Der Käufer einer Option (Optionsinhaber) erwirbt das Recht, nicht aber die Verpflichtung, innerhalb einer bestimmten Frist (Optionsfrist)

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3 . Opioe Der Käfer eier Opio (Opiosihaber erwirb as Rech, ich aber ie Verpflichg, ierhalb eier besimme Fris (Opiosfris eie besimme Mege eies besimme Basisweres z eiem vereibare Preis (Basispreis / Asübgspreis z kafe (Kafopio oer all oer z verkafe (Verkafsopio oer P. Der Verkäfer er Opio (Sillhaler agege geh ie Verpflichg ei, jeerzei währe er fesgelege Fris (Lafzei af Verlage es Käfers e Basiswer zm Basispreis espreche z verkafe (Sillhaler mi Papiere oer z kafe (Sillhaler mi Gel. Als Risikoeschäigg für iese Verpflichg erhäl er Verkäfer ie Prämie (Opiospreis. Dabei heiß eie Kafopio i-he-moey, falls S>K a-he-moey, falls SK o-of-he-moey, falls S<K. Ma erscheie zwische: amerikaische Opio Asübg z jeem beliebige Zeipk zwische em Kaf- Verfallsam eropäische Opio Asübg am Ee er Opiosfris.

4 . Grposiioe, Gewi- Verlsprofile Der Käfer erhäl bei Kaf eier Opio eie Log-Posiio (Log all oer Log P. Der Verkäfer erhäl eie Shor-Posiio (Shor all oer Shor P. Es besehe folgee vier Grposiioe: Käfer eier Kafopio (Log all: Erwarg af seigee Krse es Basisweres Verkäfer eier Kafopio (Shor all: sez af gleichbleibee oer fallee Krse Käfer eier Verkafsopio (Log P: Erwarg für fallee Krse Verkäfer eier Verkafsopio (Shor P: Erwarg er gleichbleibee oer seigee Krse. Abb. a: Gewi- Verlsprofile bei Opioskäfe (log posiios

5 Abb. b: Gewi- Verlsprofile bei Opiosverkäfe (shor posiios

6 3. Moive für Opiosgeschäfe Es gib rei Hapmoive für e Abschlß vo Opiosgeschäfe: Krsgewi (Speklaiosmoiv Es wir vo verschieee Erwarge für ie Akiekrsewicklg asgegage, wobei ma eie Log- oer Shor-Posiio af em Opiosmark eiimm, z. B. bei vermee Krsrückgag, Kaf eier Verkafsopio Krssicherg Läs sich rch folgee Grafik veraschaliche: Abb. : Gesamergebisfkio bei Krssicherg

7 Asze vo Opiospreisiffereze Eie er Möglichkeie az is ie Trasformaio eier Verkafsopio i eie Kafopio, abgebile af er folgee Grafik: Abb. 3: Trasformaio eier Verkafsopio i eie Kafopio Die Gesamergebisfkio E (K ieser Traformaio is ie Smme er Ergebisfkioe es Kassakafs E k, es Kafs er Verkafsopio E p es Verkafs er Kafopio E cv.

8 II. Wergreze Werverhälisse bei Akieopioe. Aahme Grlage Die folgee Uerschge were af er Grlage asgeführ, ass arbiragefreie Märke besehe. Es arf keie Alage gebe, ie rch eie Eizahlgsüberschß am Perioebegi rch eie mi Sicherhei ichegaive Zahlgsüberschß am Ee er Alageperioe gekezeiche is. Folgee grlegee Aahme gele:. Es exisier ei Mark, af em Akie, Aleihe sowie Akieopioe es eropäische amerikaische Typs begebe gehael were. Alle Geschäfe i Akie Aleihe si sofor z erfülle.. Es gib keie Beschräkge es Markzris. Es gil ie Nichexisez vo Trasakioskose, Iformaioskose Seer. Die Sillhaler erfülle ses Ihre Verpflichge as Opiosgeschäfe müsse keie Sicherheie bereiselle. Die Preisbilg wir ich rch gesezliche Vorschrife beeirächig. Fiaziel si beliebig eilbar, wobei eie gaze Opio af ei Sück es jeweils zgreliegee Tiels lae. 3. Die Markeilehmer si berei risikobehafee Tiel z überehme. Sie wolle ihre Nze maximiere hael raioal. 4. Es gib eigeschräke Leerverkafsmöglichkeie. 5. Risikofreie Gelalage Gelafahme köe i beschräker Höhe erfolge. Es exisier ei kosaer ieischer Soll- Habezissaz. Es herrsch Gelwersabiliä, es exisier r eie Währg. 6. Es erfolge keie Asschüge a ie Akioäre.

9 . Resrikioe bei er Bewerg vo Kafopioe Eie Kafopio ( is währe ihrer Lafzei iemals weiger wer als Nll iemals weiger wer als er jeweilige Akiekrs abzüglich es iskoiere Basispreises (S -Kr -τ iemals mehr wer als er jeweilige Akiekrs (S Es gil eshalb: S max(0; S Kr τ Begrüg für 0 : Ei Kafopiospreis er Nll ließe berücksichig, ass er Käfer er Opio as Rech ha, ie Opio verfalle z lasse. Wäre er Kafopiospreis egaiv, so würe er Käfer er Opio mielbar eie Eizahlgsüberschß erziele. Er ka ie Opio verfalle lasse oer z eiem geeigee Zeipk währe er Opiosfris asübe realisier abei i jeem Fall eie ichegaive Zahlgsüberschß. Begrüg für S Kr τ : Is ieses Werverhälis verlez, so biee sich eie Arbirage a. Übersich.: Arbiragebeweis zr Uergreze es Werebereichs eier Kafopio Bewergszeipk ( Ablaf er Opiosfris (T S T K S T > K Käfe - Kafopio S T - K - Nll- Kpo- - Kr -τ + K + K Aleihe Leerverkaf - Akie + S - S T - S T - Kr τ +S > 0 + K S T 0 0 Amerikaische Kafopioe wir ma hier ich vorzeiig asübe, a ei Verkaf er Nll-Kpo-Aleihe vor Efälligkei r z Krse erhalb es Rückzahlgsberags K möglich is. Es würe sich aher, abgesehe vom Fall K 0, bei vorzeiiger Asübg er Opio ei Aszahlgsüberschß ergebe. Da as Rech er vorzeiige Asübg werlos is, si amerikaische esprechee eropäische Kafopioe äqivale.

