Übung zur Vorlesung Statistik I WS Übungsblatt 8

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1 Übug zur Vorlesug Statistik I WS Übugsblatt 8 9. Dezember 2013 Aufgabe 25 (4 Pukte): Sei X B(, p) eie biomial verteilte Zufallsvariable. Schreibe Sie i R eie Fuktio PWert, die für jedes Ergebis X = k ud jede der beide Nullhypothese H 0 : p p 0 bzw. H 0 : p p 0 de eiseitige P-Wert berechet. Hiweis: Die Fuktio PWert soll die Argumete, k, p0 ud richtug habe. Durch das letzte Argumet soll bestimmt werde, welche der beide Nullhypothese getestet werde soll. Beutze Sie icht die R Fuktio biom.test. Lösug: > PWert <- fuctio(,k,p0,richtug=c("kleier","groesser")){ + if(richtug=="kleier") retur(1-pbiom(k-1,,p0)) + if(richtug=="groesser") retur(pbiom(k,,p0)) + + if(all(richtug!=c("kleier","groesser"))){ + prit("fehler: Für 'richtug' sid ur 'kleier' oder 'groesser' erlaubt") + retur(na) + } + } Als Probe vergleiche wir PWert mit der Fuktio biom.test. > PWert(10,8,0.4,'kleier') [1] > biom.test(8, 10, 0.4,'greater')

2 Exact biomial test data: 8 ad 10 umber of successes = 8, umber of trials = 10, p-value = alterative hypothesis: true probability of success is greater tha percet cofidece iterval: sample estimates: probability of success 0.8 > PWert(10,8,0.4,'groesser') [1] > biom.test(8, 10, 0.4, 'less') Exact biomial test data: 8 ad 10 umber of successes = 8, umber of trials = 10, p-value = alterative hypothesis: true probability of success is less tha percet cofidece iterval: sample estimates: probability of success 0.8 Aufgabe 26 (4 Pukte): A Bereche Sie für = 10 ud k = 6 die kleiste Zahl p u, für die H 0 : p = p u durch de zweiseitige Biomialtest auf dem 5% Niveau gerade och abgeleht werde ka. Bereche Sie etspreched die größte Zahl p o, für die H 0 : p = p o durch de zweiseitige Biomialtest auf dem 5% Niveau gerade och abgeleht werde ka. Hiweis: Es reicht, we p u ud p o auf drei Dezimalstelle geau berechet werde. Schreibe Sie ei Programm, das systematisch Werte für p u ud p o durchprobiert (z.b. mit zwei while Schleife). Beutze Sie die Fuktio biom.test. Der P-Wert ist die Kompoete mit Name p.value der Ergebisliste vo biom.test. Bemerkug: Das Itervall (p u, p o ) heißt das 95% Kofidezitervall zu k/.

3 B Führe Sie die aaloge Berechuge für = 100 ud k = 60 durch ud vergleiche Sie die Ergebisse vo A ud B. Lösug: A > <- 10 > k <- 6 > p0 <- k/ > delta <- 1/1000 > p_u <- p0 > while(biom.test(k,,p_u)$p.value>0.05) p_u <- p_u - delta > p_o <- p0 > while(biom.test(k,,p_o)$p.value>0.05) p_o <- p_o + delta > p_u [1] 0.29 > p_o [1] 0.85 B > <- 100 > k <- 60 > p0 <- k/ > delta <- 1/1000 > p_u <- p0 > while(biom.test(k,,p_u)$p.value>0.05) p_u <- p_u - delta > p_o <- p0 > while(biom.test(k,,p_o)$p.value>0.05) p_o <- p_o + delta > p_u [1] > p_o [1] Das Kofidezitervall für = 100 ud k = 60 ist schmäler als das Kofidezitervall für = 10 ud k = 6. Bei höherer Fallzahl ka eie Nullhypothese eher abgeleht werde als bei eiem kleiere. Je größer die Fallzahl, desto geauer ka die Trefferwahrscheilichkeit p geschätzt werde.

