5.7. Aufgaben zu Folgen

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "5.7. Aufgaben zu Folgen"

Transkript

1 5.7. Aufgabe zu Folge Aufgabe : Lieares ud beschräktes Wachstum Aus eiem Quadrat mit der Seiteläge dm gehe auf die rechts agedeutete Weise eue Figure hervor. Die im -te Schritt agefügte Quadrate sid jeweils ur so breit wie die im ( )-te Schritt agefügte Quadrate. a) Bereche de Umfag U ach 0,,, ud 4 Schritte. b) Wie groß ist der Zuwachs U U des Umfags im -te Schritt? c) Stelle eie Formel auf, mit der sich U aus U bereche lässt. d) Stelle eie Formel auf, mit der sich U direkt aus bereche lässt. e) Bereche de Flächeihalt A der Figur ach,, ud 4 Schritte f) Wie groß ist der Zuwachs A A der Fläche im -te Schritt? g) Stelle eie Formel auf, mit der sich A aus A bereche lässt. h) Stelle eie Formel auf, mit der sich A direkt aus bereche lässt. Hiweis:.... i) Bereche A 00 ud U 00 ud vergleiche. Welche Aussage lässt sich aus diesem Beispiel über de Umfag ud die Fläche atürlicher Gebilde wie z. B. des Lades Bade-Württemberg ableite? j) Bereche de Grezwert A. Aufgabe : Berechug vo Folgeglieder aus gegebee eplizite ud rekursive Formel Bereche die erste 5 Folgeglieder a 0,..., a 4 : a) a 00 e) a a mit a 0 b) a f) a a a mit a 0 c) a d) a ( )( ) h) a a g) a a (5 a ) mit a 0 0 a (5 a ) mit a 0 Aufgabe : Bestimmug vo eplizite ud rekursive Formel aus gegebee Folgeglieder Stelle die eplizite ud die rekursive Formel für die gegebee Folgeglieder auf: a) a 0 ; a ; a 5; a 7; a 4 9 e) a 0 0; a ; a ; a 4 ; a b) a 0 ; a ; a ; a 4; a 4 48 f) a 0 ; a ; a 4 9 ; a 8 7 ; a 4 8 c) a 0 ; a ; a 8; a 54; a 4 g) a 0 ; a ; a 7 5 ; a 7 ; a 4 5 d) a 0 ; a 5; a 0; a 7; a 4 h) a 0 0; a ; a 4 9 ; a ; a 4 8 Aufgabe 4: Bestimmug vo rekursive Darstelluge aus eplizite Formel Gib eie rekursive Beschreibug für die folgede Folge a: a) a b) a c) a d) a Aufgabe 5: Bestimmug vo eplizite Formel aus rekursive Darstelluge Gib eie eplizite Beschreibug für die folgede Folge a: a) a a mit a 0 c) a a mit a 0 0 b) a 0,8 a mit a 0 0 d) a a mit a 0 0 Aufgabe : Mootoie eier Folge Utersuche die folgede Folge auf Mootoie ud begrüde ahad der Defiitio.

2 a) a b) a c) a d) a Aufgabe 7: Beschräktheit eier Folge Utersuche die folgede Folge auf Beschräktheit ud begrüde ahad der Defiitio. a) a b) a c) a d) a Aufgabe 8: Grezwert eier Folge Gib de Grezwert a a a ud begrüde ahad der Defiitio. a) a b) a c) a si d) a Aufgabe 9: Grezwert eier Folge Utersuche die Folge (a ) mit Hilfe vo Beschräktheit ud Mootoie auf Kovergez a) a... c) a... b) a... d) a 5 ( )... Aufgabe 0: Vollstädige Iduktio Beweise mit Hilfe der vollstädige Iduktio: a) 4... ( ) für b)... ( )( ) für c) 0... d) 7 teilt 8 für e) teilt für für f) ( ) > für, > ud 0 (Beroulli-Ugleichug)

3 5.7. Lösuge zu de Aufgabe zu Folge Aufgabe : Lieares ud beschräktes Wachstum Alle Strecke i dm, alle Fläche i dm : a) U 0 4, U, U 8, U 0 ud U 4 b) U U (lieares Wachstum c) U U (rekursive Formel) d) U 4 (eplizite Formel) e) A 0, A,, A,44, A,48 ud A ,49 f) A A (beschräktes Wachstum) g) A A (rekursive Formel) h) A... / /.(eplizite Formel) i) U ud A 00,5 Der Umfag wächst ubeschräkt aber die Fläche ähert sich eiem Grezwert. j) A Aufgabe : Berechug vo Folgeglieder aus eplizite ud rekursive Formel a) a 0 00; a 50; a 5; a,5; a 4,5 e) a 0 ; a,5; a 4; a 4,5; a 4 5 b) a 0 50; a 75; a 87,5; a 9,75; a 4 9,875 f) a 0 ; a 4,5; a,75; a 0,5; a 4 5,875 c) a 0 ; a ; a ; a 4 ; a 4 5 g) a 0 ; a 4; a 4,5; a 4,75; a 4 4,875 d) a 0 ; a ; a ; a 0; a 4 0 h) a 0 ; a,; a,74; a,98; a 4 4,8 Aufgabe : Bestimmug vo eplizite ud rekursive Formel aus Folgeglieder a) a a mit a 0 a e) a a mit a 0 0 a ( )( ) b) a a mit a 0 a f) a a mit a 0 a c) a a mit a 0 a g) a a ( )( ) mit a 0 a 4 d) a a mit a 0 a h) a a für mit a ud a 0 0 a Aufgabe 4: Bestimmug vo rekursive Formel aus eplizite Formel a) a a mit a 0 c) a a mit a 0 b) a a mit a 0 0 d) a a ( )( ) mit a 0 0 Aufgabe 5: Bestimmug vo eplizite Formel aus rekursive Darstelluge a) a b) a 0 0,8 c) a ( ) d) a

4 Aufgabe : Mootoie eier Folge a a) mooto zuehmed, da a b) mooto zuehmed, da a ( ) ( )( ) > für alle N. ( ) ( ) > für alle N. a c) mooto zuehmed für, da a a ( ) ( ) ( ) > 0 für d) mooto abehmed für, da a a ( ) ( ) () ( ) () ( ) < 0 für Aufgabe 7: Beschräktheit eier Folge a) Obere Schrake S o, weil a 0 für alle N b) Keie obere Schrake S, da es kei S R gibt, so dass a S N erfüllt ist ud utere Schrake S u 0, weil a 0 für alle N ud utere Schrake S u 0, weil a 0 S S für alle 0 für alle N. c) Obere Schrake S o 0, weil a 0 0 ( ) 0 für alle N ud keie utere Schrake S, da es kei S R gibt, so dass a S S für alle N d) Obere Schrake S o, weil a für alle N ud utere Schrake S u 0, da 0 für alle N Aufgabe 8: Grezwert eier Folge Zu zeige ist, dass es für jedes ε > 0 ei e gibt, so dass die Ugleichug: a a < ε für alle > ε ε erfüllt ist. a) a, da a a ε ε ε ε erfüllt ist für alle ε ε. b) c) d) a, da a a ε ε ist für alle ε ε( ε ). ε ( ε ) ε ( ε) ε( ε) erfüllt a 0, da a a ε si ε ε erfüllt ist für alle ε ε. a 0, da a a ε ε ε erfüllt ist für alle 0 Aufgabe 9: Grezwert eier Folge a) a ist mooto steiged, da a a a... ( ) < d > 0 für alle N. (a ) ist ach obe beschräkt, da < für alle N. (a ) muss daher gege eie Grezwert a kovergiere. L. Euler zeigt im Jahr 7, dass a π,4 4

