Eindimensionale Differenzial- & Integralrechnung

Transkript

1 Sktiprum zur Vorlesug Alysis I Privte Mitschrift Eidimesiole Differezil- & Itegrlrechug gelese vo Prof. Dr. Michel Juk Mrti Gubisch Kostz, Witersemester 5/6

2 Ihltsverzeichis Der Körper der reelle Zhle 3. Die Axiome vo R Der Absolutbetrg uf R Iduktive Mege ud vollstädige Iduktio Schrke, Supremum & Ifimum Folge, Reihe ud Fuktioe. Kovergez ud Grezwert Die Grezwertsätze Teilfolge ud Häufugspukte Cuchyfolge Reihe Fuktioe Stetigkeit 6 3. Stetigkeit eier Fuktio Der Zwischewertstz Verschiedee Arte vo Stetigkeit Potezreihe ud dere Kovergezverhlte Kovergez ud Stetigkeit vo Fuktioefolge Stetigkeitsverhlte vo Umkehrfuktioe Differezierbrkeit Die Ableitug eier Fuktio Ableitugsregel Ableitug vo Umkehrfuktioe Ableitug vo Potezreihe Der Mittelwertstz der Differezilrechug Ds Newto-Verfhre Der Bchsche Fixpuktstz Der Stz vo Tylor Die Regel vo l Hopitl Itegrierbrkeit 5 5. Drboux-Summe ud Riem-Itegrl Eigeschfte des Riem-Itegrls Der Mittelwertstz der Itegrlrechug Der Huptstz der Differezil- ud Itegrlrechug Ueigetliche Itegrle Ubestimmte Itegrle Fourier-Reihe Periodische Fuktioe Der Ieproduktrum L Kovergezverhlte vo Fourier-Reihe Übugsufgbe 7 Idex 85 Literturverzeichis 88

3 Der Körper der reelle Zhle. Die Axiome vo R. Der Körper der reelle Zhle.. Die Axiome vo R Axiom.. (Existez vo R) (R) Es gibt eie Mege R, dere Elemete reelle Zhle heiße ud die folgede Eigeschfte ht: Axiom.. (Körperxiome der Additio) Zwei Elemete x, y R wird eideutig ei drittes Elemet x + y R zugeordet mit: (A) Assozitivgesetz: Für lle x, y, z R gilt (x + y) + z = x + (y + z). (A) Kommuttivgesetz: Für lle x, y R gilt x + y = y + x. (A3) Es existiert ei eutrles Elemet der Additio R, so dss x + = x für lle x R. (A4) Zu jedem x R existiert ei dditiv iverses Elemet x R mit ( x) + x =. Stz.3.. Ds eutrle Elemet der Additio ist eideutig bestimmt. Wir ee es die Null i R.. Zu jeder reelle Zhl existiert geu ei dditiv iverses Elemet.. Seie ud eutrle Elemete der Additio. D gilt: + (A3) = = + (A) = (A3) =.. Seie ( x) ud ( x) dditiv ivers zu x. D gilt: ( x) + x (A4) = = x + ( x) (A) = = ( x) + (x + ( x)) = ( x) + = ( x) + (x + ( x)) (A3) = ( x) = (( x) + x) + ( x) (A) = ( x) = + ( x) (A4) = ( x) = ( x) + (A) = ( x) = ( x) (A3) = ( x). Axiom.4. (Körperxiome der Multipliktio) Zwei Elemete x, y R wird eideutig ei drittes Elemet x y R zugeordet mit: (M) Assozitivgesetz: Für lle x, y, z R gilt (x y) z = x (y z). (M) Kommuttivgesetz: Für lle x, y R gilt x y = y x. (M3) Es existiert ei eutrles Elemet der Multipliktio R\{}, so dss x = x für lle x R. (M4) Zu jedem x R\{} existiert ei multipliktiv iverses Elemet x R mit (x ) x =. Stz.5.. Ds eutrle Elemet der Multipliktio ist eideutig bestimmt ud ls Eis bezeichet.. Zu jeder vo verschiedee reelle Zhl existiert geu ei multipliktiv iverses Elemet. Mrti Gubisch 3 WS 5/6

4 . Die Axiome vo R Der Körper der reelle Zhle. Seie ud eutrle Elemete der Multipliktio. D gilt: (M3) = = (M) = (M3) =.. Seie (x ) ud (x ) multipliktiv ivers zu x. D gilt: (x ) x (M4) = = x (x ) (M) = = (x ) (x (x )) = (x ) = (x ) (x (x )) (M3) = (x ) = ((x ) x) (x ) (M) = (x ) = (x ) (M4) = (x ) = (x ) (M) = (x ) = (x ) (M3) = (x ). Axiom.6. (Körperxiom der Distributivität) (D) Distributivgesetz: Für lle x, y, z R gilt x (y + z) = x z + y z. Bemerkug.7. Zur Abkürzug führe wir die folgede Schreibweise ei: x y = x + ( y), x y = x y, xy = x y, x = x x. Stz.8. Aus de Körperxiome lsse sich folgede Eigeschfte der reelle Zhle folger:. =. 5. x, y R : ( x) ( y) = x y.. x R : ( x) = x. 6. x, y R : ( x) y = (x y). 3. x R : x =. 7. x, y R : x y = x = oder y =. 4. x R : ( ) x = x. 8. x R\{} : (x ) = x. Zetrler Trick: dzuddiere bzw. dzumultipliziere.. Es gilt (A3) = + (A4) =.. Es gilt ( x) (A3) = ( x)+ (A4) = ( x)+( x+x) (A) = ( ( x)+( x))+x (A4) = +x (A) = x+ (A3) = x. 3. Wege x (A3) = ( + ) x (M) = x ( + ) (D) = x + x (M) = x + x ist ( x) + ( x) = ( x) + ( x) + ( x); mit (A4) erhlte wir = x. 4. Es gilt ( ) x = x x + ( ) x = x + ( x) (M) x + x ( ) = x + ( x) (D) x ( + ( )) = x + ( x) (A) x ( + ) = x + x (M3) x ( + ) = x + x (A4) x = (M) x = (.8.3) =. WS 5/6 4 Mrti Gubisch

5 Der Körper der reelle Zhle. Die Axiome vo R 5. ( x) ( y) (.8.4) = ( x) (( ) y) (M) = (( x) ( )) y (M) = (( ) ( x)) y (.8.4) = ( ( x)) y (.) = x y. 6. Für x R ist ( x) y (.8.4) = (( ) x) y (M) = ( ) (x y) (.8.4) = (x y). 7. Sei Œ x, sost x y = y (.8.3) =. D gilt: x y = x (x y) = x (M) (x x) y = x (M4) y = x (M) (M3) (.8.3) y = x y = x y =. 8. Für x gilt (x ) = x x (x ) = x x (M) (x ) x = x x (M4) =. Axiom.9. (Aordugsxiome) Es gibt eie Reltio uf R, die es erlubt, zwei Zhle miteider zu vergleiche: (O) Für je zwei Elemete x, y R gilt x y oder y x. (O) Für lle x, y R folgt us x y ud y x, dss x = y. (O3) Trsitivität: x y ud y z impliziert x z für lle x, y, z R. (O4) Für lle x, y, z R gilt x y z + x z + y. (O5) Für lle x, y, z R mit x y ud z folgt z x z y. Bemerkug.. Weitere gebräuchliche Schreibweise sid: x y : y x, x < y : x y ud x y, x > y : x y ud x y. Stz.. Kosequeze der Aordugsxiome:. x, y R : x y y x.. x, y, z R : x y ud z z y z x. 3. x, y R : x ud y x y. 4. x R : x. 5. <. 6. x R : < x < x. 7. x, y R : < x < y < y < x.. Seie x, y R beliebig. Es gilt x y (O4) = x + x x + y (A4) = x + y (O4) = y + y + (( x) + y) (A) = y + y + (y + ( x)) (A) = y + ( y + y) + ( x) (A4) = y + + ( x) (A) = y + x + (A3) = y x.. Es gilt z (..) = z (.8.) = z. Dmit folgt: x y (O5) = ( z) x ( z) y (.8.4) = (z x) (z y) (..) = ( (z y)) ( (z x)) (.8.) = z y z x. 3. Seie x ud y. D gilt: y (O5) = x y x (M) = x y x (M) = x y. 4. Im Fll x ist gemäß (..3) uch x x. Aderflls gilt x < (..) = x > (.8.) = x > (..3) = ( x) ( x) > (.8.5) = x x >. Mrti Gubisch 5 WS 5/6

