5.7. Aufgaben zu Folgen

Save this PDF as:

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "5.7. Aufgaben zu Folgen"

Transkript

1 5.7. Aufgabe zu Folge Aufgabe : Lieares ud beschräktes Wachstum Aus eiem Quadrat mit der Seiteläge dm gehe auf die rechts agedeutete Weise eue Figure hervor. Die im -te Schritt agefügte Quadrate sid jeweils ur so breit wie die im ( )-te Schritt agefügte Quadrate. a) Bereche de Umfag U ach 0,,, ud 4 Schritte. b) Wie groß ist der Zuwachs U U des Umfags im -te Schritt? c) Stelle eie Formel auf, mit der sich U aus U bereche lässt. d) Stelle eie Formel auf, mit der sich U direkt aus bereche lässt. e) Bereche de Flächeihalt A der Figur ach,, ud 4 Schritte f) Wie groß ist der Zuwachs A A der Fläche im -te Schritt? g) Stelle eie Formel auf, mit der sich A aus A bereche lässt. h) Stelle eie Formel auf, mit der sich A direkt aus bereche lässt. Hiweis:.... i) Bereche A 00 ud U 00 ud vergleiche. Welche Aussage lässt sich aus diesem Beispiel über de Umfag ud die Fläche atürlicher Gebilde wie z. B. des Lades Bade-Württemberg ableite? j) Bereche de Grezwert A. Aufgabe : Berechug vo Folgeglieder aus gegebee eplizite ud rekursive Formel Bereche die erste 5 Folgeglieder a 0,..., a 4 : a) a 00 e) a a mit a 0 b) a f) a a a mit a 0 c) a d) a ( )( ) h) a a g) a a (5 a ) mit a 0 0 a (5 a ) mit a 0 Aufgabe : Bestimmug vo eplizite ud rekursive Formel aus gegebee Folgeglieder Stelle die eplizite ud die rekursive Formel für die gegebee Folgeglieder auf: a) a 0 ; a ; a 5; a 7; a 4 9 e) a 0 0; a ; a ; a 4 ; a b) a 0 ; a ; a ; a 4; a 4 48 f) a 0 ; a ; a 4 9 ; a 8 7 ; a 4 8 c) a 0 ; a ; a 8; a 54; a 4 g) a 0 ; a ; a 7 5 ; a 7 ; a 4 5 d) a 0 ; a 5; a 0; a 7; a 4 h) a 0 0; a ; a 4 9 ; a ; a 4 8 Aufgabe 4: Bestimmug vo rekursive Darstelluge aus eplizite Formel Gib eie rekursive Beschreibug für die folgede Folge a: a) a b) a c) a d) a Aufgabe 5: Bestimmug vo eplizite Formel aus rekursive Darstelluge Gib eie eplizite Beschreibug für die folgede Folge a: a) a a mit a 0 c) a a mit a 0 0 b) a 0,8 a mit a 0 0 d) a a mit a 0 0 Aufgabe : Mootoie eier Folge Utersuche die folgede Folge auf Mootoie ud begrüde ahad der Defiitio.

2 a) a b) a c) a d) a Aufgabe 7: Beschräktheit eier Folge Utersuche die folgede Folge auf Beschräktheit ud begrüde ahad der Defiitio. a) a b) a c) a d) a Aufgabe 8: Grezwert eier Folge Gib de Grezwert a a a ud begrüde ahad der Defiitio. a) a b) a c) a si d) a Aufgabe 9: Grezwert eier Folge Utersuche die Folge (a ) mit Hilfe vo Beschräktheit ud Mootoie auf Kovergez a) a... c) a... b) a... d) a 5 ( )... Aufgabe 0: Vollstädige Iduktio Beweise mit Hilfe der vollstädige Iduktio: a) 4... ( ) für b)... ( )( ) für c) 0... d) 7 teilt 8 für e) teilt für für f) ( ) > für, > ud 0 (Beroulli-Ugleichug)

3 5.7. Lösuge zu de Aufgabe zu Folge Aufgabe : Lieares ud beschräktes Wachstum Alle Strecke i dm, alle Fläche i dm : a) U 0 4, U, U 8, U 0 ud U 4 b) U U (lieares Wachstum c) U U (rekursive Formel) d) U 4 (eplizite Formel) e) A 0, A,, A,44, A,48 ud A ,49 f) A A (beschräktes Wachstum) g) A A (rekursive Formel) h) A... / /.(eplizite Formel) i) U ud A 00,5 Der Umfag wächst ubeschräkt aber die Fläche ähert sich eiem Grezwert. j) A Aufgabe : Berechug vo Folgeglieder aus eplizite ud rekursive Formel a) a 0 00; a 50; a 5; a,5; a 4,5 e) a 0 ; a,5; a 4; a 4,5; a 4 5 b) a 0 50; a 75; a 87,5; a 9,75; a 4 9,875 f) a 0 ; a 4,5; a,75; a 0,5; a 4 5,875 c) a 0 ; a ; a ; a 4 ; a 4 5 g) a 0 ; a 4; a 4,5; a 4,75; a 4 4,875 d) a 0 ; a ; a ; a 0; a 4 0 h) a 0 ; a,; a,74; a,98; a 4 4,8 Aufgabe : Bestimmug vo eplizite ud rekursive Formel aus Folgeglieder a) a a mit a 0 a e) a a mit a 0 0 a ( )( ) b) a a mit a 0 a f) a a mit a 0 a c) a a mit a 0 a g) a a ( )( ) mit a 0 a 4 d) a a mit a 0 a h) a a für mit a ud a 0 0 a Aufgabe 4: Bestimmug vo rekursive Formel aus eplizite Formel a) a a mit a 0 c) a a mit a 0 b) a a mit a 0 0 d) a a ( )( ) mit a 0 0 Aufgabe 5: Bestimmug vo eplizite Formel aus rekursive Darstelluge a) a b) a 0 0,8 c) a ( ) d) a

4 Aufgabe : Mootoie eier Folge a a) mooto zuehmed, da a b) mooto zuehmed, da a ( ) ( )( ) > für alle N. ( ) ( ) > für alle N. a c) mooto zuehmed für, da a a ( ) ( ) ( ) > 0 für d) mooto abehmed für, da a a ( ) ( ) () ( ) () ( ) < 0 für Aufgabe 7: Beschräktheit eier Folge a) Obere Schrake S o, weil a 0 für alle N b) Keie obere Schrake S, da es kei S R gibt, so dass a S N erfüllt ist ud utere Schrake S u 0, weil a 0 für alle N ud utere Schrake S u 0, weil a 0 S S für alle 0 für alle N. c) Obere Schrake S o 0, weil a 0 0 ( ) 0 für alle N ud keie utere Schrake S, da es kei S R gibt, so dass a S S für alle N d) Obere Schrake S o, weil a für alle N ud utere Schrake S u 0, da 0 für alle N Aufgabe 8: Grezwert eier Folge Zu zeige ist, dass es für jedes ε > 0 ei e gibt, so dass die Ugleichug: a a < ε für alle > ε ε erfüllt ist. a) a, da a a ε ε ε ε erfüllt ist für alle ε ε. b) c) d) a, da a a ε ε ist für alle ε ε( ε ). ε ( ε ) ε ( ε) ε( ε) erfüllt a 0, da a a ε si ε ε erfüllt ist für alle ε ε. a 0, da a a ε ε ε erfüllt ist für alle 0 Aufgabe 9: Grezwert eier Folge a) a ist mooto steiged, da a a a... ( ) < d > 0 für alle N. (a ) ist ach obe beschräkt, da < für alle N. (a ) muss daher gege eie Grezwert a kovergiere. L. Euler zeigt im Jahr 7, dass a π,4 4