5 b) a ist mooto steiged, da a a a 5... ( ) ( ) > 0 für alle N. (a ) ist ach obe beschräkt, da < d ( ) alle N. (a ) muss daher gege eie Grezwert a 7, dass a π, 8 c) a ist mooto steiged, da a a a... < 0 d ( ) 0 4 < für kovergiere. L. Euler zeigte im Jahr > 0 für alle N. (a ) ist ach obe beschräkt, da l e d e l für alle N. (a ) muss daher gege eie Grezwert a Grezwert ergibt sich durch Awedug der Summeformel a / / d) a ist mooto steiged, da a a (a ) ist ach obe beschräkt, da a l l a (siehe Aufgabe!) l l < l kovergiere. Der eakte... < 0 d... > 0 für alle N. [ l( ) ] 0 l l l für alle ud a 0. (a ) muss daher gege eie Grezwert a l kovergiere Aufgabe 0: Vollstädige Iduktio a) Iduktiosafag : ( ) Iduktiosschritt : Iduktiosaahme für ei beliebiges : 4... ( ) zu zeige ist die Behauptug für : 4... ( ( )( ) Like Seite mit Eisetze der Iduktiosaahme: 4... ( ) ( ) Rechte Seite: ( )( ) qed b) Iduktiosafag : ( )( ) Iduktiosschritt : Iduktiosaahme für ei beliebiges :... ( )( ) zu zeige ist die Behauptug für :... ( ) ( )( )( ) Like Seite mit Eisetze der Iduktiosaahme:... ( ) ( )( ) ( ) Rechte Seite: ( )( )( ) ( 9 ) qed c) Iduktiosafag : ( )( ) Iduktiosschritt : Iduktiosaahme für ei beliebiges :

6 zu zeige ist die Behauptug für : 0... Like Seite mit Eisetze der Iduktiosaahme: 0... d) Iduktiosafag : 7 teilt 8 7 Iduktiosschritt : Iduktiosaahme für ei beliebiges : 7 teilt 8 zu zeige ist die Behauptug für : 7 teilt Offesichtlich ist der like Summad 7 8 durch 7 teilbar. Nach Iduktiosaahme ist auch der rechte Summad 8 durch 7 teilbar ud damit die gaze Summe. qed e) Iduktiosafag : teilt Iduktiosschritt : Iduktiosaahme für ei beliebiges : teilt zu zeige ist die Behauptug für : teilt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Nach Iduktiosaahme ist auch der like Summad durch teilbar. Da etweder oder gerade ist, ist ( ) eie gaze Zahl. Daher ist auch der rechte Summad ( ) durch teilbar ud damit die gaze Summe. qed f) Iduktiosafag : ( ) >, da > 0 Iduktiosschritt : Iduktiosaahme für ei beliebiges : ( ) > zu zeige ist die Behauptug für : ( ) > ( ) Like Seite mit Eisetze der Iduktiosaahme: ( ) ( ) ( ) > ( )( ), da ach Voraussetzug > 0 ( ) > ( ), da > 0 qed qed

5.7. Aufgaben zu Folgen und Reihen

5.7. Aufgaben zu Folgen und Reihen 5.7. Aufgbe zu Folge ud Reihe Aufgbe : Lieres ud beschrätes Wchstum Aus eiem Qudrt mit der Seiteläge dm gehe uf die rechts gedeutete Weise eue Figure hervor. Die im -te Schritt gefügte Qudrte sid jeweils

Mehr

Klausur 1 über Folgen

Klausur 1 über Folgen www.mathe-aufgabe.com Klausur über Folge Hiweis: Der GTR darf für alle Aufgabe eigesetzt werde. Aufgabe : Bestimme eie explizite ud eie rekursive Darstellug! a) für eie arithmetische Folge mit a = 6, ;

Mehr

6. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen + Selbsttest-Auflösung

6. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen + Selbsttest-Auflösung 6. Übugsblatt Aufgabe mit Lösuge + Selbsttest-Auflösug Aufgabe 6: Utersuche Sie die Folge, dere Glieder ute für N agegebe sid, auf Beschräktheit, Mootoie ud Kovergez bzw. Beschräktheit, Mootoie ud Kovergez

Mehr

n (n + 1) = 1(1 + 1)(1 + 2) 3 Induktionsschritt: Angenommen die Gleichung gilt für n N. Dann folgt: 1 2 = 2 =

n (n + 1) = 1(1 + 1)(1 + 2) 3 Induktionsschritt: Angenommen die Gleichung gilt für n N. Dann folgt: 1 2 = 2 = Aufgabe 1: (6 Pukte) Zeige Sie für alle N die Formel: 1 2 + 2 3 + 3 4 +... + ( + 1) = ( + 1)( + 2). 3 Lösug: Beweis durch vollstädige Iduktio. Iduktiosafag: Für = 1 gilt: 1 2 = 2 = 1(1 + 1)(1 + 2) 3 Iduktiosschritt:

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zetrum Mathematik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mathematik für Iformatiker II (Sommersemester 004 Lösuge zu Aufgabeblatt 7

Mehr

4 Konvergenz von Folgen

4 Konvergenz von Folgen 4 Kovergez vo Folge Defiitio 4.. Sei M eie Mege. Ist 0 Z ud für jedes Z mit 0 ei a M gegebe, so et ma die Abbildug { Z; 0 } M, a eie Folge i M. Abkürzed schreibt ma für eie solche Abbildug auch a ) 0 oder

Mehr

Aufgaben und Lösungen Weihnachtsgeschenke zur Vorlesung Analysis I

Aufgaben und Lösungen Weihnachtsgeschenke zur Vorlesung Analysis I Aufgabe ud Lösuge Weihachtsgescheke zur Vorlesug Aalysis I Der Witersemester 008/009 Übug am 4.., 5..008 sowie 0.0.009 Aufgabe. Folge Aufgabe Ma bestimme, ob die Folge (a ) mit a = + 3 + 4 kovergiert ud

Mehr

Zahlenfolgen und Konvergenzkriterien

Zahlenfolgen und Konvergenzkriterien www.mathematik-etz.de Copyright, Page of 7 Zahlefolge ud Kovergezkriterie Defiitio: (Zahle-Folge, Grezwert) Eie Folge ist eie Abbildug der atürliche Zahle i die Mege A. Es ist also im Fall A: ; f: mit

Mehr

(8) FOLGEN und REIHEN

(8) FOLGEN und REIHEN Folge ud Reihe ÜBUNGEN Bestimme die gegeseitige Lage der Ebee ud gib die gemeisame Pukte bzw. Gerade a. x+4y - 6z= x + y - z = 4x - 4y+4z=0 x + y z = 0 x - y+z = x + y + z = x+y -5z= 4x - 7y+z= -x+y -z=8

Mehr

Methoden: Heron-Verfahren, Erweiterung von Differenzen von Quadratwurzeln

Methoden: Heron-Verfahren, Erweiterung von Differenzen von Quadratwurzeln 6 Kovergete Folge Lerziele: Kozepte: Grezwertbegriff bei Folge, Wachstumsgeschwidigkeit vo Folge Resultat: Mootoe beschräkte Folge sid koverget. Methode: Hero-Verfahre, Erweiterug vo Differeze vo Quadratwurzel

Mehr

Die erste Zeile ("Nummerierung") denkt man sich also dazu. Häufig wird eine Indexschreibweise benutzt um ein Folgenglied zu kennzeichnen.

