3. Sequentielle Spiele mit vollständiger Information: Die Extensivform

Transkript

1 Spieltheorie Sommersemester Sequentielle Spiele mit vollständiger Information: Die Extensivform Beispiel (Sequentieller Geschlechterkampf): Betrachten wir eine abgewandelte Geschichte des Spiels Battle of the Sexes : Wieder geht es um den Besuch einer Theatervorstellung oder eines Boxkampfes. Franziska muss aber wegen des weiteren Weges eine halbe Stunde früher als Manfred losfahren. Sie entscheidet sich für eines der beiden Ziele und spricht Manfred, der bis kurz vor seiner Abfahrt in einer Sitzung ist, auf den Anrufbeantworter, wohin sie fährt. Der kann dann entweder auch dorthin fahren oder zur anderen Veranstaltung.

2 Spieltheorie Sommersemester Darstellung als Spielbaum: F T B M M T B T B Abbildung 1: Sequentieller Geschlechterkampf

3 Spieltheorie Sommersemester Strategien und Normalformdarstellungen Für F ist klar, sie kann entweder T oder B wählen. Ihre Menge reiner Strategien ist S F = {T, B}. M hingegen ist an zwei verschiedenen Knoten am Zug: Er kann T oder B wählen, nachdem F sich für T entschieden hat, und er hat die selben Alternativen, falls F sich für B entschieden hat. Eine Strategie stellt einen Plan für alle Gegebenheiten dar. Manfreds Strategiemenge ist S M = {TT, BT, TB, BB}. In einem Spiel in Extensivform ergeben sich die Strategien aus den Spielregeln, während wir sie im Normalformspiel als Grundbausteine des Modells verwenden.

4 Spieltheorie Sommersemester Wir können einen Baum beschreiben, indem wir die endliche Menge der Knoten K und darauf eine Relation ist Nachfolger von definieren, für die gilt: Es gibt genau einen Knoten K 0 K, den Anfangsknoten, für den gilt {K K K 0 K} =. Für alle K K \ {K 0 } gilt # {K K K K } = 1, wobei #A die Kardinalität der Menge A bezeichnet. Die Menge der Endknoten ist K = {K K K K : K K}.

5 Spieltheorie Sommersemester Wir interpretieren jeden Knoten, der kein Endknoten ist, als einen Zeitpunkt, in dem eine Spielerin am Zug ist. Die von diesem Knoten ausgehenden Äste sind die Züge oder Aktionen, die ihr zu diesem Entscheidungszeitpunkt zur Verfügung stehen. Die Zuordnung der Spielerinnen zu den Knoten erfolgt durch eine Abbildung α : K \ K I. Wir bezeichnen für Spielerin i I die Menge aller ihr zugeordneten Knoten mit K i = α 1 (i) = {K K α(k) = i}. In der Zeichnung eines Spielbaums schreiben wir an jeden Knoten, der kein Endknoten ist, die Spielerin, die in diesem Knoten am Zuge ist.

6 Spieltheorie Sommersemester Schließlich ordnen wir den Endknoten Vektoren von Auszahlungen der Spielerinnen i I zu. Dies geschieht mittels einer Abbildung π : K R n. Auch in der Extensivform gehen wir davon aus, dass diese Abbildung eine von Neumann Morgenstern Nutzenfunktion ist. In der Zeichnung schreiben wir an die Endknoten die Auszahlungen in der Regel als Spaltenvektoren. Zu jedem Endknoten gibt es eine eindeutige Abfolge von Zügen, die durch den Pfad vom Anfangsknoten zum Endknoten festgelegt ist. Dies entspricht einem möglichen Verlauf des Spiels und wird deswegen auch als Partie bezeichnet. Indem den Endknoten Auszahlungen zugeordnet werden, haben wir also alle denkbaren Partien bewertet.

7 Spieltheorie Sommersemester Damit haben wir eine vollständige Beschreibung von Extensivformspielen mit vollkommener Information, was bedeutet, dass jede Spielerin, die am Zug ist, genau weiß, in welchem Knoten sie sich befindet, d.h. welchen Zug die Spielerin gemacht hat, die vor ihr am Zug war. Dies muss nicht immer der Fall sein; es ist auch denkbar, dass eine Spielerin am Zug ist, aber nicht unterscheiden kann, in welchem Knoten sie sich befindet. Dies führt uns zu Extensivformspielen mit unvollkommener Information. Deren Behandlung verschieben wir aber auf später.