5 b) a ist mooto steiged, da a a a 5... ( ) ( ) > 0 für alle N. (a ) ist ach obe beschräkt, da < d ( ) alle N. (a ) muss daher gege eie Grezwert a 7, dass a π, 8 c) a ist mooto steiged, da a a a... < 0 d ( ) 0 4 < für kovergiere. L. Euler zeigte im Jahr > 0 für alle N. (a ) ist ach obe beschräkt, da l e d e l für alle N. (a ) muss daher gege eie Grezwert a Grezwert ergibt sich durch Awedug der Summeformel a / / d) a ist mooto steiged, da a a (a ) ist ach obe beschräkt, da a l l a (siehe Aufgabe!) l l < l kovergiere. Der eakte... < 0 d... > 0 für alle N. [ l( ) ] 0 l l l für alle ud a 0. (a ) muss daher gege eie Grezwert a l kovergiere Aufgabe 0: Vollstädige Iduktio a) Iduktiosafag : ( ) Iduktiosschritt : Iduktiosaahme für ei beliebiges : 4... ( ) zu zeige ist die Behauptug für : 4... ( ( )( ) Like Seite mit Eisetze der Iduktiosaahme: 4... ( ) ( ) Rechte Seite: ( )( ) qed b) Iduktiosafag : ( )( ) Iduktiosschritt : Iduktiosaahme für ei beliebiges :... ( )( ) zu zeige ist die Behauptug für :... ( ) ( )( )( ) Like Seite mit Eisetze der Iduktiosaahme:... ( ) ( )( ) ( ) Rechte Seite: ( )( )( ) ( 9 ) qed c) Iduktiosafag : ( )( ) Iduktiosschritt : Iduktiosaahme für ei beliebiges :

6 zu zeige ist die Behauptug für : 0... Like Seite mit Eisetze der Iduktiosaahme: 0... d) Iduktiosafag : 7 teilt 8 7 Iduktiosschritt : Iduktiosaahme für ei beliebiges : 7 teilt 8 zu zeige ist die Behauptug für : 7 teilt Offesichtlich ist der like Summad 7 8 durch 7 teilbar. Nach Iduktiosaahme ist auch der rechte Summad 8 durch 7 teilbar ud damit die gaze Summe. qed e) Iduktiosafag : teilt Iduktiosschritt : Iduktiosaahme für ei beliebiges : teilt zu zeige ist die Behauptug für : teilt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Nach Iduktiosaahme ist auch der like Summad durch teilbar. Da etweder oder gerade ist, ist ( ) eie gaze Zahl. Daher ist auch der rechte Summad ( ) durch teilbar ud damit die gaze Summe. qed f) Iduktiosafag : ( ) >, da > 0 Iduktiosschritt : Iduktiosaahme für ei beliebiges : ( ) > zu zeige ist die Behauptug für : ( ) > ( ) Like Seite mit Eisetze der Iduktiosaahme: ( ) ( ) ( ) > ( )( ), da ach Voraussetzug > 0 ( ) > ( ), da > 0 qed qed

5.7. Aufgaben zu Folgen und Reihen

5.7. Aufgaben zu Folgen und Reihen 5.7. Aufgbe zu Folge ud Reihe Aufgbe : Lieres ud beschrätes Wchstum Aus eiem Qudrt mit der Seiteläge dm gehe uf die rechts gedeutete Weise eue Figure hervor. Die im -te Schritt gefügte Qudrte sid jeweils

Mehr

4. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen

4. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen 4. Übugsblatt Aufgabe mit Lösuge Aufgabe 6: Bestimme Sie alle Häufugspukte der Folge mit de Folgeglieder a) a 2 + cosπ), b) b i) i j, ud gebe Sie jeweils eie Teilfolge a, die gege diese Häufugspukte kovergiert.

Mehr

5. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen

5. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen 5. Übugsblatt Aufgabe mit Lösuge Aufgabe 2: Bestimme Sie alle Häufugspukte der komplexe) Folge mit de Glieder a) a = ) 5 + 7 + 2 ) b) b = i Lösug 2: a) Die Folge a ) zerfällt vollstädig i die beide Teilfolge

Mehr

Übungen zum Ferienkurs Analysis 1, Vorlesung 2

Übungen zum Ferienkurs Analysis 1, Vorlesung 2 F. Hafer, T. Baldauf c Techische Uiversität Müche Übuge zum Feriekurs Aalysis, Vorlesug Witersemester 06/07. Richtig oder Falsch? Sid folgede Aussage richtig oder falsch? Korrigiere bzw. ergäze Sie falsche

Mehr

Klausur 1 über Folgen

Klausur 1 über Folgen www.mathe-aufgabe.com Klausur über Folge Hiweis: Der GTR darf für alle Aufgabe eigesetzt werde. Aufgabe : Bestimme eie explizite ud eie rekursive Darstellug! a) für eie arithmetische Folge mit a = 6, ;

Mehr

Lösungen zum Ferienkurs Analysis 1, Vorlesung 2 Wintersemester 2014/2015

Lösungen zum Ferienkurs Analysis 1, Vorlesung 2 Wintersemester 2014/2015 Lösuge zum Feriekurs Aalysis, Vorlesug Witersemester 04/05 Fabia Hafer, Thomas Baldauf I Richtig oder Falsch Sid folgede Aussage richtig oder falsch? Korrigiere bzw. ergäze Sie falsche Aussage. Gebe Sie

Mehr

Analysis I Lösungsvorschläge zum 3. Übungsblatt Abgabe: Bis Donnerstag, den , um 11:30 Uhr

Analysis I Lösungsvorschläge zum 3. Übungsblatt Abgabe: Bis Donnerstag, den , um 11:30 Uhr Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr. Christoph Schmoeger Dipl.-Math. Lars Machiek Dipl.-Math. Sebastia Schwarz WS 206/207 03..206 Aalysis I Lösugsvorschläge zum 3. Übugsblatt Abgabe:

Mehr

Es gibt verschiedene Möglichkeiten eine Folge zu definieren. Die zwei häufigsten Methoden