6 . Die Axiome vo R Der Körper der reelle Zhle 5. (M3) = (..4) ud (M3) ergibt zusmme >. 6. Wege x (..4) x gilt (x x ) < (x x ) x, mit (M3) lso < (x x ) x (M) = < x (x x) (M4) = < x (M3) = < x. 7. Aus (..4) folgt direkt < x ud < y. Noch zu zeige: y < x. x < y (O5) = x x < x y (M4) = < x y (O5) = y < y (x y) (M3) = y < y (x y) (M) = y < y (y x ) (M) = y < (y y) x (M4) = y (M) < x = y < x (M3) = y < x. Axiom.. (Vollstädigkeitsxiom) Ds Vollstädigkeitsxiom sichert die Kotiuumseigeschft vo R. Sei A eie Teilmege vo R. Wir defiiere zu A die Mege S = {s R : x A : x s} der obere Schrke. Ist S, so ee wir A ch obe beschräkt; ei Elemet σ S heißt kleistes Elemet, flls s S : σ s. Ds Vollstädigkeitsxiom lutet u: (V) Ist A ch obe beschräkt, d ethält S ei kleistes Elemet. Stz.3. (Löse eifcher Gleichuge). Seie, b R. D ht die Gleichug + x = b die eideutige Lösug x = + b.. Ist, d ht die Gleichug x = b die eideutige Lösug x = b.. Seie M = {x R + x = b} ud L = { + b}. Zu zeige: M L & L M; d uch M = L. ) Sei x L, d.h. x = + b, d L ur us + b besteht. D gilt x M, d.h. L M: + x = + ( + b) = b (A) ( + ( )) + b = b (A) b + ( + ) = b b) Sei x M beliebig, d ist x L, d.h. L M: (A4) b + = b (A3) b = b. + x = b (.8.) + ( + x) = + b (A) ( + ) + x = + b (A4) + x = + b (A) x + = + b (A3) x = + b.. Seie M = {x R x = b} ud L = { b}. Zu zeige: M = L. ) Sei x L, d.h. x = b. D ist uch x M, lso L M: x = ( b) = b (M) ( ) b = b (M) b ( ) = b (M4) b = b (M3) b = b. 3. Ist higege x M, d uch x L ud somit M L: x = b (.8.4) ( x) = b (M) ( ) x = b (M4) x = b (M) x = b (M3) x = b. Bemerkug.4. x R heißt eie Lösug der Gleichug + x = b, we es i der Lösugsmege L = {ξ R + ξ = b} liegt. Etspreched ist x R eie Lösug vo x = b, we x L = {ξ R ξ = b} erfüllt ist. WS 5/6 6 Mrti Gubisch

7 Der Körper der reelle Zhle. Der Absolutbetrg uf R.. Der Absolutbetrg uf R Defiitio.5. Sei x R. D ist der Betrg oder Absolutbetrg defiiert ls { +x x x = x x < Bemerkug.6. d(x, y) = x y heißt der Abstd oder die Distz zwische x ud y. Stz.7. Eigeschfte des Absolutbetrgs:. x R : x. (Positivität). x R : x = x =. (Defiitheit) 3. x, y R : xy = x y. (Multipliktivität) 4. x, y R : x + y x + y. (Dreiecksugleichug). Sei x R (O) = x oder x. Uterscheide: ) x (.5) = x = x. b) x < (.5) = x = x ud < x (..) = < x (.5) = x = x >.. Sei x =. D x = (.5) =. Ist umgekehrt x =, d x = oder x = (..) = x =. 3. Uterscheide die vier Fälle: y & y, x & y <, x < & y sowie x < & y <. ) xy (..3) = xy (.5) = x y. b) Wege y (O5) = xy x (..3) = ist xy = xy (M) = yx (.8.4) = ( y)x (.5) = y x. c) Alog zu (b): Vertusche x ud y. d) Zuächst gilt ( x) + ( x) = (.3) = x = ( x): Iverse sid eideutig. Also: xy = ( xy) (M,M) = ( x)( y) () = x y (.5) = ( x)( y) (.5) = x y. 4. Seie x, y R. Nch Lemm.8 folge d x x x ud y y y. D gilt: ( x + y ) (D) = x + ( y ) (O4) x + ( y ) (O4) x + y (O4) x + y (O4) x + y. Wiederum mit Lemm.8 folgt x + y x + y. Lemm.8.. Für lle x R gilt x x x.. Ist x für ei, d gilt: x.. Wieder per Flluterscheidug: Sei zuächst x. D x (.5) = x x (.5) = x x. Ist dgege x <, d x = ( x) = x x < x = x x.. Sei x. Ist x, d x = x ; derflls (x < ) gilt x = x ( ) =. Mrti Gubisch 7 WS 5/6

8 .3 Iduktive Mege ud vollstädige Iduktio Der Körper der reelle Zhle Korollr.9. (Umgekehrte Dreiecksugleichug) Für lle x, y R gilt die Abschätzug x y x y. Es gelte: x = x y + y x y + y = x y x y y = y x + y y x + x = y x x y. Zusmme: x y ( y x ) = x y x y ud Lemm.8 liefert die Behuptug..3. Iduktive Mege ud vollstädige Iduktio Bemerkug.. Nch de Körperxiome hbe wir bisher ur die Existez der drei (verschiedee) Zhle,, gesichert. Wir setze = +, 3 = +, 4 = 3 + u.s.w.. Wege < folgt mit (O4), dss = + < + =, lso ist vo ud verschiede. Dies gilt uch für 3, 4,... So lsse sich ber ur edlich viele Zhle kostruiere. Zur Kostruktio ller türlicher Zhle beutze wir folgedes Prizip: Defiitio.. Eie Teilmege M R heißt iduktiv, flls M ud x + M für lle x M. Die Mege der türliche Zhle ist defiiert durch N = {x R M R iduktiv : x M} = {M } M R iduktiv. Bemerkug... R ud {x R x > } sid iduktiv.. N ist iduktiv: Wege M für lle iduktive Mege M R ist N. Weiter gilt zu x N, dss x M für lle iduktive Mege M R. D ist per Defiitio uch x + M für lle die Mege, d.h. x + N. Somit besitzt N die beide Eigeschfte eier iduktive Mege. 3. N ist die kleiste iduktive Mege: Ist M R iduktiv, d gilt N M. Bemerkug.3. (Vollstädige Iduktio) Um Aussge der Form N : A() zu beweise, geügt es wege N : A() { N A()} = N N { N A()} die Iduktivität der Mege { N A()} chzuweise, d.h. zu zeige:. A() ist whr, der Iduktiosfg, ud. A() A( + ), der Iduktiosschritt. A() wird dbei ls Iduktioshme oder Iduktiosvorussetzug bezeichet. Bemerkug.4. (Gußsche Summeformel) Per vollstädiger Iduktio lässt sich zeige, dss für lle N gilt = (+). Stz.5. Die Mege N der türliche Zhle ist bgeschlosse bzgl. Additio ud Multipliktio, d.h. m, N : m + N ud m, N : m N. WS 5/6 8 Mrti Gubisch

9 Der Körper der reelle Zhle.3 Iduktive Mege ud vollstädige Iduktio. Wir setze M m = { N m + N}, d gilt m, N : m + N m N : N : m + N m N : M m = N. Per Defiitio vo M m ist klr: M m N. Wir müsse lso och zeige: N M m. Dzu geügt es lut Bemerkug. chzuweise, dss M m iduktiv ist. ) D m N ud N iduktiv, ist uch + m N, lso M m. b) Sei M m. D m + N, d N iduktiv, lso (m + ) + = + ( + ) N + M m. Also ist M m für beliebiges m N iduktiv ud es gilt somit uch N M, isgesmt lso M m = N.. Sei wieder m N beliebig. Wir wede hier ds Iduktiosprizip uf die Aussge A() : m N: ) Iduktiosfg: A() : m N ist whr, d ch (M3) m = m N. b) Iduktiosschritt: Gelte die Behuptug für N, d.h. sei A() whr. Wir zeige: D ist uch A( + ) whr. Gelte lso A() : m N. D ist m( + ) = m + m N ch (), d sowohl m ls uch m ch Ahme i N liege. Bemerkug.6. (Rekursive Defiitioe) Wir beutze ds Iduktiosprizip, um beliebige Poteze mit R ud N zu defiiere: = & + =, log = für R = R\{}. D lsse sich uch die Potezgesetze R : p, q N : p q = p+q, R : p, q N : ( p ) q = pq,, b R : p N : (b) p = p b p per Iduktio zeige. Wir beweise hier ur die erste Gleichug: Seie R ud p N, d gelte p = p ( ) = p () = p = p+ & p q+ = p ( q ) = ( p q ) = p+q = (p+q)+. Bemerkug.7. Iduktiosbeweise müsse icht mit dem Iduktiosfg =, d.h. dem Nchweis A(), strte. Stz.8. (Beroullische Ugleichug) Für lle N mit ud lle x R mit x > gilt die Ugleichug ( + x) > + x.. Iduktiosfg: ( + x) = + x + x > + x, d x >.. Iduktiosschritt: Gelte die Behuptug für ei, d ( + x) + = ( + x)( + x) > ( + x)( + x) Bemerkug.9. (Summe- & Produktzeiche) = + x + x + x > + x + x = + ( + )x. Seie N N ud R für lle {,..., N}. D setze wir N N+ ( N ) = für N < m ud = + N+ für N > m ; d.h. N =m =m N = für N < m =m ud = m + m+ + + N ud N =m =m N+ =m =m ( N = ) N+ für N > m, =m = m m+ N. Mrti Gubisch 9 WS 5/6