8 Spieltheorie Sommersemester Definition: Eine Strategie für Spielerin i I in einem Spiel in extensiver Form mit vollkommener Information ist eine Abbildung derart, dass für alle K K i gilt s i : K i K, s i (K) K. D.h., für jeden Knoten, in dem sie am Zuge ist, wählt i genau einen der Nachfolger dieses Knotens im Spielbaum aus. Jede Strategiekombination s = (s 1, s 2,...,s n ) legt einen Pfad im Spielbaum, also eine Partie fest. Damit ist auch klar, zu welchen Auszahlungen sie führt. Mithin können wir jedem Spiel in extensiver Form eines in Normalform oder strategischer Form zuordnen.

9 Spieltheorie Sommersemester Für unser Beispiel des sequentiellen Geschlechterkampfes ist die Darstellung in Normalform die folgende. TT BT TB BB T 1, 2 0, 0 1, 2 0, 0 B 0, 0 0, 0 2, 1 2, 1

10 Spieltheorie Sommersemester So wie wir die Strategiemengen definiert haben, kann es passieren, dass darunter äquivalente Strategien sind, d.h. Strategien, die für alle möglichen Strategiekombinationen der anderen Spielerinnen jeweils die selbe Auszahlung liefern. Da dies ein unnötiges Aufblähen des Strategienraumes ist, ersetzen wir alle äquivalenten Strategien durch eine Vertreterin. In der Auszahlungsmatrix eines 2 Personen Normalformspiels bedeutet das, von mehreren identischen Zeilen bzw. Spalten alle bis auf eine zu streichen. Das Ergebnis nennt man die reduzierte Normalform.

11 Spieltheorie Sommersemester Beispiel: Betrachte folgendes Spiel in Extensivform 1 a b 2 2 L R l r 1 1 c d e f

12 Spieltheorie Sommersemester Die Strategiemengen sind S 1 = {ace, acf, ade, adf, bce, bcf, bde, bdf} und S 2 = {Ll, Lr, Rl, Rr}; dabei sind offenbar alle Strategien, bei denen b an erster Stelle steht äquivalent, da Spielerin 1 nach dem Zug b gar nicht mehr zum Zuge kommt. Die Normalform ist ace acf ade adf bce bcf bde bdf Ll 1, 2 1, 2 2, 1 2, 1 5, 6 5, 6 5, 6 5, 6 Lr 1, 2 1, 2 2, 1 2, 1 6, 5 6, 5 6, 5 6, 5 Rl 3, 4 4, 3 3, 4 4, 3 5, 6 5, 6 5, 6 5, 6 Rr 3, 4 4, 3 3, 4 4, 3 6, 5 6, 5 6, 5 6, 5

13 Spieltheorie Sommersemester Die reduzierte Normalform ist ace acf ade adf b Ll 1, 2 1, 2 2, 1 2, 1 5, 6 Lr 1, 2 1, 2 2, 1 2, 1 6, 5 Rl 3, 4 4, 3 3, 4 4, 3 5, 6 Rr 3, 4 4, 3 3, 4 4, 3 6, 5

14 Spieltheorie Sommersemester Wenn wir die Menge der reinen Strategien kennen, die in einem endlichen Spiel in extensiver Form (endlich viele Spielerinnen, Knoten und Züge) ebenfalls endlich sind, können wir genau wie in einem Spiel in Normalform auch gemischte Strategien als Wahrscheinlichkeitsverteilungen über der Menge der reinen Strategien definieren. In Extensivformspielen kann man zudem noch sogenannte Verhaltensstrategien betrachten, die für jeden Knoten eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über die verfügbaren Züge spezifizieren. Für unsere Zwecke reicht es aus, Verhaltensstrategien zu betrachten, die die Analyse erheblich erleichtern.