Es gibt verschiedene Möglichkeiten eine Folge zu definieren. Die zwei häufigsten Methoden Folge ud Reihe Folge Eie Folge ist eie Abbildug der atürliche Zahle N = {0, 1,,...} i die Mege der (zumidest i de meiste Fälle) reelle Zahle R. I diesem Fall ka ma sich eie Folge als Pukte i eiem Koordiatesystem

Mehr

6. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen + Selbsttest-Auflösung

6. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen + Selbsttest-Auflösung 6. Übugsblatt Aufgabe mit Lösuge + Selbsttest-Auflösug Aufgabe 6: Utersuche Sie die Folge, dere Glieder ute für N agegebe sid, auf Beschräktheit, Mootoie ud Kovergez bzw. Beschräktheit, Mootoie ud Kovergez

Mehr

Kapitel 6. Aufgaben. Verständnisfragen. Rechenaufgaben

Kapitel 6. Aufgaben. Verständnisfragen. Rechenaufgaben Kapitel 6 Aufgabe Verstädisfrage Aufgabe 6. Gegebe sei die Folge (x ) 2 mit x ( 2)/( + ) für 2. Bestimme Sie eie Zahl N N so, dass x ε für alle N gilt, we (a) ε 0, (b) ε 00 ist. Aufgabe 6.2 Stelle Sie

Mehr

Aufgaben zu Kapitel 6

Aufgaben zu Kapitel 6 Aufgabe zu Kapitel 6 Aufgabe zu Kapitel 6 Verstädisfrage Aufgabe 6. Gegebe sei die Folge x ) 2 mit x 2)/ + ) für 2. Bestimme Sie eie Zahl N N so, dass x ε für alle N gilt, we a) ε 0, b) ε 00 ist. Aufgabe

Mehr

Analysis I für M, LaG/M, Ph 4.Übungsblatt

Analysis I für M, LaG/M, Ph 4.Übungsblatt Aalysis I für M, LaG/M, Ph 4.Übugsblatt Fachbereich Mathematik Sommersemester 200 Dr. Robert Haller-Ditelma 05.05.200 David Bücher Christia Bradeburg Gruppeübug Aufgabe G (Kovergez vo Folge) Beweise Sie:

Mehr

Zusammenfassung: Folgen und Konvergenz

Zusammenfassung: Folgen und Konvergenz LGÖ Ks VMa Schuljahr 6/7 Zusammefassug Folge ud Kovergez Ihaltsverzeichis Defiitioe ud Beispiele für Folge Beschräkte Folge Kovergez vo Folge Grezwertsätze für Folge 5 Für Experte 7 Defiitioe ud Beispiele

Mehr

n (n + 1) = 1(1 + 1)(1 + 2) 3 Induktionsschritt: Angenommen die Gleichung gilt für n N. Dann folgt: 1 2 = 2 =

n (n + 1) = 1(1 + 1)(1 + 2) 3 Induktionsschritt: Angenommen die Gleichung gilt für n N. Dann folgt: 1 2 = 2 = Aufgabe 1: (6 Pukte) Zeige Sie für alle N die Formel: 1 2 + 2 3 + 3 4 +... + ( + 1) = ( + 1)( + 2). 3 Lösug: Beweis durch vollstädige Iduktio. Iduktiosafag: Für = 1 gilt: 1 2 = 2 = 1(1 + 1)(1 + 2) 3 Iduktiosschritt:

Mehr

n=1 b n, deren Summe n=1 (a n + b n ) eine konvergente Reihe ist. Die Aussage ist WAHR, ein mögliches Beispiel sind die divergenten Reihen 1

n=1 b n, deren Summe n=1 (a n + b n ) eine konvergente Reihe ist. Die Aussage ist WAHR, ein mögliches Beispiel sind die divergenten Reihen 1 ANALYSIS WS 08/09 Vorlesug: Prof. Dr. P. Ullrich Übuge: Dr. I. Kharif/ Dr. M. Steihauer 9. ÜBUNGSBLATT- LÖSUNGSHINWEISE/Ergebisse Die folgede Bearbeituge sid - zum Teil - keie ausführliche Musterlösuge,

Mehr

Übungsaufgaben zu Analysis 1 Lösungen von Blatt XII vom sin(nx) n sin(x). sin(ax) a sin(x) z = re iϕ = r(cos(ϕ) + i sin(ϕ)) z n = w

Übungsaufgaben zu Analysis 1 Lösungen von Blatt XII vom sin(nx) n sin(x). sin(ax) a sin(x) z = re iϕ = r(cos(ϕ) + i sin(ϕ)) z n = w Prof. Dr. Moritz Kaßma Fakultät für Mathematik Witersemester 04/05 Uiversität Bielefeld Übugsaufgabe zu Aalysis Lösuge vo Blatt XII vom 5.0.5 Aufgabe XII. 3 Pukte) Beweise Sie, dass für alle R ud N die

Mehr

Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik Übungen

Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik Übungen Uiversität Heidelberg Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik Übuge Aufgabe zu Kapitel 3 (aus: K. Hefft, Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik, sowie Ergäzuge) Aufgabe 3.1: Graphische Darstellug

Mehr

Zusammenfassung: Folgen und Konvergenz

Zusammenfassung: Folgen und Konvergenz Zusammefassug Folge ud Kovergez Ihaltsverzeichis Defiitioe ud Beispiele für Folge Beschräkte Folge Kovergez vo Folge Grezwertsätze für Folge 6 Für Experte 8 Defiitioe ud Beispiele für Folge Defiitio Eie

Mehr

4 Konvergenz von Folgen

4 Konvergenz von Folgen 4 Kovergez vo Folge Defiitio 4.. Sei M eie Mege. Ist 0 Z ud für jedes Z mit 0 ei a M gegebe, so et ma die Abbildug { Z; 0 } M, a eie Folge i M. Abkürzed schreibt ma für eie solche Abbildug auch a ) 0 oder

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zetrum Mathematik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mathematik für Iformatiker II (Sommersemester 004 Lösuge zu Aufgabeblatt 7

Mehr

8. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen

8. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen 8. Übugsblatt Aufgabe mit Lösuge Aufgabe 36: Bestimme Sie alle z C, für die die folgede Potezreihe kovergiere: z z a, b! +, c z +. = = Lösug 36: Wir bezeiche de Kovergezradius mit r. a Wir wede das Quotietekriterium

Mehr

Grenzwertberechnungen

Grenzwertberechnungen Katosschule Solothur Grezwertberechuge Grezwertberechuge Grezwertberechuge bei Folge ud Reihe Folge sid Fuktioe; die Begriffe beschräkt ud mooto trete daher auch bei Folge auf. Isbesodere habe sie eie

Mehr

Höhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge zum 5. Übungsblatt

Höhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge zum 5. Übungsblatt KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE KIT Istitut für Aalysis Dr A Müller-Rettkowski Dr T Gauss WS 00/ Höhere Mathematik I für die Fachrichtuge Elektroigeieurwese, Physik ud Geodäsie Lösugsvorschläge zum

Mehr

n gerade 0 n ungerade (c) x n = a 1 n, a R + (d) x 1 := 2, x n+1 = 2 + x n (e) x n = (f) x n = exp(exp(n)) (g) x n = sin(n)

n gerade 0 n ungerade (c) x n = a 1 n, a R + (d) x 1 := 2, x n+1 = 2 + x n (e) x n = (f) x n = exp(exp(n)) (g) x n = sin(n) Übugsaufgabe Aalysis I Aufgabe. Beweise oder widerlege Sie: a Jede i R kovergete Folge ist beschräkt. b Es gibt Cauchy-Folge im R, die icht kovergiere. c Beschräkte Folge sid koverget. d Folge mit eiem

Mehr

3 Folgen, Reihen, Grenzwerte 3.1 Zahlenfolgen. Beispiele: 1, 2, 3, 4, 5,. 1, 3, 5, 7, 9, 3, 6, 9, 12, 15, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 10, 100, 1.000, 10.

