Physik I Übung 2 - Lösungshinweise

Transkript

1 Physik I Übung - Lösungshinweise Stefan Reutter SoSe 01 Moritz Kütt Stand: Franz Fujara Aufgabe 1 Dopplergabel Ein neugieriger Physikstudent lässt eine angeshlagene Stimmgabel, die den Kammerton a absondert (f 0 = 440 Hz), in einen Brunnen fallen, um dessen Tiefe zu bestimmen. Leider hat er keine Uhr, sondern nur ein Frequenzmessgerät. Kann man die Tiefe auh damit bestimmen? Wenn ja: wie tief ist der Brunnen, wenn der letzte Ton, den der Student vor dem Aufshlag gemessen hat, eine Frequenz von f 1 = 400 Hz hatte? Die Formel für den Dopplereffekt lautet bei bewegtem Sender (Bewegung entfernt sih vom Empfänger): Die Stimmgabel fällt in freiem Fall: 1 f 1 = f v S f0 v S = 1 f 1 v S = v (T) = gt = 1 = 34 m/s 10 x(t) = 1 gt = v S g = f0 f 1 1 g 60 m Aufgabe Ultrashallgeshwindigkeitsmessgerät Ein Polizist misst die Geshwindigkeit der auf ihn zukommenden Fahrzeuge mit einem Ultrashallmessgerät. Das Messgerät sendet eine Shallwelle der Frequenz 3 MHz aus und misst die Shwebungsfrequenz der Überlagerung der Ausgangswelle mit der von den Autos reflektierten Welle. Wie shnell ist ein Fahrzeug, bei dem eine Shwebungsfrequenz von 300 khz gemessen wird? 1

2 Hier muss man die Formel für den Dopplereffekt zweimal anwenden: einmal für bewegten Beobahter (Auto empfängt Shall) und noh einmal für bewegten Sender (Auto sendet ihn wieder aus). v sei die Geshwindigkeit des Autos f 1 = f v f = f v = f v 1 v Es kommt also effektiv das gleihe raus, wie wenn sih im Fall ohne Reflexion Sender und Beobahter mit gleiher Geshwindigkeit aufeinander zu bewegen. Dabei ist es egal, ob sih der Reflektor oder der Sender bewegt, wenn man also auf eine Mauer zufährt, hat man den gleihen Effekt. Das kann man sih (besonders im zweiten Fall) durh Analogie zum optishen Spiegel gut vorstellen, bei dem es ja auh für den Polizist so aussähe, als würde sein Spiegelbild sih mit Geshwindigkeit v von hinter dem Spiegel auf ihn zubewegen, während er mit v auf sein Spiegelbild zurast. Nun muss man noh die Shwebung einsetzen. Die Shwebungsfrequenz ist f B = 1 f f 0 = f v 1 v 1 = f 1 + v v 1 v v = = f 0 v v f B f B + f 0 31 m/s = 110 km/h Da man die Frequenz der Einhüllenden eigentlih niht messen kann, sondern nur die Hälfte davon, findet man auh manhmal die Definition f B = f f 0. Damit ist die Geshwindigkeit dann etwa doppelt so groß. Beide Lösungen sind bei entsprehender Begründung ok. Aufgabe 3 Huygensshe Prinzip a) Erkläre das Huygensshe Prinzip. b) Zeihne auf, was passiert, wenn eine Wellenfront auf einen Spalt trifft, der i) klein ist im Vergleih zur Wellenlänge und ii) groß ist im Vergleih zur Wellenlänge (siehe Abbildung).??