15 Spieltheorie Sommersemester Nash Gleichgewichte Wenn wir nun nach Nash Gleichgewichten eines nichtkooperativen Spiels in extensiver Form suchen, können wir dies in der zugehörigen Normalform (oder der reduzierten Normalform) tun, wobei wir uns zunächst auf Nash Gleichgewichte in reinen Strategien beschränken. Für unser Beispiel des sequentiellen Geschlechterkampfes finden wir drei Nash Gleichgewichte in reinen Strategien, nämlich (T, TT), (B, BB) und (B, TB): TT BT TB BB T 1, 2 0, 0 1, 2 0, 0 B 0, 0 0, 0 2, 1 2, 1

16 Spieltheorie Sommersemester Natürlich können wir auch direkt in der Extensivform erkennen, ob eine Strategiekombination ein Nash Gleichgewicht ist oder nicht. Allerdings ist es etwas mühsamer, auf diesem Wege alle Nash Gleichgewichte in reinen Strategien zu ermitteln. Wir beginnen damit eine Strategiekombination zu betrachten, die kein Nash Gleichgewicht ist. Wir zeichnen dazu die Strategien der einzelnen Spielerinnen als Pfeile in den Spielbaum ein. Es ergibt sich ein Pfad und damit ein zugehöriger Vektor von Auszahlungen. Einseitiges Abweichen einer Spielerin bedeutet, dass sie in allen Knoten, in denen sie am Zug ist, einen anderen Zug wählen kann.

17 Spieltheorie Sommersemester F M T 1 2 T 0 0 B M B 0 0 T 2 1 B

18 Spieltheorie Sommersemester Die drei Nash Gleichgewichte sehen folgendermaßen aus. F T B M M T B T B

19 Spieltheorie Sommersemester F M T 1 2 T 0 0 B M B 0 0 T 2 1 B

20 Spieltheorie Sommersemester F M T 1 2 T 0 0 B M B 0 0 T 2 1 B

21 Spieltheorie Sommersemester Betrachten wir die beiden ersten dieser Nash Gleichgewichte, (T, TT) und (B, BB) etwas genauer, so erkennen wir, dass sie weniger plausibel erscheinen als das dritte (B, TB). Dies liegt daran, dass die Strategie von M in beiden Fällen für den Knoten, der nicht auf dem jeweiligen Gleichgewichtspfad liegt, ein Verhalten festlegt, dass für M im Falle, der Knoten würde tatsächlich erreicht, nicht rational wäre. Man spricht von unglaubwürdigen Drohungen oder leeren Drohungen.

22 Spieltheorie Sommersemester Was damit gemeint ist, erkennt man besonders gut am ersten Nash Gleichgewicht, (T, TT). F würde natürlich am liebsten B wählen, in der Hoffnung, M werde dann ebenfalls B spielen und F würde eine Auszahlung von 2 erhalten. M droht aber damit, auf B mit T zu antworten, so dass es für F günstiger ist, T zu wählen und wenigstens eine Auszahlung von 1 zu erhalten. Würde F ungeachtet der Drohung doch B wählen, wäre es für M besser statt die Drohung auszuführen und T zu spielen, was ihm eine Auszahlung von 0 einbrächte, lieber entgegen seiner Ankündigung B zu wählen und eine Auszahlung von 1 zu erhalten. Ist F von der Rationalität von M überzeugt, sollte sie seiner Drohung also keinen Glauben schenken.

23 Spieltheorie Sommersemester Im zweiten Gleichgewicht wäre B als Antwort auf T ebenfalls unglaubwürdig; dies als Drohung zu bezeichnen ergibt allerdings nur bedingt Sinn. Das dritte Nash Gleichgewicht enthält keine unglaubwürdigen Drohungen. Es ist das einzige teilspielperfekte Nash Gleichgewichte (TPNG) des Spiels. Das Konzept des teilspielperfekten Gleichgewichts ist eine wichtige Verfeinerung des Nash Gleichgewichts für nichtkooperative Spiele in extensiver Form. Die Anforderung, die hinter dem Konzept steht ist eine Form von sequentiell rationalem Verhalten.

24 Spieltheorie Sommersemester Rückwärtsinduktion Der folgende Algorithmus, der auf Kuhn (1953) zurückgeht erlaubt nicht nur, die teilspielperfekten Gleichgewichte eines endlichen nichtkooperativen Spiels in extensiver Form mit vollkommener Information zu finden, sondern liefert gleichzeitig einen Existenzbeweis für diese Klasse von Spielen. Die Idee ist, das Spiel vom Ende her aufzurollen, d.h., sich von den Endknoten her schrittweise bis zum Anfangsknoten vor zu arbeiten und dabei für jeden Knoten einen Zug festzulegen. Am Ende ergibt sich dann eine Strategiekombination, die ein teilspielperfektes Gleichgewicht bildet.