10 Begrüg für S : Der Kafopiospreis arf e jeweilige Akiekrs ich überseige, e wäre er Opiospreis höher als er Akiekrs, köe ma rch Kaf er Akie Verkaf er Kafopio sofor eie Eizahlgsüberschß erziele. Im Fall er Asübg er Opio liefer er Arbirager ie Akie erhäl e Basispreis K. Verfäll ie Opio ohe Asübg, a besiz er ie Akie, ie keie egaive Wer habe ka. Bei Ablaf er Opiosfris gil: T max( 0; S T K Eie eieige Bewerg vo Kafopioe is r bei Ablaf er Reslafzei möglich. Vor Ablaf er Reslafzei läß sich eie Kafopio r i e Asahmefälle eieig bewere, i ee S 0 oer K 0 is. τ As S max(0; S Kr folg: 0, we S 0 we K 0 S Graphik.: Werebereich eier Kafopio S -Kr- S τ 0 T S T -K 0 Kr -τ K S Werbeziehge zwische Opioe mi erschielichem Basispreis Werbeziehge zwische Opioe erschielicher Reslafzei 3

11 ( K ( K, für K > K Uerscheie sich zwei Kafopioe r hisichlich es Basispreises, so ka ie Opio mi em ierigere Basispreis (K ich e gerigere Wer afweise. τ ( K K r ( K ( K für K > K 0, Die Werifferez arf iemals größer sei als ie iskoiere Differez er Basispreise. K K 3 ( K ( K + ( K, 3 3 K K K K 3 K K ( ( τ τ, für τ > τ Uerscheie sich zwei Kafopioe r hisichlich er Reslafzei, so ka ie Opio mi er lägere Reslafzei ich e kleiere Wer afweise. für K > > K K 3 Der Kafopioswer is eie kovexe Fkio es Basispreises: Uerscheie sich rei Kafopioe r hisichlich es Basispreises K, so is er Wer er Opio mi em milere Basispreis K iemals größer als ei gewicheer Drchschi er beie aere Opioswere, we ma für e Wer er Opio mi em ierigse Basispreis K e Gewichgsfakor (K 3 -K /(K 3 -K für e Wer er Opio mi em höchse Basispreis K 3 e Gewichgsfakor (K -K /(K 3 -K fesleg. Graphik.: Werebereich vo Kafopioe i Abhägigkei vom Basispreis S (K 0 K S -Kr - 4

12 3. Wergreze bei er Bewerg vo Verkafsopioe 3.. Eropäische Verkafsopioe Die Wergreze für eie eropäische Verkafsopio selle eierseis er iskoiere Basispreis aererseis ie Differez zwische iesem Wer em Krs es Basisisrmees ar. We iese Differez eie Wer < 0 aimm, sell Nll ie ere Begrezg es Werebereiches ar.: X*r τ > P > max [0; X*r -τ - S ] Vor Ablaf er Opiosfris exisiere eieige Were r i folgee Fälle: P X*r τ, we S 0; P 0, we X 0

13 - Die Deermiae Basispreis: Es gil (c.p.: P (X < P (X für X < X (X -X *r τ > P (X - P(X > 0 für X > X P(X < [(X 3 - X / ( X 3 - X ] * P(X +[(X - X / (X 3 - X ]* P(X 3 für X 3 > X > X Dies is ie Beigg für ie Kovexiä es Opioswerverlafs i Abhägigkei vom Basispreis.

14 - Die Deermiae Reslafzei Der Eiflß er Reslafzei af eropäische Verkafsopioe sez sich as zwei verschieee Effeke zsamme. - As P > X*r τ - S is ersichlich, aß er Opioswer mi Erhöhg er Reslafzei rch ie Diskoierg es Asübgspreises c.p. sik. - Aererseis beseh ie Möglichkei, aß er Akiekrs bei Erhöhg er Reslafzei am Verfallsag ieriger lieg als ies bei kürzerer Reslafzei c.p. er Fall wäre. Deshalb köe Lafzei Verkafsopioswer ach posiiv korrelier sei. > Eie Assage über ie Eiflßrichg vo Reslafzeiveräerge af e Opioswer bei eropäische Verkafsopioe ka r bei Vorhaesei besimmer Aahme über e küfige Akiekrs gemach were.

