) > ( ) Like Seite mit Eisetze der Iduktiosaahme: ( ) ( ) ( ) > ( )( ), da ach Voraussetzug > 0 ( ) > ( ), da > 0 qed qed