Prof. S. Krauter Kombinatorik. WS Blatt07.doc. (Quelle: M. Aigner; Diskrete Mathematik. Vieweg 1993.)

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1 Prof. S. Krauter Kobiatorik. WS Blatt07.doc (Quelle: M. Aiger; Diskrete Matheatik. Vieweg 1993.) 1. a) Bereche Sie i Pascal sche Zahledreieck die Sue der Bioialkoeffiziete lägs eier Diagoale, also A(+1) = C(,0) + C(-1,1) + C(-2,2) + C(-3,3) +... für = 0, 1, 2, 3, 4, ud 5. Welche Folge vo Zahle A() erhalte Sie? b) Beweise Sie, dass a auf diese Weise stets die Fiboaccizahle erhält. Hiweis: Zeige Sie dies durch Iduktio. Der Afag ist durch a) gesichert. Beweise Sie u, dass die agegebee Sue A() die Rekursiosforel der Fiboaccifolge erfülle: A() + A(+1) = A(+2). 2. Wir wolle die ultiplikative Rekursiosforel für die Bioialkoeffiziete verallgeeier. a) Wie viele Möglichkeite gibt es, aus eie Verei it Mitglieder eie Vorstad it r Persoe ud daraus ei Präsidiu it k Persoe zu wähle. Beutze Sie zwei verschiedee Wahlverfahre ud gewie Sie dait folgede Forel: r k * = *. Zeige Sie die Richtigkeit auch durch Nachreche. r k k r k b) Beweise Sie it Hilfe der Forel aus a) die folgede Beziehug: k = 0 k * = 2 * k k 3. Ei übliches Kartespiel it 52 Karte (je 13 Karte i de vier Farbe ) wird gut geischt. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass sowohl die oberste als auch die uterste Karte des Stapels eie Dae ist? 4. Ugeordete Auswahle aus M = {1, 2, 3,..., } ohe beachbarte Zahle: a) Beweise Sie, dass die Azahl der ögliche k-auswahle aus M ohe k + 1 Nachbar gleich ist. k b) Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass bei de Gewizahle i Lotto 6 aus 49 keie Nachbarzahle dabei sid? 5. Gegebe ist die Mege M= {1, 2, 3, 4,..., 2}. a) Gebe Sie je eie -Teilege vo M a, i der keie Zahl Teiler eier ader ist bzw. bei der keie zwei Zahle zueiader teilerfred sid. b) Beweise Sie, dass i jeder (+1)-Teilege vo M es ier zwei zueiader teilerfrede Zahle ud ier ei Paar a, b gibt, wobei a Teiler vo b ist.

2 6. Bei eie Bridge-Turier ehe 4* Spieler teil. Gespielt wird a (icht uterscheidbare) Tische. Jeder Spieler beötigt eie adere Spieler als Parter ud jedes Paar vo Parter beötigt ei aderes Paar als Geger. Auf wie viele verschiedee Arte ka die Wahl vo Parter ud Geger erfolge? 7. Auf wie viele Arte ka ei Köig vo der like utere Ecke eies Schachbretts ach der rechte obere Ecke ziehe, we er stets ach obe, ach rechts oder diagoal ach rechts obe zieht? Hiweis: Ma sortiere die Fälle ach der Azahl der bei ihe vorkoede Diagoalzüge. 8. Auf wie viele verschiedee Arte köe die Zahle 1, 2, 3,..., i eie Kreis ageordet werde, so dass sich beachbarte Zahle jeweils u 1 oder u 2 uterscheide? 9. Abzähle vo Gitterwege als Methode zur Gewiug vo Idetitäte über Bioialkoeffiziete: a) Wie viele Zickzackwege ach rechts bzw. ach obe führe vo Pukt P(0;0) zu Pukt Q(; )? Bereche Sie diese direkt uter Verwedug eier geeigete Darstellug jedes Weges als Dualkette. b) Wie viele der Wege aus a) führe über die auf der dick gezeichete Diagoale liegede eizele Pukte R 1, R 2,.., R? Beweise Sie u die Forel: i= 0 2 i 2 = c) Verallgeeier Sie diese Beziehug, ide sie r Schritte ach rechts ud s Schritte ach obe, also ei Rechteckgitter a Stelle eies Quadratgitters, betrachte. Zu 6. a), b) zu 6. c) zu 6. c) 10. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, i Lotto 6 aus 49 (ohe Beachtug der Zusatzzahl) a) 6 Richtige b) geau 5 (4, 3, 2, 1, 0) Richtige zu ziehe?

