Technische Mechanik. Band 1: Statik

Transkript

1 Technische Mechanik and 1: Statik

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3 Technische Mechanik and 1: Statik von Peter Hagedorn Jörg Wallaschek 6., vollständig überarbeitete uflage VERLG EUROP-LEHRMTTEL Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG Düsselberger Straße Haan-Gruiten Europa-Nr.: 56887

4 utoren: Prof. Dr. Peter Hagedorn vertritt an der Technischen Universität Darmstadt das ach Technische Mechanik in Lehre und orschung. Er hat jahrzehntelang Vorlesungen über Technische Mechanik und über Technische Schwingungslehre für Hörer unterschiedlicher achrichtungen gehalten. Professor Dr.-ng. Jörg Wallaschek ist Direktor des nstitutes für Dynamik und Schwingungen an der Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hannover und vertritt die ächer Technische Mechanik und Maschinendynamik in der akultät für Maschinenbau. 6., vollständig überarbeitete uflage 2014 Druck SN lle Rechte vorbehalten. Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwendung außerhalb der gesetzlich geregelten älle muss vom Verlag schriftlich genehmigt werden by Verlag Europa-Lehrmittel, Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG, Haan-Gruiten Umschlaggestaltung: braunwerbeagentur, Radevormwald Druck: Medienhaus Plump GmbH, Rheinbreitbach

5 Vorwort zur fünften uflage Die drei ände zur Technischen Mechanik von Peter Hagedorn haben inzwischen große Verbreitung als Lehrbücher an Universitäten und achhochschulen gefunden. Mit der vorliegenden 5. uflage ist Jörg Wallaschek als Ko-utor dazu gekommen. Ein wesentlicher Teil der Überarbeitung der neuen uflage durch den Erstautor erfolgte während Gastaufenthalten am Department of Mechanical Engineering der University of Canterbury, Christchurch, Neuseeland. Der Erstautor dankt dem Department für die freundliche ufnahme und dafür, dass das Department die nfrastruktur zur Verfügung gestellt hat. Das bewährte Konzept zur Einführung der Grundbegriffe und mathematischen Hilfsmittel wurde beibehalten. Text, bbildungen und ufgaben wurden behutsam überarbeitet und an einigen Stellen ergänzt, um das uch noch besser auf die nforderungen der ngenieur-usbildung abzustimmen. Die bbildungen wurden farbig gestaltet, um die Übersichtlichkeit zu erhöhen. ei der Erstellung der Zeichnungen und des druckfertigen Manuskripts wurden wir von Herrn M. Sc. Henrik Westermann und Herrn Dipl. ng. Martin Zimmermann sowie rau Parsamanesh, rau Wiechens und Herrn Ohrdes tatkräftig unterstützt, wofür wir herzlich Dank sagen. Dem Verlag Europa-Lehrmittel, der die ände in der Edition Harri Deutsch weiterführt, danken wir für die gute Zusammenarbeit. Darmstadt / Hannover, im ugust 2014 Peter Hagedorn hagedorn@dyn.tu-darmstadt.de Jörg Wallaschek mechanik@wallaschek.eu

