KV Logik als Arbeitssprache. Christoph Hörtenhuemer LVA-Nummer: LVA-Leiterin: Wolfgang Windsteiger. Agnes Schoßleitner

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1 KV Logik als Arbeitssprache LVA-Nummer: LVA-Leiterin: Wolfgang Windsteiger Abgabedatum: Christoph Hörtenhuemer Agnes Schoßleitner

2 Inhaltsverzeichnis Kurzbeschreibung Allgemeines zu magischen Quadraten... 3 a) Eigenschaften von magischen Quadraten... 3 b) Magische Summe Konstruktion magischer Quadrate der Ordnung Konstruktion magischer Quadrate der Ordnung Konstruktion magischer Quadrate der Ordnung a) Eigenschaft des 12 x 12- Quadrates Zusammenfassung Literaturverzeichnis Kurzbeschreibung In dieser Arbeit beschäftigen wir uns mit magischen Quadraten und seinen Eigenschaften. Unser Ziel ist es einen Lösungsweg für ein 12x12- magisches Quadrat zu finden. Zuerst beschreiben wir allgemein magische Quadrate. Nachdem wir uns eingehend mit 3x3- und 4x4- magischen Quadraten beschäftigt haben, versuchen wir aus deren Lösungsverfahren ein magisches Quadrat der Ordnung 12 zusammenzusetzen und auf ihre Eigenschaften zu überprüfen. Magisches Quadrat 2 / 11

3 1. Allgemeines zu magischen Quadraten Ein quadratisches Zahlenschema aus den Zahlen 1, 2,, n² heißt ein Zauberquadrat oder ein magisches Quadrat der Ordnung n. Es muss sich in jeder Zeile, in jeder Spalte und in jeder der beiden Diagonalen die gleiche Summe (magische Summe, siehe 1.b) ergeben. Beispiele: magisches Quadrat der Ordnung 3 (magische Summe = 15) magisches Quadrat der Ordnung 4 (magische Summe = 34) a) Eigenschaften von magischen Quadraten Magische Quadrate können sehr unterschiedliche Eigenschaften aufweisen, von denen die wichtigsten hier dargestellt werden: pandiagonal: Pandiagonale Quadrate sind magische Quadrate, bei denen auch die Summe aller Zeilenelemente längs der gebrochenen Diagonale gleich der magischen Konstanten ist. Damit sind Diagonalen gemeint, die an einem Ende des Quadrats aufhören und auf der gegenüberliegenden Seite weiterverlaufen. Dieses pandiagonale magische Quadrat achter Ordnung hat die magische Summe 260. Eingelagert sind vier weitere pandiagonale magische Quadrate vierter Ordnung mit der magischen Summe 130. Magisches Quadrat 3 / 11

4 symmetrisch: Beim symmetrischen oder assoziativen magisches Quadrat ergeben die Zellen, die symmetrisch zum Mittelpunkt oder der Mittelzelle des Quadrats liegen, immer die konstante Zahl n² Beispiel: n = 7 Mittelzelle: 25 konstante Zahl: n²+ 1 = 7²+ 1 = 50 Beispiele für symmetrische Zellen: = = = 50 konzentrisch: Ein konzentrisches oder umrandetes magisches Quadrat ist ein magisches Quadrat, das auch dann noch magisch bleibt, wenn man seinen Rand entfernt. Zusätzlich müssen die Zahlen am äußeren Rand aber noch die Bedingung erfüllen, dass dort nur die Zahlen vorkommen dürfen. Beispiel: n = 8 Am äußeren Rand dürfen nur die Zahlen 1,, 14 und 51,, 64 vorkommen. Dies wird hier erfüllt eingebettet: Ein eingebettetes magisches Quadrat ist ein Quadrat, in dem eine oder mehrere magische Figuren eingebettet sind. Die Summe der Zeilen, Spalten und Diagonalen der eingebetteten Figur kann je nach Gegebenheit auch unterschiedlich sein. Damit kann man sie als Verallgemeinerung der konzentrischen bzw. umrandeten Quadrate ansehen, da jedes konzentrische Quadrate sicher auch eingebettet ist Magisches Quadrat 4 / 11

