Der binomische Lehrsatz

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1 Der iomische Lehrstz Ei Biom ist die Summe us zwei Glieder, etw +. Poteziert m dieses Biom mit eier ichtegtive gze Zhl, so gilt ch dem iomische Lehrstz (1) Beweis 1 + = k= 0 k k Für die trivile Fälle = 0 ud eötigt m de iomische Lehrstz icht. Aus de Recheregel für Poteze ergit sich ohe Weiteres: (2) ( + ) 0 (3) ( + ) 1 = + Für > 1 sid er u midestes zwei Klmmer vorhde, die miteider multipliziert werde müsse. Zum Beispiel: ( + ) 2 = ( + ) ( + ) Hier ist ds Distriutivgesetz zuwede. Dieses lutet, zuächst uf ( + ) gewdt: ( + ) = + M sgt: Die Multipliktio ist distriutiv ezüglich der Additio 2, ds heißt, die Multipliktio wird uf lle Elemete der Summe i der Klmmer gewdt. Die Gültigkeit des Distriutivgesetzes k chgewiese werde, we m ds Produkt ( + ) ls Fläche drstellt. Ei Rechteck mit der Höhe ud der Breite + ht ee die Fläche F = + : F = ( + ) 0 + Diesele Fläche ergit sich, we etspreched dem Distriutivgesetz erst mit ud d mit multipliziert wird ud die eide Teilfläche ddiert werde: F1 = F2 = 0 + Es ist evidet, dss F 1 ud F 2 die Fläche F ilde, dss lso 1 Der Beweis folgt weitgehed W. Böhme, Erscheiugsforme ud Gesetze des Zuflls, Bruschweig 1964, S. 30 ff. 2 Vgl. Brockhus Ezyklopädie, Vierter Bd, 17. Auflge Wiesde 1968, S. 787 iom02.doc - 1 -

2 Der iomische Lehrstz 2 ( + ) = + Die Höhe des Rechtecks muss mit der gesmte Breite + multipliziert werde, um die richtige Fläche zu erhlte. Die Multipliktio mit muss uf die Summe + gewdt werde. Dies ist ds Distriutivgesetz. We die Höhe des Rechtecks selst eie Summe ist, zum Beispiel die Summe +, muss uch i diesem Fll die Höhe mit der gesmte Breite multipliziert werde: + F = ( + ) ( + ) = ( + ) Die Höhe ud Breite ch ihre Summde ufgeteilt: Um die richtige Fläche ( + zu erhlte, müsse eide Summde der Höhe + mit eide ) 2 Summde der Breite + multipliziert werde. Ds Ergeis ist iom02.doc

3 Der iomische Lehrstz = = Ds ist geu ds Ergeis, welches us dem Distriutivgesetz folgt. Ds Distriutivgesetz wird hier estätigt. Beträgt die Höhe ( + ) ud die Breite wieder +, ist die Fläche ( + ) + 1. Mit eier im Mßst verkleierte Höhe ergit sich folgede Drstellug: ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) 0 + Die Multipliktio der Summe vo ( + ) ( + ) mit dem Fktor + edeutet lso wieder, dss lle Elemete mit lle Elemete der Summe + multipliziert werde müsse, um ds richtige ) 1 Ergeis ( + + zu erhlte. D die Erhöhug vo uf + 1 erfolgt, gilt diese Aussge ud dmit ds Distriutivgesetz für jede Wert vo. Es leit eiem lso icht ersprt, die Summe etspreched dem Distriutivgesetz zu ereche, idem jeder Summd eies Fktors mit jeweils eiem Summde ller dere Fktore multipliziert ud d ddiert wird. ( + Dies idesse ist ur für kleie Werte vo eifch. Als Beispiel sei der ereits ehdelte Fll = 2 etrchtet. Vorüergehed erhlte die Summde der erste Klmmer de Idex 1 ud die + + zu löse. Summde der zweite Klmmer de Idex 2. Es ist lso die Aufge Der erste Summd der erste Klmmer mit de Summde der zweite Klmmer multipliziert ud ddiert ergit Der zweite Summd der erste Klmmer mit de Summde der zweite Klmmer multipliziert ergit , sodss (4) + + = Jedes Produkt ethält die vollstädige Idexreihe 1, 2. M erket dr, dss die eizele Produkte jeweils us je eiem Elemet jeder Klmmer geildet wurde, wie es ds Distriutivgesetz erfordert. Die Azhl der Fktore i eiem Produkt ist gleich der Azhl der Klmmer, de us jeder Klmmer ist geu ei Elemet ethlte. Werde die Idizes wieder weggelsse, ergit sich für de Fll = 2 ) iom02.doc