6 Vorwort zur vierten uflage Dieser and entspricht dem ersten Teil einer dreisemestrigen Vorlesung, die ich seit zirka 30 Jahren für Hörer verschiedener achrichtungen an der Technischen Universität Darmstadt halte; zwei weitere ände behandeln die estigkeitslehre und die Dynamik. Niveau und ufbau der drei ücher orientieren sich an den Lehrveranstaltungen, wie sie besonders für ngenieur-studenten an praktisch allen Hochschulen angeboten werden. Die unterschiedliche Vorbildung, die unsere Studenten von der Schule mitbringen, hat zur olge, dass in den Vorlesungen für die Erstsemester Grundbegriffe und mathematische Hilfsmittel sehr elementar eingeführt werden müssen. ch war in dem vorliegenden uch bemüht, das Gebäude der Mechanik auf dem soliden undament dieser Grundlagen systematisch aufzubauen. Die freundliche ufnahme des uches, die sehr schnell Neuauflagen notwendig machte, zeigt mir, dass dies zumindest teilweise gelungen ist. Dank des Einsatzes der Herren Dipl.-ng. Daniel Hochlenert und Dipl.-ng. lorian ischer war es möglich, in den vergangenen Monaten die gesamte Reihe von Grund auf zu überarbeiten, sodass die drei ände jetzt zeitgleich in einem neuen Layout erscheinen, wobei die ände 1 und 2 nun in der 4. uflage und der dritte and in der 3. uflage vorliegen. Dabei wurden in allen drei änden zahlreiche Verbesserungen, neue eispiele und bei der numerischen ehandlung von ufgaben mittels Matlab, insbesondere in den änden 1 und 3 eine Reihe von Ergänzungen vorgenommen. Viele dieser Änderungen gehen direkt auf nregungen der Herren Hochlenert und ischer zurück, die auch die Erstellung der reproduktionsfähigen Vorlagen überwacht haben. ch danke beiden für den unermüdlichen Einsatz, ohne sie wäre die Überarbeitung in dieser kurzen Zeit überhaupt nicht möglich gewesen. Manche Kollegen und viele Studenten haben mich in der Vergangenheit auf mögliche Verbesserungen hingewiesen, die hier eingearbeitet wurden. hnen allen sei an dieser Stelle gedankt. Dem Verlag Harri Deutsch danke ich für die bewährt gute Zusammenarbeit. Peter Hagedorn

7 nhaltsverzeichnis 1. Einleitung Was ist Technische Mechanik? Grundbegriffe Elemente der Vektorrechnung Statik des starren Körpers Äquivalenz von Kräftegruppen am starren Körper Kräfte mit gemeinsamem ngriffspunkt Ebene Kräftegruppe am starren Körper Kräfte mit verschiedenen ngriffspunkten Statik des starren Körpers (zeichnerisch) Moment einer Kraft bezüglich eines Punktes Moment eines Kräftepaares Gleichgewichtsbedingungen, rechnerisch Das Erstarrungsprinzip Räumliche Kräftegruppe am starren Körper Reduktion einer räumlichen Kräftegruppe, Gleichgewichtsbedingungen Moment einer Kraft bezüglich einer chse Zentralachse, Kraftschraube Zusammenfassung Schwerpunkt Schwerpunktbestimmung PPPUS-GULDNsche Regeln Zusammenfassung Haftung und Reibung Reibung zwischen starren Körpern Seilreibung Zusammenfassung achwerke Ebene und räumliche achwerke Zusammenfassung alken und Rahmen Schnittgrößen am alken Ebene Rahmen und ögen Räumliche Rahmen und ögen Zusammenfassung

8 nhaltsverzeichnis 7. Statik der Seile Seil bei vorgegebener Streckenlast q(x) Seil unter Eigengewicht q(s) Zusammenfassung Prinzip der virtuellen Verrückungen rbeit einer Kraft Virtuelle Verrückungen rbeit und potenzielle Energie, Stabilität Zusammenfassung ufgaben mit Lösungen Ebene und räumliche Tragwerke Ebenes achwerk Räumlicher usleger Tetraederförmiges achwerk Räumlich belasteter abgewinkelter alken Viertelkreisbogen unter Streckenlast und Einzellasten Räumlich abgewinkelter alken Rückstauklappe Gekippter Quader Haftung und Reibung Klemmende Schublade remsvorrichtung Schubkarre auf schiefer Ebene Walzen mit Treibriemen Hebevorrichtung Sperre mit Drehfeder Seilklemmvorrichtung reilauf Rohrhebemechanismus Schnittgrößen an Systemen alken mit Seil und Streckenlast alken mit Unterzug und Spannschloss Dreigelenkbogen mit Seil Dreigelenkbogen mit achwerk Tragwerk in orm einer Stehleiter Gerber-Träger mit parabelförmiger elastung ogen und Rahmen Rahmentragwerk mit Parallelführung Rahmen mit Strecken- und Einzellast Halbkreisträger mit Streckenlast Quer belasteter ebener Rahmen Kurbelmechanismus