15 3.. Amerikaische Verkafsopioe Eie emerikaische Verkafsopio is z keiem Zeipk weiger wer als Nll, a ie Opio ei Verkafsrech ich aber eie Verkafspflich beihale (as gleiche gil für eropäische Verkafsopioe. Eie amerikaische Verkafsopio is z keiem Zeipk weiger wer als er Asübgspreis abzüglich es jeweilige Akiekrses, a sie jeerzei asgeüb were ka. Die Opio ka ie eie höhere Wer als X aehme, a er Wer er Akie ie ieriger als Nll sei ka. > X > p > max [0; X - S ] bzw. i T: p T max [0; X-S T ]

16 - Die Deermiae Basispreis Die bezüglich er Basispreiserschiee afgeselle Assage bei eropäische Verkafsopioe gele weigehe aalog ach bei esprechee amerikaische Verkafsopioe. Asahme: X - X > p(x - p(x > 0 für X > X Dies reslier aras, aß hier eie vorzeiige Asübg, ie voreilhaf sei ka, ses möglich is. - Die Deermiae Reslafzei Da er Basispreis bei er Ermilg es Weres eier amerikaische Verkafsopio wege er Möglichkei jeerzei aszübe ich iskoier wir, is hier ei i er Wirkgsrichg eieiger Eiflß er Reslafzeihöhe af e Opioswer erkebar: p(τ > p (τ für τ > τ

17 4. Werebeziehg zwische Verkafs- Kafopioe 4.. Eropäische Opioe Der Wer eier eropäische Verkafsopio esprich em Wer eier Kafopio mi ieischem Basisisrme, ieischem Basispreis gleicher Reslafzei zzüglich es mi er Reslafzei iskoiere Basispreises abzüglich es jeweilige Akiekrses.: P - S + X*r -τ P + S - X*r -τ

18 Diese Zsammehäge si i em folgee Schabil erkebar: +X*r -τ +P + -S

19 Folgee Arbirageafel, i er ie Zahlgssröme, ie rch Werpapierrasakioe begrüe si, argesell were, verelich iese Zsammehag.: Beracheer Zeipk Verfallag er Opio S T < X S T > X Kaf er Verkafsopio - P +X - S T 0 Kaf er Akie - S + S T +S T Verkaf er Kafopio + 0 +X - S T Verkaf er Aleihe + X*r -τ -X -X Gesamposiio 0! -P -S + +Xr -τ 0 0

20 Es wir rch iese Werpapierrasakioskombiaioe also ei Porefeille mi eiem sichere Ewer vo Nll gebile. Dies wir als perfeke Hege (vollkommee Absicherg bezeiche. 4.. Amerikaische Opioe Da eie amerikaische Verkafsopio mieses so viel wer is wie eie sos ieische eropäische Opio sell er Asrck -S + +Xr -τ r ie Werergreze er berachee amerikaische Verkafsopio ar. Die Werobergreze für eie solche Tiel is: - S + X Würe iese verlez, so köe rch Verkaf er Akie Kaf eier risikofreie Nll - Kpo - Aleihe im Zeipk sofor ei Eizahlgsüberschß erziel were.

21 Z späere Zeipke würe a eies er folgee Szearie eiree, bei ee ei mi Sichrhei ichegaiver Zahlgüberschß eiri: - Bei soforiger Asübg er Verkafsopio erhäl er Verkafsopiosverkäfer ie Kafopio, ie e Wer > 0 ha. - Bei Verfall oer späerer Asübg er Verkafsopio wir mieses ei Über schß i Höhe er agelafee Zise er Aleihe erziel. Es gil aher: - S + X > p >P - S + X*r -τ Bei Ablaf er Opiosfris gil: p P T - S T + X

22 III. Spezielle Bewergsmoelle. Biomialmoell Für ie Werbesimmg eier Opio ierhalb ihrer Lafzei is ie Aweg vo Opiospreismoelle erforerlich. Es gele ie sechs geroffee Aahme i Abschi II.. ergäz rch Aahme 7 a: 7a Im Biomialmoell wir ei iskreer äqiisaer Akiehael ersell. Die Markeilehmer habe eckgsgleiche Erwarge bezüglich es Akiekrsverlafes i er Zkf. Dieser Akiekrsverlaf esprich eiem mliplikaive Biomialprozeß mi kosae Werveräergsparameer... Kafopioe Uer e formliere Aahme Vorrassezge wir bei er Kafopiosbewerg keie Uerscheig zwische amerikaische eropäische Kafopioe (Vgl. Abschi II Eiperioiges Moell w S S - w S Symbolerklärg: eiperioige Akiereie bei güsiger Krsewicklg eiperioige Akiereie bei güsiger Krsewicklg w Eiriswahrscheilichkei Weierhi gil: - 0 (Akiekrse köe ich egaiv sei - > r > (afgr es arbiragefreie Markes

23 Folgee Ewere si besimmbar: w max (0 ; S K max (0 ; S K - w Grlege für ie weiere Asführge is ie Kosrkio eies risikolose Arbirageporefeilles ohe spezifiziere Risikopräfereze, ach Dplikaiosmoell bezeiche, glieer sich allgemei i ie spezielle Opiosbewergsmoelle ei. Vorassezge: Berachg eier Kafopio mi eiperioiger Reslafzei K 50 3 Kafopioe were asgeschriebe Akie z jeweils 50 gekaf Verkaf vo Nll-Kpo-Aleihe mi Rückzahlgsberag 50 zm Krs vo 40 verzise sich über ie Reslafzei mi 5% (-r 0,5 Bei Ablaf er Opiosfris is er Akiekrs eweer S 5 oer S 00

24 Übersich.: Dplikaiosmoell as Kafopio, risikofreie Tiel Akie Bewergszeipk ( Verkaf - 3 Kafopioe - 50 risikofreie Nll- Kpo-Aleihe Kaf - Akie Ablaf er Opiosfris (T S T 5<K50 S T 00>K Dami risikofreie Arbirage vermiee wir, mß ie Gleichg erfüll sei ( 0. Fazi: Es gil eshalb: (. Die Kafopio läß sich rch ei Porefeille as er zgreliegee Akie risikofreie Tiel exak pliziere. m 0 Sh oer r (. Sh + (.3 (.4: m r m (.3 S h + r (.4 S h + r S h + m S h - m m r r (.5 h - (.6 m ( S -