10 .4 Schrke, Supremum & Ifimum Der Körper der reelle Zhle Bemerkug.3. (Gze ud rtiole Zhle) Wir defiiere weitere Teilmege der reelle Zhle: wobei N = N {}. D gelte: Z = N N = N { R N} = N {x R x N}, { } { p Q = q p Z, q N = x R p Z, q N : x = p }, q. Die Mege Z der gze Zhle ud die Mege Q der rtiole Zhle sid bgeschlosse uter Additio ud Multipliktio.. Die rtiole Zhle erfülle die Körper- ud Aordugsxiome, d.h. Q ist ei geordeter Körper. 3. Z ist kei Körper, beispielsweise besitzt Z kei multipliktiv iverses Elemet. Stz.3. (Arithmetisches Mittel) Sei K ei geordeter Körper mit, b K, < b. D gelte +b K ud < +b < b. Es gilt = ( + ) = + = + < + b < b + b = ( + )b = b. Mit > folgt lso = >, d.h. < ( + b) < b. Bemerkug.3.. Isbesodere gilt für geordete Körper:, b K, < b : x K : < x < b, d.h. geordete Körper sid dicht. Zwische zwei verschiedee reelle bzw. rtiole Zhle liegt lso stets eie weitere reelle bzw. rtiole Zhl.. Es gilt die Ugleichug zwische rithmetischem, geometrischem ud hrmoischem Mittel: N,,..., R + : Auch diese Abschätzuge lsse sich per vollstädiger Iduktio beweise..4. Schrke, Supremum & Ifimum Bemerkug.33. Per Widerspruchsbeweis zeigt m leicht, dss die Gleichug x = keie rtiole Lösug x Q besitzt. Ei Kdidt für eie reelle Lösug wäre ds größte Elemet der Mege {x R x > & x }. Defiitio.34. Sei A R eie ichtleere Teilmege vo R. Eie Zhl M R heißt obere Schrke vo A, we x M für lle x A gilt. Besitzt A eie obere Schrke, so ist A ch obe beschräkt. Existiert eie kleiste obere Schrke vo A, so wird diese ls Supremum sup(a) vo A bezeichet. Bemerkug.35. Ds Vollstädigkeitsxiom grtiert die Existez eier kleiste obere Schrke. Beispiel.36. User Kdidt für die Lösug der Gleichug x = ist w = sup(a) = sup{x [, ) x }. Wir bruche dzu: A ist ch obe beschräkt. Wege A ist A ud A ist z.b. duch ch obe beschräkt, de x > x > = 4 >. Also sid die Vorussetzuge des Vollstädigkeitsxioms erfüllt. WS 5/6 Mrti Gubisch

11 Der Körper der reelle Zhle.4 Schrke, Supremum & Ifimum Noch zu zeige: w =. Wir weise dzu ch, dss w < ud w > flsch sid. Ageomme, w w <. Sei δ = mi{, (w+) } >. D gilt (w + δ) = w + wδ + δ δ δ w w + wδ + δ = w (w+) + (w + )δ w + (.3) <. Also liegt w + δ i A, de w + δ, d.h. w + δ [, ), ud (w + δ). Außerdem ist w + δ > w im Widerspruch dzu, dss w eie obere Schrke vo A ist. Dmit muss w gelte. Ageomme, w >. Sei δ = mi{ w 4w, w }. D gilt: (w δ) = w wδ + δ δ w wδ w δ 4w + w (.3) >. D w w, ist ußerdem w δ > ud dmit eie obere Schrke vo A: Gäbe es ei x A mit x > w δ, d x = xx > (w δ)x > (w δ)(w δ) = (w δ) >, ei Widerspruch. D weiter w δ < w gilt, k w icht kleiste obere Schrke vo A sei im Widerspruch zu userer Ahme. Dmit gilt w = δ. w ist lso sogr eideutige positive Lösug vo x =, de gäbe es eie weitere Lösug v [, ) mit v =, d müsste v > w oder w > v gelte. Beides hbe wir ebe usgeschlosse. Wir setze = w, d.h. ist die eideutige positive Lösug vo x =. Bemerkug.37. Mege köe beschräkt sei, ohe dss i ihe eie kleiste obere Schrke liegt. Betrchte zum Beispiel {x R x < }. D ist sup{x R x < } = / {x R x < }. Stz.38. (Chrkterisierug des Supremums) Seie A R ichtleer ud ch obe beschräkt ud s R. D gilt: s = sup(a) A : s ud ɛ > : A : s ɛ <.. Sei zuächst s = sup(a). Es gilt: s = sup(a) = A : s ud s ist kleiste obere Schrke vo A = ɛ > : s ɛ < s ist keie obere Schrke vo A = R : > s ɛ.. Zur dere Impliktio: Wege A : s ist s eie obere Schrke vo A, lso s sup(a). Wir zeige s = sup(a), idem wir s > sup(a) usschließe. Wäre s > sup(a), d ɛ = s sup(a) >, d.h. es gäbe ei A mit > s ɛ = sup(a) im Widerspruch dzu, dss sup(a) eie obere Schrke vo A ist. Stz.39. Seie A, B R ichtleer ud ch obe beschräkt. D gilt sup(a + B) = sup(a) + sup(b), wobei wir setze A + B = {c R A, b B : + b = c}. D A, B, ist uch A+B ud zu c A+B existiere A, b B mit c = +b sup(a)+sup(b). Also ist sup(a) + sup(b) eie obere Schrle vo A + B; isbesodere existiert sup(a + B). Nutze u Stz.38: Zu δ > ud ɛ = δ > existiere A ud b B mit > sup(a) ɛ ud b > sup(b) ɛ, lso c = + b > sup(a) + sup(b) ɛ = sup(a) + sup(b) δ. Dmit gilt c A + B : c sup(a) + sup(b) ud δ > : c A + B : c > sup(a) + sup(b) δ. Also sid die Vorussetzuge zu Stz.38 erfüllt, d.h. es gilt sup(a) + sup(b) = sup(a + B). Mrti Gubisch WS 5/6

12 . Kovergez ud Grezwert Folge, Reihe ud Fuktioe Bemerkug.4. Alog zum Supremum defiiere wir ds Ifimum, lso die größte utere Schrke, eier Mege: Defiitio.4. Sei A R eie ichtleere Teilmege vo R. Eie Zhl m R heißt utere Schrke vo A, we m x für lle x A gilt. Besitzt A eie utere Schrke, so ist A ch ute beschräkt. Existiert eie größte utere Schrke vo A, so wird diese ls Ifimum if(a) vo A bezeichet.. Folge, Reihe ud Fuktioe.. Kovergez ud Grezwert Beispiel.. Wir wolle die eideutige positive Lösug = sup{x [, ) x } der Gleichug x = kostruktiv bereche. liegt im Itervll [, ], de d eie kleiste obere Schrke der Mege A = {x [, ) x } ist, gilt A, d.h. >, ud ist eie obere Schrke vo A, lso. Wir verkleier ds Itervll [, ] durch Hlbierug: Setze c = +b = 3, d c = 9 4 >, d.h. c ist eie obere Schrke vo A. Also ist [, c ] = [, 3 ] = [, b ]. Wir hlbiere ochml: c = +b = 5 4, lso c = 5 6 <, d.h. c A ud dmit [c, b ] = [ 5 6 ] = [, b ] u.s.w.. Wir stelle fest: [, b ] [, b ] [, b ] : die Itervllhlbierug liefert eie Itervllschchtelug. Für die Itervllbreite B() des -te Itervlls erhlte wir dmit: N : B() = b = ; der Beweis erfolgt wie üblich über Iduktio. Die Itervlle werde dbei rekursiv kostruiert: = b = c = + b + = { c > c c b + = { c c > b c Dmit erhlte wir uch eie Fehlerbschätzug: N : [, b ] ud c [, b ] = c b =. Zum Beispiel erhlte wir c 3 < 3 < 5 9, d.h. bei c 3 =, stimme immerhi die erste 8 Nchkommstelle. Geueres Ergebis: bei, stimme 3 Nchkommstelle. Ab = 7 erhält m korrekte Nchkommstelle; für = sid es 3. Zur prktische Berechug ist die Geuigkeit der pproximtive Lösug gemesse m Aufwd bzw. der Azhl beötigte Itertioe icht zufriedestelled; es gibt wesetlich effizietere Verfhre. Defiitio.. Eie Fuktio : N R wird reelle Zhlefolge get. Die Fuktioswerte () bezeichet m uch mit. Die trditioelle Schreibweise für eie Folge mit Werte ist ( ) N. Eie reelle Zhlefolge ( ) N kovergiert gege (bzw. pproximiert) ei R, flls es zu jeder Geuigkeitsvorgbe ɛ > eie Idex N N gibt, so dss b diesem Idex lle Folgeglieder höchstes um ɛ vo bweiche. Wir schreibe d lim = bzw. ud ee de Grezwert vo ( ) N. I formler Schreibweise: = lim : ɛ > : N N : N, N : < ɛ. Besitzt eie Folge eie Grezwert, so ee wir sie koverget, derflls diverget. WS 5/6 Mrti Gubisch