3 Mit dem Huygenshen Prinzip kann man relativ einfah viele bei der Ausbreitung von Wellen auftretenden Phänomene erklären, u.a. Reflexion, Beugung, Brehung et. Das Prinzip besagt, das von jedem Punkt einer Wellenfront Kugelwellen ausgehen. Bei breiten Wellenfronten überlagern sih diese Kugelwellen dann wieder zu einer neuen Wellenfront. Bei den beiden Beispielen sieht man Auswirkungen dieses Prinzips. Beim dünnen Spalt gibt es nur sehr wenige Punkte, von denen Kugelwellen ausgehen. Es entsteht daher nah dem Spalt keine Wellenfront mehr, die Welle breitet sih dort kugelförmig (bzw. kreisförmig in Dimensionen) aus. Beim großen Spalt sieht man die Überlagerung von Kugelwellen im mittleren Bereih. In den Randbereihen gibt es aber ebenfalls kugelähnlihe Ausbreitung. In beiden Fällen erreihen die Wellen Bereihe hinter dem Spalt, die im Shatten liegen würden wenn man z.b. nur geradlinige Wellenausbreitung annehmen würde. Aufgabe 4 Intensitäten und Wellen Die gemittelte Intensität einer Welle hängt vom Quadrat der Amplitude der Welle ab. Beshreibe und erkläre kurz, wie es zu dieser Abhängigkeit kommt. (Durhaus auh mit Formeln!) Die Intensität einer Welle ist die Energieflussdihte der Welle, bzw. die Energie die in einer gewissen Zeit durh eine bestimmte, senkreht zur Ausbreitungsrihtung der Welle stehende Flähe transportiert wird. Der Ort eines Masseteilhens in einer ebenen Welle kann mit folgender Gleihung beshrieben werden: ξ = Aos(ωt kz) Dabei ist A die Amplitude der Welle. Die Energie eines solhen Masseteilhens setzt sih nun aus kinetisher und potentieller Energie zusammen. Die kinetishe Energie ist proportional zu dξ, dt also zum Quadrat der Geshwindigkeit, damit auh zum Quadrat der Amplitude. Die potentielle Energie des Masseteilhens wird bestimmt über das Integral der Rükstellkraft entlang der Shwingung. Die Rükstellkraft hängt linear von ξ ab, durh das Integral entsteht auh hier quadratishe Abhängigkeit von ξ und damit auh der Amplitude. 3

4 Diese Energien sind zeit- und ortsspezifish. Aber auh bei Bildung des zeitlihen Mittels bleibt die quadratishe Abhängigkeit erhalten. Gleihes gilt für die Intensität: In der Form Energie pro Zeit und Flähe stekt ja wieder die quadratishe Abhängigkeit, die durh die Division auh niht verändert wird. Aufgabe 5 Kleine und große Shiffe Ein kleines Shiff fährt auf einem großen See geradeaus. Es ist niht besonders shnell, so dass häufig andere Shiffe an ihm vorbeifahren. Der Kapitän stellt folgendes fest: Wenn zwei (sehr ähnlihe) große Shiffe überholen, gerät sein Shiff weniger stark ins Shaukeln als wenn nur ein (ebenfalls ähnlihes) großes Shiff vorbeifährt. Erkläre dieses Phänomen. Hinweis: Ähnlihe Shiffe erzeugen Wellen praktish gleiher Amplitude und Frequenz. Vorrausgesetzt, dass ähnlihe Shiffe auh ähnlihe Wellen erzeugen gibt es hier eine einfahe Erklärung: Die Bugwellen der beiden großen Shiffe interferieren auf dem Fahrweg des kleineren Shiffes. Je nah Wellenlänge und Ganguntershied gibt es dabei konstruktive oder desktruktive Interferenz. Das kleine Shiff shaukelt weniger, wenn sih die beiden Wellen z.b. komplett oder auh nur teilweise auslöshen. Vollständige Auslöshung gibt es bei einem Ganguntershied von gerade λ oder Vielfahen davon. Bei nur einem vorbeifahrenden Shiff kann eine solhe Interferenz niht auftreten (es sei denn natürlih die Wellen werden irgendwo reflektiert - unwahrsheinlih auf einem großen See). Aufgabe 6 Brükendehnung Eine dreiekige Hängebrüke (siehe Skizze) dehnt sih im Sommer aus. Ihr Pfeiler, die Seile und die Fahrbahn haben den gleihen linearen Wärmeausdehnungskoeffizient α. Wie weit hebt bzw. senkt sih die Brüke bei einer Temperaturdifferenz T? Denk dir sinnvolle Zahlenwerte aus, um mit deinem Ergebnis eine Abshätzung vorzunehmen. x h Hinweis: 1 + x x für kleine x Ausdehnung der einzelnen Brükenteile: L h = h(1 + α T) x = x (1 + α T) L = L (1 + α T) 4