3 Folgen, Reihen, Grenzwerte 3.1 Zahlenfolgen. Beispiele: 1, 2, 3, 4, 5,. 1, 3, 5, 7, 9, 3, 6, 9, 12, 15, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 10, 100, 1.000, 10. 3 Folge, Reihe, Grezwerte 3.1 Zahlefolge Beispiele: 1, 2, 3, 4, 5,. 1, 3, 5, 7, 9, 3, 6, 9, 12, 15, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 10, 100, 1.000, 10.000, 1 3 Folge, Reihe, Grezwerte 3.1 Zahlefolge Defiitio: Eie

Mehr

Grundlagen: Algorithmen und Datenstrukturen

Grundlagen: Algorithmen und Datenstrukturen Techische Uiversität Müche Fakultät für Iformatik Lehrstuhl für Effiziete Algorithme Dr. Hajo Täubig Tobias Lieber Sommersemester 2011 Übugsblatt 1 13. Mai 2011 Grudlage: Algorithme ud Datestrukture Abgabetermi:

Mehr

4.1 Dezimalzahlen und Intervallschachtelungen. a) Reelle Zahlen werden meist als Dezimalzahlen dargestellt, etwa

4.1 Dezimalzahlen und Intervallschachtelungen. a) Reelle Zahlen werden meist als Dezimalzahlen dargestellt, etwa 20 I. Zahle, Kovergez ud Stetigkeit 4 Kovergete Folge 4. Dezimalzahle ud Itervallschachteluge. a) Reelle Zahle werde meist als Dezimalzahle dargestellt, etwa 7,304 = 0+7 +3 0 +0 00 +4 000. Edliche Dezimalzahle

Mehr

Kleingruppen zur Service-Veranstaltung Mathematik I fu r Ingenieure bei Prof. Dr. G. Herbort im WS12/13 Dipl.-Math. T. Pawlaschyk,

Kleingruppen zur Service-Veranstaltung Mathematik I fu r Ingenieure bei Prof. Dr. G. Herbort im WS12/13 Dipl.-Math. T. Pawlaschyk, Musterlo suge zu Blatt 0 Kleigruppe zur Service-Verastaltug Mathematik I fu r Igeieure bei Prof. Dr. G. Herbort im WS/3 Dipl.-Math. T. Pawlaschyk, 9.. Theme: Kovergez vo Folge Aufgabe P (i) Sei a : k kk.

Mehr

Lösungen zum Thema Folgen und Reihen

Lösungen zum Thema Folgen und Reihen Schülerzirkel Mathematik Fakultät für Mathematik. Uiversität Regesburg Lösuge zum Thema Folge ud Reihe Lösug zu Aufgabe 1. a) (a ) N ist eie arithmetische Folge mit d = 11 ud damit ist a 75 = 7 + (75 1)

Mehr

Technische Universität München Ferienkurs Analysis 1 Hannah Schamoni Folgen, Reihen, Potenzreihen, Exponentialfunktion. Musterlösung

Technische Universität München Ferienkurs Analysis 1 Hannah Schamoni Folgen, Reihen, Potenzreihen, Exponentialfunktion. Musterlösung Feriekurs Seite Techische Uiversität Müche Feriekurs Aalysis Haah Schamoi Folge, Reihe, Potezreihe, Expoetialfuktio Musterlösug 0.0.0. Folge I Utersuche Sie die Folge a N auf Kovergez bzw. Divergez ud

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zetrum Mathematik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mathematik für Iformatiker II (Sommersemester 004) Aufgabe 7. Ubeschräktes

Mehr

Probeklausur zur Analysis I WS 11/12 Prof. Dr. G. Wang Dr. A. Magni. Beginn: 8:15 Uhr. Name:...Vorname:... Matr.Nr.:...Studiengang:...

Probeklausur zur Analysis I WS 11/12 Prof. Dr. G. Wang Dr. A. Magni. Beginn: 8:15 Uhr. Name:...Vorname:... Matr.Nr.:...Studiengang:... Probeklausur zur Aalysis I WS / Prof. Dr. G. Wag 3.. Dr. A. Magi Begi: 8:5 Uhr Ede: Name:..........................Vorame:............................ Matr.Nr.:........................Studiegag:.........................

Mehr

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 14

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 14 Techische Uiversität Müche Zetrum Mathematik Mathematik (Elektrotechik) Prof. Dr. Ausch Taraz Dr. Michael Ritter Übugsblatt 4 Hausaufgabe Aufgabe 4. Sie sid 0 Miute zu spät i die Vorlesug gekomme ud stelle

Mehr

Höhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge zum 4. Übungsblatt

Höhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge zum 4. Übungsblatt UNIVERSITÄT KARLSRUHE Istitut für Aalysis HDoz. Dr. P. C. Kustma Dipl.-Math. M. Uhl WS 2008/09 Höhere Mathematik I für die Fachrichtuge Elektroigeieurwese, Physik ud Geodäsie Lösugsvorschläge zum 4. Übugsblatt

Mehr

Demo-Text für INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK. ANALYSIS Vollständige Induktion FRIEDRICH W.

Demo-Text für   INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK.   ANALYSIS Vollständige Induktion FRIEDRICH W. ANALYSIS Vollstädige Iduktio Datei Nr. 40080 Stad 14. März 018 FRIEDRICH W. BUCKEL INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK 40080 Beweismethode: Vollstädige Iduktio Vorwort Die Methode der vollstädige Iduktio

Mehr

2 Konvergenz von Folgen

2 Konvergenz von Folgen Kovergez vo Folge. Eifache Eigeschafte Defiitio.. Eie Abbildug A : N C heißt Folge. Ma schreibt a statt A) für N ud a ) oder a ) statt A. We a R N, so heißt a ) reelle Folge. Defiitio.. Seie a ) eie Folge

Mehr

Übungen zur Infinitesimalrechnung 2, H.-C. Im Hof 19. März Blatt 4. Abgabe: 26. März 2010, Nachmittag. e x2 dx + e x2 dx = 2 e x2 dx

