2.4.1 Geschlossene Auswertung unendlicher Reihen

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1 8 2.4 ufgbe 2.4. Geschlossee uswertug uedlicher Reihe I Prxis ist die geschlossee uswertug uedlicher Reihe, lso die explizite estimmug des Grezwerts, ur selte möglich. equem geht es, we m die Reihe ls Teleskopreihe oder ls Spezilfll bekter Fuktioereihe erket. Hier folge eiige eifche eispiele. Ei schwieriges fide Sie i ufgbe D. Zeige Sie, dß x k x für x <. Geometrische Reihe Sid die folgede Reihe koverget? We j, bestimme Sie ihre Grezwert! k 2k+ k 2 k 2 k+ 2 Nch ufgbe.4.5. gilt S : x k x+ x Flls x < gilt x + 0 für. Nch de Recheregel für Folge gilt dher für die Prtilsumme : S x für x <. lso ist x k x für x <. Die Reihe k k k k. ist eie divergete Teleskop-Reihe, de uch die 2. Reihe läßt sich ls Teleskopreihe uffsse. Es gilt 2k+ k 2 k+ 2 k 2 k für. + 2

2 2.4.2 Mootoiekriterium für Reihe wedug des Mootoie-Kriteriums Die Folge b k sei beschräkt ud die Reihe k bsolut koverget. D kovergiert uch die Reihe k b k bsolut. eweise Sie ds Verdichtugskriterium d : ilde die Summde k eie mooto fllede Nullfolge, so sid die Reihe k ud 2 2 etweder beide koverget oder beide diverget. Es muß gezeigt werde, dß die Folge der Prtilsumme S : k b k beschräkt ist. Die Folge b k ist ch Vorussetzug beschräkt, etw b k < für lle k. D die Reihe k kovergiert, sid die Prtilsumme : k beschräkt, etw <. Wege 0 S k b k folgt die ehuptug. k emerkuge: Ntürlich k m dies Resultt uch mit dem Mjortekriterium beweise Übugsufgbe!. 2 Die ehuptug wird flsch, we m bsolut koverget durch koverget ersetzt. ls eispiel köe Sie die ch dem Leibiz-Kriterium kovergete Reihe / ehme. Multipliziert m die Summde mit der beschräkte Folge, so erhält m die divergete hrmoische Reihe /. Sei zuächst die Reihe Reihe k koverget. Gezeigt wird, dß d uch die 2 2 kovergiert. Für die Prtilsumme dieser Reihe gilt:

3 ufgbe 2 N N Summde {}}{ N + 2 N N 2 [ N + 2 N N ] }{{} 2 N Summde 2 [ ] N N + 2 N 2 k <. Die mooto wchsede Folge der Prtilsumme lle Summde sid positiv ist lso beschräkt ud dher koverget. Sei u die Reihe 2 2 koverget. Zu zeige ist die Kovergez vo k. Für die Prtilsumme dieser Reihe gilt: K k K K K K K <. Die mooto wchsede Folge der Prtilsumme ist lso beschräkt ud dher koverget. Fertig! wedug des Cuchy-Kriteriums Zeige Sie, dß die hrmoische Reihe eweise Sie ds Leibiz-Kriterium e : Sei eie mooto fllede Nullfolge. D ist k divergiert. k k koverget.

4 2.4.4 eweis eiiger Kriterie 2 Für die Divergez ist zu zeige: ε > 0 0 m > 0 : m k ε. Wähle ε : 2 ud 0 IN beliebig. Wähle : 0 ud m : 2. D gilt: m k k 2 k Für die Kovergez ist zu zeige: k ε > 0 0 m > 0 : k + 2 > 2 ε. m k k ε. k us j j+ 0 für lle j folgt m k k k Sei u ε > 0 beliebig vorgegebe. Wege 0 gibt es ei 0, so dß < ε für lle > 0. m Nch der obige bschätzug folgt k k ε für lle > 0. k Die Fehlerbschätzug des Leibiz-Kriteriums wurde gleich mit bewiese eweis eiiger Kriterie eweise Sie folgede llgemeiere Fssug des Grezwertkriteriums: Seie, b positiv ud für sei 0 < lim if b lim sup b <, d.h. es gibt Kostte 0 < r < R < so dß b eiem 0 gilt r < b < R. D sid die Reihe ud b etweder beide koverget oder beide diverget. eweise Sie ds Rbe-Kriterium h!