13 Folge, Reihe ud Fuktioe. Kovergez ud Grezwert Die Folge ( ) N ud (b ) N im Beispiel besitze die folgede Eigeschfte: +, d.h. ( ) N ist mooto wchsed. b b +, d.h. (b ) N ist mooto flled. Weiter gilt c c + d.h. die Folge (d ) N der Residue d = c ist ebeflls mooto flled. Weiterhi gilt c < für lle N, d.h. (c ) N weicht ur beliebig weig vo b, we groß geug ist: Sei ɛ > gegebe. Fide wir ei N N mit N > mx{ ɛ, }, d gilt mit der Beroullische Ugleichug.8: Stz.3. (Archimedisches Prizip) N, N : c = < + < N < ɛ. Seie, b beliebige reelle Zhle mit, b >. D gibt es ei N, so dss > b ist. Ageomme, es gibt, b > mit N : b, d.h. die Mege A = { N} ist (durch b) ch obe beschräkt. Offesichtlich ist A ichtleer, d A, lso existiert ch dem Vollstädigkeitsxiom. ds Supremum s = sup(a) vo A. D >, gibt es ch der Chrkterisierug des Supremums.38 ei x A, x = m für ei m N, mit x > s. Also ist s < x + = m + = (m + ) A, ws icht sei k, d s obere Schrke vo A ist. Korollr.4. Die Folge ( ) N kovergiert gege. Wir bezeiche solche Folge ls Nullfolge. Sei ɛ >. Setze = ud b = ɛ, d.h., b >. Nch dem Archimedische Prizip.3 gibt es ei N N mit N > b, d.h. N b = ɛ, d.h. für N gilt = N < ɛ. Dmit ist lim =. Stz.5. Sei ( ) N eie kovergete Folge. D gelte die folgede beide Eigeschfte:. ( ) N ist beschräkt, d.h. es gibt ei M > mit M für lle N.. Der Grezwert vo ( ) N ist eideutig bestimmt.. Sei lim =. Zu ɛ = existiert d ei N N mit < für lle N, d.h. N : = + + < +. Sei M = mx{,..., N, + }. D gilt M für lle N.. Ageomme, es gibt, b R, < b, mit lim = ud lim = b. Sei ɛ = b 4. D gibt es N N mit < ɛ für lle N ud N b N mit b < ɛ für lle N b. Setze N = mx{n, N b }, d ist b = b + b + < b + b = b, ei Widerspruch. Stz.6.. Sei ( ) N mooto wchsed & beschräkt. D kovergiert ( ) N gege sup{ N}.. Sei ( ) N mooto flled & beschräkt. D kovergiert ( ) N gege if{ N}. Mrti Gubisch 3 WS 5/6

14 . Die Grezwertsätze Folge, Reihe ud Fuktioe. Sei ( ) N mooto wchsed. Seie A = { N} ud = sup{ N}. Nch Stz.38 existiert ei N N mit N > ɛ, d.h. für lle N gilt: = N < ɛ, lso lim =.. Die Behuptug folgt mit if A = sup( A) us (). Stz.7.. Seie ( ) N, (b ) N Folge mit b für lle ud lim b =, d ist uch lim =.. Geu d kovergiert eie Folge (c ) N reeller Zhle gilt lim c = c lim c c =. 3. Zu ( ) m defiiere die Teilfolge ( ) M mit M m. D gilt: ( ) M = ( ) m. Kovergez ud Grezwert eier Folge sid lso ubhägig vo beliebige edliche Folgeglieder.. Sei ɛ >, d gibt es ei N N mit = b = b < ɛ für N.. Bezeiche (d ) N = ( c c ) N die Residuefolge zu (c ) N. Gelte lim c = c, d gibt es zu ɛ > ei N N mit d = c c < ɛ für lle N, d.h. (d ) N ist eie Nullfolge. Gelte umgekehrt lim d =, d gibt es zu ɛ > ei N N mit c c = d < ɛ für lle N, d.h. (c ) N ist koverget mit Grezwert c. 3. We ( ) M gege kovergiert, gibt es zu ɛ > ei N N, N M, mit < ɛ, flls N. Mit diesem N gilt lso für ( ) m, dss < ɛ für N, lso ist uch lim =. Beispiel.8. Die Folge (c ) N, gegebe durch c = , ht de Grezwert 4: Zuächst gilt = = >4 = = Sei 6, d ist = ( ) 6( ) = = 4, d.h =. Für 4 erhlte wir drus: 3 6 > 3 > 6( ) > 4 & = = 3 6 < 4 4 =. D ( ) 4 eie Nullfolge ist, folgt mit Stz.7, dss lim c = 4... Die Grezwertsätze Bemerkug.9. (Kovergez expliziter Folge) Sei ( ) N eie Folge. Zetrle Frge: Kovergiert ( ) N, ud flls j, gege welche Grezwert?. Wir versuche, ( ) N ls Verküpfug elemetrer bzw. bekter, kovergeter Folge drzustelle, ud utze die Grezwertsätze.: lim lim 4 = 4 lim. Wir stelle ( ) N i der Form = f(b ) dr mit eier bekte, kovergete Folge (b ) N ud eier stetige Fuktio f, d.h. mit eier Fuktio, die die Vertuschug mit dem Grezwert zulässt: lim = lim f(b ) = f(lim b ). Betrchte z.b. = si( π + ), d setze b = π + ud f = si. Mit de Grezwertsätze ist lim b =, ußerdem ist si stetig, lso gilt ( ) lim = lim si(b ) = si lim b = si() =. WS 5/6 4 Mrti Gubisch = 4.

15 Folge, Reihe ud Fuktioe. Die Grezwertsätze 3. Problemtisch: Betrchte die Folge = ( + x ) für beliebiges x R, d gilt ( ( = exp l + x ) ) ( ( = exp l + x )) ( l( + x = exp ber es gelte lim l( + x ) = l(lim + x ) = l() = ud lim =. Kovergiere Zähler ud Neer gege, d lsse sich die Grezwertsätze icht wede. Später wede wir uf solche Folge de Stz vo l Hopitl 4.45 : ) ), l( + x lim ) = lim d d l( + x ) d d = lim + ( x x ) = lim x + x = x = lim = e x. Stz.. (Grezwertsätze) Seie ( ) N ud (b ) N zwei kovergete Folge ud sei c R. D gelte: lim ( + b ) = lim + lim b, lim (c ) = c lim, lim ( b ) = lim lim b. Gelte zusätzlich b für lle N sowie lim b, d ist ( lim b ) lim = lim b. Wir bezeiche im Folgede mit de Grezwert vo ( ) N ud mit b de Grezwert vo (b ) N.. Zu ɛ > gibt es ei N N mit < ɛ für lle N sowie ei N N mit b b < ɛ für lle N. Wähle u N = mx{n, N }, d gilt ( + b ) ( + b) = ( ) + (b b) + b b < ɛ + ɛ = ɛ.. Œ sei c. Zu ɛ > wähle ei N N mit < ɛ c für lle N, d ist c c = c( ) = c < c ɛ c = ɛ. 3. D ( ) N koverget ist, ist ( ) N ch Stz.5 beschräkt, etw durch M R +. D gibt es zu ɛ > ei N N mit N : b b < ɛ M ud ei N N mit N : < ɛ b, lso b b = b b + b b = (b b) + b( ) (b b) + b( ) = b b + b < M ɛ M + b ɛ b = ɛ. 4. Wege (3) geügt es zu zeige, dss lim b b b. Sei dzu ɛ >. Setze δ = mi{, ɛ b }, d gibt es ei N N mit N : b b < δ. Nch der umgekehrte Dreiecksugleichug.9 gilt d für lle N: b b b b < b = b > b = b b = b b < b b b b b < b δ < ɛ. Mrti Gubisch 5 WS 5/6

16 . Die Grezwertsätze Folge, Reihe ud Fuktioe Bemerkug.. (Kovergez rekursiver Folge) Wir betrchte u Folge mit eier Zuordugsvorschrift = f(,..., ), d.h. jedes Folgeglied wird us seie Vorgäger berechet bei gegebeem Strtwert. Zur Bestimmug des Grezwertes gehe wir i drei Schritte vor:. Weise Kovergez ch, z.b. mittels Stz.6 beschräkt ud mooto koverget.. Nutze die Grezwertsätze., um eie Gleichug für de Grezwert zu bestimme. 3. Bereche de Grezwert durch Löse der Gleichug. Speziell für rekursive Folge der Form + = f( ) mit stetigem f ist der Grezwert gegebe durch die Fixpuktgleichug = f(). Beispiel.. (Bevölkerugsmodell) Sei x die Popultiosgröße im Jhr (ch Volkszählug). Wir betrchte folgedes zeitliches Etwicklugsgesetz (typischerweise rekursiv): x + = x + αx βx = ( + α β)x = γx mit x, α, β >. Dbei gibt αx die Azhl der Geburte im Jhr ud βx die Azhl der Todesfälle im Jhr.. Ist γ <, d.h. β > α, d ist (x ) N mooto flled: x + = γx < x ud ußerdem vo ute beschräkt durch. Also besitzt die Folge eie Grezwert x. Löse der zugehörige Fixpuktgleichug ergibt x = lim x + = lim (γx ) = γ lim x = γx = x =, d.h. die Bevölkerug stirbt us.. Ist γ =, d x = x für lle N, d.h. die Bevölkerugsgröße bleibt kostt. 3. Im Fll γ >, etw γ = + mit >, folgt mit Iduktio, dss x x ( + ) ud mit dem Archimedische Prizip.3 erhlte wir, dss es zu jedem M > ei N N gibt mit x > M, flls N, d.h. : Die Bevölkerug wächst ubeschräkt. Bechte: Aus x + = γx = γ x = = γ + x köe wir die explizite Drstellug x = γ x der Folge bleite. Defiitio.3.. ( ) N divergiert ch +, we es zu jedem M > ei N N gibt mit x > +M für lle N.. ( ) N divergiert ch, we es zu jedem M > ei N N gibt mit x < M für lle N. Wir schreibe d lim = + bzw. lim = ud ee die Folge bestimmt diverget oder uch ueigetlich koverget. Wir betrchte u ei verbessertes Modell, i dem die Sterberte bei wchseder Bevölkerug zuimmt (ltertiv köte m eie behmede Geburterte modelliere), z.b. wege Nhrugsmittelkppheit, Krkheite etc.. Wir wdel dzu de Prmeter β b i β x, d.h. ( ) x + = ( + α)x β + α x bzw. y + = β + α x + = y ( + α)( y ) mit y = β +α x. Bevor wir die Existez eies Grezwertes utersuche, ermittel wir, welche Werte für eie mögliche Grezwert i Frge komme.. Flls lim y = y, d erfüllt y die Gleichug qudrtische Gleichug y = ( + α)y( y).. Mögliche Grezwerte sid lso y = bzw. x =, i dem Fll stirbt die Bevölkerug us, oder = ( + α)( y), d.h. y = α α(+α) +α ud dmit x = (+α)β = α β, d.h. die Bevölkerugsgröße pedelt sich uf ei Gleichgewicht, uch Equilibrium get, ei. WS 5/6 6 Mrti Gubisch