25 Der Kafopioswer wir mi Hilfe er obige Gleichge ermiel: Mi er Defiiio Folg ie vereifache Gleichg (.9 {q max(0; S K + (-q max(0; S K} / r Da ie Beziehg > r > gil mß > q > 0 sei somi besiz q Wahrscheilichkeischaraker. r r r r r r r r r r }/ ( ( ( ( { (.8 ( ( ( ( r q r q

26 Der Kafopio is abhägig vo: em akelle Akiekrs S em Asübgspreis K em Zissaz af risikolose Aleihe r e Werveräergsparameer is abhägig vo: er Eiriswahrscheilichkei w bzw. w e Risikopräfereze er Markeilehmer e harakerisika aerer Tiel als er zgreliegee Akie risikofreie Tiel

27 ... Zweiperioiges Moell Das eiperioige Moell läß sich leich af e mehrperioige Fall überrage. max (0; S - K max (0; S K max (0; S K Drch rekrsive Aweg es eiperioge Moells erhäl ma am Ee er erse Perioe: (.0 { q + ( q } / r (. { q + ( q } / r Aschließe ka ma e gewüsche Kafopioswer as herleie. (. { q + q(-q + (-q } / r (.3 { q max (0; S K + q(-qmax (0; S K + (-q max (0; S K} / r Zr Verelichg es Bewergsprizips ka ma ach iese Opio mi Hilfe es Dplikaiosmoell arselle: Es gil i allgemeier Schreibweise: (.4 Sh + m r (.5 Sh + m r (.6 Sh + m r

28 Gleichg (.5 mis (.6 ergib: Af aaloge Weise lasse sich ach ie Asrücke für h, h, m m herleie:..3. -perioiges Moell Es is zers hilfreich Gleichg (.3 i folgeer Form z schreibe: Folglich gil für beliebig viele Perioe: r m r m r m r m S S ergib oer i Gleichg eiseze h S h S h r m h S r m h S ( (.8 ( ( ( : (.6 (.5 ( (.7 ( ( r m h S + (.9 r m S h + (.0 S h ( (. S h ( (. m (.3 m (.4 ( max(0; (!!(!.5 0 K S q q j j r j j j j j max(0; ( (.6 0 K S q q j r j j j j j

29 Azahl er Perioe j Azahl er güsige Krsewicklge Zr Vereifachg efiiere ma a als kleise ichegaive Zahl, für ie a -a S >K oer a>l {K/( S } / l(/ mi K>0, S >0 >0 gil. j j j j (.7 q ( q max(0; S K r j a j Drch Asmlipliziere erhäl ma folgee Opiospreisformel: (.8 S j r r r j j j j j ( q {( q } K q ( q j a j a Da ie zweie Smme i Gleichg (4.6 er komplemeäre Biomialvereilgsfkio B(a,, q esprich, emzfolge ie erse Smme eie esprechee Vereilgsfkio B(a,, q' mi q q /r -q (-q/r is, ka ma ie Gleichg äqivale az mforme: (.9 S B(a,, q Kr - B(a,, q r q mi q, q' a kleise ichegaive gaze Zahl, r für ie a > l {K/(S} / l(/ gil... Verkafsopioe... Eropäische Opioe Die esprechee eropäische Verkafsopiosformel läß sich ählich wie ie Kafopiosformel herleie ierpreiere. Es wir i gleicher Weise ie Werewicklg er Opio mi eier yamische Porefeillesraegie as er zgreliegee Akie risikofreie Tiel exak plizier.

30 (.30 P {qp + (-qp } / r mi P max(0; K-S P max(0; K-S... Amerikaische Opio Uer e Aahme 7a läß sich er Wer eier zweiperioige amerikaische Verkafsopio p rch ie rekrsive Aweg es eiperioige Biomialasazes herleie. Ermilg es amerikaische Opiosweres z Begi er zweie Perioe mi Hilfe er Were er ich asgeübe Opio (p p (.3 p {qp + (-q p } / r mi p max(0; K- S p max(0; K-S (.3 p {qp + (-q p } / r mi p p p max(0; K- S Af esprechee Weise wie bei er Bewerg vo Kafopioe läß sich ei äqivalees Porefeille as er zgreliegee Akie risikofreie Tiel bile. Soforige Asübg, we p < K S oer p < K S gil. Am Afag er zweie Perioe si folgee Formel feszselle: (.33 p max(p ; K S (.34 p max(p ; K S As iese Were ka ma a e Wer er amerikaische Verkafsopio p am Afag er Reslafzei ableie: (.35 p max(p ; K S mi p {qp + (-q p } / r

31 .3 Divieezahlge im Biomialmoell am Beispiel vo amerikaische Kafopioe Die vorzeiige Asübg er Kafopio ka eierseis rch e Erhal er Divieezahlg af ie bezogee Akie voreilhaf sei, aererseis führ eie vorzeiige Asübg z eiem Zisverls, a er Basispreis K am Kapialmark währe er Reslafzei τ er Opio ich mehr ageleg were ka. Bei eier Divieeasschüg eier börseoiere Akie fäll er Krs er Akie im Aschlß a ie Zahlg m e Berag er Diviee. Drch as Eiwirke vo Diviee ka es sich bei amerikaische Kafopioe lohe, iese vorzeiig aszübe. Amerikaische Opioe mi Diviee si a bei sos gleiche Parameer mehr wer als vergleichbare eropäische Opioe. Folgee Aahme gele: Kosae Divieereie δ D/S Eiperioefall es Biomialmoells Asschüg erfolg am Perioeee Bei güsiger Krsewicklg af S erhäl er Akioär eie Diviee vo δs aerfalls eie Diviee vo δs : w δs S -w δs Die Variable v wir i as Biomialmoell iegrier: Erfolg eie Divieezahlg am Perioeee, so is v. Efäll ie Divieezahlg, gil v0.