5 ufgbe Sei α : lim if b. Nch Vorussetzug ist α > 0. lso gilt b > α 2, bzw > α 2 b b eiem 0. Nch dem Mjorte- Kriterium folgt us der Kovergez der Reihe die der Reihe b. Sei 0 < β : lim sup b. Nch Vorussetzug ist β <. lso gilt b < 2β, bzw < 2βb für lle b eiem 0. Nch dem Miorte-Kriterium folgt us der Divergez der Reihe die der Reihe b. Sei β > ud zuächst 0 + β für lle 0. D folgt für + β 0 < β +. Die Folge + ist dher b 0 mooto flled ud uch koverget, d sie durch 0 ch ute beschräkt ist. Ifolgedesse kovergiert uch die Teleskopreihe b mit b : [ + ]. Wege 0 < β + folgt die bsolute Kovergez vo us dem Mjortekriterium. Sei u + für lle 0. D hbe die Summde b 0 eiheitliches Vorzeiche, etw > 0 für lle 0. D folgt für 0 + > α > 0 für eie geeigete positive Kostte α. lso + α vo folgt us dem Miortekriterium. ud die Divergez g-dische rüche Sei g eie fest gewählte türliche Zhl, g 2, ud 0 < x <. Die Folge x k ud r k seie rekursiv defiiert durch [. ] Guss-Klmmer : x : [gx], r : gx x, x + : [gr ], r + : gr x +. Zeige Sie, dß x x k g k.

6 2.4.6 Zum Stz vo Olivier 23 Lösug: Mit Iduktio zeigt m zuächst x {0,, 2,..., g }, 0 r < ud x x k g k + r g. Iduktiosfg: Wege 0 < x < ist 0 < gx < g ud dher x : [gx] größte gze Zhl kleier gleich gx {0,, 2,..., g }. Wege r : gx x gx [gx] gilt sicherlich 0 r <. Wege x x g + r g gilt uch x x k g k + r g. Iduktiosschluß: Nch Iduktiosvorussetzug ist 0 r <, lso x + : [gr ] {0,, 2,..., g }. Wie obe ist 0 r + : gr x + gr [gr ] <. Wege r x + g x + r + g x k g k + r g folgt schließlich: x k g k x+ + g + r + g g + x k g k + r + g +. r g ist Produkt eier beschräkte ud eier Nullfolge, lso r g 0 für. Dmit folgt die ehuptug x x k g k Zum Stz vo Olivier M zeige: Ist die Reihe koverget, so gilt k b : Ist k koverget ud k mooto flled, so gilt 0.

7 ufgbe Seie S : k, S : k ud S 0 : 0. D gilt S S 0 ud ch ufgbe gehe uch die rithmetische Mittel der Folge S S gege Null. lso: [ S S0 + S S S S ] [ ] [ ] k b + D die Reihereste k+ k+ k 0. k+ k für gege 0 gehe, folgt b 0. Ist k koverget ud k mooto flled, so sid lle k 0. Isbesodere folgt b Nch ufgbe geht b 0, lso 2 0 ch dem Quetschlemm. Wege folgt 0. Ei zweiter eweis ohe eutzug vo : Sei ε > 0 beliebig vorgegebe. Die Reihe k kovergiert ch Vorussetzug. Nch Cuchy gibt es zu ε eie Idex 0, so dß für lle m > > 0 gilt m 0 k ε 2. D die k mooto flle, folgt m m < ε 2. k+ Wählt m u : 2 0 +, m > beliebig ud : [ m] 2 größte gze Zhl kleier gleich m 2, so gilt > 0 ud dher m 2 m m m < ε 2. lso ist m m < ε für lle m > ud d ε beliebig wr, folgt m m 0.