4 Der iomische Lehrstz (5) = + + = = + 2+ Betrchtet m die Gleichuge (4) ud (5) gemeism, werde diesem eifche Fll scho eiige Gesetzmäßigkeite sichtr. Beim Ausmultipliziere der Klmmer wurde zuächst die erste Elemete ller Klmmer miteider multipliziert, ws hier 2 ergit, im llgemeie Fll wege des Vorlieges vo Klmmer. Ei Elemet der gesuchte Summe des potezierte Bioms ist lso. Eeso werde lle zweiter Stelle stehede Elemete der Klmmer miteider multipliziert, ws ergit. Bevor die Summde ud i Gleichug (5) umsortiert ud zu 2 zusmmegefsst werde, sieht m im Vergleich zu Gleichug (4), dss die Stellug der Fktore git, us welcher Klmmer die Fktore stmme. Im Produkt stmmt ds us der erste Klmmer, ds us der zweite. Im Produkt stmmt ds us der erste Klmmer ud ds us der zweite. Uhägig vo der Sortierug müsse i jedem Produkt so viele Fktore ethlte sei, wie es Klmmer git, lso, ud jeder Fktor muss us eier dere Klmmer stmme. Aus welcher, ds sgt seie Stellug im Produkt, we m die Sortierug zuächst eiehält. Zur weitere Verllgemeierug werde och die Fälle ( + ) ( + ) ( + ) ud ( + ) etrchtet. Es ergit sich (6) = (7) = = D die eizele Produkte ur us de Fktore ud estehe, die Azhl der Fktore er sei muss, edeutet die schrittweise Vermiderug der Azhl eies Fktors eie etsprechede Erhöhug der Azhl des dere Fktors. Im Fll = 3 ist mit de Fktore 3, 2, 1, 0 vertrete. Etspreched steigt die Potez vo, ämlich vo 0 uf 1, 2 ud 3, sodss sich die Produkte 3 0, 2 1, 1 2, 0 3 ergee. Allgemei gilt: Ist k der Expoet vo, muss k der Expoet vo sei, de ur d ist die Summe der Expoete ud dmit die Azhl der Fktore k + k =. I jedem Summde des potezierte Bioms ist lso ds Produkt 3 (8) k k ethlte. Für k muss geomme werde, dss ur die Werte k = 0,1 möglich sid. Bei k = 0 k k ergit sich der Summd = =. Für k ergit sich =, für k = , ud für k = ist ds Produkt =. Wie die Gleichuge (5) ud (7) zeige, köe die Summde mehrfch uftrete. I Gleichug (5) sid dies ud, zusmmegefsst zu 2, i Gleichug (7),,, zusmmegefsst zu 3 2, sowie,,, zusmmegefsst zu 3 2. Ws die Summde uterscheidet, ist ihre Aordug. Ds Elemet erster Stelle stmmt us der erste Klmmer, ds Elemet zweiter Stelle us der zweite usw. Die Frge ist, wie viele mögliche Aorduge vo je eiem Elemet us verschiedee Klmmer es git. M et eie Aordug vo Elemete i irgedeier Reihefolge eie Permuttio, ud somit gilt es, lle Permuttioe zu fide, die möglich sid. Setzt m P für die Azhl möglicher Permuttioe vo Elemete, so ist zum Beispiel für die Permuttio P = 2, de es git zwei Möglichkeite, die Elemete ud zuorde. Wie er ist P llgemei zu estimme? Für Elemete git es i der Permuttio Plätze, ud m stelle sich vor, dss diese Plätze cheider esetzt werde. Für ds erste Elemet git es d geu Möglichkeite, eie Pltz uszuwähle. Für ds zweite Elemet git es eie Pltz weiger, es k lso uf 1 verschiedee Plätze gesetzt werde. Jede dieser Möglichkeite k mit eiem der Plätze für ds erste Elemet komiiert werde, dmit vervielfcht sich die Zhl der Möglichkeite um. Die Azhl der Möglichkeite für die Besetzug der erste eide Plätze ist ( 1). Für de dritte Pltz git es 2 Möglichkeite, ws zusmme mit de Möglichkeite für die erste eide Plätze ( 1) ( 2) ergit. So geht es weiter is zum letzte Pltz, für desse Besetzug es ur och eie Möglichkeit git. Die Möglichkeite ller Stufe der Besetzug sid miteider zu iom02.doc - 4 -