5 Der Pfeiler dehnt sih aus, wodurh sih die Fahrbahn hebt. Allerdings wird durh die Ausdehnung der Seile die Fahrbahn auh wieder ein Stük gesenkt. Zusätzlih wird durh Ausdehnung der Fahrbahn das Dreiek gespreizt, der Winkel also größer. Wir definieren die Höhe des Dreieks als y = das auh für die gestrihenen Größen gelten: L L y = x = (1 + α T) x x L. Da die Brüke dreiekig bleibt, muss Dabei haben wir uns im zweiten Shritt die gleihe Temperaturabhängigkeit von x und L zu Nutze gemaht. Als Höhendifferenz ergibt sih dann L z = y y + h h = x (1 (1 + α T)) + hα T L = α T x + h Als Beispielszahlenwerte nehmen wir mal α = (in etwa Stahl), T = 0K, x = 75m, L = 100m, h = 70m. Dann ergibt sih z = 3mm: das sollte innerhalb der Toleranzbereihe einer typishen Brüke sein (Bewegungen in dieser Größenordnung gibt es oft auh durh Shwingungen, Wind et.). Aufgabe 7 Explosionsgefahr! Eine Gasflashe ist leider etwas angerostet. Daher besteht shon Explosionsgefahr, wenn der Innendruk über 60 bar steigt. Im Moment lagert die Flashe bei 15 C, der Druk in der Flashe beträgt 5 bar. a) Die Temperatur steigt nun langsam an. Wann besteht Explosionsgefahr? b) Jemand lässt zur Siherheit Gas aus der Flashe ab, so dass der Druk um 10 bar fällt (isotherm bei 15 C). Wie hoh ist dann die Temperatur, ab der Explosionsgefahr besteht? a) Aus der idealen Gasgleihung pv = nrt kann man bei konstanter Stoffmenge und konstantem Volumen folgendes ableiten: p 1 T 1 = p T 5

6 Explosionsgefahr besteht bei einem Druk p = 60 bar, also bei einer Temperatur T =p T 1 p 1 T =33 K = 59.3 C b) Gleihe Rehnung wie bei a), nur mit anderem Druk T =41 K = 138 C Aufgabe 8 Ballon Ein Heißluftballon wird aufgeblasen und die Luft in seinem Inneren geheizt. Die Temperatur der Außenluft beträgt T 1 = 300 K, die im Inneren des Ballons T = 600 K. Der Ballon hat ein Volumen von V = 00 m 3. Die Masse des gefüllten Ballons (inklusive Hülle) beträgt m = 00 kg. a) Wie shwer ist die Ballonhülle? b) Welhe Last kann ein solher Ballon vom Boden anheben? Hinweis: Mittlere Molmasse von Luft: M l = 9 g, Druk am Boden p = 10 5 Pa. a) Um die Masse der Hülle zu berehnen, muss man die Masse der im Ballon enthaltenen Luft berehnen. Der Druk im Ballon entspriht dem Druk am Boden. Ideale Gasgleihung m f llung = pv M l RT pv =nrt pv = m f llung M l RT Masse der Hülle m =m f llung + m hlle m hlle =m m f llung m hlle =m pv M l RT m hlle =83.5 kg 6

7 b) Die anhebbare Last ist der Untershied zwishen Ballongewiht und Gewiht der verdrängten Luft m v. Bestimmung von m v über ideale Gasgleihung, Umstellung siehe oben. m v = pv M l RT 1 m v =3.9 kg Anhebare Last m last m last =m v m m last =3.9 kg 7