32 Der Akiekrs ka am Perioeee zwei mögliche Were aehme: (-δ v S S (-δ v S Mögliche Ewere eier Kafopio mi eiperioiger Reslafzei am Fälligkeisam: max(0; (-δ v S -K max(0; (-δ v S -K Aalog zm Eiperioefall ohe Asschüg vo Diviee ka ie Werewicklg ieser Opio rch ei äqivalees Porefeille exak plizier were. Es gil folglich ie bekae Gleichg zr Bewerg vo Kafopioe, mi em Uerschie, ass (-δ v S e Wer S i e Gleichge ersez ha: {q +(-q }/r Eie vorzeiige Asübg er Kafopio ka bei Zahlg vo Diviee voreilhaf sei: Hierz gil v (-δs >K. Folglich is a ach (-δs >K, a > gil. I iesem Fall is (-δs -K (-δs -K

33 Sez ma ie Were für i Gleichg {q +(-q }/r ei, so ergib sich ( q[ ( δ S K] + ( q[ ( δ S K] r Da q(r-/(-, -q(-r/(- (/rq+(/r(-q gil für ich asgeübe Kafopioe am Asschügsam: [q +(-q ]/r(- δs -(K/r Eie vorzeiige Asübg er amerikaische Kafopio is voreilhaf, we S -K>(- δs -(K/r oer δs oer δs >K-K/r Die vorzeiige Asübg er Opio is a sivoll, we ie Divieezahlg e bei Alage es Basispreises am Kapialmark gezahle Zis währe er Reslafzei er Opio überseig.

34 . Herleig es Black-Scholes-Moells als Grezfall es Biomialmoells( Formel Biomialmoell: Formel Black-Scholes-Moell:,, (,, ( ' q a B Kr q a B S τ σ τ σ τ σ τ τ + l( ( ( Kr S N Kr N S - Überführg ach agepaßem Diskoiergsfakor, wobei, q q gege srebe:,, ( ',,, ( / ( q a B Kr q a B S τ > ( ( N Kr N S τ mi / /l( /( l( /( ' /( ( / / S K a r q q r q > τ τ

35 . Black-Scholes-Formel für Kafopioe ( Spezielle Aahme 7 Der Hael vo Fiaziel erfolg koiierlich. Die Markeilehmer habe homogee Erwarge hisichlich es zküfige Akiekrsverlafs, er eiem ITO-Prozeß mi kosaer Volailiä im Zeiablaf esprich. - Wie bei em Biomialmoell wir ach hier ei risikoloses Porefeille gebile: τ + hs Kr 0. - Black-Scholes-Formel zr Bewerg vo Kafopioe: S S l( Kr σ τ N( σ τ Kr + τ τ σ N( τ

36 . Black-Scholes-Formel für Kafopioe ( - Die ermiele Formel ka ach für amerikaische Kafopioe verwee were, a eie vorzeiige Asübg ich lohe is. Begrüg: Da er Wer eier amerikaische Kafopio max( 0; S K esprich, aber max( 0; S Kr τ max(0; S K is, loh eie vorzeiige Asübg eier amerikaische Kafopio ich. Daher köe ach amerikaische Kafopioe mi er Black-Scholes- Formel bewere were. Black-Scholes-Formel bei seiger Verzisg r τ ( k S N Ke N( mi S l( + ( r K σ σ τ k + τ σ τ.

37 .3 Black-Scholes-Formel für eropäische Verkafsopioe ( - Zächs mß eie Kafopio, rch ei esprechees Porefeille besehe as P, S τ Kr achgebile were. - Ma erhäl folgees perfek abgesichere Porefeille: τ 0 + P + S Kr. - Der Wer es Porefeilles is i alle Umwelzsäe ( S < K / S > K / S K gleich ll. T T T - Drch Umformg erhäl ma ie P-all-Pariy : P τ S + Kr. - Nach eiseze er bereis ermiele Formel für ergib sich: P τ τ S N( Kr N( S + Kr. τ ( - Zsammegefaß erhäl ma a : P Kr N( S ( N(.

38 .3 Black-Scholes-Formel für eropäische Verkafsopioe ( Die Formel für ie Bewerg er Verkafsopio ka ich zr Bewerg vo amerikaische Verkafsopioe verwee were, er ermiele Wer sell a r eie Werergreze ar. Begrüg lieg i er Möglichkei eier vorzeiig lohee Asübg er amerikaische Verkafsopio. Dies is z.b. er Fall we ageomme wir, aß S 0 is. Bei Asübg wir er maximale Wer er Verkafsopio erziel, bei eier späere Asübg würe er Zis af K verlore gehe > Eie Asübg vor Ablaf er Opiosfris wäre somi lohe ie Black-Scholes-Formel wäre ich awebar.