4 Aufgabe 27 (4 Pukte): Bereche Sie de Ablehugsbereich für die Nullhypothese H 0 : p 0.3 des eiseitige Biomialtests exakt ud i der Näherug des Zetrale Grezwertsatzes. Das Sigifikaziveau sei α = 0.05 ud = 350 sei die Azahl der uabhägige Versuchswiederholuge. Hiweis: Beutze Sie für die Berechug des exakte Ablehugsbereichs qbiom. Für die Berechug i der Näherug des zetrale Grezwertsatzes bereche Sie das K IR, für welches P(X K) = α für X B(350, 0.3) gilt. Zur Berechug vo P(X K) verwede Sie die Näherug durch die Stadardormalverteilug. Die Verteilugsfuktio der Stadardormalverteilug i R heißt porm ud ihre Umkehrfuktio qorm. Lösug: Exakt erhält ma die utere Greze des eiseitige Ablehugsbereich durch > qbiom(0.05,350,0.3) - 1 [1] 90 Für die Näherugsrechug mit dem Zetrale Grezwertsatz geht ma folgedermaße vor: Da für p = p 0 Var(X) = p 0 (1 p 0 ) = = 73.5 ud E(X) = p 0 = = 105 sid, gilt i der Näherug des Zetrale Grezwertsatzes ( ) K 105 P(X K) Φ = Φ sei die Verteilugsfuktio der Stadardormalverteilug. Daraus ka K berechet werde: K = Φ 1 (0.05) > K=qorm(0.05)*sqrt(73.5)+105 > K [1] Aufgabe 28 (4 Pukte): A B Schreibe Sie i R eie Fuktio Power, die die Power des zweiseitige Z-Tests für beliebiges µ 0, µ 1, σ 2, ud α berechet. Es seie H 0 : µ = µ 0, H 1 : µ = µ 1, α das Sigifikaziveau ud die Azahl der uabhägige wie N (µ, σ 2 ) verteilte Zufallsvariable Z 1,..., Z. Plotte Sie für

5 Lösug: (a) α = 0.05, µ 0 = 0 ud µ 1 = 0.5 (b) α = 0.01, µ 0 = 0 ud µ 1 = 0.5 (c) α = 0.05, µ 0 = 0 ud µ 1 = 1 (d) α = 0.01, µ 0 = 0 ud µ 1 = 1 die Power i Abhägigkeit vo im Bereich [9, 100]. Die Variaz sei σ 2 = 1. A Die Teststatistik für de Z-Test lautet Z = 1 i=1 Z i µ 0 σ. Die Greze des like Teils des Ablehugsbereichs ist z α/2 ud die des rechte z 1 α/2. Die Power 1 β ist schließlich 1 β = P(Z z α/2 ) + P(Z z 1 α/2 ) Uter H 1 gilt Z N ( (µ σ 1 µ 0 ), 1) Damit ergibt sich ( ) ( ) 1 β = Φ z α/2 σ (µ 1 µ 0 ) + 1 Φ z 1 α/2 σ (µ 1 µ 0 ). > Power <- fuctio(, mu0, mu1,sigma, alpha){ + zu <- qorm(alpha/2) + zo <- qorm(1-alpha/2) + Power <- porm(zu-sqrt()/sigma*(mu1 - mu0)) porm(zo-sqrt()/sigma*(mu1 - mu0)) + + retur(power) + } B Die Aufgabe ka uterschiedlich gelöst werde. Ab schöste ist es, we alle vier Kurve i ei Diagramm gezeichet werde: > <- 9:100 > plot(x=,y=power(=, alpha=0.05, mu0=0, sigma=1, mu1=0.5), + type="l", col=1, mai=expressio(h[0]: mu[0]==0), + ylim=c(0,1), ylab="power") > poits(x=,y=power(=, alpha=0.01, mu0=0, sigma=1, mu1=0.5), + type="l", col=2) > poits(x=,y=power(=, alpha=0.05, mu0=0, sigma=1, mu1=1), + type="l", col=3)

6 > poits(x=,y=power(=, alpha=0.01, mu0=0, sigma=1, mu1=1), + type="l", col=4) > leged("bottomright", + leged=c(expressio(list(alpha==0.05, mu[1]==0.5)), + expressio(list(alpha==0.01, mu[1]==0.5)), + expressio(list(alpha==0.05, mu[1]==1)), + expressio(list(alpha==0.01, mu[1]==1))), + col=1:4, lwd=1) H 0 : µ 0 = 0 Power α = 0.05, µ 1 = 0.5 α = 0.01, µ 1 = 0.5 α = 0.05, µ 1 = 1 α = 0.01, µ 1 = Schicke Sie Ihre Lösug bis spätestes Sotag, de direkt a Ihre() Tutor(i): frazime@zedat.fu-berli.de (Fraziska Metge). Korad.Neuma@charite.de (Korad Neuma) r3p10id0@zedat.fu-berli.de (Ivo Parchero)