5 Der iomische Lehrstz multipliziere, um die Gesmtzhl der Möglichkeite zu erhlte. Dmit ist die Azhl der mögliche Permuttioe vo Elemete P = Ds Produkt der erste türliche Zhle 12 1 wird geschriee ls! (gesproche: Fkultät ). Somit ist die Azhl der mögliche Permuttioe vo Elemete P =! So ist die Azhl der mögliche Permuttioe der drei Elemete 1, 2 ud 3 3! = 6, ämlich Diese mögliche Aorduge lsse sich mithilfe eies Etscheidugsumes herusfide: i i = 3 2 1= 3! = 6 M sieht hier, dss die Azhl der Möglichkeite für die Besetzug jedes Pltzes mit der Azhl der Möglichkeite der vorherige Stufe der Stelleesetzug multipliziert werde muss, um die Gesmtzhl ller mögliche Stelleesetzuge die Permuttioe heruszufide 3. Nu sid die Summde eies potezierte Bioms zwr Permuttioe, er die Elemete sid icht wie i der Permuttio lle verschiede, soder sie estehe ur us de Elemete ud, woei die Stellug der eizele Elemete i der Permuttio git, us der wievielte Klmmer 1 is ds jeweilige Elemet stmmt. Gemäß Ausdruck (8) git es i jedem Summde des potezierte Bioms k Ml de Fktor ud k Ml de Fktor. Es hdelt sich lso um Permuttioe, i dee die Elemete ud mehrfch vorkomme, ud die Frge ist, wie viele uterschiedliche Permuttioe es d git. Betrchtet m zuächst die Permuttio, so lsse sich us diese drei Elemete eeso wie us de Elemete ! = 6 Permuttioe ilde. Die 6 Permuttioe der Elemete lsse 3 Es sei druf higewiese, dss diese Aussge ohe Weiteres us dem Fudmetlprizip der Komitorik folgt, vgl. hierzu J. Schir, Sttistische Methode der VWL ud BWL, 2. Aufl. Müche 2005, S. 201 f iom02.doc