25 Spieltheorie Sommersemester Definition: Gegeben sei ein nichtkooperatives Spiel in extensiver Form G. 1. Setze G 0 = G. 2. Solange G t nicht lediglich aus einem Endknoten besteht, betrachte alle Knoten K K t für die gilt K K K K t. 3. Für alle solchen Knoten K, fixiere für die Spielerin i, die im Knoten K am Zuge ist eine Aktion derart, dass ihre Auszahlung im durch diese Aktion erreichten Endknoten maximal ist. 4. Streiche alle Endknoten, die Nachfolger von K sind. K wird zum Endknoten des nächsten Spiels G t+1, dem als Auszahlungen diejenigen des ursprünglichen Endknotens zugeordnet werden, zu dem die in Schritt 3 fixierte Aktion der Spielerin i führt. 5. Beginne mit dem entstandenen Spiel G t+1 erneut bei Schritt 2.

26 Spieltheorie Sommersemester Da das Spiel G endlich ist, ist der Algorithmus nach endlich vielen Schritten beendet. Er liefert für jeden Entscheidungsknoten (jeden Knoten in K \ K) eine Aktion, d.h. eine Strategie für alle Spielerinnen i I. Satz: Durch Rückwärtsinduktion findet man in jedem nichtkooperativen Spiel mit vollkommener Information ein teilspielperfektes Gleichgewicht in reinen Strategien. Gibt es keine Spielerin für die ihre Auszahlungen an zwei verschiedenen Endknoten des Spiels übereinstimmen, ist das teilspielperfekte Gleichgewicht eindeutig.

27 Spieltheorie Sommersemester Beispiel (Markteintritt): Es gibt zwei Unternehmen, Firma 1 und Firma 2. Firma 1 überlegt sich, in einem Markt einzutreten (E), in dem Firma 2 als Monopolistin aktiv ist, oder nicht (N). Tritt Firma 1 in den Markt ein, wählt sie also E, kann Firma 2 auf zwei verschiedene Weisen reagieren: Sie kann den Eintritt zulassen (Z) und einen Teil des Marktes abtreten. oder sie kann einen Preiskrieg vom Zaun brechen (K). Wählt Firma 1 die Aktion N, bleibt Firma 2 weiterhin Monopolistin. Die resultierenden Gewinne seien im Falle des Nichteintritts (0, 2), bei einem Preiskrieg nach Eintritt ( 3, 1) und bei einem zugelassenen Eintritt (2, 1).

28 Spieltheorie Sommersemester Firma 1 E N Firma 2 K Z 0 2 K Z N 0, 2 0, 2 E 3, 1 2, Extensivform und Normalform des Markteintrittsspiels. Wir entnehmen der Normalform, dass das Spiel zwei Nash Gleichgewichte in reinen Strategien hat, nämlich (N, K) und (E, Z).

29 Spieltheorie Sommersemester Durch Rückwärtsinduktion können wir herausfinden, welches der beiden Nash Gleichgewichte teilspielperfekt ist. Dazu sind in diesem Falle nur zwei Durchläufe nötig. Firma 2 K 3 1 E Z 2 1 Firma 1 N 0 2 Erster Durchgang der Rückwärtsinduktion: Im ursprünglichen Spiel folgen lediglich auf den Entscheidungsknoten der Firma 2 nur Endknoten. Ihre optimale Entscheidung dort ist Z mit einer Auszahlung von 1. Wir fixieren ihre Aktion Z und ersetzen ihren Entscheidungsknoten durch einen Endknoten mit Auszahlungen (2, 1).

30 Spieltheorie Sommersemester E 2 1 Firma 1 N 0 2 Zweiter Durchgang der Rückwärtsinduktion: Im reduzierten Spiel hat nur Firma 1 eine Entscheidung zu treffen. Ihre optimale Entscheidung ist E mit einer Auszahlung von 2. Wir ersetzen diesen Knoten durch einen Endknoten mit Auszahlungen (2, 1). und beenden die Rückwärtsinduktion. Das einzige TPNG des Markteintrittsspiels ist also die Strategiekombination (E, Z). Das andere Nash Gleichgewicht enthält die leere Drohung der Firma 2 nach einem Eintritt zu kämpfen, obwohl ihr dies eine geringere Auszahlung bringen würde, als auf einen Eintritt friedlich zu reagieren.

