Stichprobenanweisungen n-c : Simulation und Berechnungen

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1 HTL Saalfelden Stichrobensysteme Seite von 2 Wilfried Rohm wrohm@aon.at Stichrobenanweisungen n-c : Simulation und Berechnungen INHALT Prinzi einer n-c-stichrobenanweisung Simulation der Stichrobenentnahme, Ermittlung der OC Wie hängt der Verlauf der OC von den Parametern n und c ab? Berechnung der charakteristischen 9 / - Werte Prüfaufwand Durchschluf, Durchschlufkurve und maximaler Durchschluf Vergleich der Berechnung mit Binomial- und Poissonverteilung Der AQL-Wert: Bedeutung und Interretation ) Prinzi einer n-c-stichrobenanweisung zurück zum INHALT Bei Stichrobensystemen handelt es sich um eine leicht verständliche Methode der statistischen Qualitätssicherung. Stichroben ersetzen in vielen Fällen -%-Prüfungen, insbesondere bei zerstörenden Prüfungen oder Prüfungen an nicht allzu kritischen Teilen (d.h. ein gewisser durchschlüfender Fehleranteil kann verkraftet werden.) bzw. Prüfungen, die sonst nicht wirtschaftlich durchführbar sind. In der Praxis wird eine Vielzahl unterschiedlicher Stichrobensysteme verwendet. Hier beschränken wir uns auf den einfachsten und bekanntesten Fall einer sogenannten Einfachstichrobenanweisung für qualitative Merkmale beschränken. "Qualitativ" soll heißen, daß die Prüfung eines Teiles nur auf der Basis gut oder schlecht (bzw. fehlerfrei oder fehlerhaft) erfolgt. Beisiel : Monatlich werden 2. Sritzgußteile bestimmter Sezifikation an eine Firma geliefert. Der Lieferant hat zugesichert, daß höchstens % dieser Sritzgußteile unbrauchbar sind. Damit erklärt sich die Firma einverstanden, jedoch soll diese Angabe des Lieferanten im Wareneingang stichrobenartig überrüft werden. Aus der Norm DIN ISO (AQL-Stichrobensystem) wurde folgende Stichrobenanweisung herausgelesen: n c = 35 7 Was bedeutet diese Stichrobenanweisung? Aus dem Losumfang N=2. soll eine Stichrobe von n=35 Sritzgußteilen entnommen und gerüft werden. Die Zahl c wird Annahmezahl genannt, das bedeutet: Sind bis zu 7 fehlerhafte Teile unter den 35 gerüften Teilen, so gilt das Los im obigen Sinne als "o.k." und wird angenommen. Werden mehr als 7 fehlerhafte Teile gefunden, so wird das Los abgelehnt bzw. rückgewiesen. Was dann zu tun ist, muß vertraglich geregelt sein (z.b.: Reklamation / Rücksendung an den Lieferanten).

2 HTL Saalfelden Stichrobensysteme Seite 2 von 2 Fragestellungen Offensichtlich ist eine Stichrobenentnahme mit einem bestimmten Risiko verbunden. So können etwa "zufälliger Weise" mehr als 7 schlechte unter den 35 untersuchten Teilen sein, obwohl in der gesamten Lieferung der Ausschußrozentsatz kleiner als % ist. Auf der anderen Seite könnte es sein, daß "zufälliger Weise" die Anzahl der gefundenen Schlecht-stücke 7 ist, obwohl der Ausschußrozentsatz in der gesamten Lieferung größer als % ist. Zur Abschätzuung dieser Risiken müssen etwa folgende Fragen beantwortet werden können: a) Wie groß ist beisielsweise die Wahrscheinlichkeit, daß die Lieferung angenommen wird, wenn die Lieferung gerade 2% fehlerhafte Teile enthält? Umgekehrt: Bei welchem Fehlerrozentsatz beträgt die Annahmewahrscheinlichkeit genau 9%? b) Wie groß ist die Anzahl der durchschlüfenden fehlerhaften Teile für einen bestimmten vorgegebenen Ausschußrozentsatz? c) Bei welchem Ausschußrozentsatz ist dieser Durchschluf maximal? Bei der Beantwortung dieser Fragen stößt man sehr schnell auf Grenzen, was die raktische Berechenbarkeit ohne Comuterrogramm oder CAS-Programm betrifft. Daher gibt es auch umfangreiche Tabellen. Gerade deshalb ist es aber sehr reizvoll, diese (rein gedanklich) nicht allzu schweren Fragen mittels Mathcad zu lösen. 2) Simulation der Stichrobenentnahme, Ermittlung der OC zurück zum INHALT Wir wollen die Stichrobennahme einer Lieferung simulieren, die einen konstanten "Schlechtanteil" aufweist und die mittels einer n-c-anweisung auf Annahme überrüft werden soll. (n Teile werden gerüft, Annahme der Lieferung, wenn höchstens c schlechte darunter sind) Indem wir anschließend die Größe variieren, können wir ermitteln, wie häufig es zu einer ANNAHME bzw. RÜCKWEISUNG kommt und dies schließlich mit den theoretischen Wahrscheinlichkeiten vergleichen. Die Versuchsentnahme entsricht (wegen dem konstanten Schlechtanteil ) dem Versuchsschema der Binomialverteilung. Daher können wir mittels der Funktion rbinom die Simulation durchführen. (Hinweis: rbinom liefert einen Vektor!) n := 5 c := 2 :=.2 N := Anzahl der Simulationen simulation := rbinom( N, n, ) simulation T = Man exerimientiere mit unrterschiedlichen Werten von! Wir wollen nun die relative Häufigkeit der Annahme der Lieferung in einem Diagramm für verschiedene Werte von (unktweise) darstellen und mit der "theoretischen" Annahmewahrscheinlichkeit in Abhängigkeit vom Ausschußrozentsatz vergleichen - diese Kurve wird OPERATIONSCHARTAKTERISTIK (OC) genannt. Die Berechnung erfolgt mittels der Verteilungsfunktione G(x) der Binomialverteilung.