3 Lösuge zu Blatt 07: 1. a) F(1) = 1. F(2) = 1. F(3) = 2. F(4) =3. F(5) = 5. F(6) = 8. b) Wir beweise die Gültigkeit der Rekursio: F(+1) = C(,0) + C(-1,1) + C(-2,2) + C(-3,3) + F(+2) = C(+1,0) + C(,1) + C(-1,2) + C(-2,3) + C(-3,4) +... Sue = C(+2,0) + C(+1,1) + C(,2) + C(-1,3) + C(-2,4) +... = F(+3). Wir beutze bei der Sue die Rekursio für die Bioialkoeffiziete: C(-1,k) + C(-1,k-1) = C(,k). Dait ist die Gültigkeit der Fiboacci- Rekursiosforel für die Folge der F() bewiese. Da der Iduktiosafag gesichert ist, gilt die Beziehug für alle atürliche Zahle. 2. a) Zuerst r-vorstad da daraus k-präsidiu: r *. r k Zuerst k-präsidiu, da aus -k de (r-k)-restvorstad: Dait ist a) bewiese. b) Ma setzt die Forel aus a) ei ud erhält: k * = * = * = * 2 k k k = 0 = k k 0 = k k 0 k *. k r k 3. Wir gebe zwei Lösuge: Azahl aller Aorduge = 52! Azahl der güstige Aorduge = 4 * 3 * 50! 4*3 1 1 Dait Wahrscheilichkeit = = =. 52*51 13* Wir arguetiere sofort it Wahrscheilichkeite: W(eie Dae auf Platz 1) = =. W(auch och Dae auf Platz 52) = = Mit de Multiplikatiossatz erhält a dasselbe Ergebis wie bei der 1. Lösug. 4. a) Wir orde jeder k-auswahl X = (a 1, a 2,..., a k ) aus M ohe Nachbarzahle die k-auswahl X* = (a 1, a 2-1, a 3-2,..., a k -(k-1)) aus M*= { 1, 2, 3, 4,...-k+1} zu. Diese Zuordug ist gaz offebar eideutig. Ugekehrt ka a jeder k-auswahl Y* = (b 1, b 2, b 3,..., b k } aus M* die Auswahl Y = (b 1, b 2 +1, b 3 +2, b 4 +3,..., b k +(k-1) ) aus M zuorde. Die Auswahl Y ethält offebar ieals zwei Nachbarzahle, de zwei aufeiader folgede Nuer uterscheide sich idestes u 2. Auch diese ugekehrte Zuordug ist eideutig, daher sid die Auswahle X ud X* bzw. Y* ud Y eiader bijektiv zugeordet ud daher gibt es vo beide Sorte gleich viele, ud das sid für de zweite Fall

4 k + 1 geau C(-k+1, k) =. k + k 1 Vorsicht: Nicht zu verwechsel it de Fall C(+k-1, k) =. k Hiweis: Schreibe Sie sich diese zugeordete Auswahle für ei kokretes Beispiel etwa =6, k=3 alle eial kokret auf. b) Für de Fall des Lotto 6 aus 49 erhalte wir C(49-6+1, 6) ögliche Ziehuge ohe Nachbarzahle. Daher ist die Wahrscheilichkeit für idestes ei Paar C(44,6) vo Nachbarzahle gleich 1 = 1 - = 1-0, = C(49,6) , %. I etwa 50% aller Fälle sid also i de 6 Gewizahle des Lottos 6 aus 49 idestes zwei Nachbarzahle zu erwarte. 5. a) I der folgede -Teilege sid keie zueiader teilerfrede Zahle: {2, 4, 6, 8,..., 2} I der folgede -Teilege gibt es kei Paar a, b wobei a Teiler vo b ist: {+1, +2, +3, +4,..., 2} b) Wir zerlege M i Paare zueiader teilerfreder Nachbarzahle: {1,2}, {3,4},...,{2-1,2}. Für die Auswahl eier (+1)-Teilege üsse aus idestes eier dieser Klasse beide Eleete ausgewählt werde. Dait ist ei teilerfredes Paar dabei. Wir schreibe jede Zahl aus M i der For x = 2 k * it ugerade ud Dait habe wir eie Eiteilug vo M i geau Klasse. Da die Teilege aber (+1) Eleete ethalte soll, uss sie aus idestes eier Klasse zwei Eleete ethalte. Vo diese ist jedoch eies Teiler des adere. 6. Wir deke us die Auswahl Schritt für Schritt für jede Spieltisch durchgeführt: Für de 1. Tisch gilt es 4 Spieler aus 4 auszuwähle, die a auf 3 Möglichkeite 4 zu Gegerpaare gruppiere ka (AB-CD; AC-BD; AD-BC): * 3 4 Für de 2. Tisch gilt es, 4 Spieler aus de verbliebee 4-4 auszuwähle, die a 4 4 wieder auf 3 Möglichkeite zu Gegerpaare gruppiere ka: *3 4 Usf. Nu kot es jedoch auf die Reihefolge der Tische icht a, da diese ja icht uterscheidbar sei solle, also uss a durch! dividiere ud erhält das folgede Ergebis: (4)!*3 ( 4! ) *!. Ma erhält it eier MAPLE-Prozedur die folgede Tabelle:

5 Spielerazahl Paaruge Die Azahl der Möglichkeite geht uglaublich schell i die Höhe! Wir bereche diese Azahl it Hilfe eies kleie MAPLE-Progras (oder EXCEL): > bridge:=proc(::iteger); ((4*)!*3^)/((4!)^ *!); ed proc; > bridge := proc ( :: iteger )( 4 )! 3^ /( 24^!) ed proc 7. Wir sortiere die ögliche Wege ach der Azahl der Diagoalzüge, die dabei geacht werde: 0 Diagoalzüge (D); da üsse Züge ach rechts (R) ud ach obe (O) geacht werde. Das geht auf C(2, ) verschiedee Möglichkeite. 1 Diagoalzug: Es üsse 1 D-, -1 R- ud -1 O-Züge geacht werde. Wir suche aus de isgesat 2-1 Züge -1 Plätze für die R, das gibt C(2-1, - 1). Da daraus 1 Platz für de Diagoalzug C(, 1). Der Rest sid die O-Züge. 2 Diagoalzüge: Es üsse 2 D, -2 R ud -2 O i der Kette der Läge 2-2 auftrete. Plätze für die R: C(2-2, -2). Daach Plätze für D: C(, 2). 3 Diagoalzüge: Die Kette ethält 3 D, -3 R ud -3 O. C(2-3,-3) * C(,3). k Diagoalzüge: C(2-k, -k) * C(, k) Dies geht vo k=0 bis k=. Dait habe wir als Azahl: C(2 r, r) * C(,r) r = 0 Wir erstelle dazu ei kleies Maple-Progra ud bereche die Werte bis =10. > koeig:=proc(); su('bioial(2*-r,-r) * bioial(,r)', 'r'=0..); ed proc; koeig:= proc( ) su (' bioial ( 2 r, r ) bioial (, r )', '' r = 0.. ) ed proc > for i fro 1 to 10 do prit(i, koeig(i)); ed do; 13, 213, 363, 4, 321 5, , , ,

6 9, , r Ist die folgede folgede Lösug (s. Aiger) richtig? *. = r r 0 8. Es gibt i.w. ur eie eizige Möglichkeit. Begit a irgedwo it der 1, so ka liks oder rechts ur die 2 ud die 3 stehe. Daach uss die 4 auf die 2 ud die 5 auf die 3 folge usf a) Jeder Weg ka als Dualkette der Läge 2 it geau Eise dargestellt werde, also gibt es geau C(2, ) verschiedee Wege. b) Es gibt C(, 0) * C(, ) = C(, 0)² Wege über P 0, C(, 1) * C(, -1) = C(, 1)² Wege über P 1 C(, 2) * C(, -2) = C(, 2)² Wege über P 2 usf. isgesat also geau die agegebee Sue. i= 0 i c) Für gilt folgede Beziehug, wie a leicht verallgeeiert: C(+, ) = C(+, ) = *. r + r r = 0 Ei aaloges Ergebis erhält a für Lotto-Proble: Die Azahl aller ögliche 6-Auswahle aus 49 ist C(49,6) = Die Wahrscheilichkeit für 6 Richtige (eie Möglichkeit) beträgt also 1: Die Azahl der Fälle it geau 5 Richtige beträgt C(6, 5) * C(43, 1) = 6 * 43 = 258. Sie ist also ierhi 258 al wahrscheilicher als 6 Richtige; w = 0, Geau 4 Richtige: C(6, 4) * C(43, 2) = 15 * 903 = Die Wahrscheilichkeit dafür ist w = 0,000968, also fast 1 Proille. Geau 3 Richtige: C(6, 3) * C(43, 3) = 20 * = Die Wahrscheilichkeit dafür beträgt w = 0,01765 also fast 2%. Geau 2 Richtige: C(6, 2) * C(43, 4) = 15 * = Die Wahrscheilichkeit dafür beträgt w = 0,1324, also ca. 13 %. Geau 1 Richtige: C(6, 1) * C(43, 5) = 6 * = : Die Wahrscheilichkeit dafür betragt w = 0,4130 also ca. 41 %. Geau 0 Richtige: C(6, 0) * C(43, 6) = 1 * Die Wahrscheilichkeit dafür beträgt w = 0,436 also rud 44 %.