Die erste Zeile (Nummerierung) denkt man sich also dazu. Häufig wird eine Indexschreibweise benutzt um ein Folgenglied zu kennzeichnen. Folge ud Reihe (Izwische Stoff der Hochschule. ) Stad: 30.03.205. Folge Was sid Zahlefolge? Z.B. oder Das ist die vereifachte Wertetabelle eier Fuktio geschriebe wie üblich bei Fuktioe i eier Wertetabelle.

Mehr

Höhere Mathematik für technische Studiengänge Vorbereitungsaufgaben für die Übungen. Reihen reeller Zahlen

Höhere Mathematik für technische Studiengänge Vorbereitungsaufgaben für die Übungen. Reihen reeller Zahlen Höhere Mathematik für techische Studiegäge Vorereitugsaufgae für die Üuge Reihe reeller Zahle. Utersuche Sie die folgede Reihe mit Hilfe geeigeter Kovergezkriterie otwediges Kovergezkriterium, Quotiete-,

Mehr

1 Lösungen zu Analysis 1/ 12.Übung

1 Lösungen zu Analysis 1/ 12.Übung Lösuge ausgewählter Beispiele zu Aalysis I, G. Bergauer, Seite Lösuge zu Aalysis / 2.Übug. Eileitug Gleichmäßige Kovergez ist eie starke Eigeschaft eier Fuktioefolge. Formuliert ma sie für Netze, statt

Mehr

1. Zahlenfolgen und Reihen

1. Zahlenfolgen und Reihen . Zahlefolge ud Reihe We ma eie edliche Mege vo Zahle hat, ka ma diese i eier bestimmte Reihefolge durchummeriere: {a,a 2,...,a }. Ma spricht vo eier edliche Zahlefolge. Fügt ma immer mehr Zahle hizu,

Mehr

Aufgaben zu Kapitel 8

Aufgaben zu Kapitel 8 Aufgabe zu Kapitel 8 Aufgabe zu Kapitel 8 Verstädisfrage Aufgabe 8. Ist es möglich, eie divergete Reihe der Form a zu kostruiere, wobei alle a > 0 sid ud a 0 gilt. Beispiel oder Gegebeweis agebe. Aufgabe

Mehr

Nachklausur - Analysis 1 - Lösungen

Nachklausur - Analysis 1 - Lösungen Prof. Dr. László Székelyhidi Aalysis I, WS 212 Nachklausur - Aalysis 1 - Lösuge Aufgabe 1 (Folge ud Grezwerte). (i) (1 Pukt) Gebe Sie die Defiitio des Häufugspuktes eier reelle Zahlefolge (a ) N. Lösug:

Mehr

Angabe Analysis 1 - Beweise, Vollständige Induktion, Folgen

Angabe Analysis 1 - Beweise, Vollständige Induktion, Folgen Agabe Aalysis - Beweise, Vollstädige Idutio, Folge 4. März 0 Aufgabe : Zum Aufwärme i Zeige durch geschictes Umforme, dass + + gilt. +!!!!!! +!! +! + + + + + ii Zeige durch vollstädige Idutio, dass 6 +

Mehr

Vorkurs Mathematik für Informatiker Folgen

Vorkurs Mathematik für Informatiker Folgen Vorkurs Mathematik ür Iormatiker -- 8 Folge -- 11.10.2015 1 Folge: Deiitio Eie (uedliche) Folge im herkömmliche Sie etsteht durch Hitereiaderschreibe vo Zahle 1,2,3,4,5, Dabei ist die Reiheolge wichtig,

Mehr

Einführung in die Grenzwerte

Einführung in die Grenzwerte Eiführug i die Grezwerte Dieser Text folgt hauptsächlich der Notwedigkeit i sehr kurzer Zeit eie Idee ud Teile ihrer Awedug zu präsetiere, so dass relativ schell mit dieser Idee gerechet werde ka. Der

Mehr

Tutorium Mathematik I, M Lösungen

Tutorium Mathematik I, M Lösungen Tutorium Mathematik I, M Lösuge 16. November 2012 *Aufgabe 1. Ma utersuche die folgede Reihe auf Kovergez (a) ( 1) (1 ) (b) ( ) 2 +1 (c) (!) 3 10 (3)! (d) (e) (f) 2 +3 3 2 +1 3 ( 2 +1) 2 + 3 ( 2 +3) (g)

Mehr

$Id: reihen.tex,v /06/14 13:59:06 hk Exp $

$Id: reihen.tex,v /06/14 13:59:06 hk Exp $ Mathematik für Iformatiker B, SS 202 Doerstag 4.6 $Id: reihe.tex,v.9 202/06/4 3:59:06 hk Exp $ 7 Reihe 7.4 Kovergezkriterie für Reihe 7.4. Alterierede Reihe Wir hatte gesehe das die harmoische Reihe divergiert,

Mehr

Aufgaben zur Analysis I

Aufgaben zur Analysis I Aufgabe zur Aalysis I Es werde folgede Theme behadelt:. Logik, Iduktio, Mege, Abbilduge 2. Supremum, Ifimum 3. Folge, Fuktioefolge 4. Reihe, Potezreihe 5. Mootoie ud Stetigkeit 6. Differetialrechug 7.