8 2.4.7 Zur prtielle Summtio eweise mit Hilfe prtieller Summtio eweise Sie ds belsche Kovergezkriterium: Ist b k eie mootoe beschräkte Folge reeller Zhle ud ist k koverget, so kovergiert uch die Reihe k b k. eweise Sie ds Dirichlet-Kriterium für Zhlereihe: Die Reihe k hbe beschräkte Prtilsumme, die Folge b k sei eie mootoe Nullfolge. D kovergiert die Reihe k b k. Eie Fssug der prtielle Summtio ist siehe.3.5.3: PS k b k b + k b k b k+, wobei k : k j. j Die Folge der Prtilsumme k kovergiert ch Vorussetzug. Die Reihe bk b k+ ist wege der Mootoie der Folge b k eie bsolut kovergete Teleskopreihe b k b k+ b k b k+ b b +. lso ist die Reihe k b k b k+ ch ufgbe koverget. Die Folge b kovergiert, d sowohl, ls uch b kovergiere. Die ehuptug folgt us PS. eweis wie obe mit prtieller Summtio PS: Es gilt b 0, d b 0 ud beschräkt ist. Die Reihe k b k b k+ ist wie i ufgbe ch ufgbe koverget Eiige kokrete eispiele 4 k k 2k k 2 k+ 5 k2! 2 3 / k + k 2 k k2 2 k k l k k3

9 ufgbe Nch dem Wurzelkriterium folgt wege k k k 2k+ 2 < die Kovergez. 2 Die Reihe kovergiert ch dem Quotietekriterium e, de + +! 2 +! e <. 3 Die Reihe divergiert ch dem Wurzelkriterium f, de k k 2 + k e k 2 >. 4 Dies ist eie kovergete geometrische Reihe mit der Summe k2 2 k+ 5 3 k k Die Reihe divergiert ch dem Trivilkriterium , de wege / gehe die Summde icht gege Null. 6 Die Reihe divergiert ch dem Verdichtugskriterium d. Für die verdichtete Reihe erhält m ämlich l2 l 2. Sie ist diverget, d die hrmoische Reihe divergiert. C Ei pr theoretische eispiele Sid lle > 0, so kovergiert die Reihe + 2. Ist mooto wchsed, > 0, so kovergiert die Reihe + geu d, we beschräkt ist. Sei eie mooto fllede Nullfolge. D gilt + koverget koverget.

10 2.4.9 eispiele 27 Es gilt 0 < < 2. D die Reihe 2 kovergiert, folgt die ehuptug us dem Mjortekriterium hme: ist ubeschräkt. D mooto wächst, gilt für m > : m k k+ k m+ m m m [ m+ m ] m m+ m. D ubeschräkt ist, gibt es zu jedem ei m > mit m > 2, lso mit > m m 2. lso gibt es zu jedem ei m > mit k+ > k 2. k Mit dem Cuchy-Kriterium folgt die Divergez der Reihe +. Sei mooto wchsed ud beschräkt. D ist + eie kovergete Teleskop-Reihe. Wege folgt die Kovergez der Reihe + us dem Mjorte-Kriterium. C Wege 0 + folgt diese Richtug us dem Mjortekriterium. Sei koverget. + Ist ei 0 0, so sid vo dort lle 0 ud die ehuptug ist trivil. Seie lso lle > 0. Wege + +/ ist mit uch + mooto flled. Nch dem Stz vo Olivier folgt b : + 0 ud wege b b uch 0. lso gilt 0 < < b eiem 0 ud dher + 2.

11 ufgbe Nch dem Mjortekriterium ist die Reihe 2 ud dmit uch die Reihe koverget. Lösug: Klmmersetze i uedliche Reihe Sei eie beliebige Reihe, k eie streg mooto wchsede Folge türlicher Zhle mit ud b k : k + k k+. Die geklmmerte Reihe b k sei koverget ud es gelte D kovergiert uch Sei : b k k : k k+ 0. ud es gilt ud ε > 0 beliebig. Zu zeige ist: N 0 N > N 0 : b k. N < ε. Zuächst existiert ei K 0 IN, so dß sowohl K b j < ε 2 für lle K K 0 ls uch 0 k k k+ < ε 2 j für lle k K 0. Sei N 0 : K0+ ud N > N 0 beliebig. D gibt es geu ei K K 0 mit K+ N < K+2. Mit diesem K gilt N K+ + N K+ K b j + K N j ud dher N K j b j ε 2 + K+ < ε. + K N

