3.5 Überlagerung von harmonischen Schwingungen

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1 3.5 Überlagerung von harmonischen Schwingungen 3.5 Überlagerung von harmonischen Schwingungen Zwei Schwingungen u 1 und u längs gleicher Richung können superponier werden. u 1 = u sin(ω 1 + ϕ 1 ) (3.9) u = u sin(ω + ϕ ) (3.93) u ges = u 1 + u (3.94) ( ) u ges = u sin(ω 1 + ϕ 1 ) + sin(ω + ϕ ) (3.95) ( ω1 ω u ges = u cos + ϕ ) ( 1 ϕ ω1 + ω sin + ϕ ) 1 + ϕ (3.96) ( ω u ges = u cos + ϕ ) sin( ω + ϕ) (3.97) mi: ω = ω 1 ω (3.98) ω = ω 1 + ω (3.99) ϕ = ϕ 1 ϕ (3.1) ϕ = ϕ 1 + ϕ (3.11) (3.1) Spezialfall: gleiche Frequenz, verschiedene Phase ω 1 = ω ω =, ω = ω (3.13) ( ) ϕ u ges = u cos sin(ω + ϕ) (3.14) }{{} neue Ampliude maimale Ampliude für ϕ =, ±π, ±4π,... minimale Ampliude () für ϕ = ±π, ±3π,... 83

2 3 Schwingungen und Wellen (a) u u 1 =1 (b) u u 7 1 =8 Abbildung 3.6: Überlagerung zweier Schwingungen mi (a) verschiedener Frequenz ω 1 ω, (b) nahezu gleicher Frequenz ω 1 ω (Schwebung). Spezialfall: verschiedene Frequenz, gleiche Phase ϕ 1 = ϕ ϕ =, ϕ = ϕ (3.15) ( ) ω u ges = u cos sin( ω) (3.16) }{{}}{{} Hüllkurve Ampliude modulier Schwebung 3.6 Gekoppele Schwingungen Zwischen gekoppelen Oszillaoren finde ein periodischer Energieausausch sa. Annahme: Zwei gleiche Massen mi zwei gleichen Federn der Federkonsane c sind über eine zusäzliche Feder der Federkonsanen c 1 gekoppel. Differenialgleichungen: mü 1 + cu 1 + c 1 (u 1 u ) = (3.17) mü + cu + c 1 (u u 1 ) = (3.18) (3.19) Addiion bzw. Subrakion und Division durch m führ zu: 84

3 3.6 Gekoppele Schwingungen u I um u II u m Abbildung 3.7: Gekoppele Federschwingungen. (ü 1 + ü ) + c m (u 1 + u ) = (3.11) (ü 1 ü ) + c + c 1 m (u 1 u ) = (3.111) (3.11) Subsiuion: u I = u 1 + u (3.113) u II = u 1 u (3.114) (3.115) Dann folg: u I + c m u I = ω I = c m gleichphasig (3.116) Fundamenalschwingungen u II + c + c 1 m u II = ω II = c + c 1 m gegenphasig (3.117) (3.118) 85

4 3 Schwingungen und Wellen 3.7 Zusammenhang von Schwingungen und Wellen Durch Kopplung von mehreren schwingungsfähigen Sysemen wird die Schwingung eines Sysems auf die Nachbarn überragen Wellenausbreiung. Bei der Wellenbewegung wird keine Maerie, aber Energie ransporier. Transversalwellen: Ausbreiungsrichung Schwingungsebene Longiudinalwellen: Ausbreiungsrichung Schwingungsebene Harmonische Wellen: Neben der Zeiabhängigkei bei harmonischen Schwingungen gib es eine Orsabhängigkei. (a) y (b) y (c) y Abbildung 3.8: Forschreiende Welle zwischen gekoppelen Pendeln: (a) Pendel mi Kopplungsfedern, (b) Transversalwelle, (c) Longiudinalwelle. 86

5 3.7 Zusammenhang von Schwingungen und Wellen y = 1/8 T /8 T 3/8 T 4/8 T 5/8 T 6/8 T 7/8 T =8/8 T Abbildung 3.9: Zusände einer laufenden Transversalwelle. Schwingungsverlauf der einzelnen Syseme: = : u(, = ) = u sin(ω + ϕ ) (3.119) = a : u(,a) = u sin(ω( ) + ϕ ) (3.1) = u sin(ω( a c ) + ϕ ) (3.11) = a : u(, a) = u sin(ω( ) + ϕ ) (3.1) = u sin(ω( a c ) + ϕ ) (3.13) c: Ausbreiungsgeschwindigkei der Welle allgemein: ( ( u(,) = u sin ω ) ) + ϕ c (3.14) (3.15) zeilich und räumlich periodischer Vorgang. 87

6 3 Schwingungen und Wellen u(,) T -/c=cons. Abbildung 3.1: Raum-Zei-Diagramm einer ensehenden Seilwelle. Periodendauer T : Schwingungsdauer eines Oszillaors Wellenlänge λ: räumlicher Absand zweier Oszillaoren mi gleicher Phase. Kreisfrequenz ω: ω = π T Wellenzahl k: k = π λ Phasengeschwindigkei c: harmonische Wellen c = λ T = ω k u(,) = u sin(ω k) (3.16) eine von vielen Lösungen der sogenannen Wellengleichung, die die Ors- und Zeikoordinae in Verbindung sez is die 1-dim. Wellengleichung: Allgemeine Lösung nach D Alember: u = 1 u (3.17) c u(,) = f ( ) ( + g + ) c c (3.18) f,g: zwei beliebige zweimal differenzierbare Funkionen Überlagerung zweier Wellen mi engegengesezen Phasengeschwindigkeien. 88

7 3.8 Überlagerung von Wellen, Inerferenz, sehende Wellen 3.8 Überlagerung von Wellen, Inerferenz, sehende Wellen Genau wie bei den Schwingungen gil das Prinzip der ungesören Überlagerung (Superposiion): u(,) = u 1 (,) + u (,) (3.19) a) Gleiche Frequenz, gleiche Richung u 1 = u sin(ω k) (3.13) u = u sin(ω k + ϕ ) (3.131) u = u (sin(ω k) + sin(ω k + ϕ )) (3.13) ( ϕ ) ( u = u cos sin ω k + ϕ ) (3.133) gleiche Frequenz, aber andere Ampliude und andere Phase. ϕ = : Ampliude doppel so groß; konsrukive Inerferenz ϕ = π: Ampliude = ; desrukive Inerferenz b) Gleiche Frequenz, engegengeseze Richung Sehende Wellen u 1 = u sin(ω k) (3.134) u = u sin(ω + k + ϕ ) (3.135) ( u = u cos k + ϕ ) ( sin ω + ϕ ) (3.136) Schwingungsknoen: u = Schwingungsbäuche: u = u ma = u Ampliude u cos ( ) k + ϕ häng periodisch vom Or ab. Schwingungsbäuche und -knoen sind orsfes im Absand λ/ voneinander. Sehende Wellen reen nach Refleion am Ende des Ausbreiungsmediums auf, da sich hin- und rücklaufende Welle überlagern. Achung: Refleion am fesen Ende: Phasensprung um ϕ = π Refleion am losen Ende: kein Phasensprung. 89

8 3 Schwingungen und Wellen 9