17 Folge, Reihe ud Fuktioe.3 Teilfolge ud Häufugspukte 3. Ds Kovergezverhlte der Folge hägt vo de Werte α ud y b. Liegt y im Itervll [, ] ud ist + α 4 α 3, d y [, ] für lle N, d.h. die otwedige Bedigug der Beschräktheit ist erfüllt: Nch Vorussetzug gilt y [, ] ud dmit uch y + = y ( y )( + α) mx y ( y ) mx ( + α) = y [,] α [,3] 4 = = y + [, ]. α Gelte u α <, d.h. +α <, ud y α +α. D ist uch ( α y + = ( + α)y ( y ) ( + α) α ) = α + α + α + α ud wege ( + α)( y ) ( + α)( α +α ) = folgt, dss y + y, d.h. die Folge ist mooto. Zusmme ergibt sich: (y ) N ist koverget. Für dere Afgswerte y ud Prmeter α muss die Folge icht mooto oder beschräkt sei ud ist uch icht zwiged koverget. Beispiel.4. (Klssische Mechik) Die gesmte klssische Mechik führt uf rekursive Folge. Bezeiche z.b. x R 3 die Positio eies Mssepuktes zur Zeit t = t (mit kleiem t) ud zugehöriger Geschwidigkeit v R 3, d besgt ds Newtosches Gesetz: x + = x + tv & v + = v + t m F (t ; x, v ) bzw. ẋ(t) = v(t) & v(t) = F (t; x(t), v(t)). m Wir erhlte lso eie rekursive Folge (x, v ) N R Teilfolge ud Häufugspukte Defiitio.5. Eie Folge (b ) N heißt eie Teilfolge vo ( ) N, we eie Folge σ < σ < σ 3 <... türlicher Zhle existiert, so dss b = σ für lle N gilt. R = R {± } heißt ei Häufugspukt eier Folge ( ) N, we eie Teilfolge (b ) N vo ( ) N existiert mit lim b =. Wir bezeiche mit HP(( ) N ) die Mege ller Häufugspukte vo ( ) N. Beispiel.6. Wir betrchte die Folge ( ) N = (( ) + ) N. Die Folgeglieder häufe sich bei ±; die Folge ist icht koverget, ber es gibt kovergete Teilfolge (, 3, 5,...) + ud (, 4, 6,...). Isgesmt ist HP(( ) N ) = {±}. Bechte: HP((x ) N ) = [, ] ist möglich! Es gilt HP((x ) N ) = {x} lim x = x. Stz.7. Jede Folge ( ) N ht eie mootoe Teilfolge. N heißt ei domiter Term, we für lle > N gilt: N >. Wir uterscheide die beide Fälle, dss ( ) N uedlich oder ur edlich viele domite Terme ht.. Es gibt uedlich viele domite Terme. D defiiere wir rekursiv eie mooto fllede Folge domiter Terme; dies geht, d zu scho kostruierte domite Terme σ > σ >... > σ stets ei σ + > σ existiert mit σ+ domit. Also ist ( σ ) N eie mooto fllede Teilfolge vo ( ) N. Mrti Gubisch 7 WS 5/6

18 .3 Teilfolge ud Häufugspukte Folge, Reihe ud Fuktioe. Gibt es ur edlich viele domite Terme > >... > p, d defiiere wir rekursiv eie mooto wchsede Folge: Wähle σ > p ud zu scho kostruierte σ... σ mit σ <... < σ ei σ + > σ mit σ σ+ ; dies geht, d sost σ ei weiterer domiter Term wäre. Also ist ( σ ) N mooto wchsed. Stz.8. (Stz vo Bolzo-Weierstrß). Jede beschräkte Folge besitzt eie kovergete Teilfolge.. Isbesodere ist HP(( ) N ) für lle Folge ( ) N.. Sei ( ) N beschräkt, etw durch M >, d.h. N : M. Nch Stz.7 gibt es d eie mootoe Teilfolge ( σ ) N, für die offesichtlich gilt σ M. Mootoe, beschräkte Folge sid ch Stz.6 koverget.. Sei u ( ) N eie beliebige Folge. Nch Stz.7 gibt es eie mootoe Teilfolge ( σ ) N. Ist diese beschräkt, so kovergeirt sie, etw gege, ud dmit HP(( ) N ). Ist sie dgege ubeschräkt, d gilt etweder σ + (flls die Folge wächst) oder σ (flls sie fällt), d.h. HP(( ) N ) oder HP(( ) N ), i jedem Fll lso HP(( ) N ). Stz.9.. Sei lim =. D gilt lim σ = für jede Teilfolge ( σ ) N vo ( ) N.. Hbe lle kovergete Teilfolge vo ( ) N de Grezwert, so gilt: lim =.. Im Fll R gilt: Sei (b ) N = ( σ ) N eie Teilfolge vo ( ) N. D gibt es zu ɛ > ei N N mit < ɛ, flls N. Wege σ gilt d uch σ > N, flls > N, lso b = σ < ɛ für N, lso lim b =. Im Fll = + gilt: Es gibt zu jedem M > ei N N mit > M, flls > N, lso uch b = σ > M, d σ > N, d.h. lim b =. Der Fll = ist log zu behdel.. Ageomme, wäre flsch, d.h. es gibt ei ɛ >, so dss für lle N N ei σ > N existiert mit σ ɛ. D gibt es speziell zu N = ei σ N mit σ ɛ. Seie σ <... < σ mit k {,..., } : σk ɛ scho kostruiert. D gibt es zu N = σ ei σ + > N mit σ+ ɛ, d.h. die Teilfolge ( σ ) N ht ch Stz.7 eie mootoe Teilfolge (b ) N. D R, k ( σ ) N icht ubeschräkt sei, lso Œ (b ) N bereits koverget. Gleichzeitig gilt ber b ɛ für lle N, d.h. b b. Wir hbe lso eie kovergemte Teilfolge vo ( ) N gefude, die icht gege kovergiert, Widerspruch. Bemerkug.. (Abzählbrkeit vo Q) Die Mege der rtiole Zhle Q ist bzählbr, d.h. es gibt eie Folge (r ) N rtioler Zhle mit r Q : N N : r = r N. Betrchte dzu ds Schem WS 5/6 8 Mrti Gubisch