9 nhaltsverzeichnis 9.4. Stabilität brollende Scheibe mit eder Kritische Last eines alkensystems mit Drehfeder Stabwerk mit Drehfeder, Umlenkrolle und Gewicht Hebelmechanismus mit eder Gefederter Hebel mit Gewichten Kurbelgetriebe mit eder uf Parabel geführtes ederende uf Sinuslinie geführter Körper Hebevorrichtung mit Kniegelenk MTL-ufgaben Lineare Gleichungssysteme in Matrixschreibweise Gleichgewicht von Kräftegruppen am räumlichen starren Körper Schwerpunktberechnung für Massenpunktsysteme Schwerpunktberechnung symbolisch Räumliche achwerke Schwerpunkt einer axialsymmetrischen Säule Schwerpunktkoordinaten 313 ndex 317 Die mit gekennzeichneten bschnitte können bei einer ersten Lektüre weggelassen werden.

10 2.4. Das Erstarrungsprinzip 53 sind aber nicht mehr ausreichend, um die vier unbekannten Kräfte H, V,, D zu errechnen. Gleichwohl ist es aber möglich, die Lagerkräfte zu berechnen, wenn nformationen über die Vorspannung des Systems gegeben sind. alls z.. bekannt ist, dass die edern in der unverformten Lage des Systems entspannt sind können die ederkräfte mithilfe der geometrischen eziehungen (2.83), (2.84) als V = c f = c (2f 1 f 2 ), (2.90) = c f 1 = 2c f 1, (2.91) D = c D f D = 3c (2f 2 f 1 ). (2.92) in bhängigkeit der gesuchten Verschiebungen ausgedrückt werden, womit uns drei weitere Gleichungen zur Verfügung stehen in denen aber nur zwei weitere Unbekannte, nämlich die Verschiebung f 1 und f 2, auftreten. Mit (2.87) bis (2.92) stehen uns jetzt sechs Gleichungen zur erechnung der sechs Unbekannten ( H, V,, D, f 1, f 2 ) zur Verfügung. Das uflösen ergibt schließlich H = 0, D = V = , = , f 1 = , (2.93) 53c, f 2 = (2.94) 53c m Gegensatz zu dem statisch bestimmten all konnte hier die erechnung der Lagerkräfte und Verschiebungen nicht nacheinander erfolgen, sondern musste gleichzeitig durchgeführt werden. 2.4 Systeme starrer Körper in der Ebene, das Erstarrungsprinzip isher haben wir uns lediglich mit dem Gleichgewicht einzelner starrer Körper befasst; in diesem bschnitt behandeln wir Systeme, die aus mehreren starren Körpern bestehen. Wir sagen, dass eine gegebene Kräftegruppe an einem System starrer Körper im Gleichgewicht steht, wenn sich jeder einzelne der Körper im Gleichgewicht befindet. Will man daher Gleichgewichtsbedingungen für das System angeben, so schneidet man zunächst die einzelnen starren Körper frei, wobei die Schnittkräfte freigelegt werden. Wir betrachten das System der bb. 2.36a, das eine Hinterachse eines PKW darstellt. Es besteht aus einem starren Körper K, vier als starr angenommenen alken 1, 2, 3, 4, von denen je zwei als Parallellenker angeordnet sind, den beiden Schraubenfedern S 1, S 2, sowie den beiden jeweils als starr angenommenen Radeinheiten R 1 und R 2. uch die Räder mit den Reifen werden an dieser Stelle vorläufig als starr angenommen. bb. 2.36b zeigt das reikörperbild dazu. Die einzelnen starren Körper sowie

11 54 2. Statik des starren Körpers 1 M 2 3 K R 1 R 2 (a) System S 1 S (b) reikörperbild 2.36.: Hinterachse eines PKW die Schraubenfedern sind mit den auf sie wirkenden eingeprägten Kräften und den Schnittkräften dargestellt. Dabei treten die Schnittkräfte zweimal auf und wirken jeweils als actio und reactio auf unterschiedliche Körper (Schnittprinzip). ür jeden der starren Körper der bb. 2.36b können nun die drei Gleichgewichtsbedingungen der Statik formuliert werden.