Mehr

Zentrale Klassenarbeit unter Prüfungsbedingungen im Schuljahr 2009/2010. Mathematik (A) 26. März 2010

Zentrale Klassenarbeit unter Prüfungsbedingungen im Schuljahr 2009/2010. Mathematik (A) 26. März 2010 Miisterium für Bildug, Juged ud Sport Zetrale Klassearbeit uter Prüfugsbediguge im Schuljahr 009/00 Mathematik (A) 6. März 00 Zugelassee Hilfsmittel: - Tascherecher (icht programmierbar ud icht grafikfähig)

Mehr

von Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe FH Emden/Leer

von Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe FH Emden/Leer vo Prof. Dr. Ig. Dirk Rbe FH Emde/Leer Überblick: Folge ud Reihe Folge: Zhlefolge ( ) ; ; ; ist eie geordete Liste vo Zhle ( IN) : Glieder der Folge f(): Bildugsgesetz (eplizit i oder rekursiv) z.b.: (

Mehr

Indizieren Sie die folgenden Summen und Produkte gemäß der Vorgabe um und schreiben Sie sie einmal explizit aus: 5

Indizieren Sie die folgenden Summen und Produkte gemäß der Vorgabe um und schreiben Sie sie einmal explizit aus: 5 FU Berli: WiSe 13-14 (Aalysis 1 - Lehr.) Übugsaufgabe Zettel 9 Aufgabe 37 Idiziere Sie die folgede Summe ud Produte gemäß der Vorgabe um ud schreibe Sie sie eimal explizit aus: 5 (a) + 1) 0( Lösug. Die

Mehr

Abiturprüfug Mathematik 008 Bade-Württemberg (ohe CAS) Wahlteil - Aufgabe Aalysis I Aufgabe I.: Ei Tal i de Berge wird ach Weste vo eier steile Felswad, ach Oste vo eiem flache Höhezug begrezt. Der Querschitt

Mehr

Musterlösung zu Blatt 8 der Vorlesung Analysis I WS08/09

Musterlösung zu Blatt 8 der Vorlesung Analysis I WS08/09 Musterlösug zu Blatt 8 der Vorlesug Aalysis I WS08/09 Schriftliche Aufgabe Aufgabe. Voraussetzuge: Für alle N setze a : +2 ud b : ( 2. [Amerkug: I der Aufgabestellug heiÿe die Reihe beide gleich. Es steht

Mehr

Arithmetische und geometrische Folgen. Die wichtigsten Theorieteile. und ganz ausführliches Training. Datei Nr

Arithmetische und geometrische Folgen. Die wichtigsten Theorieteile. und ganz ausführliches Training. Datei Nr DEMO für ZAHLENFOLGEN Teil 2 Arithmetische ud geometrische Folge Die wichtigste Theorieteile ud gz ausführliches Traiig Datei Nr. 40012 Neu geschriebe ud sehr erweitert Std: 4. Februar 2010 INTERNETBIBLIOTHEK

Mehr

6. Folgen und Grenzwerte

6. Folgen und Grenzwerte 56 Adreas Gathma 6. Folge ud Grezwerte Wie scho am Ede des letzte Kapitels ageküdigt wolle wir u zur eigetliche Aalysis, also zur lokale Utersuchug vo Fuktioe komme. Der zetrale Begriff ist dabei der des

Mehr

4. Die Menge der Primzahlen. Bertrands Postulat

4. Die Menge der Primzahlen. Bertrands Postulat O. Forster: Eiführug i die Zahletheorie 4. Die Mege der Primzahle. Bertrads Postulat 4.1. Satz (Euklid. Es gibt uedlich viele Primzahle. Beweis. Wir zeige, dass es zu jeder edliche Mege p 1, p 2,..., p

Mehr

Nennenswertes zur Stetigkeit

Nennenswertes zur Stetigkeit Neeswertes zur Stetigkeit.) Puktweise Stetigkeit: Vo Floria Modler Defiitio der pukteweise Stetigkeit: Eie Fuktio f : D R ist geau da i x D stetig, we gilt: ε > δ >, so dass f ( x) f ( x ) < ε x D mit

Mehr

1.2. Taylor-Reihen und endliche Taylorpolynome

1.2. Taylor-Reihen und endliche Taylorpolynome 1.. aylor-reihe ud edliche aylorpolyome 1..1 aylor-reihe Wir köe eie Fuktio f() i eier Umgebug eies Puktes o gut durch ihre agete i o: t o () = f(o) + f (o) (-o) aäher: Wir sehe: Je weiter wir vo o weg

Mehr

2 Differentialrechnung und Anwendungen

2 Differentialrechnung und Anwendungen Differetialrechug ud Aweduge Differetialrechug ud Aweduge Der Begriff des Differetialquotiete hat sich i zahlreiche Aweduge ierhalb ud außerhalb der Mathematik als äußerst fruchtbar erwiese. Bestimmug

Mehr

Folgen, Reihen und Grenzwert. Vorlesung zur Didaktik der Analysis

Folgen, Reihen und Grenzwert. Vorlesung zur Didaktik der Analysis Folge, Reihe ud Grezwert Vorlesug zur Didktik der Alysis Ihlt Motivtio Folge Spezielle Folge Grezwertdefiitio Wichtige Zusmmehäge ud Strtegie der Kovergezutersuchug Fuktioegrezwert Reihe Prdoxie ud Zusmmefssug

Mehr

Lösungsskizzen Mathematik für Informatiker 5. Aufl. Kapitel 3 Peter Hartmann

Lösungsskizzen Mathematik für Informatiker 5. Aufl. Kapitel 3 Peter Hartmann Lösugsskizze Mathematik für Iformatiker 5. Aufl. Kapitel 3 Peter Hartma Verstädisfrage. Ka ma ei Axiom beweise? Nei!. Ka ei Beweis eier Aussage richtig sei, we im Iduktiosschluss die Iduktiosaahme icht

Mehr

Folgen und Reihen Glege 03/01

Folgen und Reihen Glege 03/01 Folge ud Reihe Glege 03/0 I diesem Script werde folgede Theme behadelt: Folge (Eiführug)... Arithmetische Folge... Geometrische Folge...3 Mootoie...4 Kovergez...5 Grezwert...6 Schrake...7 Arithmetische

Mehr

von solchen Abbildungen. Eine solche Folge bestimmt für jedes x M die Folge der Werte f n. Schreibt man dies noch einmal formal hin, so erhält man:

von solchen Abbildungen. Eine solche Folge bestimmt für jedes x M die Folge der Werte f n. Schreibt man dies noch einmal formal hin, so erhält man: Gleichmäßige Kovergez Wir betrachte im Folgede Abbilduge f : M N, wobei M eie Mege ud N ei metrischer Raum ist. Isbesodere iteressiere ud Folge f vo solche Abbilduge. Eie solche Folge bestimmt für jedes

Mehr

1.3 Funktionen. Seien M und N Mengen. f : M N x M : 1 y N : y = f(x) nennt man Funktion oder Abbildung. Beachte: Zuordnung ist eindeutig.

1.3 Funktionen. Seien M und N Mengen. f : M N x M : 1 y N : y = f(x) nennt man Funktion oder Abbildung. Beachte: Zuordnung ist eindeutig. 1.3 Fuktioe Seie M ud N Mege f : M N x M : 1 y N : y fx et ma Fuktio oder Abbildug. Beachte: Zuordug ist eideutig. Bezeichuge: M : Defiitiosbereich N : Bildbereich Zielmege vo f Der Graph eier Fuktio:

Mehr

Zahlenlehre 1. Die Mathematik ist die Königin der Wissenschaften und die Zahlentheorie ist die Königin der Mathematik (Carl Friedrich Gauß)

Zahlenlehre 1. Die Mathematik ist die Königin der Wissenschaften und die Zahlentheorie ist die Königin der Mathematik (Carl Friedrich Gauß) Die Mathematik ist die Köigi der Wisseschafte ud die Zahletheorie ist die Köigi der Mathematik (Carl Friedrich Gauß) Zahlelehre. Termi, Wie 04 Mag. a Dagmar Kerschbaumer Letzter Termi Eiführug i die Zahletheorie

Mehr

1 Analysis T1 Übungsblatt 1

1 Analysis T1 Übungsblatt 1 Aalysis T Übugsblatt A eier Weggabelug i der Wüste lebe zwei Brüder, die vollkomme gleich aussehe, zwische dee es aber eie gewaltige Uterschied gibt: Der eie sagt immer die Wahrheit, der adere lügt immer.