Übungen zur Infinitesimalrechnung 2, H.-C. Im Hof 19. März Blatt 4. Abgabe: 26. März 2010, Nachmittag. e x2 dx + e x2 dx = 2 e x2 dx Übuge zur Ifiitesimalrechug, H.-C. Im Hof 9. März Blatt 4 Abgabe: 6. März, Nachmittag Aufgabe. Zeige e x dx π. Beweis. Wir bemerke als erstes, dass e x dx e x dx + e x dx e x dx formal sieht ma dies per

Mehr

Fit in Mathe. April Klassenstufe 10 Wurzelfunktionen

Fit in Mathe. April Klassenstufe 10 Wurzelfunktionen Thema Fit i Mathe Musterlösuge 1 April Klassestufe 10 Wurzelfuktioe Uter der -te Wurzel eier icht-egative Zahl (i Zeiche: ) versteht ma die icht-egative Zahl, die mal mit sich selber multipliziert, die

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Prof Dr R Köig Dr M Prähofer Zetralübug TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zetrum Mathematik Mathematik für Physiker (Aalysis ) MA90 Witersem 07/8 Lösugsblatt 4 http://www-m5matumde/allgemeies/ma90 07W (007)

Mehr

Grenzwert. 1. Der Grenzwert von monotonen, beschränkten Folgen

Grenzwert. 1. Der Grenzwert von monotonen, beschränkten Folgen . Der Grezwert vo mootoe, beschräkte Folge Der Grezwert vo mootoe, beschräkte Folge ist eifacher verstädlich als der allgemeie Fall. Deshalb utersuche wir zuerst diese Spezialfall ud verallgemeier aschliessed.

Mehr

Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik

Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr. Christoph Schmoeger Michael Hott, M. Sc. WS 05/06 3..05 Höhere Mathemati für die Fachrichtug Physi Lösugsvorschläge zum 3. Übugsblatt Vorbemerug

Mehr

Aufgaben und Lösungen Weihnachtsgeschenke zur Vorlesung Analysis I

Aufgaben und Lösungen Weihnachtsgeschenke zur Vorlesung Analysis I Aufgabe ud Lösuge Weihachtsgescheke zur Vorlesug Aalysis I Der Witersemester 008/009 Übug am 4.., 5..008 sowie 0.0.009 Aufgabe. Folge Aufgabe Ma bestimme, ob die Folge (a ) mit a = + 3 + 4 kovergiert ud

Mehr

ÜBUNGSBLATT 4 LÖSUNGEN MAT121/MAT131 ANALYSIS I HERBSTSEMESTER 2010 PROF. DR. CAMILLO DE LELLIS

ÜBUNGSBLATT 4 LÖSUNGEN MAT121/MAT131 ANALYSIS I HERBSTSEMESTER 2010 PROF. DR. CAMILLO DE LELLIS ÜBUNGSBLATT 4 LÖSUNGEN MAT/MAT3 ANALYSIS I HERBSTSEMESTER 00 PROF. DR. AMILLO DE LELLIS Aufgabe. Etscheide Sie für folgede Folge (wobei N \ {0}), ob diese koverget sid, ud bereche sie gegebeefalls ihre

Mehr

Zahlenfolgen und Konvergenzkriterien

Zahlenfolgen und Konvergenzkriterien www.mathematik-etz.de Copyright, Page of 7 Zahlefolge ud Kovergezkriterie Defiitio: (Zahle-Folge, Grezwert) Eie Folge ist eie Abbildug der atürliche Zahle i die Mege A. Es ist also im Fall A: ; f: mit

Mehr

Kapitel 2 Differentialrechnung in einer Variablen. 2.1 Folgen und Grenzwerte

Kapitel 2 Differentialrechnung in einer Variablen. 2.1 Folgen und Grenzwerte Kapitel 2 Differetialrechug i eier Variable 2. Folge ud Grezwerte 2.. Defiitio Eie Folge ist eie Zuordug N R, a, geschriebe als Liste (a,a 2,...) oder i der Form (a ) N. Hier sid ei paar Beispiele: 2,4,6,8,...

Mehr

Analysis I - Zweite Klausur

Analysis I - Zweite Klausur Aalysis I - Zweite Klausur Witersemester 2004-2005 Vorame: Name: Aufgabe Aufgabe 2 Aufgabe 3 Aufgabe 4 Aufgabe 5 Aufgabe 6 Aufgabe 7 Aufgabe 8 Aufgabe 9 Summe Aufgabe 4 Pukte Bestimme Sie (mit Beweis)

Mehr

3 T (d 1, l 2. ) + (6 + 2) falls d > 0 7 sonst. n 2. 4T ( n 2 ) + log 2 (n), falls n > 1 1, sonst

3 T (d 1, l 2. ) + (6 + 2) falls d > 0 7 sonst. n 2. 4T ( n 2 ) + log 2 (n), falls n > 1 1, sonst für Iformatik Modellierug ud Verifikatio vo Software Prof. aa Dr. Ir. Joost-Pieter Katoe Datestrukture ud Algorithme SS5 Lösug - Übug 3 Christia Dehert, Friedrich Gretz, Bejami Kamiski, Thomas Ströder

Mehr

Lösungen der Übungsaufgaben von Kapitel 2

Lösungen der Übungsaufgaben von Kapitel 2 Aalysis I Ei Lerbuch für de safte Wechsel vo der Schule zur Ui Lösuge der Übugsaufgabe vo Kapitel zu... Ma zeige: Jede Teilfolge eier Umordug eier Folge ka als Umordug eier Teilfolge geschriebe werde.

Mehr

b) Alle ganzen Zahlen die auf 0 enden sind durch 5 teilbar Spezialisierung: 120 endet auf ist durch 5 teilbar

b) Alle ganzen Zahlen die auf 0 enden sind durch 5 teilbar Spezialisierung: 120 endet auf ist durch 5 teilbar d) Die Beweismethode der vollstädige Iduktio Der Übergag vo allgemeie zu spezielle Aussage heisst Deduktio Beispiele: a) Allgemeie Aussage: Spezialisierug: Schluss: Alle Mesche sid sterblich Sokrates ist

Mehr

Übungen zur Analysis I WS 2008/2009

Übungen zur Analysis I WS 2008/2009 Mathematisches Istitut der Uiversität Heidelberg Prof. Dr. E. Freitag /Thorste Heidersdorf Übuge zur Aalysis I WS 008/009 Blatt 3, Lösugshiweise Die folgede Hiweise sollte auf keie Fall als Musterlösuge

Mehr

(8) FOLGEN und REIHEN

(8) FOLGEN und REIHEN Folge ud Reihe ÜBUNGEN Bestimme die gegeseitige Lage der Ebee ud gib die gemeisame Pukte bzw. Gerade a. x+4y - 6z= x + y - z = 4x - 4y+4z=0 x + y z = 0 x - y+z = x + y + z = x+y -5z= 4x - 7y+z= -x+y -z=8