6 Der iomische Lehrstz sich er icht voeider uterscheide ud sid deswege ur eiml zu zähle. Um dies zu ewerkstellige, ist der Zusmmehg zwische de uterscheidre ud de icht uterscheidre Permuttioe ufzukläre. We i eier Mege vo Permuttioe eie gewisse Azhl icht uterscheidre Permuttioe gleichrtiger Elemete ethlte ist, köe die Aordugsmöglichkeite der uterscheidre Permuttioe mit dee der icht uterscheidre komiiert werde ud ergee d lle mögliche Komitioe. Es gilt lso i We sich uter de Permuttioe eie weitere Gruppe gleichrtiger Elemete efidet, muss diese eu hizukommede Azhl möglicher Aorduge mit de isherige multipliziert werde, um die Gesmtzhl ller mögliche Permuttioe zu erhlte: i i Setzt m 1 ud 2 für die Azhl jeweils gleicher Elemete, die i eier Mege vo Elemete ethlte sid, d ist die Azhl der icht uterscheidre Permuttioe des Typs 1 1! ud die Azhl der icht uterscheidre Permuttioe des Typs 2 2!. Die Azhl ller Permuttioe vo Elemete ist!. Mit P 1,2 für die Azhl der uterscheidre Permuttioe vo Elemete, uter dee sich 1 ud 2 jeweils gleiche Elemete efide, lässt sich der oige Zusmmehg d folgedermße formuliere: P1,2 1! 2! =! Hierus folgt für die Azhl der uterscheidre Permuttioe vo Elemete, uter dee sich 1 ud 2 jeweils gleiche Elemete efide: (9) P1,2! =!! 1 2 Für jede Summde eies potezierte Bioms gilt ch Ausdruck (8), dss k Elemete miteider ud mit k Elemete multipliziert werde. Die Azhl eies jede Summde k k ist die Azhl möglicher Permuttioe der k Elemete ud der k Elemete. Hierfür gilt Gleichug (9) mit 1 = k ud 2 = k: (10) P k,k =! k! k! ( )! De Ausdruck schreit m kürzed (gesproche: üer k ). M k lso ( k )! k! sge: Die Azhl der mögliche Aorduge vo Elemete, uter dee sich jeweils k ud k gleiche Elemete efide, ist (11) P k,k = I jedem Summde eies potezierte Bioms ( + sid u k Fktore ud k Fktore ) ethlte. Für ei estimmtes k git es so viele verschiedee Zusmmestelluge der Fktore ud, wie diese Fktore us lle Klmmer miteider komiiert werde köe, ud ds sid iom02.doc

7 Der iomische Lehrstz geu die mögliche Zusmmestelluge vo Elemete, uter dee sich k ud k jeweils k k gleiche Elemete efide, lso. Der Summd kommt im potezierte Biom Ml vor, sodss der gesmte Beitrg dieses Summde zur Summe wird deswege uch Biomilkoeffiziet get. k k eträgt. Der Fktor Um die Gesmtsumme des potezierte Bioms + ) zu ermittel, müsse für k = 0,1 lle ( k k Summde mit ihrem jeweilige Biomilkoeffiziete multipliziert ud ddiert werde. Die Summe des potezierte Bioms ist somit + = k= 0 k k Ds ist ch Gleichug (1) der iomische Lehrstz, womit dieser ewiese ist. Die Awedug des iomische Lehrstzes zeigt, welche Erleichterug der Stz für die Berechug 5 vo potezierte Biome drstellt. Als Beispiel sei ds Biom ( + ) etrchtet. Hieri ist eier der Summde 3 2. Wie häufig kommt dieser Summd vor? k k 3 2 Es gilt hier ch Ausdruck (8) =, ds heißt eträgt 5 ud k ist 2. Für diese Werte ist der Biomilkoeffiziet ch Gleichug (11) Der Summd 3 2 kommt 10 Ml vor.! 5! = = = = 0 ( k! ) k! 3! 2! Ohe de iomische Lehrstz kommt m ur viel umstädlicher zu diesem Ergeis m muss lle Fälle eizel ufführe. Dies sei, uch zur Kotrolle, im Folgede durchgeführt. Ds Istrumet ist wieder der Etscheidugsum. Es git folgede Möglichkeite, 3 Elemete mit 2 Elemete zu komiiere: iom02.doc