Mehr

5.3 Wachstum von Folgen

5.3 Wachstum von Folgen 53 Wachstum vo Folge I diesem Abschitt betrachte wir (rekursiv oder aders defiierte) Folge {a } = ud wolle vergleiche, wie schell sie awachse, we wächst Wir orietiere us dabei a W Hochstättler: Algorithmische

Mehr

1 Funktionen und Flächen

1 Funktionen und Flächen Fuktioe ud Fläche. Fläche Defiitio: Die Ebee R ist defiiert als Mege aller geordete Paare vo reelle Zahle: R = {(,, R} Der erste Eitrag heißt da auch Koordiate ud der zweite Koordiate. Für zwei Pukte (,,

Mehr

3.2 Potenzreihen und komplexe Taylorentwicklung

3.2 Potenzreihen und komplexe Taylorentwicklung 40 Kapitel 3. Holomorphe Fuktioe 3.2 Potezreihe ud komplexe Tayloretwicklug Wede wir us u de Reiheetwickluge vo Fuktioe zu. 3.2. Defiitio Uter eier Potezreihe um de Pukt z 0 C versteht ma eie Reihe der

Mehr

Geometrische Folgen. Auch Wachstumsfolgen Viele Aufgaben. Lösungen nur auf der Mathe-CD Hier nur Ausschnitte. Datei Nr

Geometrische Folgen. Auch Wachstumsfolgen Viele Aufgaben. Lösungen nur auf der Mathe-CD Hier nur Ausschnitte. Datei Nr ZAHLENFOLGEN Teil Geometrische Folge Auch Wachstumsfolge Viele Aufgabe Lösuge ur auf der Mathe-CD Hier ur Ausschitte Datei Nr. 00 Friedrich Buckel März 00 Iteretbibliothek für Schulmathematik 00 Geometrische

Mehr

Beweistechniken Vollständige Induktion - Beispiele, Erweiterungen und Übungen

Beweistechniken Vollständige Induktion - Beispiele, Erweiterungen und Übungen Beweistechike Vollstädige Iduktio - Beispiele, Erweiteruge ud Übuge Alex Chmelitzki 15. März 005 1 Starke Iduktio Eie etwas abgewadelte Form der Iduktio ist die sogeate starke Iduktio. Bei dieser Spielart

Mehr

Analysis I Probeklausur 2

Analysis I Probeklausur 2 WS /2 Mriescu/ Ert Alysis I Probeklusur 2. Aufgbe Die Folge (x ) N sei rekursiv defiiert durch x =, x + = 2+x. () Beweise, dss die Folge (x ) N streg mooto wchsed ist. (b) Beweise, dss (x ) N durch 2 ch

Mehr

Aufgaben zur vollständigen Induktion

Aufgaben zur vollständigen Induktion c 7 by Raier Müller - Aufgabe zur vollstädige Idutio We ichts aderes agegebe ist, da gelte die Behauptuge für IN {; ; ;...}. A) Teilbareit: ) ist gerade (d.h. durch teilbar). ) ist durch teilbar. ) ist

Mehr

4. Vektorräume mit Skalarprodukt

4. Vektorräume mit Skalarprodukt 4. Vektorräume mit Skalarprodukt Wiederholug: V=R x, y R: x= x x i x, y= y y, :R R R Skalarprodukt Stadardskalarprodukt lieare Abbildug mit 2 Argumete 4. Eigeschafte vo Skalarprodukte Def.: Es sei V ei

Mehr

Wir weisen die Gültigkeit der 4Axiome der sigma-algebra für die Potenzmenge einer endlichen Menge A nach!

Wir weisen die Gültigkeit der 4Axiome der sigma-algebra für die Potenzmenge einer endlichen Menge A nach! Lösug zu Übug 4 Prof. Dr. B.Grabowski E-Post: grabowski@htw-saarlad.de Zu Aufgabe ) Wir weise die Gültigkeit der 4Axiome der sigma-algebra für die Potezmege eier edliche Mege A ach! ) Die leere Mege ud

Mehr

2 Vollständige Induktion

2 Vollständige Induktion 8 I. Zahle, Kovergez ud Stetigkeit Vollstädige Iduktio Aufgabe: 1. Bereche Sie 1+3, 1+3+5 ud 1+3+5+7, leite Sie eie allgemeie Formel für 1+3+ +( 3)+( 1) her ud versuche Sie, diese zu beweise.. Eizu5% ZiseproJahragelegtes

Mehr

Streifzug durch die Welt der Binome und darüber hinaus

Streifzug durch die Welt der Binome und darüber hinaus www.mathemati-etz.de Copyright, Page 1 of 6 Streifzug durch die Welt der Biome ud darüber hiaus Die biomische Formel sid ützliche Istrumete, welche i viele Gebiete der Mathemati gewibriged eigesetzt werde

Mehr

Zahlenfolgen, Grenzwerte und Zahlenreihen

Zahlenfolgen, Grenzwerte und Zahlenreihen KAPITEL 5 Zahlefolge, Grezwerte ud Zahlereihe. Folge Defiitio 5.. Uter eier Folge reeller Zahle (oder eier reelle Zahlefolge) versteht ma eie auf N 0 erlarte reellwertige Futio, die jedem N 0 ei a R zuordet:

Mehr

6 Folgen. 6.4 Folgen reeller Zahlen. Mathematik für Informatiker B, SS 2012 Dienstag 5.6. $Id: folgen.tex,v /06/05 11:12:18 hk Exp $

6 Folgen. 6.4 Folgen reeller Zahlen. Mathematik für Informatiker B, SS 2012 Dienstag 5.6. $Id: folgen.tex,v /06/05 11:12:18 hk Exp $ Mathematik für Iformatiker B, SS 0 Diestag 5.6 $Id: folge.tex,v. 0/06/05 ::8 hk Exp $ 6 Folge 6.4 Folge reeller Zahle I der letzte Sitzug habe wir de Begriff des Grezwerts eier Folge i eiem metrische Raum

Mehr

Mathematik Funktionen Grundwissen und Übungen

Mathematik Funktionen Grundwissen und Übungen Mathematik Fuktioe Grudwisse ud Übuge Potezfuktio Hyperbel Epoetialfuktio Umkehrfuktio Stefa Gärter 004 Gr Mathematik Fuktioe Seite Grudwisse Potezfuktio Defiitio Durch die Zuordugsvorschrift f: Æ mit

Mehr

Ungleichungen werden mit Äquivalenzumformungen gelöst. Hierzu werden die sogenannten Monotoniegesetze angegeben.