12 2.4. Umorde vo Reihe Umorde bedigt kovergeter Reihe Die lterierede hrmoische Reihe + : S ist ch dem Leibiz- Kriterium koverget. Orde Sie diese Reihe so um, dß uf zwei positive immer ei egtiver Summd folgt. Zeige Sie, dß diese umgeordete Reihe ebeflls kovergiert ud zwr gege 3 2 S. Die Reihe + ist ch dem Leibiz-Kriterium koverget. Orde Sie diese Reihe so um, dß uf zwei positive immer ei egtiver Summd folgt. Ist diese umgeordete Reihe koverget? C Sei eie mooto fllede Nullfolge, der Grezwert lim : λ existiere. Die Reihe : kovergiert ch dem Leibiz-Kriterium. 0 Ordet m diese lterierede Reihe so um, dß uf p positive Summde i der lte Reihefolge stets q egtive folge, bildet m lso die Reihe b k : p q + 2p +..., so kovergiert diese umgeordete Reihe ebeflls, ud zwr gege : + λ 2 l p q b k. Klmmersetze i kovergete Reihe ädert ichts m Grezwert. Durch Klmmersetze i der lterierede hrmoische Reihe erhält m die beide Reihe 2k 2k ud 4k 3 4k 2 + 4k 4k,

13 ufgbe die beide ebeflls gege S kovergiere. Multipliktio der erste Reihe mit 2 liefert 4k 2 4k S 2. dditio zur zweite Reihe ergibt 4k 3 + 4k 2k 3 2 S. I dieser Reihe drf m die Klmmer weglsse, de für k 2 gilt 4k 3 + 4k + 2k 3 2k 0. lso wie behuptet S. Übriges k m mit der Potezreiheetwicklug vo l + x um x ud dem belsche Grezwertstz zeige, dß S l 2. ußerdem folgt es us ufgbe 2.4..C. Klmmert m i der umgeordete Reihe jeweils zwei positive mit dem folgede egtive Summde zusmme, so ergebe sich für diese Klmmer 0 < b k : 4k 3 + 4k 2k 4k 2k + 4k 3 2k 4k 3 4k 4k 3 4k 2k k 8 2 k 3/ k + 8 k 2 k k 6 6 k + 3 k 2 C b Nch de Recheregel für Folge gilt k / k > D die Reihe k divergiert, divergiert ch dem Grezwertkriterium c uch die Reihe b k. D muß uch die ugeklmmerte Reihe divergiere. Diese ufgbe ist etws schwieriger. M brucht u.., dß [ kq ] kp L : l p q für k, q < p ei Resultt, ds erst i ufgbe bewiese wird. Sei zuächst 0 < λ ud o..d.. q < p, lso L : l p q > 0. etrchte die Prtilsumme kp+q der erste kp + q Summde der eue Reihe. I dieser Teilsumme sid die erste 2kq Summde der ursprügliche Reihe, lso die Prtilsumme 2kq ud och weitere kp q positive

14 2.4. Umorde vo Reihe 3 Summde ethlte: kp+q 2kq 0 } {{ } 2kq + 2kq kp }{{} : k. Sei u 0 < ε < λ beliebig vorgegebe. Wähle 0 < δ < miλ, L so klei, dß ε > δ L+λ L+λ 2 δ 2 δ 2 δ > 0. D gilt λ δ < < λ + δ für hireiched große. lso existiert ei k, so dß für lle k > k : [ λ δ 2 kq ] kp < [ 2kq2kq 2 kq kp ] 2kp kp k < λ+δ [ 2 kq ] kp [ ud L δ < kq ] kp < L + δ. lso gilt für lle k > k : λ 2 l p q ε < λ δ 2 L δ λ 2 L δ 2 L + λ δ < k < λ 2 l p q + ε λ 2 l p q k < ε. Die 2kq sid Prtilsumme der ursprügliche Reihe. lso gibt es ei k 2 > k, so dß 2kq < ε für lle k > k 2 > k. Zusmme lso kp+q 2kq + k λ 2 l p q < 2ε für lle k > k 2. D 0 < ε < λ beliebig wr, folgt kp+q. is jetzt wurde ur eie Teilfolge der Prtilsummefolge der umgeordete Reihe betrchtet, d.h. die eue Reihe wurde geklmmert. Ud zwr wurde jeweils die Summde 2kp + 2kp k+p 2 2kq+... 2k+q zusmmegefßt. Die Summe ihrer bsolutbeträge ist kleier ls p 2kp + q 2kq+, d die eie mooto fllede Nullfoge bilde. Wege p 2kp + q 2kq+ 0 ud ufgbe ist ber uch die ugeklmmerte Reihe koverget mit demselbe Grezwert. Der Fll λ 0 wird log behdelt. Hier muß k ur ch obe bgeschätzt werde.