12 2.4. Das Erstarrungsprinzip 55 ür das Gesamtsystem gilt das Erstarrungsprinzip: Damit ein System unter der Wirkung von gegebenen Kräften im Gleichgewicht ist, ist es notwendig und hinreichend, dass jedes Teilsystem sich im Gleichgewicht befindet. Das Erstarrungsprinzip gilt nicht nur für Systeme aus starren Körpern, sondern für beliebige, auch für verformbare Körper, ja sogar für lüssigkeiten und Gase. Wir erklären es anhand des eispiels der bb Das System dieser bbildung besteht G R 1 R : eispiel eines Dreigelenkbogens 2.38.: llgemeine Struktur des Dreigelenkbogens aus zwei starren Körpern, die über ein (zweiwertiges) Gelenk miteinander verbunden sind und außerdem jeweils für sich zweiwertig in den uflagerpunkten, gelagert sind. Man bezeichnet ein System dieser rt als Dreigelenkbogen. n bb ist die allgemeine Struktur des Dreigelenkbogens dargestellt, wobei die auf die beiden Körper wirkenden eingeprägten Kräfte schon jeweils zu ihrer Resultierenden zusammengefasst sind. bb zeigt das reikörperbild des Dreigelenkbogens der bb Es sind sechs Zwangskräfte H, V, H, V, G H und G V vorhanden und zu ihrer estimmung stehen sechs Gleichungen zur Verfügung, nämlich jeweils drei unabhängige Gleichgewichtsbedingungen für jeden der beiden starren Körper. ür den Körper können z.. die Gleichgewichtsbedingungen ix = 0, iy = 0, M (P ) i = 0, (2.95) und für den Körper die Gleichungen ix = 0, iy = 0, M (P ) i = 0 (2.96) formuliert werden. Dabei ist der ezugspunkt P in den Momentengleichungen beliebig zu wählen und die Summen erstrecken sich jeweils über die auf den Körper bzw. Körper wirkenden Kräfte. Durch ddition der jeweiligen Gleichungen (2.95) und (2.96) folgt auch ix = 0, iy = 0, M (P ) i = 0, (2.97) + + +

13 56 2. Statik des starren Körpers wobei in den Summen jetzt alle an dem Gesamtsystem wirkenden Kräfte berücksichtigt werden. Es gelten also nicht nur die Kräfte- und Momentengleichungen für die einzelnen starren Körper, sondern auch vollkommen analoge Gleichgewichtsbedingungen für das Gesamtsystem, wobei das Lager in G als starr angesehen werden kann. Da die inneren Kräfte G H, G V dabei zweimal, nämlich als actio und als reactio auftreten, sind sie in (2.97) nicht mehr enthalten. 1 2 G V G H G V starr H V y x V H H V V H 2.39.: reikörperbild zum System der bb : Zum Erstarrungsprinzip ür das System der bb gelten also die drei Gleichungen (2.97) mit den vier Unbekannten H, V, H und V. Diese Gleichungen reichen nicht zur estimmung dieser uflagerkräfte aus. Dazu ist vielmehr zusätzlich noch eine Gleichgewichtsbedingung für einen der Einzelkörper notwendig. Will man jedoch alle sechs Zwangskräfte der bb berechnen, so sind zwei weitere Gleichungen nötig. Ein System wie das der bb bezeichnet man als äußerlich statisch unbestimmt. nsgesamt gesehen ist ein Dreigelenkbogen natürlich immer statisch bestimmt. Wir führen die erechnungen an dem etwas einfacheren Dreigelenkbogen aus zwei alken der bb. 2.41a durch. Das reikörperbild zu diesem System ist in bb. 2.41b angegeben. Wir könnten nun die je 3 Gleichgewichtsbedingungen für Körper und Körper in beliebiger Reihenfolge anschreiben und würden so ein lineares Gleichungssystem von 6 Gleichungen für genau so viele Unbekannte erhalten. Dieses könnte dann mit den Standardmethoden der Mathematik gelöst werden. Es ist jedoch zweckmäßig, die Gleichgewichtsbedingungen von vornherein im Hinblick auf die Lösbarkeit aufzustellen. ei dem von uns hier untersuchten System beginnen wir mit einer Momentenbedingung für den Körper : M () i = 0 : 2 a G H 2 a G V a = 0 = G H G V = 1 2 (2.98) und schreiben als zweites eine analoge Momentengleichung für das System, die ebenfalls nur die beiden Unbekannten G H, G V enthält M () i = 0 : 2 a G H 2 a G V + a = 0 = G H + G V = 1. (2.99) 2