Ungleichungen werden mit Äquivalenzumformungen gelöst. Hierzu werden die sogenannten Monotoniegesetze angegeben. Floria Häusler Ugleichuge. Grudsätzliches I folgede ist ur vo reelle Zahle die Rede, ohe daß dies im eizele betot wird. Es seie A, B, C,... Terme reeller Zahle, u. U. auch mit Variable. Für Ugleichuge

Mehr

FOLGEN UND REIHEN. 1. Einführung. Folgen und Reihen 1. Aus einer Rätselzeitschrift:

FOLGEN UND REIHEN. 1. Einführung. Folgen und Reihen 1. Aus einer Rätselzeitschrift: Folge ud Reihe FOLGEN UND REIHEN. Eiführug Aus eier Rätselzeitschrift: 8? Welche Zahl folgt als ächste? Dieses Rätsel ist gar icht so eifach! De ei logisches Argumet, welche Zahl für das rote Fragezeiche

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zetrum Mathemati PROF DRDR JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mathemati für Iformatier I Witersemester 2003/2004 Aufgabeblatt 8 12 Dezember

Mehr

Musterlösungen für die Übungsaufgaben zur Vorlesung Mathematik 2 für Informationswirtschaft. Markus Richter

Musterlösungen für die Übungsaufgaben zur Vorlesung Mathematik 2 für Informationswirtschaft. Markus Richter Musterlösuge für die Übugsaufgabe zur Vorlesug Mathematik für Iformatioswirtschaft Markus Richter 4. September 0 Ihaltsverzeichis Norme ud Skalarprodukte. Norme....................................... Skalarprodukte..................................

Mehr

Aufgaben und Lösungen Ausarbeitung der Übungsstunde zur Vorlesung Analysis I

Aufgaben und Lösungen Ausarbeitung der Übungsstunde zur Vorlesung Analysis I Aufgabe ud Lösuge Ausarbeitug der Übugsstude zur Vorlesug Aalysis I Witersemester 2008/2009 Übug am 09.2.2008 Übug 8 Eileitug Es soll och eimal auf die agebotee Sprechstude higewiese werde, sowie auf mögliche

Mehr

Einführende Beispiele Arithmetische Folgen. Datei Nr SW. Das komplette Manuskript befindet sich auf der Mathematik - CD.

Einführende Beispiele Arithmetische Folgen. Datei Nr SW. Das komplette Manuskript befindet sich auf der Mathematik - CD. ZAHLENFOLGEN Eiführede Beispiele Arithmetische Folge Datei Nr. 400 SW Das komplette Mauskript befidet sich auf der Mathematik - CD Friedrich Buckel Februar 00 Iteratsgymasium Schloß Torgelow Ihalt Eiführede

Mehr

1 Vollständige Induktion

1 Vollständige Induktion 1 Vollstädige Idutio 1.1 Idutiosbeweise Das Beweisprizip der vollstädige Idutio ist eies der wichtigste Hilfsmittel der Mathemati icht ur der Aalysis. Es fidet Verwedug bei pratische alle Aussage, die

Mehr

Aufgaben und Lösungen der Probeklausur zur Analysis I

Aufgaben und Lösungen der Probeklausur zur Analysis I Fachbereich Mathematik AG 5: Fuktioalaalysis Prof. Dr. K.-H. Neeb Dipl.-Math. Rafael Dahme Dipl.-Math. Stefa Wager ATECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT SS 007 19. Jui 007 Aufgabe ud Lösuge der Probeklausur

Mehr

Beweisen Sie die Abtrennregel ( modus ponens): (A (A B)) B

Beweisen Sie die Abtrennregel ( modus ponens): (A (A B)) B Lösuge Logik) A eier Weggabelug i der Wüste lebe zwei Brüder, die vollkomme gleich aussehe, zwische dee es aber eie gewaltige Uterschied gibt: Der eie sagt immer die Wahrheit, der adere lügt immer. Scho

Mehr

III. Konvergenz von Folgen und Reihen

III. Konvergenz von Folgen und Reihen III.. Die Betragsfuktio metrische Räume 4 III. Kovergez vo Folge ud Reihe Durch die Betragsfuktio erhalte wir auf de reelle Zahle eie Abstadsbegriff ud somit eie metrische Struktur. Wir köe u Kovergez

Mehr

Statistik mit Excel 2013. Themen-Special. Peter Wies. 1. Ausgabe, Februar 2014 W-EX2013S

Statistik mit Excel 2013. Themen-Special. Peter Wies. 1. Ausgabe, Februar 2014 W-EX2013S Statistik mit Excel 2013 Peter Wies Theme-Special 1. Ausgabe, Februar 2014 W-EX2013S 3 Statistik mit Excel 2013 - Theme-Special 3 Statistische Maßzahle I diesem Kapitel erfahre Sie wie Sie Date klassifiziere

Mehr

Zahlen, Folgen, Reihen. In diesem Kapitel wird nun wirklich der Grundstein der Analysis gelegt, darüber hinaus sollten. Kapitel 2

Zahlen, Folgen, Reihen. In diesem Kapitel wird nun wirklich der Grundstein der Analysis gelegt, darüber hinaus sollten. Kapitel 2 Kapitel Zahle, Folge, Reihe I diesem Kapitel wird u wirklich der Grudstei der Aalysis gelegt, darüber hiaus sollte wir us och etwas de verschiedee Zahlbereiche widme. Mit atürliche Zahle rechet ma bereits

Mehr

2 Folgen. Reihen. Konvergenz

2 Folgen. Reihen. Konvergenz 2. FOLGEN. REIHEN. KONVERGENZ 28 2 Folge. Reihe. Kovergez 2. Grudlage 2.. Folge: Defiitio ud erste Beispiele Defiito: Eie (reelle Zahle-)Folge ist eie Zuordug, bei der jeder atürliche Zahl eie reelle Zahl

Mehr

Lösungen der Übungsaufgaben II

Lösungen der Übungsaufgaben II Mathemati für die erste Semester (. Auflage): Lösuge der Übugsaufgabe II C. Zerbe, E. Osser, W. Müceheim 7 0 49 4. Ma bereche die Biomialoeffiziete,,,. 8 7 7! 74 7!(7 )! 4 0 49 ; 4; 98 8 8 4. Ma beweise

Mehr

Elementare Beweismethoden - Direkter Beweis, Widerspruchsbeweis, Vollständige Induktion -

Elementare Beweismethoden - Direkter Beweis, Widerspruchsbeweis, Vollständige Induktion - Th. Kuschel Prosemiar SS 06 Elemetare Beweismethode Seite vo 7 7.04.06 Elemetare Beweismethode - Direter Beweis, Widerspruchsbeweis, Vollstädige Idutio - 0. Vorbemerug zum Begriff des (allgemeie) Beweises

