In der Technik treten Fachwerke als Brückenträger, Masten, Gerüste, Kräne, Dachbindern usw. auf.

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1 6. Ebene Fachwerke In der Technik treten Fachwerke als Brückenträger, Masten, Gerüste, Kräne, Dachbindern usw. auf. 6.1 Definition Ein ideales Fachwerk besteht aus geraden, starren Stäben, die miteinander verbunden sind und ein starres System bilden mit folgenden Annahmen: Die Stäbe sind in den Endpunkten (Knoten) durch reibungsfreie Gelenke miteinander verbunden Eingeprägte Lasten bzw. Auflagerreaktionen greifen nur in den Knotenpunkten an. Die Stäbe können nur auf Zug und Druck beansprucht werden (keine Momente und Querkräfte) Diese Annahmen werden werden in der Realität nicht exakt erfüllt. Ideale Fachwerke stellen hinreichend genaue Ersatzmodelle realer Fachwerke dar. 1

2 Besucherplattform am Rettenbachferner bei Sölden als Beispiel einer durch Stahlseile abgespannten Fachwerkskonstruktion mit typischer Dreiecksstruktur 2

3 6.2 Statische Bestimmtheit Jeder Knoten k eines Fachwerks besitzt in der Ebene f = 2 Freiheitsgrade. Die Anzahl der Freiheitsgrade wird durch die Bindungen a in den Auflagern und den einwertigen Bindungen s der Stäbe vermindert. Die statische Bestimmtheit eines gelagerten Fachwerks ergibt sich wieder aus der Bedingung, dass der Freiheitsgrad D des Gesamtsystems Null ist: D = a + s 2 k = 0 Hierbei ist a die Anzahl der unabhängigen Auflagerbindungen, s die Anzahl der Stäbe und k die Anzahl der Knoten. Ist ein Fachwerk äußerlich statisch bestimmt gelagert (a = 3), so folgt die Bedingung für die innere statische Bestimmtheit eines ebenen Fachwerks s + 3 = 2 k 3

4 Innerlich statisch bestimmte Fachwerke sind in sich stabil und verhalten sich nach außen hin wie Scheiben. Zur Kennzeichnung werden die Stäbe s mit arabischen und die Knoten k mit römischen Ziffern nummeriert. V 9 VI I 1 II 2 III 3 IV Für das Beispiel ergibt sich mit a = 3 Lagerbindungen, s = 9 Stäben und k = 6 Knoten die statische Bestimmtheit D = = 0 4

5 6.3 Fachwerktypen Einfache Fachwerke Einfache Fachwerke werden aufgebaut, indem ausgehend von einem Stab jeweils zwei miteinander verbundene Stäbe an zwei benachbarte Knoten des vorhandenen Fachwerks angesetzt werden a) Dreieckfachwerk b) K-Fachwerk Durch das Verfahren werden für jeden weiteren Knoten nur zwei neue Stäbe hinzugefügt, wodurch die Bedingung s + 3 = 2 k automatisch erfüllt ist. Einfache Fachwerke sind durch ihre Dreieckstruktur immer stabil. Stabkräfte können aus den Gleichgewichtbedingungen gewonnen werden. Alle 5

6 6.3.2 Nichteinfache Fachwerke Bei nichteinfachen Fachwerken ist sie Bedingung s + 3 = 2 k zwar notwendig, aber nicht hinreichend für innere statische Bestimmtheit. a) b) c) = = = 2 9 Für das Beispiel a) lassen sich alle Stabkräfte aus den Gleichgewichtsbedingungen ermitteln. Bei b) ist dies nicht der Fall, da alle möglichen Schnitte allg. Kräftesysteme mit mehr als 3 bzw. zentrale Kräftesysteme mit mehr als 2 unbekannten Stabkräfte ergeben. Beispiel c) ist innerlich nicht stabil (senkrecht verschieblich) 6

7 6.3.3 Zusammengesetzte Fachwerke Eine Verbindung von zwei Fachwerksteilen ist möglich durch drei Stäbe, die sich nicht alle in einem Punkt schneiden oder parallel sind. + = Zusammengesetzte Fachwerke können auch ein mehrteiliges Fachwerk bilden, dessen starre Teilfachwerke durch ein Gelenk miteinander verbunden sind (Dreigelenkfachwerk). + = G 7

8 6.4 Bestimmung der Stabkräfte Die Stabkräfte stellen die Schnittgrößen eines Fachwerks dar. Zugkräfte werden positiv, Druckkräfte negativ festgelegt. + S S Zugstab: F F S S Druckstab: F F Schnittkräfte sind von den Knoten weggerichtet Schnittkräfte zeigen in Richtung der Knoten Zur Ermittlung der Stabkräfte existieren verschiedene Verfahren: Rechnerische Verfahren Knotenpunktverfahren Schnittverfahren nach Ritter Grafische Verfahren CREMONA-Plan Culmann-Verfahren 8