19 Folge, Reihe ud Fuktioe.3 Teilfolge ud Häufugspukte Die Art der Abzählug impliziert:. () N ud ( ) N sid Teilfolge vo (r ) N, d.h. {± } HP(( ) N ).. Für u u v Q mit u Z ud v N gilt v = r σ mit σ streg mooto wchsed; d lim r σ = u v, folgt u v HP((r ) N ), lso Q HP((r ) N ). Stz.. (Dichtheit vo Q i R) Q liegt dicht i R, d.h. zu jedem R ud jedem ɛ > gibt es ei q Q mit q < ɛ. Seie ɛ > ud b = + ɛ. Nch dem Prizip vo Archimedes.3 gibt es d ei N mit ɛ >. Seie A = ud B = b, d B A = (b ) = ɛ >, d.h. zwische A ud B liegt ei m Z, lso = A < m B = b, d.h. < m b = + ɛ. Um die Existez vo m Z chzuweise, zeigt m: A < sup{m Z m B} B. Bemerkug.. Es gilt für die i Bemerkug. defiierte Folge (r ) N i der Tt (R\Q) HP((r ) N ): Sei dzu R\Q, gibt es zu ɛ = eie Idex σ N mit r σ <. Seie lso σ < σ < σ 3 <... < σ kostruiert mit r σk < k für k =,...,. Zu ɛ = mi{ r σ,..., r σ, /( + )} gibt es ch Stz. ei σ + N mit r σ+ < ɛ < /(+). Wege r m ɛ für lle m σ gilt σ + > σ ud dmit lim r σ =, lso R\Q HP((r ) N ), isgesmt lso HP((r ) N ) = R. Bemerkug.3. Wir bezeiche R N = { N} = {x R N, N : x = } ls de N-Rest der Folge ( ) N. D gelte:. Der N-Rest ethält für jedes N N die komplette Iformtio über lle Häufugspukte der Folge.. Der N-Rest ist beschräkt durch s N = sup R N ud i N = if R N mit s N, i N R. 3. i N N s N ud s N s N+ sowie i N i N+, d.h. i i N N s N s N+ s. 4. Ist ( ) N beschräkt, so sid (s N ) N N ud (i N ) N N beschräkt ud mooto, lso koverget. 5. Ist ( ) N ubeschräkt, d ist uch (R N ) N N ubeschräkt. Defiitio.4. Sei A R ichtleer. Wir setze sup A =, flls A ch obe ubeschräkt ist, ud if A =, flls A ch ute ubeschräkt ist. Sei u ( ) N eie Folge mit N-Rest R N für N N. D ee wir defiiere wir de Limes Iferior ud de Limes Superior der Folge durch lim sup = lim sup R N, N lim if = lim N if R N. Bemerkug.5. Sei ( ) N eie Folge reeller Zhle. D gelte:. lim sup HP(( ) N ), lim if HP(( ) N ) ud HP(( ) N ) [lim if, lim sup ].. Es gilt lim = geu d, we lim sup = = lim if, de we lim = R ist, d folgt HP(( ) N ) = {} ch Stz.9, lso lim sup = lim if =. Gilt umgekehrt = lim sup = lim if, d ist HP(( ) N ) [, ] = {}, lso lim =. Mrti Gubisch 9 WS 5/6

20 .4 Cuchyfolge Folge, Reihe ud Fuktioe.4. Cuchyfolge Defiitio.6. Eie Folge ( ) N heißt eie Cuchyfolge, flls gilt: ɛ > : N N :, m N,, m N : m < ɛ. Bemerkug.7.. Es reicht icht, dss die Differez + zweier ufeider folgeder Glieder beliebig klei wird.. Ds Vollstädigkeitsxiom. ist äquivlet dzu, dss i R jede Cuchyfolge kovergiert. 3. Mittels Cuchyfolge lsse sich lso Kovergezussge treffe, ohe de Grezwert zu kee. Lemm.8. Cuchyfolge sid beschräkt. Sei ( ) N eie Cuchyfolge. Zu ɛ = gibt es d ei N N mit m < für lle, m N. Setze s = mx{,,..., N, N + }, d gilt für N, dss N + N < s. Lemm.9. Kovergete Folge sid Cuchyfolge. Sei lim =. D gibt es ei N N mit < ɛ für N. Seie u, m > N, d ist m = + m + m < ɛ + ɛ = ɛ. Stz.3. I R ist jede Cuchyfolge koverget. Sei ( ) N eie Cuchyfolge. Wir zeige: HP(( ) N ) = {}. Nch Lemm.8 ist ( ) N beschräkt, d.h. HP(( ) N ) [lim if, lim sup ] R. Es geügt lso chzuweise, dss lim if = lim sup. Sei ɛ >. D ( ) N eie Cuchyfolge ist, gibt es ei N N mit, m N : m < ɛ. Isbesodere ist m < ɛ, lso < m + ɛ. Dmit gilt für lle, m N, dss sup R m + ɛ, d.h. sup R if R m + ɛ, lso ist speziell sup R if R + ɛ für lle N erfüllt. Wir erhlte drus sup R if R = sup R if R < ɛ, lso lim(sup R if R ) =, d.h. lim sup R = lim if R, lso lim sup = lim if..5. Reihe Defiitio.3. Sei ( ) N eie reelle Zhlefolge. Wir defiiere dzu s = k bzw.s = & s + = s + +. k= (s ) N heißt die zu ( ) N gehörige Reihe; die Folgeglieder s werde ls Prtilsumme bezeichet. WS 5/6 Mrti Gubisch

21 Folge, Reihe ud Fuktioe.5 Reihe Bemerkug.3. Sowohl die Reihe selbst ls uch ihr Grezwert (sofer existet) mit wird mit bezeichet. = Beispiel.33. k= k heißt die hrmoische Reihe, q k für ei q R heißt geometrische Reihe. k= Stz.34. (Cuchykriterium für Reihe) Sei ( ) N eie reelle Zhlefolge. D gilt: k kovergiert ɛ > : N N : m, N : k= k < ɛ. k=m Zetrle Idee: Für beliebige m, N mit m ist s = k = k= m k= k + k = s s m = k=m k.. Sei zuächst (s ) N koverget. D ist (s ) N eie Cuchyfolge, d.h. zu ɛ > gibt es N N mit s s m < ɛ, flls, m > N. Setze M = N + ud wähle α, β M, d.h. α, β N. D gilt: β k = < ɛ für α > β k=α ud k=m β k = s β s α < ɛ für α β. β Also: existiert zu jedem ɛ > ei M N, so dss für lle α, β M gilt k < ɛ. k=α. Wähle umgekehrt zu ɛ > ei N N mit m, N : k < ɛ. Seie m, N, d s s m = k=m+ k=α k=m k < ɛ = (s ) N ist Cuchyfolge = k kovergiert. k= Stz.35. Ist (s ) N koverget, d ist ( ) N otwedigerweise eie Nullfolge. Sei ɛ >. D gibt es ei N N, so dss für lle, m N gilt: = k=m k=m k < ɛ = lim =. k < ɛ. Speziell mit = m N: Stz.36. Sei bsolut koverget, d.h. = kovergiert. D ist koverget. = = Mrti Gubisch WS 5/6

22 .5 Reihe Folge, Reihe ud Fuktioe Zu ɛ >. wähle mit dem Cuchykriterium.34 ei N N, sodss für m, N gilt k m + m+ + + m + m+ + + = k < ɛ k=m k=m k < ɛ. D ch Dreiecksugleichug, wobei m N. Wieder mit Cuchykriterium folgt: kovergiert. = Stz.37. (Mjortekriterium für Reihe) Sei c eie kovergete Mjorte für, d.h. c für lle. D kovergiert. = = k=m = Sei ɛ >. D gibt es ei N N, so dss für lle m, N gilt: k k c k < ɛ = kovergiert bsolut. k=m k=m k=m k= Beispiel.38. (Drstellugsformel für geometrische Reihe) Sei q R. D gilt für die Prtilsumme der geometrische Reihe: ( q) q k = + q + q + + q q( + q + q q ) = q q + ; k= m bezeichet eie solche Term ls Teleskopsumme. Wir erhlte: k= q k = q+ q für q ud q k = + für q =. Speziell ist q k geu d koverget, we q <, mit Grezwert k= Beispiel.39. Die Reihe = ( ) + k= kovergiert ch dem Mjortekriterium, de = + ud k= k = k= q k = q. =. Stz.4. (Miortekriterium für Reihe) Sei c eie gege divergete Miorte für, d.h. c für lle. D =. = = = Bezeiche A, C die zu k, c k gehörige, -te Prtilsumme. Sei M > beliebig. Wir zeige, dss es ei N N gibt mit A M für lle N. Nch Vorussetzug ist (C ) N ubeschräkt, d.h. es gibt ei N N mit C M für lle N. Dmit gilt für lle N, dss A C M. Also ist (A ) N ubeschräkt, d.h. lim A = =. WS 5/6 Mrti Gubisch

23 Folge, Reihe ud Fuktioe.5 Reihe Beispiel.4.. Eie wichtige divergete Miorte ist = =. Es gilt = }{{ 4 } }{{ 8 } }{{ 6 } Wir zeige per Iduktio, dss für die Prtilsumme A k gilt: A +. Für = ist A = +. Gelte die Behuptug lso für. D ist A + = + k= k = k= + k + k + + k= + + = + + D (A ) N mooto wächst ud (A ) N ch divergiert, folgt lim A =. Wege für lle N gilt = =. 3. Allgemei folgt us dem Miortekriterium: = =. =. p = für lle p. Stz.4. (Leibitzsches Kovergezkriterium) Sei ( ) N eie mooto fllede Folge mit ud lim =. D kovergiert ( ). = Wir beutze ds Cuchysche Kovergezkriterium.34. Es gilt mit Idexverschiebug: m m ( ) k k = ( ) j+m j+m = ( ) m ( ) j m+j. k=m j= j= } {{ } =A A besteht us m + Summde; wir zeige, dss A für hireiched große m, beliebig klei wird.. Ist m ugerde, d.h. die Azhl der Summde vo A ist gerde, d gilt A m : A = m m+ + m+ m }{{}}{{}}{{} ud A = m m+ + m+ m+3 + m }{{}}{{}}{{}}{{} m.. Ist m gerde, d.h. die Azhl der Summde vo A ist ugerde, d gilt ebeflls A m : A = m m+ + m+ m }{{}}{{}}{{}}{{} A = m m+ + m+ m+3 + m m. }{{}}{{}}{{} ud 3. Sei u ɛ >. D gibt es ei N N mit k < ɛ, flls k N. Also ( ) k k = A m < ɛ für m N ud k=m Also ist ds Cuchysche Kovergezkriterium erfüllt, d.h. ( ) k k = < ɛ für m >. k=m ( ) kovergiert. = Mrti Gubisch 3 WS 5/6