14 2.4. Das Erstarrungsprinzip 57 G a a a a a 2a H V y G V G H G H G V x V H (a) System (b) reikörperbild 2.41.: Dreigelenkbogen us (2.98) und (2.99) folgt G V = 0, G H = 1. (2.100) 2 Weiter gelten für den Körper die beiden Kräftegleichungen ix = 0 : H G H = 0 = H = 1, 2 (2.101) iy = 0 : V G V = 0 = V =. (2.102) ür den Körper schreiben wir ebenfalls ix = 0 : G H H = 0 = H = 1, 2 (2.103) iy = 0 : G V + V = 0 = V = 0. (2.104) Damit sind die uflagerkräfte in und sowie die Gelenkkräfte in G eindeutig bestimmt. y x H V V H 2.42.: Dreigelenkbogen der bb. 2.41a, Gesamtsystem freigeschnitten

15 58 2. Statik des starren Körpers Zur Probe stellen wir die Gleichgewichtsbedingungen für das Gesamtsystem der bb auf und erkennen, dass ix = 0, iy = 0, M () i = 0 (2.105) gilt Der Vollständigkeit halber lösen wir das gleiche Problem auch zeichnerisch. Dabei bemerken wir zunächst, dass alle bisher formulierten Gleichgewichtsbedingungen linear in den Kräften sind; dies gilt sowohl für die Kräftegleichungen als auch für die Momentengleichungen. us der Linearität folgt eine wichtige Eigenschaft, die wir zuerst formelmäßig untersuchen und dann bei der zeichnerischen Lösung verwenden. n Matrixschreibweise kann ein lineares Gleichungssystem in der orm x = f (2.106) geschrieben werden. Hierbei ist = (a ij ) (2.107) die n n Matrix der Koeffizienten des Gleichungssystems, f = (f 1, f 2,..., f n ) T (2.108) die Spaltenmatrix der rechten Seite und x = (x 1, x 2,..., x n ) T (2.109) die Spaltenmatrix der Unbekannten. Die einfache Unterstreichung kennzeichnet x als Spaltenmatrix und die doppelte Unterstreichung kennzeichnet als zweifach indizierte Matrix. ei den hier vorliegenden Problemen der Statik beinhaltet f die eingeprägten Kräfte sowie deren Momente und x die zu bestimmenden Zwangskräfte. Es ist leicht zu überprüfen, dass gilt mit x 1 = f 1, x 2 = f 2 = x = f (2.110) x = x 1 + x 2, f = f 1 + f 2. (2.111) Sind also Lösungen x 1, x 2 von (2.106) für die rechten Seiten f = f 1 und f = f 2 bekannt, so kann man die Lösung für die rechte Seite f = f 1 + f 2 einfach aus der Summe (Überlagerung) dieser beiden Lösungen gewinnen. Diese Eigenschaften (Superposition) kann man sich sowohl bei der rechnerischen, als auch bei der zeichnerischen Lösung von Statikaufgaben zunutze machen. Wir verwenden sie hier zunächst bei der zeichnerischen estimmung der uflager- und Gelenkkräfte des Dreigelenkbogens der bb. 2.41a.