3 HTL Saalfelden Stichrobensysteme Seite 3 von 2 Zunächst die reine Simulation (Mathcad-Programm) annahmehäufigkeit( N, n, c, ) := sum simulation rbinom( N, n, ) for i.. N sum sum + if simulation i c N Simulationen durchführen und im Feld "simulation" seichern Die Annahmen zählen... sum N annahmehäufigkeit(, 5, 2,.5) =.56 Beisiel für den Aufruf Rückgabe der relativen Häufigkeit für die Annahme Simulation: N sim := n := 5 c := 3 :=,....2 Anzahl der Simulationen (für jedes ) Simulation der n-c-anweisung (für nochmalige Simulation das Grafikfenster anklicken und F9 drücken!) ( ) annahmehäufigkeit N sim, n, c,.5 Vergleich der Simulation mit rechnerischen Werten Definition der Binomialverteilung g bi ( x, n, ) := dbinom( x, n, ) Wahrscheinlichkeit für genau x schlechte in Stichrobe (n) G bi ( x, n, ) := binom( x, n, ) Wahrscheinlichkeit für höchstens x schlechte in Stichrobe(n) Für die Annahmewahrscheinlichkeit Pa= P( x c) gilt: Pa(, n, c) := binom( c, n, ) N sim := n := 5 :=,....3 :=,....2 c := 3 Festzulegende Werte (n-c-anweisung) und N (Anzahl der Simulationen) Werte für die berechnete Kurve Werte in größeren Schritten für die Simuilation Pa(, n, c) ( ) annahmehäufigkeit N sim, n, c, ,

4 HTL Saalfelden Stichrobensysteme Seite 4 von 2 3) Wie hängt der Verlauf der OC von den Parametern n und c ab? zurück zum INHALT OC=Annahmewahrscheinlichkeit der Einfachstichrobe n-c Pa(, n, c) := G bi ( c, n, ) :=,....2 Pa(, 5, 2) Pa(, 5, 3) Pa(,, 3) ) Berechnung der charakteristischen 9 / - Werte zurück zum INHALT In der Praxis werden zur Charakteristik einer Stichrobenanweisung häufig 2 Punkte angegeben, die in Kürze den Verlauf der OC beschreiben können: 9... Das ist jener Ausschussrozentsatz in der Grundgesamtheit, bei dem die Annahmewahrscheinlichkeit 9% beträgt.... Das ist jener Ausschussrozentsatz in der Grundgesamtheit, bei dem die Annahmewahrscheinlichkeit % eträgt. Anmerkung: Die Berechnung dieser Größen gelingt im allgemeinen nur numerisch, da z.b. bei der Stichrobenanweisung 35-7 dazu bereits Gleichungen 35.Grades zu lösen sind!! Dies kann man allerdings nur dann demonstrieren, wenn man für die Binomialverteilung eigene Definitionen verwendet, etwa so: n! g bi ( x, n, ) := x! ( n x)! Pa(, n, c) := Pa, 35, 7 c k = ( ).9 g bi ( k, n, ) = x ( ) n x ( ) ( ) 34 ( )

5 HTL Saalfelden Stichrobensysteme Seite 5 von 2 Variante zur Berechnung mit numerischen Lösungsblock: :=. :=.5 Vorgabe 9 := Vorgabe Pa(, n, c) =.9 suchen( ) Pa(, n, c) =. 9 =.22 n := 5 c := 2 Startwert für die numerische Suche nach der Lösung := suchen( ) =.3 :=, Pa(, n, c) ) Prüfaufwand zurück zum INHALT Prüfaufwand: wieviel Stück werden im Mittel bei bestimmtem Ausschußrozentsatz gerüft = Erwartungswert des Stichrobenumfanges N... Losumfang ; n... Stichrobenumfang N := n = 5 c = 2 n mittel ( ) := Pa(, n, c) n + N ( Pa(, n, c) ) Begründung: Bei Annahme des Loses werden nur n Stück gerüft, bei Rückweisung erfolgt eine Sortierrüfung (alle N Stück werden gerüft) Einige Werte in Abhängigkeit vom Ausschußrozentsatz zeigen: bei schlechter Qualität wird die Prüfung teuer!! n mittel ( ) = 5 n mittel (.) = n mittel (.2) = n mittel (.5) =