5 selbstkomplementär: Betrachten wir das folgende magische Quadrat vierter Ordnung und gehen zu seinem Komplement über. D.h. jede Zahl z wird durch ihr Komplement n²+ 1 - z ersetzt: Damit erhalten wir das folgende Quadrat: Wenn das entstehende magische Quadrat äquivalent zum Ausgangsquadrat ist, d.h. durch Drehungen und Spiegelungen auf dieses abgebildet werden kann, spricht man von einem selbstkomplementären magischen Quadrat. Manchmal wird es auch selbstähnlich genannt. ultramagisch: Ein magisches Quadrat heißt ultramagisch, wenn es die beiden folgenden Eigenschaften besitzt: pandiagonal und selbstkomplementär zusammengesetzt: Zusammengesetzte magische Quadrate sind aus mehreren magischen Quadraten zusammengesetzt. Diese Einzelquadrate können dabei natürlich nicht normalisiert (Zahlen des mag. Quadrates müssen nicht von 1,, n² laufen) sein. Für die meisten dieser Eigenschaften gibt es sehr spezielle Konstruktionsverfahren, mit denen zielgerichtet genau diese Quadrate erzeugt werden können. Allerdings unterscheiden sich die zu benutzenden Verfahren zusätzlich auch noch bei der gewünschten Ordnung des Quadrats. Magisches Quadrat 5 / 11

6 b) Magische Summe Als magische Summe bezeichnet man die Zeilen- und Spaltensumme sowie die beiden Diagonalsummen in einem magischen Quadrat. Anschaulich werden in dieser Formel die n² Zahlen auf n Zeilen und n Spalten aufgeteilt. Für die Summe von aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen gibt es eine altbekannte Formel: Addieren wir jetzt nicht bis n, sondern bis n², ergibt sich zwangsläufig Damit erhalten wir für die gesuchte magische Summe Mit dieser Formel lassen sich die magischen Summe konkret berechnen: Magisches Quadrat: 3x3 4x4 5x5 6x6 7x7 8x8 9x9 Magische Zahl: Magisches Quadrat 6 / 11

7 2. Konstruktion magischer Quadrate der Ordnung 3 Bei einem magische Quadrate der Ordnung 3 gibt es 8 Zahlentripel, die sich aus den Werten 1 bis 9 bilden lassen, deren Summe 15 ist. Die Reihenfolge der Aufschreibung innerhalb des jeweiligen Tripels ist momentan ohne Bedeutung. 15= = = = = = = =4+5+6 Das mittlere Feld ist Summand in 4 Summen Jedes Eckfeld ist Summand in 3 Summen Jedes Feld in der Seitenmitte gehört 2 Summen an Die Zerlegungen von 15 mit den Summanden 1 bis 9 wird hier aufgelistet: Summand: Anzahl: Um ein magisches Quadrat der Kantenlänge 3 zu konstruieren, muß das Mittelfeld Summand in 4 Summen sein (waagerecht, senkrecht und zwei Diagonale). Die einzige Ziffer, die in den Zahlentripeln viermal vorkommt, ist die 5, die damit das Mittelfeld belegen muß. 5 Die Eckfelder müssen mit den Zahlen 2, 4, 6 und 8 belegt werden, da sie in den Zahlentripeln je drei mal vorkommen. Die erste Ecke kann beliebig belegt werden, die diagonal gegenüberliegende Ecke ergibt sich durch die Summenbedingung für die magische Konstante. Das gilt auch für die verbleibende Diagonale Die Position der verbleibenden 4 Zahlen folgt durch die Bedingung für die magische Konstante zwangsweise. So ergibt sich zum Beispiel: Magisches Quadrat 7 / 11