39 .4. Berücksichigg vo Diviee im Black-Scholes-Moell Keie Diviee währe er Opioslafzei Asschüge währe er Lafzei gerigerer Opioswer verschieee Are vo Opioe Möglichkeie zr Divieeberücksichigg.4.. Die geschüze Eropäische Kafopio Divieesrkr I: Es wir vo sichere Divieezahlge asgegage, zmies währe er Lafzei er Opio Der Teil es heige Akiekrses, er sich als Barwer er sichere küfige Asschüge ergib, is i seiem Werverlaf rch e Zissaz für risikofreie Alage eermiier r er Akiekrs abzüglich es Barwers er sichere Diviee ka sich sochasisch ewickel Falle sichere Diviee z S D S j D j r DJ D j, j,...,, a Komm es ach ach em Verfallag er Opio z sichere Divieezahlge ( > D T K D K j k+ D j r D j + τ

40 Divieesrkr II: ie Asschüge si a e lafee Akiekrs srik gekoppel eie kosae Rae δ zr Asschüg gelag as Asmaß er Diviee ergib sich as em δ -fache es D jeweilige Akiekrses ( δ. S, bzw. ie kosae Divieereie lae: δ D / S cos. koiierliches proporioal-ivie-moel, Mero (974 es wir vo koiierliche Asschüge asgegage ( δ l( + δ c bereiige Akiekrs eiseze: δ S i er Black-Scholes-Formel S δ δ l( S / K + ( i + σ. N σ τ / τ K. e iτ l( S. N δ / K + ( i σ σ τ / τ ach Umformg rch S δ S e S ( δ cτ τ + δ ergib sich moifiziere Black-Scholes-Formel: S. e δ τ c l( S / K + ( iδc + σ. N σ τ / τ Ke. iτ l( S / K + ( iδ. N σ τ c σ / τ

41 .4.. Die Bewerg geschüzer amerikaischer Kafopioe Im Fall vo Divieezahlge währe er Opioslafzei vorzeiiges Asübe lohe We er Asübgswer vor er Divieezahlg größer is als er Markwer er Opio ach er Divieezahlg, gil ex S + D K > Somi is eie amerikaische Kafopio im Divieefall wervoller als eie eropäische ka ich mi em Black-Scholes-Moell bereche were.

42 .5. Volailiä als kriischer Parameer Die Volailiä (σ bezeiche ie Saarabweichg er Perioereie bei koiierlicher Verzisg, bezoge af ei Jahr Im Gegesaz z e aere Eiflssgröße is ie Volailiä ich irek beobachbar,.h. sie mß geschäz were..5.. Hisorische Volailiä wir afgr er vergagee Akiekrsreihe geschäz is ach i er Zkf z erware bleib kosa für ie Reslafzei er Opio. Ei eifaches Schäzverfahre beseh ari, eie Sichprobe vo + vergagee Tageskrse z ziehe bei rchschilich 5 Börseage pro Jahr σ z bereche: σ ˆ σˆ wobei * σˆ 5 (l r k µ ˆ k r * k S S k k ; ˆµ l k * r k ach Umformg σ ˆ σˆ σˆ µ * 5 (l rk 5 ˆ k k

43 .5.. Implizie Volailiä er Markpreis er Opio reflekier ie gegewärige Volailiä i e realisiere Opiospreis were ie bekae Variable eigesez m so ie Volailiä z ermiel a sich ie Black-Scholes-Formel ich irek ach σ löse läß Ermilg rch Ieraio. Problem: Bei er Besimmg er implizie Volailiä af er Basis verschieeer Opioe (mi erschieliche Reslafzeie, Asübgspreise af ieselbe Akie heoreisch müße alle besimme Volailiäe gleich sei prakisch beobache ma aber e sog. smile effec (bei gleichem Akiekrs were z Opioe mi erschieliche Asübgspreise erschieliche Volailiäe bereche: Abb. 4: Smile-Effek Mehoe zr Aswahl er σ arihmeischer oer gewicheer Mielwer; ie Volailiä mi Asübgspreis, welcher am ähese z em heige Akiekrs lieg; r Opioe mi gleiche Asübgspreis für ie Berechg er Volailiä ze. Aahme eier richigere Opiosbewerg.

44 Thema II: Bewerg vo Akieopioe IV. Bewerg eier Opio Ermilg vo Kezahle i er Praxis. Bewerg Asgagsae: Kafopiosschei af ie Akie er Lfhasa AG (WPKN:73675 Basispreis (K:,00 Ero Reslafzei (τ: 345 Tage (Verfallsag: Zis af risikolose Alage (r-: 3,789 % Volailiä: 0,39 Akiekrs (S : 3,36 Ero (am Bewerg mi em Biomialmoell. Ermilg er Af- Abwärsfakore er azgehörige Eiris-Wahrscheilichkeie. σ e e,75 0, ,85,75

45 Thema II: Bewerg vo Akieopioe. Bewerg mi em Biomialmoell ( q e (r q 0,488 0,5 e 0, ,85 0,488,75 0,85. Bei -perioiger Reslafzei gil: r j 0 j!! ( j q! j ( q j max j j ( 0; S K 3. Ermilg vo a als kleise ichegaive gaze Zahl, für ie gil: K > l S a / l l 0,85 3,36 a 4 / l,75 0,85,8 4. Moifikaio er Asgagsformel S j a!!j( q j! r j r j r!!j( j! j ( q K q ( q j a j 8,834,095 4,0736

46 Thema II: Bewerg vo Akieopioe Akiekrsverlaf 44,49 37,87 3,4 3,4 7,44 7,44 3,36 3,36 3,36 9,89 9,89 6,93 6,93 4,4,7 Opioswerermilg,486 6,07 0,636 0,36 6,699 5,64 4,074 3,063,360,643 0,658 0,

47 Thema II: Bewerg vo Akieopioe Opioswerberechg aha es Biomialmoells r (Eijahreszis,0379 r (Zis für eie Perioe,0090,747 0,853 q 0,4880 -q 0,50 K,00 Volailiä 0,39 Reslafzei 0,9583 Akiekrs 3,36 a j 3 4 Smme. Biomialfk. 0,3645 0,3697 0,044 0,7867. Biomialfk. 0, ,3803 0,0567 0,6693 Opioswer S * Smme. BF 8,83 -K/r * Smme. BF -4,095 4,0736 4