9 6.4.1 Lastfreie Stäbe a) b) F c) Die statische Bestimmtheit eines Fachwerks wird nur durch die Anzahl der Stäbe und Knoten festgelegt und ist unabhängig von den äußeren Lasten. Ein Fachwerk kann daher je nach Belastung kräftefreie Stäbe (Nullstäbe) besitzen, die aber für die Starrheit des Fachwerks notwendig sind und nicht weggelassen werden dürfen. Lastfreie Stäbe können durch folgende drei Regeln identifiziert werden: Zweistabknoten ohne äußere Last oder Auflagerkraft Zweistabknoten, bei dem die äußere Kraft oder die Auflagerkraft in Richtung eines Stabes wirkt Unbelasteter Dreistabknoten, bei dem zwei Stäbe die gleich Richtung besitzen 9

10 Die Bestimmung lastfreier Stäbe kann je nach Fachwerkstyp und Belastung den Rechenaufwand erheblich verringern. Beispiel: F F y x l 2 10

11 6.4.2 Knotenpunktverfahren Beim Knotenpunktverfahren wird um jeden Knoten des Fachwerks ein Schnitt gelegt und die Stabkräfte aus den Gleichgewichtsbedingungen des zentralen Kräftesystems ermittelt. Nummerierung der Knoten und Stabkräfte des Fachwerks Festlegung eines Koordinatensystems Ermittlung der Auflagerkräfte (wenn notwendig) Bestimmung der Nullstäbe Eintragen der restlichen Stabkräfte als Zugkräfte Anwendung der Gleichgewichtsbedingungen ΣF x =0 und ΣF y =0 um jeden Knoten Die Reihenfolge der Berechnung muss dabei so gewählt werden, dass an jedem neuen Knoten nicht mehr als zwei unbekannte Stabkräfte auftreten. Werden Auflagerkräfte vorab nicht bestimmt, sind sie als zusätzliche Unbekannte in das System einzuführen. 11

12 Beispiel: Stabkräfte F 1 =10kN VI 13 VII 14 VIII 15 IX F 2 =20kN a II y 3 III 4 IV I x a a a V a 12

13 ... Fortsetzung F 1 =10kN VI 13 VII 14 VIII 15 IX F 2 =20kN a II 3 III 4 IV 5 V 1 2 I y x a a a a 13

14 Übung: Drehkran Gegeben: Kraft F = 6 kn, Länge a Gesucht: Stat. Bestimmtheit, Nullstäbe, Stabkraft 14, Auflagerkräfte a a a a VI VII VIII IX a II III IV 2 V F I 14

15 6.4.3 Schnittverfahren nach Ritter Werden nur einzelne Stabkräfte eines statisch bestimmten Fachwerks benötigt, lässt sich vorteilhaft das sog. Ritter sche Schnittverfahren anwenden. Man zerlegt dabei das Fachwerk mit einem Schnitt durch die Stäbe mit den gesuchten Stabkräften. Die Teilfachwerke können als starre Scheiben angesehen werden, die jede für sich unter Berücksichtigung der äußeren Kräfte, der Auflagerreaktionen und der gesuchten Stabkräfte im Gleichgewicht stehen. Der Schnitt erfolgt durch Stäbe mit max. drei unbekannten Stabkräften, deren Wirkungslinien sich nicht in einem gemeinsamen Punkt schneiden. Man verwendet vorzugsweise Momentengleichgewichtsbedingungen, wobei die Bezugpunkte so zu wählen sind, dass jeweils nur eine unbekannte Stabkraft auftritt. Die Auflagerreaktionen müssen bei diesem Verfahren i. allg. vorab bestimmt werden. 15

16 a) Dreieckfachwerk (linkes Teilfachwerk) F 1 VI 13 VII 14 VIII 15 IX F 2 12 y II x 3 III 4 IV 5 1 I 2 V 16

17 b)... Dreieckfachwerk Linkes Teilfachwerk: (rechtes Teilfachwerk) F 1 =10kN VI 13 VII 14 VIII 15 IX F 2 =20kN 12 y II x 3 III 4 IV 5 1 I 2 V 17

18 b) K-Fachwerk y X XI XII XIII XIV VI VII VIII IX V I 1 II 2 III 3 IV 4 x F=60 kn 18

19 Übung: Brücke Gegeben: Kraft F = 6 kn, Länge a Gesucht: Stat. Bestimmtheit, lastfreie Stäbe Auflagerkräfte, Stabkräfte 4, 8 und 12 a a II I 1 F a VI 12 III 2 IV F VII a a VIII V 19

20 6.4.4 Fachwerkdimensionierung Sind die Stabkräfte eines Fachwerks bekannt, lassen sich damit die Querschnitte der Stäbe auslegen (dimensionieren). S A A - Querschnittsfläche S - Stabkraft Die Festigkeitsbedingung für Stäbe lautet: Hierin ist S S σ = σ A zul σ - Lastspannung [N/mm 2 ] σ zul - zulässige Spannung 20

21 Die zulässige Spannung ergibt sich aus einem Werkstoffkennwert (Streckgrenze R e bzw. Zugfestigkeit R m ) und einem Sicherheitsfaktor k. σ zul = Rm /3 Min. Re /1,5 Daraus ergibt sich der erforderliche Stabquerschnitt: A erf σ S zul Die Sicherheit gegen die zulässige Spannung ist dann k s σ zul = σ = σ zul A S 1 Hierin ist A der tatsächlich ausgeführte Stabquerschnitt. 21

22 Beispiel: St42 (R m = 510 N/mm 2, R e = 420 N/mm 2 ) Max. Stabkraft: S = 21,2 kn 22

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