8 Der iomische Lehrstz A diesem Beispiel sei och eiml erläutert, wie die Summde des potezierte Bioms zustde komme. Es muss j im kokrete Fll ei Produkt us 3 ud 2 geildet werde. Für de erste Fktor us der erste Klmmer git es zwei Möglichkeite, oder. Wird gewählt, k für de zweite Fktor eeflls oder gewählt werde. Wählt m uch hier, sid im Produkt ereits 3 ethlte, ud us der vierte ud füfte Klmmer kommt jeweils ur och ei hizu. Ds Produkt lutet lso. So k m wie oe drgestellt vorgehe ud erhält d lle mögliche Zusmmestelluge vo 3 Elemete ud 2 Elemete, ee lle mögliche Permuttioe vo 5 Elemete, vo dee jeweils 3 ud 2 Elemete gleich sid. Es estätigt sich, wie vom iomische Lehrstz vorhergesgt, dss es sich um 10 mögliche Permuttioe hdelt. Mithilfe des iomische Lehrstzes k m es sich er erspre, lle Permuttioe eizel ufzuführe. D es ei de Produkte uf die Reihefolge der Fktore icht kommt, werde die 10 mühsm ermittelte Permuttioe ohehi zu zusmmegefsst, ud dieses Ergeis erhält m mit dem iomische Lehrstz umittelr. Die vom iomische Lehrstz espruchte Allgemeigültigkeit muss sich u uch de Fälle ewähre, für die m de Lehrstz gr icht rucht, ämlich für die Fälle = 0 ud. I diese Fälle muss sich, wie i Gleichug (2) ud (3) ereits postuliert, 1 zw. + ergee. Für = 0 ist ch dem iomische Lehrstz i der Formulierug vo Gleichug (1) k = 0. Es ergit sich lso 0 0 0! + = = 1= 0 0 0! 0! Es muss sich er ch Gleichug (2) hierfür der Wert 1 ergee. Dies ist ur d möglich, we 0 m 0! ud mit ee diesem Wert defiiert. Es gilt deswege 0 (12) 0! (13) 0 0 Für immt k die Werte 0 ud 1. Nch dem iomische Lehrstz ist d 1 1 k k ! 1! + = = + = + = + = + k= ! 0! 0! 1! 0! 0! Mit 0! ist + = +, ws zu erwrte wr. 0! 0! Aus der vorstehede Awedug des iomische Lehrstzes uf de Fll lsse sich weitere Schlüsse ziehe, we i de Klmmer icht durch 1 ersetzt wird. Die Aleitug lutet d + = = + k= k k ist u der llgemei formulierte Biomilkoeffiziet des erste Summde ud ist der 0 Biomilkoeffiziet des letzte Summde eies potezierte Bioms. Für müsse diese Koeffiziete de Wert 1 he. Die Frge ist, o dies für lle gilt. Dies lässt sich kläre, we m! eifch die Defiitio = uf diese Fälle wedet: ( k )! k!!! = = 0 ( 0 )! 0!! iom02.doc

9 Der iomische Lehrstz! 1 = = ( )!! 0! Es gilt lso llgemei (14) (15) 0 Der Vollstädigkeit hler sei och der Fll utersucht, der Biomilkoeffiziet des jeweils 1 zweite Summde eies potezierte Bioms:! = = = 1 ( 1 )! 1! (16) = 1 Für = 2 ergit der iomische Lehrstz = = + + = + 2+ k= k k Somit lässt sich der iomische Lehrstz uch folgedermße explizit formuliere: + = (17) Wege = he der erste ud der letzte Summd des potezierte Bioms desele 0 Koeffiziete, ämlich 1. Diese Symmetrie gilt uch für de zweite Summde ud de vorletzte, de dritte Summde ud de drittletzte, wie m er esser m explizit formulierte iomische Lehrstz i der folgede Fssug sieht: (18)!!!! + = ( 1 )! 1! ( 2 )! 2! 2! ( 2 )! 1! ( 1) Der zweite Summd ht de Biomilkoeffiziete ( ) ( 1 )! 1!! ( 1 )! Summde sid wege!!, der vorletzte. Wege 1! 1! 1! 1! sid eide idetisch. Die Biomilkoeffiziete des dritte ud des drittletzte ( ) ( )! =! eeflls idetisch. Die Reihe der Biomil- 2! 2! 2! 2! koeffiziete scheit lso symmetrisch ufgeut zu sei. Allgemei gilt, dss die Biomilkoeffiziete für ei estimmtes ddurch geildet werde, dss k die Werte 0 is immt. Der Biomilkoeffiziet steht der erste Stelle, der Biomil- = iom02.doc