15 C D ufgbe Zum Cuchy-Produkt Utersuche Sie die folgede Cuchy-Produkte ud ihre Fktore uf Kovergez: x k y j k! j! j0 2 k+ 0 + k k + 2 k. eweise Sie de Stz vo Mertes b über ds Cuchy-Produkt zweier kovergeter Reihe! x Die Expoetil-Reihe k k! ist für lle x IR bsolut koverget. Ds x Cuchy-Produkt k y j k! j! kovergiert dher ebeflls für lle j0 x, y IR. Für seie Summde c ergibt sich: x c k y k k! k!! x k y k x+y k! lso gilt Fuktiolgleichug der Expoetilfuktio!: x k y j x+y k! j!! j0 Die Reihe 0 + k+ ist ch dem Leibiz-Kriterium koverget. Für k die Summde des Cuchy-Produkts dieser Reihe mit sich selbst ergibt sich: c

16 2.4.2 Zum Cuchy-Produkt 33. Nch dem Trivilkriterium ist ds Cuchy-Produkt diverget, d die Summde icht gege Null gehe. Für bsolut kovergete Reihe k so etws icht pssiere! C Die Reihe k ist sicherlich diverget ud ebeso die Reihe k. Die Summde gehe icht gege Null. Für die Summde ihres Cuchy-Produkts ergibt sich c 0 6 ud c [ ] /2 3/2 0 für. Ds Cuchy-Produkt dieser beide divergete Reihe ist lso koverget. D Seie : k, : b k ud C : c k die Prtilsumme der uftretede Reihe. Sei : k, : b k, β : ud die Reihe k sei bsolut koverget. Zu zeige ist: C. Es gilt: C c 0 + c + c c 0 b 0 + b b b + b b β + β β 0 [ 0 β + β β 0 ] Wege ist ur och zu zeige, dß die eckige Klmmer rechts gege 0 strebt. Sei dfür ε > 0 beliebig vorgegebe. Die Reihe k kovergiert bsolut, sei K : k. D β 0, existiert ei 0 derrt, dß β < ε 2K für > 0. D m 0 ud ε β k beschräkt ist, existiert zu ε ud 0 ei derrt, dß m β k < für lle k IN 0, m >. D folgt für > 0 + : 0 β + β β 0 0 β β β β ε 0 2K + ε K ε 2K + ε 2 ε.

17 ufgbe Doppelreihe Zeige Sie, dß die Doppelreihe m kovergiert ud bereche Sie ihre Summe.,m2 Für, m IN sei, : 2,,2 : 2 ud,m : 0 für m, 2. ereche Sie,m ud,m. m m C Sei,m : 2 m flls m ud,m : 0 flls > m. ereche Sie,m ud,m. Sid die Ergebisse gleich? m0 0 0 m0 lle Summde sid positiv. Die Zeilereihe sid bsolut koverget. Für m 2 ist m mm geom. Reihe ud dher m2 2 m 2 m2 mm m2 m m. Jede ufzählug ϕk,ψk der Doppelreihe m kovergiert, de k,m2 ihre Prtilsummefolge ist mooto wchsed ud z.. durch beschräkt. Nch dem Doppelreihestz kovergiert dher die Doppelreihe ud zwr gege. Für lle IN ist,m, +,2 0, lso,m 0. m Für ugerdes m IN, m 2k +, ist Für m IN gerde, m 2k, ist lso ist m,m m,m 22k+.,m k,2k + 2k,2k 2k 4k 22k.

18 2.4.3 Doppelreihe 35,m m ,m 0. m 2 l 2 C Die Summe der Zeilesumme ist hier ugleich der Summe der Spltesumme. Die Doppelreihe,m ist diverget.,m m Es ist,m 2 m m+ 2 m 0 0 m+ ud dher,m 2 m. m0 0 m0 dererseits ist,m 2 m 2 m0 m 2 2 ud dher,m m lle Summde sid icht-egtiv. Die Reihe der Zeilesumme kovergiert. m+ Nch dem Doppelreihestz stimme die Ergebisse überei, d.h. es ist 2 m 4. Dies Resultt hätte m übriges uch us der Potezreiheetwicklug x 2 m + x m, x <, der Stelle x 2 erhlte köe oder m0 m0 us dem Cuchy-Produkt der geometrische Reihe 2 m mit sich selbst.