Mehr

Höhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge zum 7. Übungsblatt

Höhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge zum 7. Übungsblatt KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE KIT Istitut für Aalysis Dr. A. Müller-Rettkowski Dr. T. Gauss WS 00/ Höhere Mathematik I für die Fachrichtuge Elektroigeieurwese, Physik ud Geodäsie Lösugsvorschläge

Mehr

Musterlösung der Klausur. Analysis I WS 2012/13

Musterlösung der Klausur. Analysis I WS 2012/13 Musterlösug der Klausur Aalysis I WS 202/3 Aufgabe (C) Die Folge ( ) 2N 2 R N sei durch : (2 + 32 )( + 2) 2 3 + 2 2 gegebe Ma utersuche mittels der Recheregel für Kovergez, ob ( ) 2N kovergiert ud bereche

Mehr

HTBLA VÖCKLABRUCK STET

HTBLA VÖCKLABRUCK STET HTBLA VÖCKLABRUCK STET Folge ud Reihe INHALTSVERZEICHNIS 1. EINFÜHRUNG... 3. DARSTELLUNG EINER FOLGE... 3 3. BEISPIELE... 4 4. ENDLICHE REIHE... 4 5. ARITHMETISCHE FOLGEN UND REIHEN... 4 6. GEOMETRISCHE

Mehr

Methoden: Heron-Verfahren, Erweiterung von Differenzen von Quadratwurzeln

Methoden: Heron-Verfahren, Erweiterung von Differenzen von Quadratwurzeln 6 Kovergete Folge Lerziele: Kozepte: Grezwertbegriff bei Folge, Wachstumsgeschwidigkeit vo Folge Resultat: Mootoe beschräkte Folge sid koverget. Methode: Hero-Verfahre, Erweiterug vo Differeze vo Quadratwurzel

Mehr

KAPITEL 7. Zahlenfolgen. 7.1 Konvergente Zahlenfolgen Grenzwertbestimmung Grenzwertbestimmung durch Abschätzung...

KAPITEL 7. Zahlenfolgen. 7.1 Konvergente Zahlenfolgen Grenzwertbestimmung Grenzwertbestimmung durch Abschätzung... KAPITEL 7 Zahlefolge 7. Kovergete Zahlefolge.............................. 30 7.2 Grezwertbestimmug............................... 32 7.3 Grezwertbestimmug durch Abschätzug..................... 35 7.4

Mehr

Lösungen zur Nachklausur zur Analysis einer Variablen F. Merkl

Lösungen zur Nachklausur zur Analysis einer Variablen F. Merkl Lösuge zur Nachlausur zur Aalysis eier Variable F. Merl 3.4.7. Die folgede Teilaufgabe baue teilweise aufeiader auf. Sie dürfe die Ergebisse vorhergeheder Teilaufgabe auch da verwede, we Sie diese icht

Mehr

Lösungsvorschlag zu den Hausaufgaben der 1. Übung

Lösungsvorschlag zu den Hausaufgaben der 1. Übung FAKULTÄT FÜR MATHEMATIK Prof. Dr. Patrizio Neff Christia Thiel 4.04.04 Lösugsvorschlag zu de Hausaufgabe der. Übug Aufgabe : (6 Pukte Bereche Sie für die Fuktio f : R R, f( : ep( a der Stelle 0 0 das Taylorpolyom

Mehr

Folgen und Reihen. Inhaltsverzeichnis. A. Mentzendorff Geändert: August 2008

Folgen und Reihen. Inhaltsverzeichnis. A. Mentzendorff Geändert: August 2008 A. Metzedorff Geädert: August 008 Folge ud Reihe Ihaltsverzeichis Folge. Der Folgebegriff.................................... Arithmetische ud geometrische Folge......................3 Mootoe ud beschräkte

Mehr

Zusammenfassung: Folgen und Konvergenz

Zusammenfassung: Folgen und Konvergenz LGÖ Ks VM Schuljhr 7/8 Zusmmefssug Folge ud Kovergez Ihltsverzeichis Defiitioe ud Beispiele für Folge Beschräkte Folge Kovergez vo Folge Grezwertsätze für Folge 6 Für Experte 7 Defiitioe ud Beispiele für

Mehr

1 Lösungen zu Analysis 1/ 12.Übung

1 Lösungen zu Analysis 1/ 12.Übung Lösuge ausgewählter Beispiele zu Aalysis I, G. Bergauer, Seite Lösuge zu Aalysis / 2.Übug. Eileitug Gleichmäßige Kovergez ist eie starke Eigeschaft eier Fuktioefolge. Formuliert ma sie für Netze, statt

Mehr

Vorkurs Mathematik für Informatiker Folgen

Vorkurs Mathematik für Informatiker Folgen Vorkurs Mathematik für Iformatiker -- 9 Folge -- 6.1.215 1 Folge: Defiitio Eie (uedliche) Folge im herkömmliche Sie etsteht durch Hitereiaderschreibe vo Zahle 1,2,3,4,5, Dabei ist die Reihefolge wichtig,

Mehr

Mathematische Vorgehensweise

Mathematische Vorgehensweise Kapitel 2 Mathematische Vorgehesweise Um eue Ergebisse zu erziele, ist es häufig otwedig, Aussage präzise zu formuliere ud zu beweise. Daher werde i diesem Kapitel die mathematische Begriffsbilduge ud

Mehr

Kapitel I Zahlenfolgen und -reihen

Kapitel I Zahlenfolgen und -reihen Kpitel I Zhlefolge ud -reihe D (Zhlefolge) Ist jeder Zhl geu eie Zhl R,,,, eie (reelle) Zhlefolge bilde M schrieb: Die heiße Glieder der Zhlefolge zugeordet, so sgt m, dss die Zhle B Eie Zhlefolge ist

Mehr

Die erste Zeile ("Nummerierung") denkt man sich also dazu. Häufig wird eine Indexschreibweise benutzt um ein Folgenglied zu kennzeichnen.

Die erste Zeile (Nummerierung) denkt man sich also dazu. Häufig wird eine Indexschreibweise benutzt um ein Folgenglied zu kennzeichnen. Folge ud Reihe (Izwische Stoff der Hochschule. ) Stad: 30.03.205. Folge Was sid Zahlefolge? Z.B. oder Das ist die vereifachte Wertetabelle eier Fuktio geschriebe wie üblich bei Fuktioe i eier Wertetabelle.