10 Der iomische Lehrstz koeffiziet der zweite usw. is zum Biomilkoeffiziete der letzte Stelle. = Der Wert vo k git, wie viele Biomilkoeffiziete dieser Reihe vor stehe. Ist k = 0, so stehe 0 Koeffiziete vor diesem, er ist der erste. Ist k, steht eier dvor, ds heißt ist der 1 zweite, ud ei k = stehe Koeffiziete vor, es ist der letzte. Lutet der Biomilkoeffiziet er, d edeutet k = 0, dss dieser Biomilkoeffiziet k letzter Stelle steht, de ist d, ud ds ist der letzter Stelle stehede k Biomilkoeffiziet. Für k = gilt =, ds ist der erste Koeffiziet. Der Wert vo k git lso k 0 eim Biomilkoeffiziete, wie viele Koeffiziete och folge. Bei gleichem k sid die k Biomilkoeffiziete ud lso gleich weit vom Afg zw. vom Ede der Reihe k etfert. Sid die eide Koeffiziete eider gleich, ist die Reihe symmetrisch. Die Reihe der Biomilkoeffiziete ist lso symmetrisch, we (19) = k Der Beweis ist eifch; m muss ur die Defiitio der kürzede Schreiweise Es gilt! = ( k )! k!!!! = = = k k! k! k! k! ( [ k ])! ( k )! wede. D die rechte Seite der eide Gleichuge eider gleich sid, sid es uch die like Seite. Gleichug (19) ist dmit ewiese. Ordet m die Biomilkoeffiziete für = 0,, = 2 usw. utereider, so zeigt sich ds Bild eies Dreiecks, welches zu Ehre des frzösische Mthemtikers ud Philosophe Blise Pscl Psclsches Dreieck get wird 4. Mit = 0 5 ud mit Verwedug der Defiitio der Biomilkoeffiziete ergit sich ds folgede Psclsche Dreieck: 4 Eie Aildug der ursprügliche Versio Pscls fidet sich zum Beispiel ei M. Merz / M. V. Wüthrich, Mthemtik für Wirtschftswisseschftler, Müche 2013, S iom02.doc

11 Der iomische Lehrstz 0! 0! 0! 1! 1! 0! 1! 0! 1! 2! 2! 0! 2! 1! 1! = 2 2! 0! 2! 3! 3! 0! 3! 2! 1! = 3 3! 1! 2! = 3 3! 0! 3! 4! 4! 0! 4! 3! 1! = 4 4! 2! 2! = 6 4! 1! 3! = 4 4! 0! 4! 5! 5! 0! 5! 4! 1! = 5 5! 3! 2! 0 5! 2! 3! 0 5! 1! 4! = 5 5! 0! 5! Mithilfe der verkürzede Schreiweise Dreieck uch folgedermße drstelle: für die Biomilkoeffiziete lässt sich ds Psclsche We der Pltz usreicht, k ds Dreieck türlich elieig weit ch ute fortgesetzt werde iom02.doc

