FRAKTALE. Eine Dokumentation von Dominik Assmann, Philipp Gewessler und Paul Maier

Transkript

1 FRAKTALE Eine Dokumentation von Dominik Assmann, Philipp Gewessler und Paul Maier I. Fraktale allgemein a. Mathematischer Algorithmus i. Komplexe Zahlen b. Konvergieren und Divergieren i. Bei Mandelbrotmengen ii. Bei Juliamengen II. Arten und Formen von Fraktalen a. Mandelbrotmenge b. Juliamenge c. Pythagoras Baum III. Unser Fraktal Programm a. Menüpunkte und Einstellungsmöglichkeiten b. Erstellen eines Filmes Seite 1

2 Fraktale sind geometrische Gebilde mit einer unendlich feinen Struktur, die sich stets verkleinertwiederholt. Vergrößert man also umgekehrt Teile der Figur, so stößt man stets auf die gleiche Grundstruktur und dieses Vergrößern kann beliebig oft geschehen. Dem sind nur durch die Rechengenauigkeit des PCs Grenzen gesetzt. Mathematischer Algorithmus Hinter jedem Fraktal steckt ein bestimmter mathematischer Algorithmus. Damit man diesen versteht, sollte man einen Überblick über die Komplexen Zahlen haben. Der jeweilige Algorithmus zu den einzelnen Formen, ist dann auch bei diesen kurz beschrieben. Da Ausdrücke der Form nicht lösbar sind, legte man fest, dass gelte, und nannte "i" imaginäre Einheit. Eine Komplexe Zahl z besteht aus Realteil a und Imaginärteil b: (a + b*i) mit Re(z) = a und Im(z) = b. z.b.: Vektorschreibweise: (2/4) Schreibweise mit komplexen Zahlen: 2+4*i Addition (3 + 5i) + (4 + 2i) = i+2i = 7 + 7i Multiplikation (3 + 5i) * (4 + 2i) = 3*4 + 3*2i + 4*5i + 5i*2i = i + 10i 2 mit i 2 = 1 = i 10 = i Darstellung von z in der komplexen Ebene. ( Gauss'sche Ebene). Eigenschaften von i Seite 2

3 Konvergieren: Im Reellen bedeutet die Konvergenz eine Folge (a(n))n, dass es einen Grenzwert oder Limes genannten reellen Wert a gibt. Im Komplexen ist es nicht viel anders: Eine Folge (a(n))n von komplexen Zahlen konvergiert gegen ihren komplexen Limes (=Grenzwert. Im Komplexen wie auch im Reellen spricht man jedoch hin und wieder von der Konvergenz gegen Unendlich und man meint damit, dass die Folgenglieder betragsmäßig immer größer werden Divergieren: Man sagt, dass eine Folge unbestimmt divergiert, wenn sie nicht konvergiert, weder gegen einen komplexen Wert noch gegen Unendlich. "Man könnte salopp sagen, dass eine unbestimmt divergente Folge "umher springt" ohne je zur Ruhe zu kommen." Zwei Beispiele für weder in den komplexen Zahlen konvergente noch gegen unendlich konvergente Folge sind die Folgen (( 1)n )n und (( 2)n+2n )n. Konvergenz und Divergenz bei Mandelbrotmenge und Juliamenge Das Apfelmännchen (Mandelbrotmenge) ist die Menge der komplexen Zahlen c, für die die Folge (a(n)) mit a(n+1)=a(n)²+c und a(0)=0 nicht gegen unendlich konvergiert. Die Juliamenge (nach dem Franzosen Gaston Julia (1893 bis 1978)) einer Abbildung f: C > C ist die Menge aller komplexen Zahlen c, für die die Folge a(0)=c, a(n+1)=f(a(n)) divergiert. Verschiedene Arten bzw. Formen von Fraktalen Mandelbrotmenge: Die Mandelbrotmenge wird oft auch als Apfelmännchen bezeichnet, da seine Form einem Apfel sehr ähnlich ist. Es wurde als erstes von Benoît Mandelbrot, daher auch der Name, mit Hilfe eines Computers dargestellt und untersucht. Sie besteht aus komplexen Zahlen, die alle ein bestimmtes Kriterium erfüllen. Deshalb wird die Mandelbrotmenge in einer "komplexen Ebene" dargestellt: die x Achse entspricht dem Real Teil einer komplexen Zahl; die y Achse dem Imaginärteil. Man durchläuft der Reihe nach viele Punkte innerhalb der komplexen Ebene und prüft, ob sie innerhalb der Mandelbrotmenge liegen. Es gibt also vorerst nur zwei Arten von Punkten: die einen Punkte liegen nicht in der Menge und werden nicht gefärbt. Die anderen liegen innerhalb der Menge und erhalten zum Beispiel die Farbe Schwarz. Sie lässt sich durch Folgende Funktion beschreiben: z n+1 = z n ² + c (beginnend bei z 0 = 0, c komplexe Zahlen) [Bild der Mandelbrotmenge] Seite 3