16 2.4. Das Erstarrungsprinzip 59 Lastfall 1 Lastfall : estimmung der uflagerkräfte durch Überlagerung n bb ist der Dreigelenkbogen mit zwei verschiedenen elastungen dargestellt, deren Überlagerung gerade wieder dem ursprünglichen Problem entspricht. n jedem dieser beiden älle wirkt nur jeweils auf einen der beiden Körper eine Last. Der andere starre Körper ist unbelastet und wirkt somit als Pendelstütze, d. h. er überträgt nur Kräfte längs der Verbindungslinie seiner Gelenke (wie der alken der bb. 2.29). n jedem der beiden Teilprobleme der bb ist daher eine sehr einfache ufgabe zu lösen: Es sind lediglich die uflagerkräfte eines starren Körpers zu bestimmen, der an einem Punkt zweiwertig gelagert ist und noch über eine Pendelstütze abgestützt wird. Die zeichnerischen Lösungen für die Lastfälle 1 und 2 sind in bb und bb angegeben. Nach dem Superpositionsprinzip, das formelmäßig durch (2.110), (2.111) ausgedrückt wurde, ergeben sich die uflagerkräfte aus der Summe der beiden nteile (s. bb. 2.46). uch die Gelenkkraft kann so durch Überlagerung leicht bestimmt werden : Lage- und Kraftplan, Lastfall : Lage- und Kraftplan, Lastfall 2 m Lastfall 1 ist 1, mit der im Kraftplan eingezeichneten Richtung, auch gleichzeitig die Gelenkkraft, die auf den linken Körper wirkt. m Lastfall 2 ist 2, mit der im Kraftplan eingezeichneten Richtung, auch gleichzeitig die Gelenkkraft, die auf den rechten Körper wirkt. Die im Lastfall 2 auf den linken Körper wirkende Gelenkkraft ist gleich groß und entgegengesetzt gerichtet, d. h. 2. Dementsprechend ergibt die Superposition der beiden Lastfälle als Gelenkkraft, die auf den linken Körper wirkt G = 1 2. Die Gelenkkraft, die auf den rechten Körper wirkt ist gleich groß und entgegengesetzt gerichtet.

17 60 2. Statik des starren Körpers G G (a) zur estimmung der Lagerkräfte (b) zur estimmung der Gelenkkraft 2.46.: Überlagerung der beiden Lastfälle m eispiel des Dreigelenkbogens der bb führen wir nun noch den egriff des eingeprägten Momentes ein. Dazu betrachten wir den Dreigelenkbogen mit der elastung durch ein Kräftepaar. n bb. 2.47a wird das Kräftepaar durch die Kräfte P und P gebildet, die beide auf den starren Körper G wirken. Der Hebelarm ist b und das Moment des Kräftepaares P b. uch in den beiden Lastfällen der bb. 2.47b und bb. 2.47c wirken Kräftepaare auf den starren Körper G, die das gleiche Moment P b erzeugen und demnach zueinander äquivalent sind. n allen Lastfällen ergeben sich die gleichen uflager- und Gelenkkräfte für das System. Es ist daher üblich, nicht das spezielle Kräftepaar als elastung anzugeben, sondern lediglich dessen Moment. Dementsprechend ist in den bb. 2.47d und bb. 2.47e ein runder Pfeil eingetragen, der dem eingeprägten Moment M E = P b entspricht. Der Ort, an dem das eingeprägte Moment (das wir uns immer durch ein Kräftepaar mit sehr kleinem Hebelarm erzeugt vorstellen können) auf den Körper G wirkt, ist bezüglich der Lagerkräfte irrelevant und lediglich von edeutung, wenn man sich für die Verteilung der inneren Kräfte interessiert. lso sind bei der erechnung der Lagerkräfte alle Lastfälle der bb gleichwertig. n bb ist der gleiche Dreigelenkbogen ebenfalls durch ein Kräftepaar mit dem Moment P b belastet, wobei jedoch die beiden Kräfte P und P auf unterschiedliche Körper wirken. n diesem Lastfall ergeben sich andere uflager- und Gelenkkräfte als im all der bb. 2.47: Die Lastfälle der bb und der bb sind nicht zueinander äquivalent! Nur an ein und demselben starren Körper darf ein Kräftepaar durch ein beliebiges anderes gleichen Moments ersetzt werden! Wir wollen nun die uflager- und Gelenkkräfte für den durch zwei Kräfte und ein eingeprägtes Moment belasteten Dreigelenkbogen der bb. 2.49a berechnen. Das entsprechende reikörperbild ist in bb. 2.49b angegeben. Die Gleichgewichtsbedingungen für den Körper sind so, wie im all der bb. 2.41b, d. h. (2.98) gilt unverändert. n der Momentengleichung (2.99) für den Körper ist jetzt zusätzlich das eingeprägte Moment zu berücksichtigen, so dass diese Gleichung durch M () i = 0 : 2 a G H 2 a G V + M E + a = 0 = G H + G V = M E 2 a (2.112)