48 Thema II: Bewerg vo Akieopioe. Bewerg mi em Black-Scholes-Moell K Lfhasa e l( 3,36 r τ S l N l N N (0,45795 S K S K + + (l( σ (l(,00 σ r r τ e τ + σ l( σ / * τ, / * τ 345 * 360 N (0,3587 3,36 0,67646,00 e 0, * 360 * 0, ,80,763 4,0398 Vergleich er Moelle mi em osors-opiosscheirecher Opioswer Biomial Black-Scholes osors-szeario 4,0736 Ero 4,0398 Ero 4,07 Ero 5

49

50 3,36 3,36 4,36 3,36

51 Thema II: Bewerg vo Akieopioe Black-Scholes-Moell i er Praxis: Kriik: realisische Aahme bezüglich es Akiekrsverlafes kosae Volailiä im Zeiablaf Aweg roz Kriik: eifache Hahabg r eie ich im Mark beobachbare Deermiae Eisaz vo Hilfsverfahre zr Besimmg er implizie Volailiä (volailiy smile 7

52 Thema II. Teil 4: Bewerg eier Opio Ermilg vo Kezahle i er Praxis P. Prsaczyk D. Schwizke. Kezahle.. Deermiae es Opiospreises als Kezahl a Dela Das Dela is ie Rae er Veräerg es Opiospreises i Abhägigkei vo er Äerg es Preises es Basisisrmees. / S Die Ermilg es Delas erfolg im Folgee Bil rch ie Tagee: Opiospreis Tagee Akiekrs

53 Thema II. Teil 4: Bewerg eier Opio Ermilg vo Kezahle i er Praxis P. Prsaczyk D. Schwizke Für eie eropäische Kafopio af eie Akie, bei er keie Asschüge erfolge, sell sich as Dela ar als: l(s / X + (i + σ / * τ i x N ( Hierbei is N ( i * e : Die σ * τ * π kmliere Dichfkio er saarormalvereile Zfallsvariable x im Bereich - bis i. Für eie esprechee Verkafsopio sell es sich ar als: l(s / X + (i + σ N ( σ * τ / * τ We as Basisisrme eier solche Opio ei Akieiex is, bei em Divieezahlge Berücksichigg fie solle, ka ies wie folg argesell were: e -δc*τ l(s / X + (i *N ( σ * + σ τ / * τ, wobei δc ie Divieereie is.

54 Thema II. Teil 4: Bewerg eier Opio Ermilg vo Kezahle i er Praxis P. Prsaczyk D. Schwizke Bei eiem Porefeille, as as er Smme vo Derivae mi j ( < j < beseh gil: j w j j Die folgee Grafike zeige ie Ewicklg es Delas vo Opioe af Akie, bei ee keie Divieeasschüge erfolge: Kafopio Verkafsopio Kafopiosela Verkafsopiosela Akiekrs Akiekrs 3

55 Thema II. Teil 4: Bewerg eier Opio Ermilg vo Kezahle i er Praxis P. Prsaczyk D. Schwizke Die folgee Graphik zeig ie Ewicklg es Delas vo bezüglich es Verhälisses zwische Asübgspreis Akiekrs verschieee Kafopioe i Abhägigkei vo er Reslafzei er Opio af: am Gel im Gel as em Gel Reslafzei 4

56 Thema II. Teil 4: Bewerg eier Opio Ermilg vo Kezahle i er Praxis P. Prsaczyk D. Schwizke b Das Gamma Das Gamma sell ie Rae er Veräerg es Opioselas i Abhägigkei vom Preis es Basisisrmees ar.: Γ / S 5

57 Thema II. Teil 4: Bewerg eier Opio Ermilg vo Kezahle i er Praxis P. Prsaczyk D. Schwizke Das Gamma eier eropäische Opio af Akie, af ie keie Diviee asgeschüe were ermiel sich wie folg: l(s / X + (i + σ Γ N` ( σ * τ / * τ / [S*σ* τ / x ] N`(x is abei: * e Bei Berücksichigg vo koiierliche Divieezahlge bei eiem Akieiex als Basisisrme ergib sich: l(s / X + (i + σ / * τ Γ [N` ( *e -δc*τ ]/ [S*σ* τ / ] σ * τ Die folgee Graphik zeig ie Ewicklg er Asprägg es Gammas eier eropäische Opio, ie af Akie lae, i Abhägigkei vo er Höhe es Akiepreises (im Verhälis zm Basispreis. * π Akiekrs 6

58 Thema II. Teil 4: Bewerg eier Opio Ermilg vo Kezahle i er Praxis P. Prsaczyk D. Schwizke Folgee Graphik sell ie Ewicklg vo Gammas vo Opioe mi verschieee Verhälisse zwische Akiekrs Asübgskrs i Abhägigkei vo er Reslafzei ar: as em Gel am Gel im Gel Reslafzei 7

59 Thema II. Teil 4: Bewerg eier Opio Ermilg vo Kezahle i er Praxis P. Prsaczyk D. Schwizke c Das Thea Das Thea is ie Rae er Veräerg es Opiosweres i Abhägigkei vo er Lafzei er Opio: Θ / Das Thea eier eropäische Kafopio af Akie, af ie keie Diviee asgeschüe were, ermiel sich wie folg: l(s / X + (i + σ Θ - [ S*N ( σ * τ l(s / X + (i + σ / * τ *N ( -σ * τ σ * τ Bei esprechee Verkafsopioe ergib sich: / * τ *σ] / [*τ / ] - i*x*e i*τ l(s / X + (i + σ / * τ Θ - [ S*N ( *σ] / [* τ / ] + i*x*e i*τ * σ * τ l(s / X + (i + σ / * τ N (- + σ * τ σ * τ 8