31 Spieltheorie Sommersemester Beispiel (Das Hundertfüßler Spiel): Es gibt zwei Spielerinnen, 1 und 2. Jede Spielerin erhält zu Beginn des Spiels einen Euro. In jeder Runde kann eine Spielerin entscheiden, ob sie Stop (S) oder Weiter (W) sagt. Wenn eine Spielerin Weiter sagt, nimmt der Schiedsrichter 1 Euro von ihrem Geld und legt 2 Euro zu dem Geld der anderen Spielerin. Sobald eine der Spielerinnen Stop sagt, ist das Spiel aus und beide Spielerinnen bekommen das vor ihnen liegende Geld. Das Spiel ist ebenfalls beendet, wenn beide Spielerinnen je 100 Euro vor sich liegen haben, die sie dann behalten können. Spielerin 1 beginnt.

32 Spieltheorie Sommersemester Extensivform des Spiels:

33 Spieltheorie Sommersemester Rückwärtsinduktion: Im letzten Knoten wird Spielerin 2 Stop sagen, weil sie dadurch 101 Euro erhält, während sie bei Weiter lediglich 100 Euro erhielte. In vorletzten Runde antizipiert Spielerin 1, dass Spielerin 2 in der letzten Runde Stop sagen wird. Sie bekommt demnach 98 Euro, wenn sie W wählt, aber 99 Euro, wenn sie Stop sagt. Also wählt sie S. In der t-ten Runde antizipiert die Spielerin, die am Zug ist, dass ihre Gegenspielerin in Runde t + 1 Stop sagen wird. Die Auszahlung der Spielerin bei der Aktion Stop ist um einen Euro höher als seine Auszahlung bei der Aktion Weiter (gefolgt von einem Stop in der folgenden Runde). Also sagt die Spielerin in Runde t Stop. Diese Argumentation greift auch in der ersten Runde: Spielerin 1 antizipiert, dass Spielerin 2 in der zweiten Runde Stop sagen wird. Sie sagt deshalb sofort Stop und beide Spielerinnen erhalten die Auszahlung 1.

34 Spieltheorie Sommersemester Das einzige teilspielperfekte Nash Gleichgewicht des Hundertfüßlerspiels ist also die Strategiekombination, in der beide Spielerinnen an jedem Knoten Stop sagen. Der zugehörige Auszahlungsvektor (1, 1) ist aber durch fast alle anderen möglichen Auszahlungsvektoren des Spiels Pareto dominiert. Hier liegt also eine ähnliche Situation wie im Gefangenendilemma vor: Wir erhalten ein eindeutiges Ergebnis unserer Analyse eines nichtkooperativen Spiels, das allerdings aus einer anderen Perspektive wenig überzeugend erscheint.

35 Spieltheorie Sommersemester Auch hinter der Rückwärtsinduktion verbirgt sich die Common knowledge der Rationalität. Wenn Spielerin 1 in der vorletzten Runde antizipiert, dass Spielerin 2 in der letzten Runde S wählt, so tut sie dies, weil sie weiß, dass Spielerin 2 rational ist und daher in der letzten Runde die Aktion wählen wird, die ihre Auszahlung maximiert. Damit Spielerin 2 in der vorvorletzten Runde antizipieren kann, dass Spielerin 1 in der vorletzten Runde S wählt, muss sie wissen, dass 1 rational ist und ihrerseits weiß, dass 2 rational ist, etc. Verschiedene Experimente und die Erkenntnisse der Psychologie deuten allerdings darauf hin, dass Menschen in realen Spielsituationen nur eine begrenzte Zahl von Iterationen dieser Art durchführen, also kognitive Ketten der Art ich weiß, dass Du weißt, dass ich weiß...nach einer bestimmten Zahl von Schritten abbrechen.

36 Spieltheorie Sommersemester Zufallszüge Wir führen die Natur als zusätzliche Spielerin 0 ein, die Zufallszüge macht. Für jeden Knoten K K 0, an dem die Natur am Zug ist, wird spezifiziert, mit welchen Wahrscheinlichkeiten die einzelnen Äste, die von K ausgehen gespielt werden. Wir legen also eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf der Menge der Nachfolger von K fest. In einem Spiel mit Zufallszügen legt eine Strategiekombination nicht mehr unbedingt einen eindeutigen Pfad fest, sondern möglicherweise nur noch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über verschiedene Pfade. Dementsprechend wird jeder Strategiekombination die erwartete Auszahlung gemäß dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung zugeordnet. Alle Resultate bleiben mit dieser Anpassung gültig.