Mehr

Übungsblatt Folgen, Reihen, Finanzmathematik

Übungsblatt Folgen, Reihen, Finanzmathematik Tutorium zu Mathematik für WFB Übugsblatt Folge, Reihe, Fiazmathematik Aufgabe (Grezwerte vo Folge) Bestimme Sie die Grezwerte der Folge ( ), N 4 b) c) d) e) si( ) f) a () g) a cos( ) Aufgabe (4 ) 4 b)

Mehr

( 1) n a n. a n 10. n=1 a n konvergiert, dann gilt lim a n = 0. ( 1) n+1

( 1) n a n. a n 10. n=1 a n konvergiert, dann gilt lim a n = 0. ( 1) n+1 Kapitel 8 Aufgabe Verstädisfrage Aufgabe 8. Ist es möglich, eie divergete Reihe der Form a zu kostruiere, wobei alle a > 0 sid ud a 0 gilt. Beispiel oder Gegebeweis agebe. Aufgabe 8. Gegebe ist eie Folge

Mehr

Höhere Mathematik für technische Studiengänge Vorbereitungsaufgaben für die Übungen. Reihen reeller Zahlen

Höhere Mathematik für technische Studiengänge Vorbereitungsaufgaben für die Übungen. Reihen reeller Zahlen Höhere Mathematik für techische Studiegäge Vorereitugsaufgae für die Üuge Reihe reeller Zahle. Utersuche Sie die folgede Reihe mit Hilfe geeigeter Kovergezkriterie otwediges Kovergezkriterium, Quotiete-,

Mehr

KAPITEL 2. Zahlenfolgen

KAPITEL 2. Zahlenfolgen KAPITEL Zahlefolge. Kovergete Zahlefolge...................... 35. Grezwertbestimmug....................... 38.3 Grezwertbestimmug durch Abschätzug............. 4.4 Mootoe Folge..........................

Mehr

II Analysis Folgen Konvergenz von Folgen. a 2. a 4. a C " a " a 1. c D lim. R. Plato 27

II Analysis Folgen Konvergenz von Folgen. a 2. a 4. a C  a  a 1. c D lim. R. Plato 27 R. Plato 7 II Aalysis 4 Folge 4. Kovergez vo Folge Differeziatio ud Itegratio sid grudlegede mathematische Kozepte, dee ifiitesimale Prozesse zu Grude liege. Die geaue Beschreibug solcher Prozesse erfordert

Mehr

Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Physik

Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Physik Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr. Christoph Schmoeger Dipl.-Math. Sebastia Schwarz SS 5 7.9.5 Höhere Mathematik I für die Fachrichtug Physik Lösugsvorschläge zur Bachelor-Modulprüfug

Mehr

Aufgaben zu Kapitel 8

Aufgaben zu Kapitel 8 Aufgabe zu Kapitel 8 Aufgabe zu Kapitel 8 Verstädisfrage Aufgabe 8. Ist es möglich, eie divergete Reihe der Form a zu kostruiere, wobei alle a > 0 sid ud a 0 gilt. Beispiel oder Gegebeweis agebe. Aufgabe

Mehr

Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik

Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr. Christoph Schmoeger Dipl.-Math. Sebastia Schwarz WS 04/05 0..04 Höhere Mathematik für die Fachrichtug Physik Lösugsvorschläge zum 4. Übugsblatt

Mehr

Reelle Folgen. Definition. Eine reelle Folge ist eine Abbildung f : N R. liefert ( 7 9, 37

Reelle Folgen. Definition. Eine reelle Folge ist eine Abbildung f : N R. liefert ( 7 9, 37 Reelle Folge Der Begriff der Folge ist ei grudlegeder Baustei der Aalysis, weil damit u.a. Grezprozesse defiiert werde köe. Er beschreibt de Sachverhalt eier Abfolge vo Elemete, wobei die Reihefolge bzw.

Mehr

Index. Majorante, 24 Minorante, 23. Partialsumme, 17

Index. Majorante, 24 Minorante, 23. Partialsumme, 17 Folge, Reihe Idex Kovergezkriterie Hauptkriterium, Leibiz-Kriterium, Majoratekriterium, 4 Mioratekriterium, otwediges Kriterium, 0 Quotietekriterium, teleskopierede Summe, Wurzelkriterium, Majorate, 4

Mehr

1. Zahlenfolgen und Reihen

1. Zahlenfolgen und Reihen . Zahlefolge ud Reihe We ma eie edliche Mege vo Zahle hat, ka ma diese i eier bestimmte Reihefolge durchummeriere: {a,a 2,...,a }. Ma spricht vo eier edliche Zahlefolge. Fügt ma immer mehr Zahle hizu,

Mehr

Reihen. Konvergenz. Folgen besonderer Art sind unendliche Summen. a k = a 1 + a 2 +..

Reihen. Konvergenz. Folgen besonderer Art sind unendliche Summen. a k = a 1 + a 2 +.. 6 Reihe Folge besoderer Art sid uedliche Summe a k = a + a 2 +... reeller oder komplexer Zahle, dee wir bereits i eiige Beispiele des Abschitts 5.4 begeget sid. Da ma icht sämtliche Glieder eier Folge

Mehr

1. Folgen ( Zahlenfolgen )

1. Folgen ( Zahlenfolgen ) . Folge ( Zahlefolge Allgemeies Beispiel für eie regelmäßige Folge: /, /3, /4, /5, /6,... Das erste Glied ist a =/ Das ist das Glied mit dem Ide Das zweite Glied ist a =/3 Das ist das Glied mit dem Ide

Mehr

Denition 27: Die Fakultät ist eine Folge f : N N mit f(1) := 1 und f(n + 1) := (n + 1) f(n) für alle n N. Wir schreiben n! := f(n) für diese Folge.

Denition 27: Die Fakultät ist eine Folge f : N N mit f(1) := 1 und f(n + 1) := (n + 1) f(n) für alle n N. Wir schreiben n! := f(n) für diese Folge. Vorkurs Mathematik, PD Dr. K. Halupczok, WWU Müster Fachbereich Mathematik ud Iformatik 22.9.20 Ÿ3.2 Folge ud Summe (Fortsetzug) Eie wichtige Möglichkeit, wie ma Zahlefolge deiere ka, ist die über eie

Mehr

Analysis ZAHLENFOLGEN Teil 4 : Monotonie

Analysis ZAHLENFOLGEN Teil 4 : Monotonie Aalysis ZAHLENFOLGEN Teil 4 : Mootoie Datei Nr. 40051 Friedrich Buckel Juli 005 Iteretbibliothek für Schulmathematik Ihalt 1 Eiführugsbeispiele 1 Mootoie bei arithmetische Folge Defiitioe 3 3 Welche Beweistechik

Mehr

Lösungen zur Präsenzübung 6

Lösungen zur Präsenzübung 6 Lösuge zur Präsezübug 6 Mirko Getzi Uiversität Bielefeld Fakultät für Mathematik. Dezember 203 Ich gebe keie Gewähr auf eie vollstädige Richtigkeit der Lösuge zu de Übugsaufgabe. Das Dokumet hat jedoch

Mehr

Vorkurs Mathematik für Informatiker Folgen

Vorkurs Mathematik für Informatiker Folgen Vorkurs Mathematik ür Iormatiker -- 8 Folge -- 11.10.2015 1 Folge: Deiitio Eie (uedliche) Folge im herkömmliche Sie etsteht durch Hitereiaderschreibe vo Zahle 1,2,3,4,5, Dabei ist die Reiheolge wichtig,

