Allgemeines Näherungsverfahren zur Lösung von f(x) = 0 - Fixpunkt-Iteration -

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Dominik Melsbach
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1 Allgemeines Näherungsverfahren zur Lösung von f(x) = 0 - Fixpunkt-Iteration - Gernot Lorenz März 2006 Zusammenfassung Das Lösen von Gleichungen der Form f(x) = 0 auf algebraische Art, d.h. durch Auflösung nach der Lösungsvariablen x durch äquivalente Termumformungen, ist uns bekanntlich nur in wenigen Fällen möglich: lineare und quadratische Gleichungen, Gleichungen höheren Grades in besonderen Fällen, x = sin x, usw.). Für alle anderen Fälle müssen wir nach Näherungslösungen suchen, für die geeignete Verfahren zu suchen sind. Das einfachste Verfahren ist die sog. Fixpunkt-Iteration (oder auch Allgemeines Näherungsverfahren): Bekanntlich kann jede Gleichung der Form durch f(x) = x ϕ(x) in die Form f(x) = 0 () x = ϕ(x) (2) gebracht werden: Somit ist eine Lösung von x von () auch eine Lösung von (2). Zur Bestimmung von x werden im Folgenden Folgen x n = ϕ(x n ) untersucht, die unter bestimmten Voraussetzungen und mit geeignetem Startwert x 0 gegen x konvergieren. Dann heißt x = ϕ( x) auch Fixpunkt der Abbildung ϕ. Beispiele. Für die Gleichung x cosx = 0 gibt es keine algebraische Lösung. Also untersuchen wir x = cos x: Abbildung : Die graphische Darstellung sagt uns, daß es genau eine Lösung x gibt, offensichtlich zwischen 0,7 und 0,8. Wie aber kann man x möglichst genau bestimmen? Wir wählen die rekursive Folge x 0 = 0, 7 x n = cos x n mit n =, 2,...

2 Eine Tabellierung mit einem Rechenblatt liefert Offensichtlich konvergiert x n gegen den Wert x = 0, , der damit Fixpunkt von x = ϕ(x) und zugleich Lösung von f(x) = x cos x = 0 ist. Abbildung 2: Tabelle.2 Für die Gleichung x 4 x 3 = 0 wissen wir z.zt. keine algebraische Lösung (Es gibt eine algebraische Lösungsformel, die aber in der Schule nicht behandelt wird), Durch Umformen x 4 x 3 = x(x 3 x 2 ) = 0 erhalten wir somit für x = ϕ(x) : x = x 3 x 2 Abbildung 3: 2

3 Offensichtlich gibt zwei Lösungen, x 0, 8 und x 2, 3 Allerdings divergiert die Folge, x 0 =, 3 x n = x 3 x 2 mit n =, 2,... und zwar nicht nur mit dem x 0 = 0, 8, sondern auch mit allen anderen Startwerten; das gleiche gilt für x 0 =, 3. Der Grund wird später untersucht. Daher werden wir unsere Ausgangsgleichung anders umformen, etwa zu x = 3 x Die beiden vermuteten Lösungen finden wir wieder an den gleichen Stellen: Abbildung 4: Tabelle aber unser Näherungsfolge x n = 3 x n konvergiert jetzt für Startwerte in der Nähe von -0,8, divergiert aber bei Startwerten in der Nähe von,3, d.h. wir erhalten nur die Lösung x. Unter den vielen möglichen Umformungen unserer Ausgangsgleichungen finden wir aber auch x = 3 x 2 + x : 3

4 Hier ist die Sachlage genau umgekehrt: x n = 3 x 2 n + x n konvergiert nur in der Nähe von,3, und wir erhalten somit die Lösung x 2! Zwischenergebnis Ob die Näherungsfolge x 0 = Startwert x n = ϕ(x n ) mit n =, 2,... konvergiert, hängt ab von. Wahl des Startwertes x 0 2. Wahl der Näherungsfunktion ϕ 4

5 2 Graphische Deutung Wir betrachten folgende Diagramme: Das erste Diagramm visualisiert Beispiel.: Ausgehend von x 0 erhält man ϕ(x 0 ) (in diesem Fall cos x 0 ); durch eine Art Reflexion an der Winkelhabierenden y = x wird daraus x, woraus man dadurch, dass man senkrecht nach oben zum Graphen von ϕ geht, den neuen Funkionswert ϕ(x ) erhält, welcher wiederum durch o.a. Reflexion zu x 2 wird, usw. Insgesamt ergibt sich eine rechtwinklige Spirale oder Schnecke, die sich dem Punkt ( x ϕ( x)) Schritt für Schritt nähert. Insgesamt sind 4 Fälle möglich: alternierende Konvergenz (links oben) monotone Konvergenz (rechts oben) monotone Divergenz (links unten) alternierende Divergenz (rechts unten) 3 Verallgemeinerung Die Frage ist nun, welche Forderungen an ϕ in einer Umgebung von x zu stellen sind, damit das Näherungsverfahrung konvergiert. 5

6 Ein genauerer Blick auf die vier Diagramme aus Abschnitt 2 legt nahe, dass ein Zusammenhang mit der Steigung von ϕ(x) besteht. Welcher? Satz (hinreichendes Konvergenzkriterium) Sei ϕ : [a, b] [a, b] dif f erenzierbar. Existiert ein L R mit 0 L <, so daß ϕ (x) L für alle x [a, b], dann existiert genau eine Lösung x [a, b] von x = ϕ(x) und die Iterationsfolge x n+ = ϕ(x n ) konvergiert für jeden Startwert x 0 [a, b] gegen x. 6

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