24 .5 Reihe Folge, Reihe ud Fuktioe Bemerkug.43. kovergiert (Leibitzkriterium), ist ber icht bsolut koverget: = ( ) Beispiel.44. Nch Leibitz.4 kovergiert D ( k= = = ( ) = =. = ( ) p für lle p >, sogr bsolut für p > : Sei q = p, d ( ) p = + p + 3 p + 4 p + = }{{} 5 p p + + }{{} p + 4 p + = q. p 4 4 p ( )k k ) p N mooto ud ( k= ( )k k ) p N koverget, ist ( ( ) ) p N bsolut koverget. k= Stz.45. (Wurzelkriterium) Seie eie Reihe ud α = lim sup. D gelte: = α < = kovergiert bsolut, α > = = divergiert. =. Setze R = { m /m m }, d ist α = lim sup R. Wege α < ist ɛ = α >, es gibt lso ei N N mit α ɛ < sup R < α + ɛ, flls N. Isbesodere gilt für q = α + ɛ <, dss (sup R ) (α + ɛ) = q für N. Dmit ist q eie kovergete Mjorte der Reihe ; ch dem Mjortekriterium.37 kovergiert somit bsolut.. Gelte α >. D α HP(( / ) N ), gibt es eie Teilfolge ( σ /σ ) N mit lim σ /σ = α >. Also gibt es ei N N mit σ /σ >, für lle N ud dmit uch σ > für lle N, d.h. sup HP(( ) N ) >. D k ( ) N ber keie Nullfolge sei; mit Stz.35 folgt die Divergez vo. Bemerkug.46. Ist α =, d k die Reihe kovergiere oder divergiere:. Für = ist / = ud = divergiert.. Für = gilt ebeflls / = ( ), ber = kovergiert (bsolut) gege. Stz.47. (Quotietekriterium) Seie = eie Reihe mit für lle ud α = lim if + β < = kovergiert; α > = =, β = lim sup +. D gelte: divergiert. = Wir zeige: lim if + lim if lim sup lim sup d folgt die Behuptug us dem Wurzelkriterium.45. Sei dzu Œ > für lle N. D gilt: ɛ > : N N : > N : + > lim if ɛ bzw. lim if + < ɛ. WS 5/6 4 Mrti Gubisch,

25 Folge, Reihe ud Fuktioe.6 Fuktioe Sei lso ɛ > beliebig. Setze q = lim if +, d gilt: N+ N = = (q ɛ) N N < = (q ɛ) (q ɛ) N N < = lim if ((q ɛ) (q ɛ) N N ) lim if = q ɛ lim if + = lim if lim if + ɛ. D ɛ > beliebig, folgt lim if + lim if. Die Abschätzug für lim sup folgt log. Bemerkug.48. Gilt α β, d gilt wie für ds Wurzelkriterium: Beispiel.49. (Expoetilreihe) Für x R beliebig kovergiert die Reihe exp(x) = x + (+)! x! = k kovergiere oder divergiere. = = x +! x ( + )! = x + x! : Offebr ist exp() =, für x gilt, die Kovergez der Reihe ergibt sich somit mit dem Quotietekriterium.47. Bemerkug.5.. Seie, b kovergete Reihe ud α, β R. D kovergiert uch (α + βb ) ud es gilt: (α + βb ) = α + β b.. Es gilt die Dreiecksugleichug:. 3. Gilt b für lle N, d uch b. 4. Seie eie bsolut kovergete Reihe ud τ : N N eie bijektive Abbildug. D kovergiert uch τ() mit τ() =..6. Fuktioe Defiitio.5. Eie Fuktio f ist ei Tripel f = (X, Y, x y), bestehed us eier Mege X, dem Defiitiosbereich, eier Mege Y, dem Bildbereich ud eier Zuordugsvorschrift x f(x), die jedem Elemet us X geu ei Elemet us Y zuordet. Wir schreibe f : X Y, x f(x). f(x) = {y Y x X : f(x) = y} heißt ds Bild vo X uter f; es ist stets f(x) Y. Die Mege Γ(f) = {(x, y X Y ) f(x) = y} eier Fuktio f heißt der Fuktiosgrph zu f. Sei X X, d heißt f X : X Y, x f(x) die Eischräkug vo f uf X. Sei X X, d heißt f : X Y mit f X = f eie Fortsetzug vo f uf X. Eie Fuktio f heißt ijektiv, flls für lle x, x mit f(x ) = f(x ) gilt, dss x = x. f heißt surjektiv, flls zu jedem y Y ei x X existiert mit f(x) = y, d.h. fll f(x) = Y. f heißt bijektiv, flls f sowohl ijektiv ls uch surjektiv ist. Beispiel.5. (Elemetre Fuktioe). Sei c R. Die kostte Fuktio f : R R, x c ist weder surjektiv och ijektiv.. Die Idetität id : R R mit x x ist bijektiv. 3. Die Betrgsfuktio bs : R R mit x x ist weder ijektiv och surjektiv. 4. Die Wurzelfuktio sqrt : [, ) R mit x x ist ijektiv, ber icht surjektiv. Mrti Gubisch 5 WS 5/6

26 3. Stetigkeit eier Fuktio 3 Stetigkeit 5. Sei A R. Die Idiktorfuktio χ A : R R, χ(x) = für x A ud χ(x) = sost ist weder surjektiv och ijektiv. 6. Die Quotietefuktio quot : R\{} R, x x Bemerkug.53. ist ijektiv, ber icht surjektiv. Die Fuktio f : R\{} R\{} mit f(x) = x ht de gleiche Defiitiosbereich ud die gleiche Zuordugsvorschrift wie quot. Die Fuktioe sid ber icht idetisch, d sich die Bildbereiche uterscheide. I der Tt ist f im Gegestz zu quot uch surjektiv. Altertiv zur Eischräkug des Bildbereichs lässt sich quot uch zu eier bijektive Abbildug fortsetze durch g : R R mit g(x) = x für x R {} ud g() = : I der Tt gilt g R\{} = quot. Beispiel.54. (Kostruktio reeller Fuktioe) Seie f, g : D R relle Fuktioe ud λ R. Wir defiiere eue Fuktioe f + g, λf, fg : D R durch (f + g)(x) = f(x) + g(x), (λf)(x) = λf(x) ud (fg)(x) = f(x)g(x). Sei weiter D D die Mege {x D g(x) }. D setze wir f g : D R mit ( f f(x) g )(x) = g(x). Speziell lsse sich so Moome m(x) = x = x x ( N) sowie Polyomfuktioe p : R R mit p(x) = α + α x + + α x kostruiere. Zusmme mit der Divisio ergebe sich die rtiole Fuktioe r : D R mit q(x) = p(x) q(x) defiiere mit Polyome p, q ud D = {x R q(x) }. Defiitio.55. Zu Fuktioe f : X Y ud g : X Y mit f(x ) X defiiere wir die Verkettug oder Kompositio g f durch (g f)(x) = g(f(x)). Sei f : X Y eie bijektive Abbildug. D heißt f : Y X, y x mit f(x) = y die Umkehrbbildug. Bemerkug.56.. Die Verkettug ist ssozitiv, d.h. be geeigete Defiitios- ud Bildbereiche gilt für Fuktioe f, g, h, dss f (g h) = (f h) h.. Für die Qudrtfuktio qud : R R mit qud(x) = x ud die Wurzelfuktio sqrt : R + R gilt bs = sqrt qud, de x = x für lle x R. Umgekehrt ist x = x für lle x. 3. Wählt m R + ls Defiitios- ud Bildbereich der Fuktioe qud, sqrt, d sid die beide Fuktioe bijektiv ud die eie ist jeweils die Umkehrfuktio der dere; geerell gilt (f ) = f. Speziell ist mit f stets uch f bijektiv. 4. Ist f : X Y bijektiv, d ist f f : Y Y die Idetität uf Y ud f f ist die uf X. 3. Stetigkeit 3.. Stetigkeit eier Fuktio Defiitio 3.. Seie D R, R {± } ud es existiere eie Folge (y ) N mit y D für lle N ud lim y =. Wir schreibe lim f(x) = c, x flls für jede Folge (x ) N mit x D für lle ud lim x = gilt: lim f(x ) = c. Wir ee c d de Grezwert der Fuktio f bei, flls c R. Ist higege c = ±, so heißt c der ueigetliche Grezwert vo f i. Weitere Bezeichuge: liksseitiger Grezwert: rechtsseitiger Grezwert: lim f(x) = lim f D (,) (x); x x lim f(x) = lim f D (, ) (x). x x WS 5/6 6 Mrti Gubisch