12 Der iomische Lehrstz Beschräkt m die Elemete des Psclsche Dreiecks uf die Werte der Biomilkoeffiziete, zeigt sich ds folgede Bild: = 00 1 = = = = = = = = = Pscl emerkte, dss die Summe vo zwei eeeider stehede Biomilkoeffiziete eier Reihe gerde de druter stehede Biomilkoeffiziete der ächste Reihe ergit. So ist der zweite Koeffiziet der Reihe = 9 (der zehte Reihe, d die erste Reihe mit 0 egit) 9, der ächste i dieser Reihe ist 36; eide zusmme ergee 45, de dritte Koeffiziete der Reihe 0. Es gilt lso offer = Mithilfe dieses Zusmmehgs lässt sich ds Psclsche Dreieck leicht ch ute fortsetze, de der Zusmmehg ist llgemeigültig, wie im Folgede ewiese wird. Allgemei lutet die Behuptug (20) = Zur Üerprüfug dieser Behuptug wird sttt der kürzede Schreiweise die Schreiweise! k! k! ( ) (21) gewdt. Dies ergit für die like Seite vo Gleichug (20)!! + = k! k! k+ 1! k+ 1! ( [ ]) Der i Gleichug (21) ethltee Ausdruck ( [ k 1] ) +! wird gesodert etrchtet. Erweitert m dieses Produkt um ei Elemet, so ist ch dem Bildugsgesetz vo Fkultäte der ächste Fktor k 1 k Dies ergit die eue der um 1 erhöhte isherige letzte Fktor ( [ + ]), lso ( [ ] ) Fkultät ( [ k + 1] + 1)!. Die Idetität ( [ ]) ( [ ] ) ( [ ] ) k + 1! k = k ! lässt sich vereifche. Es gilt iom02.doc

13 Der iomische Lehrstz ( [ + ]) ( [ + ] + ) = ( [ + ] + ) = ( + ) = ( ) k 1! k 1 1 k 1 1! k 1 1! k! (22) ( [ k 1 ])! ( k) ( k) + =! Erweitert m u de zweite Bruch i Gleichug (21) mit ( k) ud im Neer k m ch Gleichug (22) sttt ( [ k + 1 ])! ( k) eifch Aus Gleichug (21) wird lso mit dieser Erweiterug, so wird us dem Zähler ( ) k! k! schreie. (23) ( k)!! + = ( k )!k! k! k+ 1! Der i dieser Gleichug ethltee Ausdruck ( k+ 1 )! wird wiederum seprt etrchtet. I diesem Produkt ist der letzte Fktor (k+ 1) ud der vorletzte ufgrud des Bildugsgesetzes eier Fkultät ( k+ 1 1) = k. Ds Produkt mit k ls letztem Fktor würde lute k!. Multipliziert m dieses Produkt + ) mit (k 1, erhält m wieder k+ 1!. Es gilt lso (24) ( k+ 1 )! = k! ( k+ 1) Dies i Gleichug (23) eigesetzt: ( k)!! + = ( k )!k! k! k! k + 1 Die eide Brüche werde uf eie Neer gercht ud vereifcht: ( + ) + ( ) k 1! k! + = + 1 k!k! k+ 1 k! +! +! k! = = = ( k )! k! ( k+ 1)! +! ( k )! k! ( k+ 1)! ( + 1) ( k )! k! ( k+ 1) Für k! ( k + 1) ud! ( + 1) i diesem Ausdruck wird etspreched Gleichug (24) gesetzt ( + ) zw. ( + 1 )!, sodss k 1! (25) ( + 1 )! + = + 1 k! k + 1! Nch Behuptug (20) soll u gelte = Die rechte Seite dieser zu eweisede Gleichug wird explizit formuliert: iom02.doc

14 Der iomische Lehrstz ( + 1 )! ( [ ]) + 1 = k+ 1! k + 1! (26) ( + 1 )! + 1 = + 1 k! k+ 1! Die rechte Seite der Gleichuge (25) ud (26) stimme üerei. D stimme uch die like Seite üerei ud es gilt = Ds er ist Gleichug (20), womit diese Behuptug ewiese ist iom02.doc