18 2.4. Das Erstarrungsprinzip 61 G P b G 2P b/2 (a) P (b) 2P G 10P b/10 G (c) (d) M E 10P G (e) M E 2.47.: Durch eingeprägtes Moment (Kräftepaar) belasteter Dreigelenkbogen P b G P 2.48.: Dreigelenkbogen, elastung nicht äquivalent zu bb zu ersetzen ist. Mit (2.98) folgt daraus G H = M E 4 a, G V = M E 4 a, und auch die uflagerkräfte H = M E 4 a, V = + M E 4 a, H = M E 4 a, V = M E 4 a sind leicht zu berechnen.

19 62 2. Statik des starren Körpers G V G H M E 2a H V G H G V M E y H a a a a (a) System x (b) reikörperbild V 2.49.: Dreigelenkbogen, durch Kräfte und eingeprägtes Moment belastet m folgenden behandeln wir noch drei weitere eispiele ebener Systeme starrer Körper. m ersten eispiel untersuchen wir den idealisierten Sägebock der bb glatt g m a b l glatt α α Seil 2.50.: Sägebock lle uflagerkräfte sowie die zwischen den einzelnen Körpern auftretenden Zwangskräfte sollen berechnet werden. n bb ist das reikörperbild angegeben. Die Gelenkkraft zwischen den Körpern und ist durch die Komponenten C, D dargestellt und S ist die Seilkraft. Die erührflächen zwischen Körper und den beiden alken und sowie zwischen den alken und dem oden seien glatt, sodass insgesamt 7 Zwangskräfte zu bestimmen sind, wofür uns je 3 Gleichgewichtsbedingungen für jeden alken und 2 Gleichgewichtsbedingungen für Körper zur Verfügung stehen. Das System ist beweglich, es kann keine Kräfte in horizontaler Richtung aufnehmen. Die lotrechten uflagerkräfte bestimmt man im vorliegenden all am einfachsten durch Gleichgewichtsbedingungen am Gesamtsystem (bb. 2.52).

20 2.4. Das Erstarrungsprinzip 63 Hier gilt M (E) i = 0 : l sin α l sin α = 0 = =, (2.113a) iy = 0 : + mg = 0, (2.113b) und daraus folgt = = mg/2. (2.114) Dieses Ergebnis hätte man auch unmittelbar anschaulich anhand der Symmetrie des Systems erkennen können. mg mg y α H S x N 1 D C α α C α N 2 H D S α E α l 2.51.: reikörperbild 2.52.: Gesamtsystem nach außen freigeschnitten Zur estimmung der restlichen Zwangskräfte werden Gleichgewichtsbedingungen für die einzelnen Körper benötigt. ür den Körper schreiben wir zunächst ix = 0 : N 1 cos α N 2 cos α = 0 = N 1 = N 2, (2.115a) und daraus folgt iy = 0 : N 1 sin α + N 2 sin α mg = 0, (2.115b) N 1 = N 2 = mg 2 sin α. (2.116) ezeichnen wir das Gelenk zwischen den Körpern und mit H, so gilt für den Körper M (H) i = 0 : N 1 a Sb cos α + l sin α = 0, (2.117)