3 Kurven und Flächen. HS Heilbronn - Prof. Dr. P. Fleischmann CAD-K3 10/2011 3/1. Bild 3.1: 3D-Flächen. Bild 3.2: Freiformkurven

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1 HS Heilbronn - Prof. Dr. P. Fleischmann CAD-K3 10/2011 3/1 3 Kurven und Flächen 3.1 Flächenmodell Ebene Zylinder, Kegel, Torus.2 Freiformkurven und -flächen Interpolierende Kurven/Flächen Approximierende Kurven/Flächen a) Polynomansatz b) Bézier-Ansatz c) Rationale Bézier-Fläche d) B-Spline e) Rationaler B-Spline f) NURBS - Non Uniform Rational B-Spline Flächenrückführung, Netzflächen 3.3 Kontrolle von Flächen a) Konventionelles Vorgehen b) Kontrolle der Krümmung c) Reflexionslinienmethode d) Isophoten Bild 3.1: 3D-Flächen Bild 3.2: Freiformkurven Bild 3.3: Bézier-Kurve mit Bézier-Polygon, n = 8 Bild 3.4: Bézier-Fläche mit Bézier-Netz, m = 5, n = 4 Bild 3.5-1: Rat. Bézier - zentraler Punkt mit G = 1 Bild 3.5-2: Rat. Bézier zentraler Punkt mit G = 20 Bild 3.5-3: Rat. Bézier zentraler Punkt mit G = -1,6

2 HS Heilbronn - Prof. Dr. P. Fleischmann CAD-K3 10/2011 3/2 Bild 3.6: Lokale und globale Änderung des Kurvenverlaufs Bild 3.7: Datensatz, Testfunktion und Netzfläche Bild 3.8: Flächenrückführung

3 HS Heilbronn - Prof. Dr. P. Fleischmann CAD-K3 10/2011 3/3 Bild 3.9: Kontrolle auf Krümmung Bild 3.10: Reflexionslinien-Methode Bild 3.11: Reflexionslinienanalyse Bild 3.12: Prinzip der Isophoten Bild 3.13: Ergebnisse bei Isophoten- Darstellung Bild 3.14: Catia-Isophoten

4 HS Heilbronn - Prof. Dr. P. Fleischmann CAD-K3 10/2011 3/4 c) Reflexionslinien Bei der Reflexionslinienmethode gehen wir von einer (wenigstens einmal stetig differenzierbaren) Fläche X mit der Parameterdarstellung X= X(u,v), den Parametern u,v ε [0,1] und dem Normalenvektor N aus. Weiter sei gegeben eine Gerade L und ein fester Beobachtungspunkt A. Als Reflexionslinie wird nun das Bild der Geraden L auf der Fläche X bezeichnet, das vom Augpunkt A beobachtet wird, wenn die Lichtlinie L in der Fläche X gespiegelt wird. Zur Begutachtung eines Flächenstückes werden nun Reflexionslinien einer Schar von Lichtgeraden ermittelt. Unregelmäßigkeiten im Verlauf der Reflexionslinien deuten unerwünschte Bereiche an. Das Bild zeigt ein Reflexionslinienbild einer Schar paralleler Lichtgeraden mit deutlichen Unregelmäßigkeiten im mittleren Bereich. Das Reflexionslinienverfahren ist eine mathematische Nachbildung der in der Autoindustrie üblichen Gütebeurteilung einer Karosserieoberfläche in einem Lichtkäfig: dabei werden vom Designer auf einem Karosserierohmodell die Reflexionslinien der Neonröhren des Lichtkäfigs beobachtet und aufgrund dieser Beobachtung werden dann Korrekturen vorgenommen. Jeder von uns kann mit dieser Methode etwa an Spiegelbildern eines Mastes einer Straßenlaterne oder den Spiegelbildern der Kanten und Fenster eines Hochhauses die Güte der Oberfläche von Autokarosserien selbst beurteilen. d) Isophoten Eine weitere flächenorientierte Methode der Gestalt von CAD-Flächen sind die Isophoten - Linien gleicher Helligkeit. h 1 = C 1 cos λ C 1 - Konstante λ - Winkel zwischen der Flächennormalen N eines Flächenpunktes und der Lichtrichtung p des einfallenden Lichtes. Hierbei bleibt die Blickrichtung des Betrachters unberücksichtigt - dies entspricht aber nicht der natürlichen Situation. Dies bedeutet, dass durch eine ungünstige Blickrichtung des Betrachters ein Defekt in der Fläche nicht klar erkennbar sein kann - die Fläche muss gedreht werden. Im CAD-Bereich bezeichnet man die Stetigkeit von Kurven und Flächen wie folgt: C 0 -Stetigkeit - Punktstetigkeit, 2 benachbarte Kurven gehen durch den selben Punkt, Knick C 1 -Stetigkeit - Tangentenstetigkeit C 2 -Stetigkeit - Krümmungsstetigkeit. Die Isophoten haben eine einen Grad geringere Stetigkeit als die Kurven/Flächen. Dies führt zu den Ergebnissen: C 0 -Stetigkeit der Kurve C 1 -Stetigkeit der Kurve C 2 -Stetigkeit der Kurve - C -1 -Stetigkeit der Isophote, Sprung - C 0 -Stetigkeit der Isophote, Punktstetigkeit, Knick - C 1 -Stetigkeit der Isophote, Tangentenstetigkeit Dies führt zu den Darstellungen: bei einem Zylinder mit aufgesetzter Halbkugel liegt geometrisch ein tangentenstetiger Übergang - C 1 -stetig - vor. Die Isophote besitzt einen Knick - C 0 -stetig. bei einem Zylinder mit aufgesetztem Kegel liegt geometrisch eine Punktstetigkeit - C 0 -stetig - vor. Die Isophote besitzt einen Sprung - C -1 -stetig. Das CATIA-Bild 3.14 zeigt den Zylinder mit Aufsatz. Bei dem halbkugelförmigen Aufsatz ist der Knick in der Isophoten-Richtung klar zu erkennen, bei dem kegelförmigen Aufsatz sieht man einen Versatz der Isophoten am Übergang, also eine C -1 -Stetigkeit. Bild 3.15 zeigt die C 1 - und C 0 -Stetigkeit bei Flächen. Das CATIA-Bild 3.16 zeigt ein gewölbtes Blech. Das hintere Ende des Bleches ist nur tangentenstetig mit einem kreisförmigen Übergang von der horizontalen Geraden zur vertikalen. An den Isophoten erkennt man deutlich den Unterschied zum vorderen Ende mit seiner fast kontinuierlichen Änderung der Normalenrichtung.

5 HS Heilbronn - Prof. Dr. P. Fleischmann CAD-K3 10/2011 3/5 Bild 3.15: Isophoten bei Flächen Bild 3.16: Catia-Isophoten