Mehr

Musterlösungen zur Klausur Analysis I Verständnisteil

Musterlösungen zur Klausur Analysis I Verständnisteil WS 2008/2009 Prof. Dr. Scheider Musterlösuge zur Klausur Aalysis I Verstädisteil 04.02.2009. a A ist ach Defiitio abzählbar, falls A edlich ist, oder falls carda = cardn gilt. b Ei Pukt x A ist ei ierer

Mehr

Hilfsmittel aus der Kombinatorik, Vollständige Induktion, Reelle Zahlenfolgen

Hilfsmittel aus der Kombinatorik, Vollständige Induktion, Reelle Zahlenfolgen 7. Vorlesug im Brückekurs Mathematik 2017 Hilfsmittel aus der Kombiatorik, Vollstädige Iduktio, Reelle Zahlefolge Dr. Markus Herrich Markus Herrich Kombiatorik, Vollstädige Iduktio, Zahlefolge 1 Hilfsmittel

Mehr

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 1

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 1 Techische Uiversität Müche Zetrum Mathematik Mathematik (Elektrotechik) Prof. Dr. Ausch Taraz Dr. Michael Ritter Übugsblatt Hausaufgabe Aufgabe. Bestimme Sie de Kovergezbereich M der folgede Reihe für

Mehr

Tutorium Mathematik I, M Lösungen

Tutorium Mathematik I, M Lösungen Tutorium Mathematik I, M Lösuge 16. November 2012 *Aufgabe 1. Ma utersuche die folgede Reihe auf Kovergez (a) ( 1) (1 ) (b) ( ) 2 +1 (c) (!) 3 10 (3)! (d) (e) (f) 2 +3 3 2 +1 3 ( 2 +1) 2 + 3 ( 2 +3) (g)

Mehr

Repetitorium Analysis 1 für Physiker WS08/09 Montag - Folgen und Reihen Musterlösung

Repetitorium Analysis 1 für Physiker WS08/09 Montag - Folgen und Reihen Musterlösung Repetitorium Aalysis für Physier WS08/09 Motag - Folge ud Reihe Musterlösug. Verstädisfrage Thomas Blasi a Sid folgede Aussage richtig oder falsch: Jede overgete Folge hat eie Grezwert. Richtig. i Der

Mehr

Angabe Analysis 1 - Beweise, Vollständige Induktion, Folgen

Angabe Analysis 1 - Beweise, Vollständige Induktion, Folgen Agabe Aalysis - Beweise, Vollstädige Idutio, Folge 4. März 0 Aufgabe : Zum Aufwärme i Zeige durch geschictes Umforme, dass + + gilt. +!!!!!! +!! +! + + + + + ii Zeige durch vollstädige Idutio, dass 6 +

Mehr

KAPITEL 8. Zahlenreihen. 8.1 Geometrische Reihe Konvergenzkriterien Absolut konvergente Reihen

KAPITEL 8. Zahlenreihen. 8.1 Geometrische Reihe Konvergenzkriterien Absolut konvergente Reihen KAPITEL 8 Zahlereihe 8. Geometrische Reihe................................. 53 8.2 Kovergezkriterie................................. 54 8.3 Absolut kovergete Reihe............................ 64 Lerziele

Mehr

Einführung in die Grenzwerte

Einführung in die Grenzwerte Eiführug i die Grezwerte Dieser Text folgt hauptsächlich der Notwedigkeit i sehr kurzer Zeit eie Idee ud Teile ihrer Awedug zu präsetiere, so dass relativ schell mit dieser Idee gerechet werde ka. Der

Mehr

Analysis I für M, LaG/M, Ph 8.Übungsblatt

Analysis I für M, LaG/M, Ph 8.Übungsblatt Aalysis I für M, LaG/M, Ph 8Übugsblatt Fachbereich Mathematik Sommersemester 200 Dr Robert Haller-Ditelma 0206200 David Bücher Christia Bradeburg Gruppeübug Aufgabe G (Kovergezkriterie/Kovergezradie) (a)

Mehr

AUFGABEN. Verständnisfragen

AUFGABEN. Verständnisfragen AUFGABEN Gelegetlich ethalte die Aufgabe mehr Agabe, als für die Lösug erforderlich sid. Bei eiige adere dagege werde Date aus dem Allgemeiwisse, aus adere Quelle oder sivolle Schätzuge beötigt. eifache

Mehr

Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik

Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr. Christoph Schmoeger Michael Hott, M. Sc. WS 05/06 04..05 Höhere Mathematik für die Fachrichtug Physik Lösugsvorschläge zum 6. Übugsblatt Aufgabe

Mehr

Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik

Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr. Christoph Schmoeger Michael Hott, M. Sc. WS 05/06 7..05 Höhere Mathematik für die Fachrichtug Physik Lösugsvorschläge zum 5. Übugsblatt Aufgabe

Mehr

Grenzwerte von Folgen. 1-E Ma 1 Lubov Vassilevskaya

Grenzwerte von Folgen. 1-E Ma 1 Lubov Vassilevskaya Grezwerte vo Folge -E Ma Lubov Vassilevskaya Berechug vo Grezwerte: Aufgabe Die Berechug vo Grezwerte ka oft ziemlich umstädlich sei. Die etwickelte Regel vereifache oft solche Berechuge. Diese Regel beruhe

Mehr

Monotonie einer Folge

Monotonie einer Folge Mootoie eier Folge 1 E Mootoe Folge We jedes Folgeglied eier Folge größer oder gleich dem vorhergehede Folgeglied ist a 1 a ℕ so et ma die Folge mooto steiged (oder mooto wachsed). Die geometrische Folge

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Prof. Dr. R. Köig Dr. M. Prähofer Zetralübug TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zetrum Mathematik Z8.. Kriterie für strege Mootoie Mathematik für Physiker 2 (Aalysis ) MA9202 Witersem. 207/8 Lösugsblatt 8

Mehr

Angewandte Mathematik und Programmierung

Angewandte Mathematik und Programmierung Agewadte Mathematik ud Programmierug Eiführug i das Kozept der objektorietierte Aweduge zu wisseschaftliche Reches mit C++ ud Matlab SS03 Orgaisatorisches Dozete Gruppe: Ago (.50), Ludger Buchma(.50) Webseite:

Mehr

6 Grenzwerte von Zahlenfolgen

6 Grenzwerte von Zahlenfolgen 6 Grezwerte vo Zahlefolge Ei zetraler Begriff der Aalysis ist der des Grezwertes. Wir begie mit der Betrachtug vo Grezwerte vo Zahlefolge. 6. Zahlefolge 6.. Grudbegriffe Defiitio 6... Eie Fuktio f : Z

Mehr

$Id: reihen.tex,v /06/14 13:59:06 hk Exp $

$Id: reihen.tex,v /06/14 13:59:06 hk Exp $ Mathematik für Iformatiker B, SS 202 Doerstag 4.6 $Id: reihe.tex,v.9 202/06/4 3:59:06 hk Exp $ 7 Reihe 7.4 Kovergezkriterie für Reihe 7.4. Alterierede Reihe Wir hatte gesehe das die harmoische Reihe divergiert,

Mehr