27 3 Stetigkeit 3. Stetigkeit eier Fuktio Beispiel 3.. Betrchte die Hevysidefuktio H = χ R+ : R R mit H(x) = für x ud H(x) = für x >. D gilt H R (,) = H (,) =, d.h. we (x ) N (, ) gege kovergiert, d ist H (,) (x ) = für lle, lso lim H (,) (x ) =. Etspreched gilt wege H R (, ) = H (, ) =, dss lim H (, ) = für jede Folge (x ) N (, ), lso lim H(x) = lim H (,) =, x x lim H(x) = lim H (, ) =. x x Dmit ht H keie Grezwert bei = ud ist dieser Stelle folglich icht stetig. Wir betrchte dzu die Folge (x ) N, gegebe durch x = ( ). Klr: x D H = R ud lim x = =, ber es ist HP(H(x )) N ) = {, }; isbesodere ist (H(x )) N icht koverget. Defiitio 3.3. Seie f : D R eie reelle Fuktio ud R. D heißt f stetig i, flls lim x f(x) = f(). f heißt stetig oder stetig i D, flls f i jedem Pukt D stetig ist. Bemerkug 3.4. Ist lso f : D R stetig ud kovergiert (x ) N D i D, so gilt: lim f(x ) = f(lim x ). Stz 3.5. Seie f, g : D R stetig i D ud sei λ R. Weiter sei D = {x D g(x) }. D sid uch f + g, λf ud f g stetig i. Im Fll g() ist weiter f g : D R stetig i. Mit de Grezwertsätze.: Sei (x ) N eie Folge i D mit lim x =. D f, g stetig sid, folge lim g(x ) = g(lim x ) = g() ud lim f(x ) = f(lim x ) = f(). Dmit gelte: lim((f + g)(x )) = lim(f(x ) + g(x )) = lim f(x ) + lim g(x ) = f() + g() = f(lim x ) + g(lim x ) = (f + g)(lim x ); lim((λf)(x )) = lim(λf(x )) = lim λ lim f(x ) = λf() = λf(lim x ) = f(λ lim x ); lim((f g)(x )) = lim(f(x ) g(x )) = lim f(x ) lim g(x ) = f() g() = f(lim x ) g(lim x ) = (f g)(lim x ). Ist (x ) N weiter eie Folge i D mit lim x = D, so gilt: (( ) ) ( ) f f(x ) lim (x ) = lim g g(x ) = lim f(x ) lim g(x ) = f() g() = f(lim x ) g(lim x ) = ( ) f (lim x ). g Stz Die kostte Fuktio ud die Idetitätsfuktio sid stetig.. Alle rtiole Fuktioe sid uf ihrem Defiitiosbereich stetig.. Seie, c R, f : R R mit f(x) = c ud g : R R mit g(x) = x. Weiter sei ( ) N eie Folge i R mit lim =. D gelte: f( ) = c c = f(), g( ) = = g(), d.h. lim f( ) = f(lim ) ud lim g( ) = g(lim ). Also sid f ud g stetig.. Als Kombitio us Quotiet, Summe ud Produkt der kostte Fuktio ud der Idetität sid dmit uch lle rtiole Fuktioe stetig. Mrti Gubisch 7 WS 5/6

28 3. Der Zwischewertstz 3 Stetigkeit Stz 3.7. Seie f : D R ud g : E R reelle Fuktioe mit f(d) E. Sei f stetig i D ud sei g stetig i f() E. D ist g f stetig i. Sei (x ) N D mit lim x =. D f stetig i ist, gilt lim f(x ) = f(lim x ) = f(), ud d g stetig i f() ist ud (f(x )) N eie Folge i E mit Grezwert f(), gilt lim g(f(x )) = g(lim f(x )) = g(f()). Also folgt isgesmt (g f)(x ) = g(f(x )) g(f()) = (g f)(). Beispiel 3.8. Sei f : D R stetig. D ist uch f = bs f stetig. Wir müsse dzu zeige, dss bs stetig ist. D x x ud x x uf gz R stetig sid ud gilt bs(x) = x uf (, ) sowie bs(x) = x uf (, ), muss ur überprüft werde, dss jede Nullfolge (x ) N lim x = lim x = erfüllt. Sei dzu ɛ > vorgegebe, d gibt es eie Idex N N mit x = x < ɛ für lle N, d.h. i der Tt ( x ) N. 3.. Der Zwischewertstz Stz 3.9. (Zwischewertstz) Seie [, b] R, f : [, b] R stetig ud f() < < f(b). D existiert ei ξ [, b] mit f(ξ) =. Rekursiv durch Itervllhlbierug: Sei [, b ] = [, b]. Weiter seie [, b ] [, b ] [, b ] scho kostruiert mit b k k = b ud f( k k ) f(b k ) für k =,...,. Weiter sei u m = +b. D köe zwei Fälle uftrete: f(m), d setze + = ud b + = m. Ist higege f(m) <, defiiere + = m ud b + = b. I jedem Fll gelte: b + + = b = b + ud f( + ) f(b + ). ( ) N ist mooto ud beschräkt, lso gibt es ei ξ [, b] mit lim = ξ ch Stz.6. Wege lim(b ) = folgt uch lim b = ξ ud d f( ) f(b ) für lle, sid f(ξ) = lim f( ) ud f(ξ) = lim f(b ), lso f(ξ) =. Korollr 3.. Jedes Polyom vo ugerdem Grd ht midestes eie reelle Nullstelle. Seie N ugerde ud,..., R mit. D lässt sich die Polyomfuktio f : R R mit f(x) = + x + + x i x drstelle ls ( f(x) = x k x k + x k + + ) k x + k = lim f(x) = + & lim x + f(x) =. x Isbesodere gibt es, b R mit f() < < f(b), lso uch ei ξ R mit = f(ξ). Korollr 3.. Eie stetige Fuktio f : [, b] R immt lle Werte zwische f() ud f(b). WS 5/6 8 Mrti Gubisch

29 3 Stetigkeit 3.3 Verschiedee Arte vo Stetigkeit Sei ζ ei Wert zwische f() ud f(b). Setze g(x) = f(x) ζ für f() ζ f(b) bzw. g(x) = ζ f(x) für f(b) ζ f(). D erfüllt g : [, b] R die Vorussetzuge des Zwischewertstzes 3.9, d.h. es gibt ei ξ [, b] mit g(ξ) =, d.h. f(ξ) = ζ. Defiitio 3.. Eie Fuktio f : D R heißt beschräkt bzw. ch obe beschräkt bzw. ch ute beschräkt, we f(d) beschräkt bzw. ch obe beschräkt bzw. ch ute beschräkt ist. Sei A R ichtleer. M sgt, A ht ei Mximum, flls sup A A, ud ei Miimum, flls if A A. Existiere Mximum bzw. Miimum, schreibt m mx A bzw. mi A sttt sup A bzw. if A. M sgt, f : D R ht ei Mximum bzw. ht ei Miimum, flls f(d) ei Mximum bzw. Miimum ht. Bemerkug 3.3. Ist f : D R beschräkt, so existiere sup f(d) ud if f(d) R ch dem Vollstädigkeitsxiom., ber icht otwedigerweise mi f(d) ud mx f(d). Beispiel Seie D = (, ) ud f : D R die Idetität f(x) = x uf D. D ist f(d) = (, ) beschräkt, ber if(, ) = / (, ) ud sup(, ) = / (, ), lso ht f kei Miimum ud kei Mximum.. Seie D = [, ] ud f : D R die Abbildug f(x) = x + H( x) H(x). D gelte f(x) = x für x (, ) sowie f() = = f(), d.h. f ht ebeflls weder Mximum och Miimum. Stz 3.5. (Stz vom Mximum) Seie, b R ud f : [, b] R stetig. D ist f beschräkt ud besitzt Mximum ud Miium. Seie D = [, b] ud (x ) N eie Folge i D mit lim f(x ) = sup f(d). D x D, gilt x b für lle. Mit dem Stz vo Bolzo-Weierstrß.8 gibt es eie Teilfolge (x σ ) N mit x σ x [, b]. Aus der Stetigkeit vo f folgt: lim f(x σ ) = f(lim x σ ) = f(x). D (f(x )) N gege sup f(d) kovergiert, gilt: sup f(d) = f(x) R. Also ist f ch obe beschräkt ud sup f(d) = f(x) f(d), d x D, d.h. f ht ei Mximum. Für ds Miimum rgumetiere wir log. Bemerkug 3.6. Sei f : [, b] R stetig ud gelte f(x) > α für lle x [, b]. D bleibt f(x) deutlich vo α etfert, d.h. es gibt ei ɛ > mit f(x) > α + ɛ für lle x [, b], de mi f([, b]) = f(x ) für ei x [, b], isbesodere f(x ) > α. Setze u ɛ = (f(x ) α) Verschiedee Arte vo Stetigkeit Defiitio 3.7. Eie reelle Fuktio f : D R heißt (globl) Lipschitz-stetig, we es ei L > gibt, so dss x, y D : f(x) f(y) L x y. f heißt lokl Lipschitz-stetig, flls es zu jedem ξ D ei η > gibt, so dss f eigeschräkt uf D (ξ η, ξ + η) globl Lipschitz-stetig ist. Bemerkug 3.8. Seie f : D R Lipschitz-stetig ud x, y D mit x y. D gilt: f(x) f(y) L x y, d.h. f(x) f(y) x y L. Die Sektesteiguge eier Lipschitz-stetige Fuktio sid lso beschräkt. Mrti Gubisch 9 WS 5/6