60 Thema II. Teil 4: Bewerg eier Opio Ermilg vo Kezahle i er Praxis P. Prsaczyk D. Schwizke Is as Basisisrme ei Akieiex mi er Divieereie δ c, so ergib sich: l(s / X + (i + σ / * τ Θ - [ S*N`( *σ*e σ * τ l(s / X + (i + σ / * τ -δc *τ δc*s*n( * e σ * τ - i*x*e i*τ l(s / X + (i + σ / * τ *N( -σ * τ σ * τ -δc*τ ] / [* τ / ] + Die folgee Graphik sell ie Ewicklg es Thea bei eier eropäische Kafopio i Abhägigkei vo em Preis es Basisisrmees ar: Akiekrs 9

61 Thema II. Teil 4: Bewerg eier Opio Ermilg vo Kezahle i er Praxis P. Prsaczyk D. Schwizke We er Akiepreis gege elich sreb, kovergier as Thea gege -i*x*e -it Die folgee Graphik sell ie Ewicklg es Theas vo Kafopioe mi erschieliche Basispreis-Akiepreisverhälisse i Abhägigkei vo er Reslafzei ar. as em Gel Reslafzei am Gel im Gel am Gel Das Thea is im Regelfall egaiv für eie Akieopio, wobei hier eie im Gel liegee Verkafsopio eie Asahme sei ka. 0

62 Thema II. Teil 4: Bewerg eier Opio Ermilg vo Kezahle i er Praxis P. Prsaczyk D. Schwizke Zwische Γ Θ beseh eie egaive Korrelaio. Diese zeig sich aalyisch i em Term: Θ + i*s* + /*σ *S *Γ i* Dies gil für Opioe af ich ivieeasschüee Akie iivielle Opioe. Vega Rho - Das Vega is ie Rae er Veräerg es Opiosweres i Abhägigkei vo er Volailiä Vega / σ - Rho sell ie Rae er Veräerg er Opio i Abhägigkei vom Zissaz risikofreier Alage ar. rho / r - Das Omega ach Hebel gea gib ie Elasiziä es Opiosweres i Abhägigkei vo Akiekrsäerge a (Ω ( / * (S / S.

63 Thema II. Teil 4: Bewerg eier Opio Ermilg vo Kezahle i er Praxis P. Prsaczyk D. Schwizke e Die implizie Volailiä Die implizie Volailiä mß erschiee were vo er hisorische Volailiä, er erwaree Volailiä sowie zküfige Volailiä. Die implizie Volailiä ka aha er Black-Scholes-Formel, i er ie Volailiä ebe aere eie Deermiae es Opiosweres arsell, ermiel were. Dies mß ieraiv erfolge, a ie Black-Scholes-Formel ich aalyisch ach er Volailiä afgelös were ka, weil ie Diche er Normalvereilg selbs eie Fkio er Volailiä is. Dabei biee er aerem as Newo-Raphso-Verfahre ei Approximaisverfahre zr Ermilg er Volailiä. Dieses wir rekrsiv wie folg rchgeführ.: S Der Afagswer er Volailiä wir besimm: σ ˆ l + (r * τ X τ ( σ Die Approximaiosgleichg is abei: σ σ für > 0 + σ σ

64 Thema II. Teil 4: Bewerg eier Opio Ermilg vo Kezahle i er Praxis P. Prsaczyk D. Schwizke Die Zahl er Ieraiosschrie wir abei rch ie Wahl es Afagsweres, er rch ei Nähergsverfahre ermiel wir, eermiier, wobei avo asgegage wir, aß vier Ieraiosschrie eie ge Aäherg biee. Bei er Bisecio-Mehoe wir bei er Approximaio ich rch schriweise Aäherg soer rch lieare Ierpolaio vorgegage. Dabei were zwei Afagswere er Volailiä - eie eeziell hohe eie eeziell ierige - verwa, mi ee er jeweilige Opioswer rch ie Black-Scholes-Formel asgereche wir. Somi wir a eie schriweise Verkleierg es relevae Bereiches erreich, a er Wer er implizie Volailiä ähergsweise besimm. Die Approximaiosgleichg is abei: σ ˆ σ L L * ( σ We ie reslieree implizie Volailiä eie kleiere (größere Opioswer als e gegewärig i er Realiä exisieree Wer afweis, efiier ma für e ächse Nähergsschri: σ L : σ (σ H : σ ; L : ( H : Dieser Vorgag wir ach weiere Drchgäge espreche wieerhol. ( H L H σ L 3

65 Thema II. Teil 4: Bewerg eier Opio Ermilg vo Kezahle i er Praxis P. Prsaczyk D. Schwizke.. Weiere Kezahle - as Afgel Das Afgel besag, m welche Aeil es Preises es Basisisrmees seige (bei Kafopioe bzw. falle (bei Verkafsopioe mß, ami er Opioskäfer keie Verls erleie. Es ka ach (beim Beispiel eier Kafopio ierpreier were als er Prozesaz, m e er Erwerb es Basisisrmees rch Kaf soforige Asübg erer is als er ireke Erwerb es Basisisrmees. Das Afgel eier Kafopio is gleich: ( + X - S / S Das Afgel eier Verkafsopio is gleich: (P - X + S / S τ Das Afgel pro Jahr ( + Afgel gib a, m welche Prozesaz er Preis es Basisprokes jährlich seige (bei eier Kafopio mß, ami er Opiosivesor keie Verls erleie. 4