Mehr

AT AB., so bezeichnet man dies als innere Teilung von

AT AB., so bezeichnet man dies als innere Teilung von Teilverhältisse Aus der Geometrie der Dreiecke ket ma die Aussage, dass der Schwerpukt T eies Dreiecks die Seitehalbierede im Verhältis : teilt. Für die Strecke AT ud TM gilt gemäß der Abbildug AT : TM

Mehr

Tao De / Pan JiaWei. Ihrig/Pflaumer Finanzmathematik Oldenburg Verlag 1999 =7.173,55 DM. ges: A m, A v

Tao De / Pan JiaWei. Ihrig/Pflaumer Finanzmathematik Oldenburg Verlag 1999 =7.173,55 DM. ges: A m, A v Tao De / Pa JiaWei Ihrig/Pflaumer Fiazmathematik Oldeburg Verlag 1999 1..Ei Darlehe vo. DM soll moatlich mit 1% verzist ud i Jahre durch kostate Auitäte getilgt werde. Wie hoch sid a) die Moatsrate? b)

Mehr

Kapitel 4: Stationäre Prozesse

Kapitel 4: Stationäre Prozesse Kapitel 4: Statioäre Prozesse M. Scheutzow Jauary 6, 2010 4.1 Maßerhaltede Trasformatioe I diesem Kapitel führe wir zuächst de Begriff der maßerhaltede Trasformatio auf eiem Wahrscheilichkeitsraum ei ud

Mehr

Grenzwert einer Folge

Grenzwert einer Folge Grezwert eier Folge für GeoGebraCAS Letzte Äderug: 29/ März 2011 1 Überblick 1.1 Zusammefassug Ierhalb vo zwei Uterrichtseiheite solle die Schüler/ie zwei Arbeitsblätter mit GeoGebra erstelle, die das

Mehr

3. Anwendungen der Differentialrechnung

3. Anwendungen der Differentialrechnung 3.1 Kurveutersuchuge mittels der Differetialrechug 33 3. Aweduge der Differetialrechug 3.1 Kurveutersuchuge mittels der Differetialrechug I diesem Abschitt betrachte wir Fuktioe f: D, welche je ach Bedarf

Mehr

2. Diophantische Gleichungen

2. Diophantische Gleichungen 2. Diophatische Gleichuge [Teschl05, S. 91f] 2.1. Was ist eie diophatische Gleichug ud wozu braucht ma sie? Def D2-1: Eie diophatische Gleichug ist eie Polyomfuktio i x,y,z,, bei der als Lösuge ur gaze

Mehr

10. FOLGEN, REIHEN, GRENZWERTE

10. FOLGEN, REIHEN, GRENZWERTE Folge, Reihe, Grezwerte 0. FOLGEN, REIHEN, GRENZWERTE 0.. Folge (a) Defiitio Betrachtet ma bei eier Fuktio ur jee Fuktioswerte, die sich durch Eisetze vo Argumete aus de atürliche Zahle ergebe, so erhält

Mehr

Einige wichtige Ungleichungen

Einige wichtige Ungleichungen Eiige wichtige Ugleichuge Has-Gert Gräbe, Leipzig http://www.iformatik.ui-leipzig.de/~graebe 1. Februar 1997 Ziel dieser kurze Note ist es, eiige wichtige Ugleichuge, die i verschiedee Olympiadeaufgabe

Mehr

5.7. Prüfungsaufgaben zu Folgen

5.7. Prüfungsaufgaben zu Folgen 5.. Prüfugsufgbe zu Folge Aufgbe : Explizite Drstellug () 5 5 ) Bestimme die explizite Drstellug der Folge ( ) mit 0,,,, ud 5 () 9 5 b) Bestimme de Grezwert der Folge. () Lösug ( ) mit lim Aufgbe b: Explizite

Mehr

Thema 8 Konvergenz von Funktionen-Folgen und - Reihen

Thema 8 Konvergenz von Funktionen-Folgen und - Reihen Them 8 Kovergez vo Fuktioe-Folge ud - Reihe Defiitio Sei (f ) eie Folge vo Fuktioe vo D R i R. Wir sge, dß f puktweise gege eie Fuktio f kovergiert, flls gilt: f () f() für jedes D. Dies ist der türliche

Mehr

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie Sommersemester 2012. Musterlösung zu Blatt 11. c n (z a) n,

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie Sommersemester 2012. Musterlösung zu Blatt 11. c n (z a) n, f : a P UNIVERSIÄ DES SAARLANDES FACHRICHUNG 6. MAHEMAIK Prof. Dr. Rolad Speicher M.Sc. obias Mai Übuge zur Vorlesug Fuktioetheorie Sommersemester 202 Musterlösug zu Blatt Aufgabe. Zeige Sie durch Abwadlug

Mehr

Wintersemester 2006/2007, Universität Rostock Abgabetermin: spätestens 24.10.2006, 09:00 Uhr. Aufgabe 1.1: (5 P)

Wintersemester 2006/2007, Universität Rostock Abgabetermin: spätestens 24.10.2006, 09:00 Uhr. Aufgabe 1.1: (5 P) Serie Abgabetermi: spätestes 24.0.2006, 09:00 Uhr Aufgabe.: 5 P Zeige Sie, dass das geometrische Mittel icht größer ist als das arithmetische Mittel, d.h., dass für alle Zahle a, b R mit a, b 0 gilt ab

Mehr

Höhere Finanzmathematik. Sehr ausführliches Themenheft (d. h. mit Theorie) Aber auch mit vielen Trainingsaufgaben

Höhere Finanzmathematik. Sehr ausführliches Themenheft (d. h. mit Theorie) Aber auch mit vielen Trainingsaufgaben Expoetielles Wachstum Höhere Fiazmathematik Sehr ausführliches Themeheft (d. h. mit Theorie) Aber auch mit viele Traiigsaufgabe Es hadelt sich um eie Awedug vo Expoetialfuktioe (Wachstumsfuktioe) Datei

Mehr

Lösungen zu Mathematik für Informatiker I Übungen Sommersemster 2007

Lösungen zu Mathematik für Informatiker I Übungen Sommersemster 2007 Lösuge zu Mathematik für Iformatiker I Übuge Sommersemster 2007 Aexader (Axe) Straschi Apri 2007 Diese Lösuge zu der Übug Mathematik für Iformatiker I, Sommersemester 2007, etsteht gerade im aufe meies

Mehr

Reihen Arithmetische Reihen Geometrische Reihen. Datei Nr (Neu bearbeitet und erweitert) Juni Friedrich W. Buckel

Reihen Arithmetische Reihen Geometrische Reihen. Datei Nr (Neu bearbeitet und erweitert) Juni Friedrich W. Buckel Zahlefolge Teil 3 Reihe Reihe Arithmetische Reihe Geometrische Reihe Datei Nr. 4003 (Neu bearbeitet ud erweitert) Jui 005 Friedrich W. Buckel Iteretbibliothek für Schulmathematik Ihalt Defiitio eier Reihe

Mehr

8.3. Komplexe Zahlen

8.3. Komplexe Zahlen 8.. Komplee Zhle Wie bereits i 8.. drgestellt, wurde die fortlufede Erweiterug der Zhlbereiche durch die Eiführug immer kompleerer Recheopertioe otwedig:. Auf de türliche Zhle führte der Wusch ch iverse

Mehr

= a n: Wurzelexponent x: Radikand oder Wurzelbasis a: Wurzelwert Bei der ersten Wurzel wird einfach das Wurzelzeichen weggelassen.