8 3. Konstruktion magischer Quadrate der Ordnung 4 Magische Quadrate, deren Kantenlänge durch 4 teilbar ist, werden als doppelt gerade bezeichnet. Die Konstruktion ist nicht aufwendiger als die der ungeraden. Obwohl der Computer 86 Zerlegungen von 34 (= magische Zahl) in eine Summe von vier Summanden aus den Zahlen 1 bis 16 fand: 34= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = In den Zerlegungen von 34 sind die Summanden 1 bis 16 etwa gleichmäßig verteilt. Summand: Anzahl: Im Unterschied zum 3x3-Quadrat kann man daraus kaum Schlüsse auf die Verteilung der Zahlen 1 bis 16 im 4x4-Quadrat ziehen. Jedoch gibt es eine Methode mit der man ein magisches Quadrat der Ordnung 4 darstellen kann: Die Zahlen von 1 bis n² werden zeilenweise in ihrer natürlichen Reihenfolge in das Quadratschema eingetragen Vertausche Elemente, die diagonal-symmetrisch zur Mitte des Quadrates sind So ergibt sich ein magisches Quadrat der Ordnung Magisches Quadrat 8 / 11

9 4. Konstruktion magischer Quadrate der Ordnung 12 Nun zu unserer wesentlichen Frage: Kann man aus einem magischen Quadrat der Ordnung 3 und 4 ein magisches Quadrat der Ordnung 12 konstruieren? Als erstes wird dazu eine magisches Quadrat der Ordnung 3 konstruiert: Danach wird in jedes einzelne Feld der 3x3- Matrix eine 4x4- Matrix eingeschrieben. Die Nummerierung beginnt bei dem Feld 1 der 3x3- Matrix. Weiter geht es bei Feld 2 usw Daraus ergibt sich jedoch noch kein magisches Quadrat. Daher wird aus jeder 4x4 Matrix ein magisches Quadrat konstruiert, wie in Kapitel 3. Daraus ergibt sich das magische Quadrat der Ordnung 12: Magisches Quadrat 9 / 11

10 a) Eigenschaft des 12 x 12- Quadrates nicht pandiagonal da die gebrochnen Diagonalen nicht die magische Summe (= 870) ergeben symmetrisch da die Zellen, die symmetrisch zum Mittelpunkt liegen, immer die konstante n² + 1 (= 145) ergibt: = = = 145 nicht konzentrisch da das Quadrat ohne den äußeren Rand nicht magisch bleibt eingebettet die 12x12- Matrix hat ganz genau 9 eingebettete magische Quadrate selbstkomplementär da das Komplement des magischen Quadrates durch Drehung und Spiegelung auf das Ausgangsquadrat abgebildet werden kann nicht ultramagisch da die 12x12-Matrix nicht pandiagonal ist zusammengesetzt aus 9 4x4- Matrizen zusammengesetzt, jedoch ist nur eine der Matrizen normalisiert Zusammenfassung In dieser Arbeit wurde jeweils ein Lösungsweg für ein magisches Quadrat der Ordnung 3 und 4 gezeigt. Weiters wurde gezeigt, dass man aus einem 3x3- und 4x4- magischen Quadrat ein magisches Quadrat der Ordnung 12 zusammensetzen kann, was wir auch bewiesen haben. Zusätzlich haben wir Eigenschaften für magische Quadrate behandelt. Anschließend haben wir bei unserem magischen Quadrat der Ordnung 12 überprüft welche Eigenschaften zutreffen. Magisches Quadrat 10 / 11

11 Literaturverzeichnis Heinrich Brockmeyer: Praxis der Mathematik in der Schule 2/46 Jg (Seite 85-86) Harald Scheid: Elemente der Arithmetik und Algebra (Seite ), Spektrum Akademischer Verlag Magisches Quadrat 11 / 11