6 HTL Saalfelden Stichrobensysteme Seite 6 von 2 6) Durchschluf, Durchschlufkurve und maximaler Durchschluf Durchschluf D: Darunter versteht man den mittleren ANTEIL fehlerhafter Einheiten in den eingehenden Losen (also jener Schlechtanteil, der trotz Stichrobenrüfung "durchschlüft"). Bei der folgenden Berechnungsformel wird vorausgesetzt, dass rückgewiesene Lose sortiergerüft werden. D(, N) := Pa(, n, c) N n N N... Losumfang (Grundgesamtheit) n... Stichrobenumfang c... Annahmezahl der n-c-anweisung... Anteil der Schlechtstücke im Los Erläuterung: *Pa()... W., daß die Lieferung angenommen wird UND dass ein Stück schlecht ist. N-n... die ANZAHL der nicht gerüften Stücke (bei Annahme des Loses) (N-n)/N... der ANTEIL der nicht gerüften Stücke im Vergleich zum Losumfang zurück zum INHALT An welcher Stelle wird der Durchschluf maximal (Extremwertaufgabe): AOQL -Wert n := 5 c := 2 :=.3 Schätzwert für die Lösung d aoql wurzel d D(, ) :=, aoql =.4469 :=,....2 D(, ) aoql D(, 25).2 D(, 5) D(, ) D(, ) Interretation: * Die Stelle des Maximums ist vom Losumfang N unabhängig (mathematisch logisch!) * Für großes N gilt : D ist ungefähr Pa()*

7 HTL Saalfelden Stichrobensysteme Seite 7 von 2 Gegenüberstellung zwischen OC und Durchschlufkurve.9 9 Pa(, n, c) D(, N) ) Vergleich der Berechnung mit Binomial- und Poissonverteilung zurück zum INHALT In der Praxis wird seziell im Bereich der Stichrobensysteme gerne mit der einfacher handzuhabenden Poissonverteilung statt der Binomialverteilung gerechnet. Allgemein kann die Poissonverteilung als Näherung der Binomialverteilung für kleines und "nicht zu kleines" n sehr gut verwendet werden. Da diese Bedingungen gerade bei Stichrobensystemen im normalen Anwendungsfall erfüllt sind, sind etwaige Ungenauigkeiten vernachlässigbar. [Es sei ergänzt, dass derartige Näherungen im Zeitalter der Comuteralgebrasysteme nicht mehr so bedeutend sind (wie früher).] Wir demonstrieren dies hier an Hand des OC-Verlaufes, einmal mit der Binomial-, das andere Mal mit der Poissionverteilung berechnet. G bi ( x, n, ) := binom( x, n, ) G o ( x, µ ) := ois( x, µ ) Pa bi (, n, c) := G bi ( c, n, ) Pa o ( µ, c) := G o ( c, µ ) Man exerimentiere mit verschiedenen Werten von n und und interretiere das Ergebnis: n := 5 c := 3 Pa bi (, n, c) Pa o ( n, c)

8 HTL Saalfelden Stichrobensysteme Seite 8 von 2 8) Der AQL-Wert: Bedeutung und Interretation zurück zum INHALT Der Praktiker verwendet für die Charakterisierung der statistischen Risiken einer Stichrobenanweisung (die exakt durch die Oerationscharakteristik = OC erfolgt), gerne den sogenannten AQL-Wert. AQL = Acceatable Quality Limit Die genormten Stichrobenvorschriften sind nach derartigen AQL-Werten geordnet, z.b: AQL =,25,4,65,,5 2,5 4, 6.5 Eine Stichrobenvorschrift, die bei AQL =, zu finden ist, wurde so festgelegt, dass bis zu % Anteil fehlerhafter Einheiten im Los gemäß dieser Stichrobenvorschrift eine hohe Annahmewahrscheinlichkeit (in der Regel über 9%) gegben ist. In der Norm ISO 2859 findet man u.a. folgende n-c-prüfanweisungen bei AQL=, n-c = Die sezielle Wahl hängt übrigens in erster Linie vom Losumfang N ab Pa(, n, c) := G bi ( c, n, ) AQL :=. :=,....2 Pa(, 3, ) Pa(, 5, ) Pa(, 8, 2) Pa(, 25, 3) Pa(, 2, 5) Pa(, 35, 7).2. AQL Wir sehen aus diesem Schaubild: * Der AQL-Wert soll eine ungefähre Ahnung vom Verlauf der OC vermitteln. * Bis zum AQL-Wert (in Prozent) wird "eine hohe Annahmewahrscheinlichkeit" garantiert! Im seziellen erhalten wir folgende Annahmewahrscheinlichkeiten beim AQL-Wert % Pa(., 3, ) =.878 Pa(., 5, ) =.9 Pa(., 8, 2) =.953 Pa(., 25, 3) =.963 Pa(., 2, 5) =.984 Pa(., 35, 7) =.985

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