= a n: Wurzelexponent x: Radikand oder Wurzelbasis a: Wurzelwert Bei der ersten Wurzel wird einfach das Wurzelzeichen weggelassen. Wurzelgesetze Gesetzmäßigkeite Grudlage Das Wurzelziehe (oder Radiziere) ist die Umkehrug des Potezieres. Daher sid die Wurzelgesetze de Potezgesetze sehr ählich. Die Wurzel aus eier positive Zahl ergibt

Mehr

Klasse: Platzziffer: Punkte: / Graph zu f

Klasse: Platzziffer: Punkte: / Graph zu f Pflichtteil Mathematik I Aufgabe P Name: Vorame: Klasse: Platzziffer: Pukte: / P.0 Gegebe ist die Fuktio f mit der Gleichug (siehe Zeichug). y x8 y,25 4 mit GI IRIR Graph zu f O x P. x 8 Die Pukte C (x,25

Mehr

FINANZMATHEMATIK. 1. Zinsen und Zinseszinsen. Finanzmathematik 81

FINANZMATHEMATIK. 1. Zinsen und Zinseszinsen. Finanzmathematik 81 Fiazmathematik 8 FINANZMATHEMATIK. Zise ud Ziseszise Die Zise als Preis für die Zurverfügugstellug vo Geld bilde das zetrale Elemet i der Fiazmathematik. Hierbei sid verschiedee Arte der Verzisug zu uterscheide.

Mehr

1. Goldener Schnitt Pascalsches Dreieck

1. Goldener Schnitt Pascalsches Dreieck 1 Goldeer Schitt Pascalsches Dreieck 1 1 Goldeer Schitt Pascalsches Dreieck 11 Fiboacci-Zahle Fiboacci 1 oder mit richtigem Name Leoardo vo Pisa war ei bedeuteder Mathematiker Er lebte im 12 Jahrhudert

Mehr

SUCHPROBLEME UND ALPHABETISCHE CODES

SUCHPROBLEME UND ALPHABETISCHE CODES SUCHPROBLEME UND ALPHABETISCHE CODES Der Problematik der alphabetische Codes liege Suchprobleme zugrude, dere Lösug dem iformatiostheoretische Problem der Fidug eies (optimale) alphabetische Codes gleich

Mehr

1 = 1. 6 Induktionsannahme: Die Formal gelte für n = k. Induktionsschritt: Gültigkeit der Formel für k+1: 1 2 + 2 2 +... + k 2 + (k + 1) 2 = 2 = 6 = 6

1 = 1. 6 Induktionsannahme: Die Formal gelte für n = k. Induktionsschritt: Gültigkeit der Formel für k+1: 1 2 + 2 2 +... + k 2 + (k + 1) 2 = 2 = 6 = 6 65 Eric Müller Vollstädige Iduktio Nach GIUSEPPE PEANO (858-93) ka ma die Mege N der atürliche Zahle durch folgede Axiome defiiere []:. ist eie atürliche Zahl.. Zu jeder atürliche Zahl gibt es geau eie

Mehr

7. Potenzreihen und Taylor-Reihen

7. Potenzreihen und Taylor-Reihen 7. Potezreihe ud Taylor-Reihe 39 7. Potezreihe ud Taylor-Reihe Mit Hilfe der Cauchysche Itegralformel wolle wir u i diesem Kapitel ei weiteres sehr zetrales Resultat der Fuktioetheorie herleite, ämlich

Mehr

1 Einführende Worte 2

1 Einführende Worte 2 Sara Adams Semiarvortrag Rekursive Fuktioe - WS 2004/05 1 Sara Adams Semiarvortrag Rekursive Fuktioe - WS 2004/05 2 1 Eiführede Worte Semiar Grudlegede Algorithme Auflösug vo Rekursioe 1.1 Beispiele Bevor

Mehr

Musterlösung zu Übungsblatt 2

Musterlösung zu Übungsblatt 2 Prof. R. Padharipade J. Schmitt C. Schießl Fuktioetheorie 25. September 15 HS 2015 Musterlösug zu Übugsblatt 2 Aufgabe 1. Reelle Fuktioe g : R R stelle wir us üblicherweise als Graphe {(x, g(x)} R R vor.

Mehr

C. Eicher Analysis Study Center ETH Zürich HS Summen. k=1

C. Eicher Analysis Study Center ETH Zürich HS Summen. k=1 C Eicher Aaysis Study Ceter ETH Zürich HS 015 Summe Die Summe vo mehrere Zahe a 1, a,, a a mit Hife des Summezeiches geschriebe werde a 1 + a + + a a Hier heisst Laufvariabe oder Summatiosidex ud 1 bzw

Mehr

... a ik) i=1...m, k=1...n A = = ( a mn

... a ik) i=1...m, k=1...n A = = ( a mn Zurück Stad: 4..6 Reche mit Matrize I der Mathematik bezeichet ma mit Matrix im Allgemeie ei rechteckiges Zahleschema. I der allgemeie Darstellug habe die Zahle zwei Idizes, de erste für die Zeileummer,

Mehr

Lösungen der Aufgaben zur Vorbereitung auf die Klausur Mathematik für Informatiker I

Lösungen der Aufgaben zur Vorbereitung auf die Klausur Mathematik für Informatiker I Uiversität des Saarlades Fakultät für Mathematik ud Iformatik Witersemester 2003/04 Prof. Dr. Joachim Weickert Dr. Marti Welk Dr. Berhard Burgeth Lösuge der Aufgabe zur Vorbereitug auf die Klausur Mathematik

Mehr

6.4. Intervalle und Inhalte

6.4. Intervalle und Inhalte 6.4. Itervalle ud Ihalte Vo zetraler Bedeutug für die Igeieurmathematik (ud icht ur dort) ist die Berechug vo Läge, Flächeihalte ud Volumia. Die Grudidee ist dabei, die gesuchte Größe durch Summe vo leicht

Mehr

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie Sommersemester 2012. Musterlösung zu Blatt 0

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie Sommersemester 2012. Musterlösung zu Blatt 0 UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 MATHEMATIK Prof. Dr. Rolad Speicher M.Sc. Tobias Mai Übuge zur Vorlesug Fuktioetheorie Sommersemester 01 Musterlösug zu Blatt 0 Aufgabe 1. Käpt Schwarzbart,

Mehr

α : { n Z n l } n a n IR

α : { n Z n l } n a n IR 1 KAPITEL VI. ZAHLENFOLGEN UND REIHEN 1) REELLE ZAHLENFOLGEN: i) Jede Abbildug α : IN a IR heiÿt 'reelle Zahlefolge' bzw. 'Folge i IR'. Ma otiert diese i der Form α = a ) IN = a ) =0 = a 0, a 1, a 2,...)

Mehr