4 Julia Menge: Sie lässt sich durch Folgende Funktion beschreiben: z n+1 = z n k + c (Ähnliche Formel wie die Mandelbrotmenge, lediglich die Potenz wird verändert, k > 2) [Bild der Julia Menge] Julia Mengen werden fast genauso berechnet wie die Mandelbrotmenge: Zn+1 = Zn2 + C Der Unterschied zur Berechnung der Mandelbrotmenge ist, dass der Punkt C hier für jeden Punkt der komplexen Ebene konstant bleibt. Z erhält nun die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf der komplexen Ebene, während C für bei der Berechnung aller Punkte gleich bleibt. C ist auch hier eine komplexe Zahl und kann ebenfalls einen beliebigen Punkt auf der komplexen Ebene darstellen; muss aber bei allen Berechnungen der Punkte der zukünftigen Juliamenge den gleichen Wert haben; darf sich also nie ändern. Da C beliebige Koordinaten besitzen kann, ist jedem Punkt der komplexen Ebene eine eigene Juliamenge zugeordnet und dadurch auch jedem Punkt der Mandelbrotmenge. Seite 4

5 Pythagoras Baum: Ein Pythagoras Baum ist eine besondere Art eines Fraktals. Das ursprüngliche Verfahren zum Erstellen eines Pythagoras Baums basiert auf dem Satz des Pythagoras, in dem auf ein Quadrat zwei weitere, kleinere Quadrate im rechtem Winkel angeordnet werden. Aus einer Grundlinie wird ein Quadrat konstruiert. Auf diesem Grundelement (Stamm des Baums) wird auf der Oberseite ein Thaleskreis gezeichnet und dieser beliebig geteilt. Der entstehende Punkt wird mit dem Grundelement verbunden (Bild 1), so dass ein rechtwinkliges Dreieck entsteht. Aus den beiden entstandenen Schenkeln des Dreiecks wird wieder jeweils ein rechtwinkliges Quadrat konstruiert (Bild 2), ein Thaleskreis aufgezeichnet, dieser geteilt, ein rechtwinkliges Dreieck konstruiert (Bild 3) und so wieder zu einem Quadrat erweitert (Bild 4). Dieser Vorgang wird beliebig oft wiederholt. (Bild 1) (Bild 2) (Bild 3) (Bild 4) Seite 5

6 Unser Fraktal Programm: Unser Fraktal Programm ermöglicht es uns, Fraktale zu zeichnen, verschiedene Einstellungen vorzunehmen, Paletten zu speichern und zu laden und einen Film zu erzeugen. Menüpunkt: Datei Hier kann man das Programm beenden, verschiedenste Einstellungen vornehmen, Paletten speichern und laden, sich eine Statistik anzeigen lassen und einen Film erzeugen. Unterpunkt: Einstellungen In den Einstellungen ist es möglich die Anzahl der Iterationen, den maximalen Betrag, Die Bildgröße, den Zoomfaktor (um wie viel Prozent das Bild durch zoomen vergrößert wird) und vor allem den Zoompunkt (später wichtig für die Erstellung eines Filmes) einzustellen. Menüpunkt: Fraktal Unter dem Menüpunkt Fraktal kann man das Fraktal zeichnen lassen, Das Bild per Reset zurückzusetzen (falls schon gezoomt), mit dem Unterpunkt Automatisch das Bild zum festgelegten Zoompunkt zoomen zu lassen und das Bild speichern und als Bitmap (*.bmp) zu exportieren. Seite 6

7 Einen Film erzeugen: Um einen Film erzeugen zu können benötigt man einen bereits festgelegten Zoompunkt, genügend Speicherplatz auf der Festplatte (je nach Größe der Bilder etwa 300KB pro Bild) und ein (Freeware )Programm, mit dem man Bilder in einen Film umwandeln kann. Unser Programm erzeugt vor jedem Zoom lediglich ein Bild und speichert dieses in ein vorher gewähltes Verzeichnis ab, danach zoomt es eigenständig und erzeugt einen weiteren Screenshot und speichert diesen wieder ab. So entsteht eine Folge von Bildern, welche dann mit einem Programm in einen Film umgewandelt werden kann. Je nach Anzahl der Iterationen, eingestellten Zoomfaktor (je kleiner desto flüssiger wird der spätere Film), Bildgröße und dem Betrag wird die Dauer der Filmproduktion verändert. Seite 7